陈皮阿四是喜欢丫头吗:正文显示页面45

好的数学课堂教学构成探究——九个初中数学教师的观点杨新荣

【专题名称】初中数学教与学
【专 题 号】G352
【复印期号】2010年10期
【原文出处】《数学教育学报》(津)2010年6期第24～31页
【作者简介】杨新荣(1979-　)，男，湖南益阳人，香港大学教育学院博士生，主要从事数学教育、教师教育、比较教育等研究。
【关 键 词】EEUU

    一、问题提出
    虽然如汤普森指出的，“对于好的数学教学的构成，很难有一个一致的认识”[1]，但是毫无疑问，对于某个社会环境中所认定的好的数学教学，特别是数学教师自身对于好的数学教学构成的认识，不仅是一个影响教师教学实践而且也是影响学生数学成绩的重要因素。近年来，越来越多的研究者开始探讨不同社会环境下好的数学教学的特点，特别是探讨那些学生在大型国际比较研究中取得较好成绩的国家或地区的好的数学教学的特点，如韩国、新加坡、中国香港以及中国内地等[2～5]。这些研究通过分析这些国家和地区一个或者几个优秀教师的课堂教学归纳出了一系列的好的数学教学的特点。不过这些特点的获得大多是基于研究者本人的认识和感受，而忽视对教师自身对好的数学教学构成认识的探讨。然而如Ernest[6]指出的，在众多影响数学教学实践的关键因素中，教师本身所持有的观念系统是极为重要的一个。由此，要深入认识某个特定环境下好的数学教学的构成，就不能忽视数学教师自身对好的数学教学构成的认识。
    然而，迄今为止，虽然Wilson等人[7]探讨了美国数学教师对好的数学教学构成的认识，鲜有研究探讨其他国家或地区数学教师对好的数学教学构成的认识。众所周知，东西方在社会文化环境和教学环境上存在一定的区别。而且事实上，教师所处的社会和文化环境将影响其教学观念系统[6]，同时这种观念系统将进一步影响其对理想教学方式的选择[1]。这也就说明，不同社会文化背景下的教师对好的数学教学构成的认识可能将存在一定的差异。由此，探讨不同文化背景下数学教师对好的数学教学的理解，不仅可以更深入、全面地理解某个特定文化环境中的好的数学教学实践，而且可以更为深入地理解文化环境对好的数学教学构成的影响。基于此，本研究主要采用半结构式访谈探讨在中国内地文化环境中中学数学教师对好的数学教学构成的认识。
    二、研究综述
    1.国际环境下好的数学教学研究
    如前所述，近来越来越多的研究者开始探讨好的数学教学的特点。Pang[2]通过分析3个韩国优秀数学教师的教学实践发现韩国的好的数学教学在一定程度上比较偏向于“内容导向”。韩国的好的数学教学特点有：(1)强调数学内容；(2)考虑到学生的知识和能力程度；(3)强调多种解题方法和知识的连接性；(4)教师对教材的重新建构。Kaur[3]分析了3个新加坡优秀教师的数学教学实践，发现其课堂教学可概括为——“教师为中心但学生为焦点”，其主要特点包括：(1)每个教学环节都有明确的目标；(2)精选由易到难的例题；(3)学生练习时能积极监控学生的理解而且能选择合适的学生个案用作全班复习和讨论；(4)通过详细复习学生作业(包括家庭作业)来巩固学生对知识的理解。从这两个研究的结果来看，如两位研究者表明的，教师所在的教学环境对教师的好的数学教学实践存在一定的影响。如受考试文化的影响，韩国与新加坡的好的数学教学中都强调知识的理解与掌握、解题技能等。由此，如Pang[2]指出的，“好的数学教学实践是扎根于某根深蒂固的文化价值和规范的”。这也就说明社会文化环境将影响好的数学教学实践。由此要深入了解好的数学教学的构成，就不应脱离其所在的社会文化环境。为了深入探讨数学教师自身对好的数学教学构成的认识，Wilson等人[7]访谈了9位美国数学教师。他们发现美国数学教师认为好的数学教学主要由如下几个方面构成：(1)教师要具备广阔的数学学科知识和学生知识。(2)促进数学理解。好的数学教学要能促进学生理解数学，能在课堂内外运用数学。具体包括如下几个方面：①注重数学知识的连接，包括不同知识点间的连接和数学与生活间的连接；②数学知识的形象化。能运用电脑、计算器、绘画以及其他具体实物帮助学生将数学知识形象化；③迅捷且及时地评价学生理解；④避免教师直接告知。(3)激励且引导学生参与。(4)有效的课堂调控。
