陈溢杭:正文显示页面22

    一、研究目的
    数学教学过程是一系列数学问题的提出并解决的活动过程，问题贯穿着课堂的始终，它们是组织教学的聚焦点和动力源，是引导学生学习的方向标和里程碑，是维持课堂活力的加油站和接力棒，也是学生发展的催化剂和启动器。课堂教学过程是不断发现问题、探究问题、解决问题并提出新问题的过程，在这一过程中，让学生的数学思维得到充分的发展。
    基于问题对数学课堂教学过程及学生的数学思维发展有着重要的意义，我们提出“以问题为中心引领教学，以思维为核心促进发展”的基本观点。
    通过研究，能够挖掘目前数学课堂教学中存在的一些问题，进一步提高课堂效率，促进学生的数学思维发展，形成有南京师范大学附属中学特色的数学课堂教学行为。
    通过研究，对学生数学学习的规律、特点有进一步的了解和认识，结合学生的特点，使他们形成主动提出问题、勇于探索问题、独立思考问题、理性分析问题、科学解决问题的研究意识和能力。
    通过研究，促进每一位教师学习和研究的意识，自觉学习教育教学的理论知识，关心课程与课堂教学的发展与改革动向，形成研究的文化和氛围，投身课堂教学改革的行列。
    二、背景分析
    1.历史背景
    南京师范大学附属中学数学教研组是一个具有优良传统的教研组，一直处于中国中学教育教学改革的前列，在基础教育的理论总结和实践探索方面做出了杰出的贡献，形成了教师不做教书匠而要做教育家的优良传统。秉承“尊重教学规律，关注学生发展”的教育理想，在建设教师队伍、提升课堂效率、提高教学质量、研究教育教学等方面有着较大的影响和骄人的成绩，为学校的课题研究打下了良好的基础。
    2.现实背景
    (1)新课程改革给学校的课题研究带来了良好的机遇，给教师提供了丰富的学习机会和良好的发展平台，同时，也带来了许多的思考与困惑，促使教师加强学习和研究，以适应新的发展的需要。
    (2)目前由于评价模式比较单一，课堂教学受应试教育、升学的影响，更多地关注学生的考试成绩、应试技巧等，忽视了学生的学习规律和心理压力，加重了学生的学习负担，违背了教育教学的科学规律，往往使得广大学生失去了自信和对数学学习的兴趣，对学生的发展产生了不利的影响。
    (3)前不久江苏省教育厅提出《关于进一步规范中小学办学行为深入实施素质教育的意见》的五项规定，其中要求严格控制学生在校集中教学活动的时间，严格执行国家课程计划，切实减轻学生的学习负担，深入实施素质教育，对课堂效率提出了更高的要求。
    (4)随着社会经济等方面的发展，学生的发展呈现出多元化发展的趋势，越来越多的学生选择到国外去发展。为了适应国外对人才选拔的要求，高校自主招生的计划逐步扩大，对学生的考查越来越注重能力、潜能及特长和个性。
    3.现状分析
    目前教学反映出下列一些特点：
    (1)在一节课的教学过程中，教师往往能注意到以问题开始，注重从具体数学问题出发组织学习和教学，有一个问题引出的情境、实验或悬念。
    (2)问题给出后，教师的启发或引导往往过多过细，给学生独立思考的时间过少，学生思维的空间不大，忽略了启发引导学生去动手、动脑，并在数学问题解决的过程中发现、产生新的问题。
    (3)教师的设计更注重于知识层面，只是为了得到一个确定的结论，而忽略了探究问题的过程，不能促进学生建构灵活的知识基础，不能有效发展学生解决问题的能力，忽视了学生的创新精神和实践意识的培养。
    (4)在整个课堂当中，归纳猜想少，演绎论证多，从问题提出到得出结论的时间短，而从得出结论到巩固应用的时间长。
    由此可见，问题的意识并没有充分地形成，问题的价值没有得到充分的开发，学生的思维不能有效的、充分的发展。
    三、研究过程
    1.加强理论学习
    (1)为了了解当前数学教育教学的前沿情况和理论研究现状，笔者所在学校多次请专家到学校作专题报告，使教师对当前的课程及课堂教学的理论研究有了一些了解。其中，有下列一些讲座：
    李克正“数学在金融方面的应用”；
    马明“教材对教学的制约作用”；
    涂荣豹“数学中的元认知”“教与学的对应”；
    章建跃“新课程背景下的十个论题”；
    葛军“数学的解题策略”；
    李善良“教师的专业发展”；
    邱学华“尝试法教学”；
    单壿等“数学思维和解题方法”。
