陈瑜 消费资本论:正文显示页面verd

    图形的运动是近几年新课程实施后，在考试改革中的热点问题，特别是抛物线的平移问题已成为考查学生是否具有数形结合思想、方程思想、函数思想以及在图形的平移中培养学生综合分析和解决问题能力的有效途径之一。其常见的题型有判断题、填空题和解答题。它往往与轴对称、一元二次方程、二次函数等知识建立联系。本文试图通过对2009年全国部分省市有关此类中考题的分析，以期帮助教师洞察其中的变化规律，明晰其中所运用的数学知识和数学思想，以及在教学时需注意的问题。
    【例1】　（2009，宁波）如图1，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C(5,4)。
    (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
    (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式。
    
    图1
    【命题分析】本题考查了抛物线的顶点及平移的有关知识。第(1)问比较简单，方法有两种：抛物线通过配方，将一般式化为的形式，可确定其顶点坐标为(h,k)；也可由直接求其顶点坐标：。第(2)问需考生正确掌握和运用抛物线的平移口诀“加上减下，加左减右”。“加上减下”是针对k而言的，“加左减右”是针对h而言的。
    【例2】（2009，北京）已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数。
    (1)求k的值；
    (2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
    (3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围。
    【命题分析】本题第(1)问可以通过一元二次方程有实数根且为正整数进行讨论得到。第(2)问可以通过一元二次方程有两个非零的整数根且k为正整数进行讨论，得到k的值，然后再写出平移后的图象的解析式。解决(3)的关键在于找到经过平移、翻折后的二次函数与直线有两个公共点时的图象，再通过画函数图象找两个公共点，进而求出b的取值范围。
    
    图2
    解析：(1)由题意得，△＝16-8(k-1)≥0，所以k≤3。
    又因为k为正整数，所以k=1,2,3。
    
    
    图3
    
    【命题分析】本题(1)、(2)两问主要考查考生对三角函数、反比例函数、二次函数以及一元二次方程的相关知识的掌握情况。第(3)问比较抽象，重点考查考生数形结合思想、方程思想以及函数思想，是本题作为压轴题的一个难点。关键是要求考生能充分结合函数的图象，利用抛物线平移前后的二次项系数不变的性质，正确假设出经过A、B、P三点的抛物线的解析式，进而通过观察图象，求出点P到直线AB的距离（由于点P在x轴上，经过A、B两点的直线又与x轴平行，故点P到直线AB的距离即为点A或点B的纵坐标的绝对值）。
    
    
    (1)求抛物线的函数表达式；
    (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q。若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
    【命题分析】本题重点考查了二次函数图象、一次函数、三角函数以及一元二次方程、平移等重要知识点，是一道综合性极强的题目，也是一道难度较大的题目。第(1)问比较简单，第(2)问需考生对另一条直角边分两种情况进行讨论，而第(3)问则需考生能根据抛物线沿其对称轴向上、向下平移后，分别假设出函数的表达式，再运用数形结合思想、方程思想，正确求出抛物线上、下平移的最大单位长度。
    本题易错点是考生由b≤6，b≤12，根据求不等式组解集的口诀“同小取小”，错误得出b≤6，由此得出抛物线向下平移，最多可平移6个单位长度的错误结论。而事实上，由b≤6，b≤12，可以得到抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度。
    解析：(1)如图4，因为直线MC的函数表达式为y=kx-3，所以点C(0,-3)。
    
    图4
    
    
    
    因为当x=-3时，y=-b；
    当x=3时，y=12-b。
    易求得Q(-3,-6)，又N(3,0)，所以要使抛物线与线段NQ总有交点，必须-b≥-6或12-b≥0，即b≤6，b≤12，所以0＜b≤12。
    所以若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度。
    综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度。
    通过以上对四例题的解析，不难看出：对于有关抛物线平移的问题，其解题的关键是要充分运用数形结合思想、方程思想以及函数思想，正确掌握和使用抛物线的平移法则和平移口诀，综合运用数学知识解决问题。因此，教师在乎时的教学和复习中，要经常结合有关抛物线平移的试题，帮助学生正确理解和掌握平移的方向、平移的距离与其平移前后两解析式之间的内在联系和变化规律，并能结合抛物线的图象，引导学生准确、合理的使用“加上减下，加左减右”平移口诀，教给学生解决问题的方法。唯有如此，学生在遇到此类问题时才会“有法可依”，有思路、有方法，才能在考试中立于不败之地。^NU1DA20100701