    从上述美国数学教师对好的数学教学构成认识来看，虽然如Wilson等人反思的，美国教师也认为教师应该对课堂教学的顺利实施负责，但是对于学生在课堂教学中的主体地位还是有一定的强调。同时，与前面所概括的韩国和新加坡好的数学教学的特点相比，如多种解题方式、知识的巩固等体现得都不是非常的明显。这就进一步说明，在不同的文化环境下，教师对好的数学教学的构成认识与实践将存在一定的差异。
    2.国内好的(数学)教学认识研究
    对于教师的好的教学的认识，也有相关研究探讨大陆教师的认识。如Gao和Watkins[8]发现大陆物理教师所持有的物理教学概念中，其中学生的考试成绩，特别是学生在公开考试中所取得的成绩是衡量教学好坏甚至学校教育成功与否的一个主要部分。也就是说好的教学要能提升学生的考试成绩。Chen[9]探讨了北方不同学科教师所持有的“优秀教学”的概念，发现参与教师倾向于认为“优秀教学”应当做到：(1)关注学生(包括创设温和、激励的课堂气氛，积极的师生关系，激励表扬学生等)；(2)促进学生的全面发展；(3)注重知识内部和知识与生活世界间的联系；(4)结构有序的教学计划等。与Gao和Watkins的研究不同的是，在Chen的研究中，学生的考试成绩并不是一个重要的组成部分。
    对于数学教育领域，虽然鲜有研究探讨教师对好的数学教学构成的认识，但是也有研究，特别是一些国际比较研究，探讨了大陆数学教师的数学观、数学教学观和数学学习观。这些研究发现，与西方教师相比，中国数学教师无论在数学观还是在数学学习观或者数学教学观都存在一定的不同[10～11]。如前所述，教师的教学观念系统将进一步影响其教学方式的选择。如在一项教师对“有效数学教学”认识的国际比较研究中就发现，与西方数学教师所持有的“学生为中心的”观点不同的是，中国内地的数学教师就此较倾向于持有一种“教师为中心”的观点[12]。具体的，中国内地的数学教师认为“有效的数学教学”应当具备如下特点：连贯性、涵盖预定的内容、好的问答过程、轻松的课堂氛围、学生参与度高、灵活的课堂教学过程、具体教学实例的使用和对数学内涵的概括等”[13]。最近，Huang和Li[5]也深入分析了中国内地的一堂数学示范课，发现了这堂被认定为好的数学课的一些特点：教学的连贯性、发展良好的知识、运用变式问题练习知识、揭示数学思维和数学文化价值、激励学生的参与和自我探究等。
    如前综述中，相关研究通过分析一个或者几个优秀数学教师的教学实践活动概括出了不同环境下好的数学教学的特点。但是这些特点的获得大都基于研究者的认识和概括，较少关注这些环境中数学教师自身对好的数学教学构成的认识。同时，虽然也有研究探讨中国内地教师对“优秀教学”或者“好的教学”的认识，但是其研究对象并非数学教师或者不是全部为数学教师，同时其结果还存在一定的差异。此外，虽然有研究探讨内地数学教师对“有效教学”的认识，但是其研究对象主要为非常有经验的小学数学教师，同时一部分还是教研员。由此，对于中国内地中学数学教师怎样理解好的数学教学的构成还不得而知。特别的，从前述研究可以看出，与其他国家教师相比，中国内地教师无论在教学观念和实践都存在一定的不同，由此便可以预测中国内地中学数学教师对好的数学教学构成的认识上可能也将存在一定的差异。基于此，本研究运用定性研究方法探讨在新一轮数学课程改革进行多年背景下的中国内地初中数学教师对好的数学教学构成的认识，以其更为深入地理解内地文化环境下，中国数学教师对好的数学教学构成的认识。
    三、研究方法
    1.研究对象
