陈盛桐:正文显示页面20

    学生在数学学习过程中习得的知识是如何在头脑中组织的，学生问题解决的过程是如何思维和提取已有知识的？这些问题的成功回答对于数学教育将是意义重大的。学生知识组织、运用心理过程的明晰化可以使数学教育更加科学有效。数学认知结构的研究就是基于此理念的一个重要尝试，数学认知结构的研究在数学教育界一直被广泛关注，关于数学认知结构的研究主要集中于对数学认知结构的特征、功能、意义的研究和阐述，并在此基础上给予适当的教学建议。本文主要是在这些研究的基础上，从心理学以及数学学科出发着重对良好数学认知结构的概念给与了阐述和分析，并在最后提出了“回答特定问题的方式”来帮助学生建构良好的数学认知结构的教学建议。
    一、数学认知结构概念的提出
    数学认知结构概念的提出源于认知心理学派从人类认知角度提出的认知结构的概念。“认知结构”的概念有不同的表述。布鲁纳认为：认知结构是所获得的概念和思维能力的组合，皮亚杰用图式描述认知结构。奥苏贝尔则认为，认知结构就是学生头脑中的知识结构。广义地说，它是某一学习者观念的全部内容和组织；狭义地说，它是学习者在某一特殊知识领域的观念、内容和组织。心理学家认为，所谓认知结构就是贮存于个人长时记忆系统内的陈述性知识和程序性知识的实质性内容以及它们彼此之间的联系。对于数学认知结构的概念，目前大多数人认可和接受的是数学教育家曹才翰先生的提法：“数学认知结构就是学生头脑中的数学知识被学生按照他自己理解的深广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构”。
    二、良好数学认知结构概念的提出
    数学教学的本质就是学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程。但是，学生在建立数学认知结构的过程中容易出现知识点的简单堆砌，知识点之间内在的关系不能有效地把握。此方面的佐证就是一些学生在面对有些数学问题百思不得其解的情况下，在经别人讲解之后却恍然大悟，可见他们对于作对该题目的知识点储备已够，但是却不知如何从自己的认知结构中提取和利用知识。可见数学教学还应该关注如何使学生在学习知识的同时构建组织良好的，可高效吸收和提取知识的认知结构，于是提出了良好数学认知结构的概念。正如曹才翰在《数学教育心理学》中所说的：“数学的中心任务就是要塑造学生的良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识的自我生成能力”。
    三、良好数学认知结构的刻画
    1.奥苏贝尔曾经说过一句很著名的话：“每当我们致力于影响学生的认知结构，以便最大限度地提高有意义学习和保持时，我们就深入到了教育过程的核心。”可见奥苏贝尔对认知结构的重视。奥苏贝尔曾对良好认知结构的特征做了如下的描述：第一，可利用性，即面对新的学习时，学生的认知结构中具有适当的、能够起固定作用的观念可以利用；第二，可辨别性，即当已有的认知结构同化新知识时，新旧观念中的异同点可以清晰地辨别；第三，稳定性，即已有的起固定作用的观念在认知结构中是牢固稳定的。奥苏贝尔从学习新知识的角度提出的良好认知结构的特征显然对于数学新知识的学习也是同样适用的。
    2.在文献中，管鹏认为良好的数学认知结构应具备3个条件：①良好的数学认知结构应该是“双向产生式”的认知结构。②良好的数学认知结构应该具有层次化、条理化的特点。③良好的数学认知结构应该与有效的思维策略相联系。在文献中，何小亚从问题解决的角度认为良好认知结构应该具备：①足够多的观念这里指的是具备足够多的知识组块。②具备稳定而又灵活的产生式。③层次分明的观念网络结构。④稳定的问题解决策略的观念。喻平则用CPFS结构阐述了一个具体的认知结构模型，并证明了该结构是数学特有的，而且是优良的数学认知结构。
    3.在总结和思考之下，可知良好的数学认知结构应该至少具备以下几个特征：
    (1)知识点精确牢靠，知识系统是系统化和结构化的。作为认知结构的最小单元的知识点的掌握应该是精确牢靠的，知识点的掌握的量应该是尽可能多的。但是良好的数学认知结构不是简单的知识仓库，堆放着许多零散的孤立的知识，它应该是一个有机的整体，知识之间有紧密的内在联系，它们互相渗透、相互蕴含、相互依存，并且按照一定的规律联系在一起，形成一个完整的知识网络；比如对于周期性、单调性、根、不等式等看似不相干的知识点，良好的认知结构会选择函数这个大的概念来统领这些小概念，而不是将一个个概念孤立地存储在认知结构中。
    知识系统中知识点的组织不仅仅只考虑学习的时间的相近程度，更重要的是在逻辑性原则之下的新旧知识的整体把握。知识间的联系是有规律的，这种规律是主体在数学学习过程中，不断对知识进行加工、改造、组织后形成的，是一种主次分明、以主干知识为骨架、条理清晰的知识网络；这些知识经过抽象、概括、归类后，按抽象、概括、包摄程度的不同组成一个层次分明的结构。这种整体的结构具有较强的吸收和再生能力，有利于知识的运用、吸收和创造。
    (2)头脑中存在相对完善的产生式系统，使得学生在面对数学问题时，能够高效地从自己的认知结构中提取相关的解决问题的策略和知识点来解决问题；存储着化归问题的“如果要解决……，那么需要解决……”“要解决……，只需要解决……”等丰富的产生式。