    (2)为了了解当前课堂教学情况，笔者所在学校积极组织教师参观学习，积极参加全国及省市组织的各项教研活动，广大教师对目前的课堂教学情况有了进一步的认识。
    (3)加强教师对当前教育教学理论的学习，认真学习专著和最新的教育论文，并收集相关资料，个体学习和集中学习相结合，并及时整理反思，形成自己的观点。
    2.加强实践探索
    (1)为了做到理论与实践相结合，笔者所在学校组织了丰富多彩的特色教研活动：
    ①研讨学习新课程：《对称与群》（邢伟）、《信息安全与密码》（周杰）；
    ②现代技术培训“几何画板与图形计算器的使用”（陶维林）；
    ③讲座：附中数学组优良传统（陶维林、仇炳生、沈建国）；
    ④组内赛课活动，每年一度的青年教师赛课活动；
    ⑤接待外地学校的来访（美国、新加坡，台湾、浙江等国外和国内的学校）；
    ⑥研讨IB课程对高中数学课程的影响；
    ⑦研究性教与学专题研究；
    ⑧研课活动常态化；
    ⑨录像分析教案反思；
    ⑩对教师进行与新课程有关的调查研究；
    (11)每年一度的教育教学论文评比。
    (2)为了更好地促进学生的全面主动发展，笔者所在学校开展了各式各样的学生活动，进一步拓宽学生的学习渠道，促进学生的思维发展，主要有以下学生活动：
    ①数学基本功大赛；
    ②数学史知识竞赛；
    ③数学文化周活动；
    ④每月一题专栏；
    ⑤学生的研究性学习和社团活动；
    ⑥境外数学竞赛（EUCLID竞赛、FEMAT竞赛、无境数学竞赛）；
    ⑦全国高中数学联赛；
    ⑧参观大学，体会专业文化机构的氛围；
    ⑨数学讲座；
    ⑩学生数学论题的研究与论文撰写；
    (11)开展丰富多彩的校本课程：中学数学思维方法选讲、几何画板、图形计算器、数学史等选修课。
    3.加强调查研究
    为了了解学生的真实学习情况，了解教师的课堂教学情况，更好地设计教学过程，提高教学效率，促进学生的发展，学校进行了形式多样的调查统计。
    (1)教师的听课评价调查；
    (2)学生的课前知识准备的调查；
    (3)高中数学课堂情况调查；
    (4)学生对数学史学习活动情况的调查；
    (5)对图形计算器改善课堂教学的调查；
    (6)高中学生对导数的学习现状调查。
    四、研究结论
    1.以学生的思维水平为起点，有效地开发和选择问题
    (1)目标明确，内容充实
    案例1　等比数列的求和。
    问题：从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下，帮穷人出个主意。
    问题设计的目的是为了让学生得出一个等差或等比数列求和的形式。而学生要抽象出这些模型需要花费大量的时间，注意力往往集中在实际问题的数学化，与本节课的主要内容没有本质的联系，偏离了本节课数列求和的教学重点，干扰了学生的思维。笔者认为完全可以按照以下问题的形式展开教学：前面我们研究了等差数列的求和问题，那我们今天来研究等比数列怎么求和。这样直截了当，学生的注意力就集中到本节课的重点上来。
    (2)难易适度，启发得当
    案例2　椭圆的简单几何性质。
    问题：①初中我们学习过二次函数，知道它的图象是抛物线，我们讨论过抛物线的哪些性质？
    ②现在我们手里都有一个椭圆模型，你能发现这个椭圆有什么性质吗？
    ③谁能告诉我们椭圆是什么对称图形？
    ④几何图形的对称性有哪几种类型？
    ⑤我们怎么证明椭圆的对称性？
    ⑥我们能不能从椭圆的方程入手来研究椭圆的几何性质呢？
    ⑦抛物线可以向某个方向无限延伸，那么椭圆是否有这个特点呢？那么椭圆的范围受到了怎样的限制呢？
    ……
    从问题③到问题⑦来看，问题过细，针对性太强。应留给学生足够的时间来思考，从几何方法不好入手，只能从代数方法来讨论。必须要知道方程，从而通过方程解决问题。
    (3)力求开放，层次分明
    案例3　“直线的方程”单元复习。
    问题：已知直线l经过点P(1,2)，请同学们自己再加另一个条件，求直线l的方程。
    以下选择了部分学生的回答：
    ①k=2；
    ②与直线y=-x垂直；
    ③与y=7x+2平行；
    ④原点到该直线的距离为1；
    ⑤与相切；
    ⑥在x轴与y轴上的截距相等；
    