    本研究主要采用目的抽样选取研究参与者。在综合考虑了学校性质(如重点与普通)，教师资历(不同职称)、教师教龄等因素后，本研究选取了重庆市9名初中数学教师(来自5所中学，为保护个人隐私，在往后行文过程中将分别记为T1，T2，…，T9）作为研究对象。其具体信息如下：
    表1　参与教师具体信息

教师代号　性别　　职称　　教龄　　学校性质            T1　　　　　女　　中一　　7　　 重点中学            T2　　　　　女　　中一　　9　　 普通中学            T3　　　　　男　　中二　　4　　 重点中学            T4　　　　　女　　高级　　17　　普通中学            T5　　　　　女　　中一　　14　　普通中学            T6　　　　　男　　中二　　3　　 普通中学            T7　　　　　男　　高级　　23　　重点中学            T8　　　　　女　　中一　　10　　普通中学            T9　　　　　男　　高级　　27　　重点中学

    2.数据收集
    本研究主要采用半结构式访谈来收集相关数据。第一次访谈问题的编制和执行主要参考Wilson等[7]的研究并结合中国教学实际予以适当的修改。第一次访谈问题主要包括：(1)被访谈者自己上过的最好的一堂数学课?为什么这样认为?(2)被访谈者所听过的最好的数学课?为什么这样认为?(3)若被访者上这堂课，会做哪些变动?为什么?(4)被访谈者理想当中最好的数学课?为什么这样认为?每个访谈历时28分钟到40分钟不等。所有访谈均录音并随后实录成文本。第二次访谈主要针对前次访谈中被访者没有详细阐述的方面进行。在第二次访谈前，被访教师首先阅读了前次访谈实录并做相应补充。相应的，所有访谈均被录音并随后实录成文本以备分析。
    3.数据分析
    数据分析的目的在于鉴别被访者所认为的好的数学课的构成要素。本研究采用“不断比较方式”[14](constant comparative style)对数据进行分析，这也就使得一些“种类”(categories)能从数据自身显现出来。通过对每个教师的访谈文本进行编码、对各个编码进行文本内部和跨文本间的比较和归类以及对各个“种类”(categories)内部和“种类”(categories)间的关系进行更深入地分析整理，以浓缩和提炼出受访教师对好的数学课构成上的一些主要的“主题”(themes)。
    四、研究结果
    通过分析9个初中数学教师对其自身上过的好的数学课，其听过的好的数学课以及其理想当中的好的数学课认识概括出了7个主要相似的方面。表2列出了这7个方面以及每个教师认识的分布情况。
    表2　教师对好的数学教学构成认识分布

　　 T1　T2　T3　T4　 T5　 T6　 T7　 T8　T9            A　　+　　+　 +　　+　 +　　+　 +　 +　　 +            B　　+　　+　 +　 +　　　　　　 +　 +            C　　+　　+　 +　 +　　+　　+　 +　 +　　 +            D　　　　 +　 +　　　　+　　+　 +　　　　 +            E　　　　 +　 +　 +　　+　　+　 +　 +　　 +            F　　+　　+　　　 +　　+　　+　 +　 +　　 +            G　　+　　+　 +　 +　　+　　+　 +　 +　　 +

    注：A——教学内容与生活实际相连；
    B——营造和谐气氛、激发学生数学学习兴趣；
    C——学生为主，保障学生探究的时间和空间；
    D——尊重学生差异，注意教学内容的层次性；
    E——深层次挖掘数学知识，凸显数学本质；
    F——注重知识间的联系，综合性地呈现数学知识、