    比如，如果四边形是平行四边形，那么它的对边是平行和相等的；对角线是相互平分的；“要证明边相等，即等价于证明所在的三角形全等；也可以直接算两边的长度；还可以利用等量传递a=b,b=c，就有a=c”，等等。只有认知结构中的知识以这种动态的“产生式系统存在”，学生的所学才不会僵化，不会面对问题不知从何下手，使得学生的思维在触发条件的指引之下高效地找到对解题有帮助的知识和方法的“入口钥匙”，而不是盲目地试误和摸索。这使得数学问题更易化归为已解决的或易解决的数学问题，使得解题有章可循。
    (3)具备吸纳新知识和重组认知结构的意识和方法策略学生在学习新数学知识的时候，知道如何将新知识归类存放在自己的认知结构的恰当位置上，知道如何选择一个适合自己理解和运用知识的角度去整理自己的知识系统。这是丰富和重组更加优良的数学认知结构的关键所在，也正是积极的数学思维发生的过程。方法策略的具备可以指导个体在学习新知识和问题解决的过程中如何去着手思考，如何将新知识准确和高效地存储在合适的位置，便于日后的提取和运用。这对于维系和保持数学认知结构的优良性非常关键。
    四、建立良好数学认知结构的教学策略的再思考
    在建立良好认知结构的诸多研究中，研究者都结合自己的研究和见解给予了教学一些提示和建议。比如：“创设良好的问题情境”，“突出数学思想方法的教学”，“以核心知识为主线，对教学内容做出整体安排”，“综合贯通，注重认知结构的整体构建”，“熟悉教材逻辑关系，充分展示知识的形成发展过程”，“提供变式材料，活化知识结构”。仔细思考发现，上述教学策略的提出就是就良好认知结构的标准提出的，体现了教师针对学生建立良好认知结构在课程素材的选择、课程知识的讲授上的努力。很显然地是，上述教学策略的提出主要针对的是数学教师，对于改进教师的教学来说是值得借鉴的。
    但笔者认为，在帮助学生建立良好的数学认知结构的教学中，教学策略和方法的确立和实施不能单单地寄希望于教师的教上，学生才是真正的主角，在了解学生的原有认知结构的基础之上最大程度地唤醒学生主动学习和思考数学的信念才是各种策略真正生效的关键所在。
    在此种意义上，笔者认为首要的是培养学生反思学习的意识和能力。不再“围困在”教师一招一式地总结和自己死记硬背的机械学习里。使学生的脑子真正地全方位的高效地转起来，一个很好的方法就是用回答特定问题的方式来激发学生的这种潜能。
    这里的问题不局限于课堂的针对某个具体的知识点理解和应用的问题，而更侧重于下述的两个方面：
    其一，专题知识的总结和把握上：这一个过程往往是由教师代劳的，但是这并不比学生的亲自操作进行整理思考有意义得多。
    举个例子：在学生学完函数这一章之后，让学生从自己的理解角度归类总结整理函数的概念、图象、性质。并鼓励学生找出尽可能多的知识点之间的联系和亮点。其后拿出一定的时间让学生集体分享和讨论自己的“研究成果”。在这个主动学习的思考过程中，学生必然要积极地前后联系，积极反思，寻找更多的知识联系，不仅活化和建立了更多知识点之间的联系，也使学生的探究和合作意识得到应有的提高。
    其二，在解决问题时思维过程的暴露上：在数学解题过程中，有一种现象就是对于某些题目学生可以在不理解的情况下做出问题的答案，但对于“为什么这样解”，学生却说不出个所以然来。这种无意识的或者称为机械式的学习对于学生的良好数学认知结构的建立来说是极为不利的。我们倡导的是有意义地能动地学习。所以，在具体的解题训练中，教师应该精选一些难度适中和活化学生思维的题目来向学生提出几个问题，比如：“清楚地描述你的每一步是如何做的，解释为什么这样做是合理的？”“你是如何用想到的先前知识去解决问题的？”“在你解题的过程中你是如何思考的？”这些问题的清楚解答的意义远远大于就题论题。老师们经常说的一句话：你能给别人把题目讲清楚那才是真正地懂了的表现。换句话说，能把解题思路的探索、展开和进行说出个所以然才是真正的数学思维的腾飞。这样的学习过程，不仅能够使得知识点之间的联系更紧密，产生式系统更完善。更可贵的是学生不再止步于解出题目，而是开始真正的数学思维。
    马来西亚大学的Noraini Idris老师在“通过学生书面问题的作答提高学生的积分的理解”一文中，通过实验的方法让实验组的学生在学习积分课的同时，书面回答老师提出的诸如此类的问题，而非实验组则按照传统的教学方法施教。研究表明通过此种书面的学习方式一周时间之后的实验组学生对于数学微积分知识学习的兴趣态度都明显好于非实验组，更重要的一点是，学生对于学习概念的思考明显增多，相应的数学成绩也有比较显著的提升。
    之所以书面的表达这些问题能收到如此的效果，关键是学生在学习新知识和解题的过程中回答此类问题，能够专注地用自己可以理解的方式思考所应学的东西，从而唤起了学生的主体意识。与传统的被动地接受教师的教授相比，这样的教学模式更能激发学生的主体意识，促使他们积极地反思教与学的过程，让自己的认知结构向更加有序、合理、完善的良好认知结构的方向发展。可以说只有真正唤醒学生的主体意识，培养学生积极地思考态度，才能建立符合自身个性特点的认知结构。就像布鲁纳所说的：按照一个人自己的兴趣和认知结构组织起来的材料是最有希望从“记忆库”中自由出入的材料。
    良好数学认知结构的研究虽然已经受到一线教师和数学教育研究者的广泛关注，数学认知结构的理论在不断丰富。但是不得不承认的是，对于真正的学生建构认知结构的心理过程还不十分清楚，所研究的理论多停留于思辨程度，缺乏实践性的证，明。这也是本文的不足之处。良好认知结构的建立还需要真正深入探索学生具体建构数学知识的心理过程，在实践中摸索更高效地帮助学生建构良好认知结构的方法和策略。