    ⑧与两坐标轴围成的面积是3。
    降低思维的起点，是创设思维活动的基础。由于各类学生的差异性和个性特征不同，为了让不同的学生都有思考的空间，所以教学的设计要能促使每一位学生都有思维活动的基础，以拓宽问题的出口，展示思维的过程和风格。
    (4)灵活变更，有效迁移
    案例4　面面垂直的判定。
    问题：如图1，已知PA⊥平面ABC，问在这个图形中，有哪些面互相垂直。
    这个问题有较大的可变更性，可以根据学生的情况，做出相应的简化或深入，例如可以做如下的调整：
    
    图1
    ①写出一对互相垂直的平面；
    ②写出所有互相垂直的平面；
    ③如果添加条件CA⊥AB，那么有多少种面面垂直关系？
    ④如果添加条件BC⊥AB，那么有多少种面面垂直关系？
    ⑤在这个图形中，至多有多少种面面垂直关系？其他的为什么不垂直？
    综上所述，问题的开发和选择来自教师和学生两个方面，尤其是学生生成的问题，更能调动学生学习的积极性和创造性，促进思维的深入和发展。
    2.以学生的思维过程为线索，合理地组织和呈现问题
    从当前研究的课堂行为分析和整理，笔者认为以问题为中心引领教学的课堂模式有下列几种基本模式：
    (1)分步串联，层层递进
    问题以串联的形式出现，联系紧密，依次展开，层层递进，通过问题串的逐步解决，完成教学任务（图2）。
    
    图2
    案例5　函数单调性。
    本节课设置了如下几个问题：
    问题1：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律。在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。观察图3中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？
    
    图3
    问题2：根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应。那么，当一个函数在某一区间上是单调递增（或递减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？
    
    问题4：归纳函数单调性的定义。
    (2)分类并联，类比联想
    问题以并联的形式出现，相对独立，根据学生的生成情况因势利导，并列展开，逐个解决，完成教学任务（图4）。
    
    图4
    案例6　同角三角函数的关系。
    
    问题2：下面请大家来探索同一个角的六个三角函数之间有哪些关系式。
    问题3：这么多关系式，我们怎么来认识它们呢？能不能给它们归归类？你有什么发现？
    学生归类，可以分成倒数关系、平方关系、商数关系（可能还有其他关系）。
    (3)分解探究，演绎证明
    问题以交叉的形式出现，当要解决一个问题时，不容易得出结论，需要从不同侧面、不同角度解决几个问题，然后在解决几个问题的基础上经过推理论证完成任务（图5）。
    
    图5
    案例7　三角函数的诱导公式。
    问题1：求390°的正弦、余弦值。
    问题2：你能找出和30°角的正弦值相等，但终边不同的角吗？
    问题3：两个角的终边关于x轴对称，你能得出什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？
    问题2是问题1的发展，事实上可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”。但这里是以问题的形式提出的，这样设计一方面很自然，因为我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等，问题的设置处在学生的最近发展区；另一方面，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法。
    (4)整合分析，归纳概括
    当一个问题比较抽象或涉及范围较大时，不能直接得出结论。需要从不同的既相对又独立的几个问题分别研究，从中分析差异，找出共性，归纳类比，从而抽象概括出本质特征（图6）。
    