    思想；
    G——发展学生数学思考能力
    (1)课堂教学内容与生活实际相连。
    9位老师均强调一堂好的数学课其教学内容应该与学生的生活实际相连接，力求让学生身临其境地解决一个具体的生活问题，也就使数学贴近学生的生活。如T1强调：让学生从生活中去发现数学知识。因为很多学生认为数学是比较空的。首先从引入方面去讲其实数学是来源于生活的……学了数学是作用于生活的。(T1)
    至于将教学内容与生活实际相连的方式，其提到最多的是在课堂引入部分将新课题与生活实际相整合。他们在回顾自己或者他人上过的一堂好的数学课时，无一例外地都提到引入新课时将新课题与生活实例相整合。此外，一堂好的数学课，如果可能，其例题或者习题也应尽量与生活实际相连。如有老师提到用诸如“铺地板”“企业盈利”等生活中的实际事例来改编例题或者习题。做到在教学过程中让学生“感觉数学很多时候不是那么抽象。有的时候就是根据生活当中一些例子类比过来的一些概念和知识，这样学生接受起来容易些”。(T2)
    (2)营造和谐的课堂气氛，激发学生数学学习的兴趣。
    在本研究中发现，教师能否营造和谐的课堂教学气氛，能否激发学生的学习兴趣，也是衡量一堂课好坏的一个重要方面。有6个教师都提及到一堂好的数学课应该具备和谐、轻松的课堂气氛，在课堂教学过程中，教师要善于且能够激发学生数学学习的兴趣。如T3强调：一堂好课，首先是课堂气氛要好。让学生感觉到上课是一种享受，而不是非常难受地坐在那个地方。然后激发学生的数学学习兴趣。让他们觉得学数学是件很愉快的事。(T3)
    (3)充分发挥学生的主体性，保证学生自主探索的空间和时间。
    在本研究中，每个教师都提到，对于一堂好的数学课而言，在其教学过程中，应该发挥学生的主体性，学生能积极参与到课堂活动中来，学生通过自己的探索来找到解决问题的方法、发现规律。有6个教师在回顾其自己或者他人上得好的数学课时都提到“小组活动”“让学生操作很多东西”“学生通过复习，自己迁移到这个上面，自己进行比较”等。对于教师和学生在课堂中的身份，T4强调“教师只是组织者、协调者”。
    此外，于一堂好课而言，教师应该给予学生比较充分的时间，即学生应该具有自主探索的时间和空间。在教学过程中，学生要能有机会去探索、发现，能体验知识的形成或者发展过程。如T5指出：在教学过程中，应该尽量让学生能够体会到这个知识的产生过程，让他去理解数学的来源，真正地理解这种来源。(T5)
    与此同时，教师还要能给学生制造具备一定挑战性的空间，从而不断激发学生的好奇心和求知欲，使之积极地去从事学习、探索。如T4强调：我觉得教师应该充分地把握住学生的元认知水平。在元认知水平上能够拓展到带有挑战性的程度，就是让学生有一个发展(的空间)，这与他轻松地掌握没有一个发展是不一样的。(T4)
    这也就是说，对于一堂好的数学课，教师不应将所有的知识点、方法都讲得非常透彻，代替学生思考，剥夺学生自主探索、思考的时间和空间。于一堂好的课而言，留适当的时间给学生思考和探索是非常必要的。
    (4)关注学生的个体差异和可接受程度，有层次、梯度地呈现教学内容。
    有6个教师提到，在一堂好的数学课中，教师应该尊重学生的个体差异，关注学生的认知发展水平和可接受程度，并且在备课和教学过程中能做到有层次、梯度地处理和呈现教学内容。如T5提到：对于一般的班级来说，学生水平是参差不齐的，那么好的学生要照顾，一节课一两道问题可以深一点，就是说这些学生能够得到好的发展。但是对于另外一些学生，需要设计稍微浅一点的问题，因为深了，他不太感兴趣了，对这堂课不感兴趣，对你这个老师不感兴趣，那么必定是失败的一堂课。(T5)
    也就是说，对于一堂好的数学课，教师要能针对不同层次的学生设计不同的问题，保障知识结构上的合理化，从而做到在知识的呈现上有一定的层次和梯度，由浅入深地展开教学。如T6提到的：通过一些环节的设置，能够让学生通过他的了解然后让他逐步地深入到问题的核心部分，然后带动学生一起进行思考。(T6)
