九乡新闻网陈真传老版全集第20集:正文显示页面sv v
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/29 14:25:37
【专题名称】中学数学教与学
【专 题 号】G35
【复印期号】2002年06期
【作者简介】金兔，浙江诸暨市湄池中学
在数学的发展史中，反例和证明同等重要，一个数学真命题往往需要严密的证明，而假命题则靠反例加以鉴别。因此，在数学教学中，反例也有着极为重要的意义，它在发现和认识数学理论，强化数学基础知识的理解和掌握，培养学生的思维能力和创造能力等方面具有重要的作用。反例教学在高等数学，特别是数学分析的教学中有着相当重要的地位。中学数学教学中，反例教学也是数学教学的重要手段。
1 反例教学是学生对所学知识加深理解的重要手段
一般的中学教学法常常是运用正确的例子阐明知识点。如果我们在用实例深刻阐明知识点的同时，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或法则的本质，这样不但可以弥补正面教学的不足，而且还可进一步加深学生对知识的理解，给他们留下更加深刻的印象。
例如，平面几何中，两条直线垂直是相交的特殊情形，但在立体几何中，垂直和相交可以没有这种必然的联系。在教授立体几何点、线、面各元素间的位置关系时，教师可以适时引进以下反例。
反例1 两条互相垂直的异面直线不相交。
显然，立体几何的线线，线面，面面关系中，除了线线垂直不一定相交，相交不一定垂直外（因为线线之间存在异面关系），其他情况下垂直仍是相交的特殊情形。对于许多同学来说，对这些关系的理解常常模糊不清。在讲授这些知识的时候，如果只从正面论述，许多同学对知识的理解并不深刻，但若配合上述反例（利用教室模型即可）来说明，效果就大不一样，它可让学生澄清是非，对所学知识有更深刻的理解和认识。
2 反例教学是发现问题、纠正错误、获得真理的重要手段
因为反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等突出特点，所以举反例在揭露错误时有特殊的威力。在平常的教学实践中，笔者深深地认识到：通过反例教学，不但可以使学生发现错误和漏洞，而且可以从反例中修补相关知识，从而获得正确结论或解答。
例如，运用正数的平均值定理的时候，忽视等号成立的条件是许多学生的误区，教授时引入下例并且进一步探索正确解法很有必要。
反例2 y＝sin[2]x＋4/sin[2]x≥4是正确的，但该函数的最小值是5而不是4。
设t＝sin[2]x，则t∈（0，1），且y＝t＋4/t≥4，当且仅当t＝2时，上式取等号，但t不可能等于2，因此，4不是该函数的最小值。那么，怎样寻求它的最小值呢？迫使我们探索正确的解法。
下面是值得学生探索的几种解法。
对于以上问题，许多学生一开始想当然认为该函数的最小值为4， 但举出反例之后，他们马上知道错误所在。同时也体会到，对待每一个数学问题都要认真思考，稍有不慎，便可能出现漏洞，从而使他们真正体会到数学的严谨，形成良好的思维品质。
学生通过探索尝到了科学研究的滋味——科学研究的苦和乐。
3 反例教学是纠正学生以偏概全的坏习惯，培养学生思维的缜密性的重要手段
数学本身是一门严谨的学科，解决数学问题的思维过程也应是缜密的。许多学生在学习数学的过程中由于思维不缜密经常犯各种各样的错误，这就要求数学教学的主要执行者——数学教师在具体教学时，经常引进以往学生易犯的错误，并设置成反例，时时提醒学生，有针对性地培养学生思维的缜密性。
例如，一些需要分类讨论的问题，我们不但要设置反例，而且还要引导学生学会自己设置反例。
4 反例教学是诱发学生的创造力，培养学生思维的深刻性的重要手段
一般来说，构造反例不象提出证明那样有清晰可循的逻辑途径，它给人一种不可触摸的感觉。它是一项积极的，创造性的思维活动，是一个探索发现的过程。
例如，学生对于复数的辐角主值的理解同样只停留在字面上，在应用中错误百出，这时我们可以构造如下反例。
反例配合反证法，使思维的深刻性更上一层台阶。^
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