    图6
    案例8指数函数。
    情境1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，一个这样的细胞分裂n次后，能分裂成多少个细胞？
    情境2：某种商品的价格从今年起每年降低10%，设原来的价格为1，那么，x年后的价格y是多少？
    问题1：从以上情境中你能抽象出哪些函数关系式，请写出这些函数解析式，并利用图形计算器作出它们的图象。
    问题2：你能再举出类似的函数吗？并利用图形计算器作出它们的图象。
    问题3：观察上述函数的解析式及它们的图象，你能归纳出这些函数的性质吗？
    从上述几个问题中，发现其形式及本质上的区别及统一，从而得出指数函数的概念及性质。
    3.以学生的思维发展为核心，科学地分析和解决问题
    (1)创设问题情境，激发创造性思维
    案例9　三角函数起始课。
    问题：假如摩天轮所做的是匀速圆周运动。如图7，不妨设该摩天轮的半径为1个单位长度，点O距地面的高度为个单位长度，点P为轮上的一点，起始位置在最低点处，摩天轮每2分钟转一圈。请考察在这个运动中，有哪些相应的函数关系？请写出其中的一些函数关系。
    
    图7
    设计此问题的目的，首先，加深学生对原先学习的函数概念的认识，从函数的观点来看待问题，拓展思维，形成相应的函数模型；其次，面对新的情境和问题，让学生充分调动自己的已有知识，经历直观感受、观察发现、空间想象、归纳类比、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，使其得到充分的体现和应用；再次，使学生的认识过程经历由模糊到清晰，从片断到整体，从不和谐到和谐，从不平衡到平衡，从零碎到系统，从无到有，形成理性思考的习惯。思维能力得以较充分的发展，从中提出一系列的新问题，开阔学生的思路，营造独立的探究活动空间，串联本章节的主要知识点，使知识来源自然，符合学生的认知规律。
    (2)提供多样选择，培养发散思维
    案例10解三角形。
    问题：在一般三角形ABC中，a、b、c,∠A、∠B、∠C之间有何数量关系？
    在问题提出后，留给学生足够的思考时间。学生经过思考讨论给出下列四种解决途径：
    途径1：通过大量一般三角形边角值的测量，分析所得数据，归纳出边角的一般关系（此种研究方法体现了由特殊到一般的归纳式数学研究思想）。
    途径2：将一般三角形转化为直角三角形进行研究（此种研究方法体现了数学中将未知化为已知、复杂化为简单的化归思想）。
    途径3：部分学生联想到任意角的三角函数的定义方式，建立直角坐标系研究其边角关系（体现了将几何问题转化为代数问题进行研究的解析思想）。
    途径4：建立三角形向量关系式，对其进行数量化变形（体现了将几何问题代数化的思想）。
    学生获得四种研究途径后，可分组各自独立进行研究然后讨论交流，学有余力的学生会选择两到三种途径甚至采用其他的思路进行自主研究，也有学生翻看书本、参考资料或向教师寻求帮助，还有学生在研究的过程中和同桌或教师交流阶段性成果。教师在整个研究过程中是以组织者、合作者、帮助者、质疑者的身份出现。而学生的思维得到了充分的展示。
    (3)呈现问题结构，加强逻辑思维
    案例11　y=Asin（ωx+ψ）的图象。
    问题1：分别画出在一个周期上的图象，并说出与y=sinx的图象的关系。
    问题2：选取问题1中三个函数中的任意两个，组合成新的函数，作出它的图象，并说出怎么得到图象的。
    问题3：你能画出的图象吗？请说出你的作图过程。
    从表面上看，数学活动的上述三个问题很普通，似乎并没有使学生对数学活动增进多少理解。但是，将数学活动分成这样几个问题逐步展开具有明显的层次性。将抽象的数学活动具体化，突出了数学活动的过程性，使得数学教学中的数学活动具有明显的可操作性。因为活动的可操作性带来了思维的层次性和逐渐深入性，学生的逻辑思维能力从中得到加强与提升。在学习过程中不断地改造、重组、转换，阶梯式的呈现思维活动过程。学生根据经验来建构自己的数学理解力，这些经验的扩展能够创造思想的智力框架，从而使每位学生获得真正属于自己的数学知识。