    同时在教学过程中，教师也要善于利用学生数学能力上的差异，选择合适的教学方法和策略，做到让学生之间相互启发。如T7老师提到：学生有好、中、差，好学生的思维就可以启发一些中等或者差一点的学生，教师要能利用这点。(T7)
    (5)深层次地挖掘数学知识，凸显数学本质。
    如前所述，虽然绝大部分受访教师认为一堂好的数学课学生应有机会参与不同的活动等，但是根据这9位老师后继的阐述，一堂好的数学课，在教学过程中绝不能由于关注某些活动而使得数学课堂丧失了应有的数学味，相反的，好的数学课要突出数学自身所具有的特色，强调数学本质。也就是说某些活动的运用其主要目的在于促进学生对数学知识的体验和理解，或者说活动本身应与相关知识的学习能有机地整合。根据这9位老师的阐述，作为一堂好的数学课，首先在知识处理上教师要注重挖掘知识的内涵与外延。如T4指出：课堂知识内涵和外延都有自己独特的见解，都挖掘出来。不仅让听课的老师觉得很新奇、很轻松，也要让学生觉得很新奇。(T4)
    其次在课堂上，教师要注重引导学生比较深层次地探讨数学知识，如T7在讲述自己认为一堂什么样的课才能称为好的数学课时强调：我感觉一堂好的数学课，应该从数学这个角度来说，不是表面上看上去非常的热闹，而是从深层次上看这个知识应该是比较活跃的，要强调数学实质性方面的知识……我觉得一堂好的数学课应该引导学生从问题的实质，从问题的核心入手去展开，把握一些深层次的东西。(T7)
    (6)注重数学知识和数学思想的前后衔接，综合性地呈现教学内容。
    对于教学内容的处理，所有被访教师都提到不能就教材教教材。教师自身要对教学内容有自己独到的见解，对教材有自己的认识，要能结合学生实际灵活地处理教学内容。特别在对教学内容的处理上不能仅仅局限于本堂课的知识点和数学思想，而要考虑到学生已有的知识储备和后继学习的需要，注重将相关知识和数学思想方法前后衔接，能综合性地处理教学内容。如T5在描述一堂好的数学课如何处理其教学内容时强调：对于教材内容，不能仅仅考虑到这节课的内容，有可能还要涉及本章、本册书，甚至是整个中学阶段的内容。这样一来，你就要了解它的一个形成过程，这一块学了之后，什么时候再学，那么我这个深度要讲到什么地方为止，这就是一个连环性的问题。(T5)
    (7)促进学生数学地思考。
    本研究发现，于一堂好的数学课而言，教师应该能促进学生数学地思考，关注学生数学思维的发展。教会学生数学地思考、理性地看待问题是所有老师衡量一堂课好坏的一个关键。如前面提到的给学生一定的挑战空间和机会也是培养学生数学思维的一方面。其次在知识的处理上更要注重数学思想方法的渗透。如T8强调：你讲这些知识点，学生能产生哪些方法，能渗透哪些数学方法进去，渗透哪些数学思维进去。如果你一堂课连一个数学思维方法也不渗透，甚至就题讲题，这个不是好的课。(T8)
    再次，在教学过程中，更要注重学生思维上的参与，如T9强调的：对于一堂好的数学课，你要能够让学生有一个思维的参与度，不是说表面上大家一起说了，把过程答案直接讲出来，而是说思维方面，你要让学生的思维参与进去。你在学生思维参与方面有没有一些措施，就是启发学生，让学生有这种思考的方向、深度、广度，我觉得这是一个比较重要的方面。(T9)
    如T9强调的，对于一堂好的数学课，教师不仅要有让学生思维参与的意识，同时还要有不同的教学策略启发学生思维的碰撞，引导学生数学的思考，探索解决问题的方法。同时，还有老师强调，对于一堂好的数学课而言，教师要能做到举一反三，做到一题多解，促进学生思维的拓展和发散。在思考问题的时候，教师要能照顾学生的认知发展水平，站在学生的立场思考问题。如T1提出的：最好教他(学生)一些思维，能够在以后做数学题(中用到)，因为数学题不是一成不变的，它有很多改变，能够举一反三，这个思维一定要慢慢地教，只能慢慢养成。(T1)
    五、讨论
    本文的主要目的在于探讨在大陆教育文化背景下，中学数学教师对好的数学教学构成的认识。从上述研究结果来看，在当前，这9名初中数学教师在衡量一堂好的数学课时，主要考虑的因素有：
    1.注重数学课堂教学气氛和学生数学学习兴趣
    从本研究结果来看，如果一堂数学课称得上好的数学课，其课堂教学气氛一定要和谐、愉快、轻松，学生要能快乐地学数学，教师亦要能激发学生数学学习的热情，让学生真正喜欢上数学。这也就说明，中国教师认为好的数学教学要能关注学生的数学学习情感体验，关注学生数学学习的信心等。对于和谐、轻松的课堂教学气氛上的强调，在另外两个有关中国教师关于“优秀教学”[9]和“有效数学教学”[13]的认识上也有类似发现。
    2.注重学生的主体性和探究性的学习方式
    从上述研究结果来看，尊重学生的个体差异，强调学生的主体性，给学生自主探索的时间和空间也是教师衡量一堂数学课好坏的一个主要方面。这也就表明，在这部分教师的认识中，并没有反映以往一直批判的那种传统课堂教学过程中教师对课堂教学的绝对主导的认识。相反的，如同前面与美国教师观点比较一样，好的数学教学要避免教师的直接“告知”，教师要能意识并且强调数学教学过程中学生的主体性，强调学生的参与和自主探究，教师不能对课堂教学过程做绝对控制。这也就说明，在新课程背景下，注重改变学生的课堂数学学习方式的多样性，改进学生的学习方法也是教师衡量一堂数学课好坏的重要指标之一。
    3.注重知识间的联系和数学本质
    从上述研究结果来看，对教学内容结合学生实际做灵活处理，突出数学知识与学生生活以及数学内部的联系，有梯度地呈现教学内容，强调数学内部以及数学与生活实际的联系，将不同的数学知识、数学思想和方法进行综合，深层次地挖掘数学知识以及突出数学本质是9位被访教师衡量一堂数学课好坏的一个相当重要的因素。对于教学内容做合适的处理在其他东亚地区的好的数学教学实践中也有发现，如前提到的，韩国的好的数学教学实践中就有对教材的重新建构[2]，新加坡的课堂中也发现教师要设计由易到难的习题等等[3]。不过根据Wilson等人[7]的研究，虽然美国数学教师也强调促进学生对数学的理解，但是对于数学本质尤其是深层次地挖掘数学知识并非美国数学教师提及的重点。
    中国内地数学教师对数学知识的灵活处理和重视、突出数学本质等认识是受中国传统的数学教学影响的。在中国内地，重视基础知识和基本技能的传授一直是数学教学的传统。教学过程中对基础知识讲解得比较细致，数学教学旨在于系统的、全面的数学知识结构和对数学知识的深刻认识[15]。在具体教学过程中，如涂荣豹等[16]指出，中国的数学教学在知识目标上比较突出，长于由“旧知”引出“新知”而且在教学过程中注重新知识的内部的深入理解。同样，如郑毓信[17]总结的，中国数学教师更为强调知识内容间的内在联系，这样一方面可以很快进入主题，同时也可以体现教学在整体上的一致性。另一方面，这也是受到当前数学课程改革理念的影响。如在数学课程标准中指出学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的，同时综合运用所学知识和技能解决相关问题，培养学生数学的应用意识等也是本次新课标突出强调的理念[18]。
    4.注重数学方法和学生数学思维的发展
    在本研究中，教师们对好的数学教学构成的认识上最为突出强调的一个方面是，要能将不同的数学思想和数学方法与教学内容进行有机的整合，对教学内容进行适当的变式，引导学生归纳、总结不同的解题方法和规律，促进学生数学地思考等。也就是说对于学生在课堂上的数学思维层次上的参与，以及学生对数学方法的掌握等是教师用来衡量一堂数学课好坏的关键。在访谈中，有老师甚至提到有几堂课他们并没有完成教学任务，或者课堂结构看上去比较混乱，但是学生能够积极参与讨论、提出有挑战性的问题或者新奇的解决问题的方法，所以他们仍然认为这些数学课是好的数学课。这也就说明，于这几个老师而言，好的数学教学关键并非组织多少活动，而在于关注学生数学思维层次的参与度以及培养学生的数学思维。对于重视解题方法的归纳、重视数学思想的渗透和注重学生思维发展，这些前面的研究发现比较一致。如Leung[11]发现北京教师比较注重题型的总结，An[10]也发现中国教师认为数学教学的目的在于培养学生的各种能力和思维。但是对于先前研究中所发现的完成既定教学任务或者完整的课堂结构等在这些老师看来并不是关键。在他们看来，好的数学教学的关键还在于培养学生数学地思考问题和解决问题的能力。不过与Wilson等人[7]，的研究相比，美国数学教师并没有突出强调这方面。
    其实培养学生的数学思维和各种数学能力也一直是我国传统数学教育思想之一。重视解题，关注方法和技巧是中国数学教学的一大特点[16]。如相关学者指出的，在中国内地，数学问题解决不仅是数学教学的目标而且也是一种重要的数学教学方式。在中国课堂中，数学教师将突出强调“一题多解”“一题多变”以及“多题一解(法)”等[19]。此外，如郑毓信[20]指出的，中国数学教师的一个基本信条是要使学生知其然，更要使学生知其所以然。也就是在数学教学过程中，不能仅仅追求熟练的运算能力，更要追求对数学的深层次的理解，突出对学生思维的培养。其实，“数学教学是思维的教学”已成为中国一线数学教师的共识[20]。此外，对于学生数学思维发展上，培养学生运用数学的思维方式去考察、分析、解决各种问题的能力也是我国历次数学教学大纲或者课程标准突出强调的重点。特别是在新近修改的课标中，“基本思想”更是成为“四基”的一个重要组成部分，在具体教学过程中，“基本思想”更是统整全部内容的主线[21]。
    六、结论
    从教师的角度探讨好的数学课的构成，不仅可以用来诠释教师所认为的什么是数学课堂中最应该进行或者完成的，什么是数学教学最应该达到的理想目标等，同时也可以更为深入地、完整地了解特定环境中好的数学教学实践。虽然本研究的发现是基于9位初中数学老师的观点，其观点不足以代表大部分初中数学教师或者小学和高中数学教师的观点，但是因为本研究采用半结构式访谈，其结果均来自被访教师自身的认识，由此在一定程度上也能反映当前初中数学教师对一堂好的数学课的认识。此外，本研究还发现了一些与先前研究不一致的地方，如先前研究中那种结构严谨的数学课堂教学结构、完成既定教学任务或者帮助学生在考试中取得好的成绩等并非本研究参与者强调的重点。特别的，与美国数学教师对好的数学教学构成认识相比，中国数学教师比较倾向于强调学生对数学的体验，强调课堂中数学特色和本质的体现，强调数学思维和解题方法的培养。而对于美国数学教师所提出的一些诸如教师知识的储备、课堂中信息技术的运用和课堂调控等，中国数学教师都没有作为一个重点。这也就进一步说明，在不同文化环境下，教师自身对好的数学教学的构成认识上存在一定的差异，由此，要全面理解好的数学教学实践，教师自身的认识就不能忽视。
    从本研究结果看来，对于好的数学教学的构成，9位参与教师一方面都能意识到数学课堂教学要突出强调学生的主动参与，强调学生对数学的体验、探究和发现，激发学生数学学习的兴趣。同时，这9位教师也认为好的数学教学要保持数学课堂中的数学特色和本质，要关注数学知识和思维方法的综合性，引导学生深层次地探索和理解数学。更为重要的是，这9位数学教师认为好的数学教学其根本在于培养学生的数学思维和数学地思考问题的能力。总的来说，中国内地数学教师所认为的好的数学教学的构成可以简略地概括为：“学生为主体”+“数学知识(本质)为中心”+“数学思想方法为根本”。

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