诺里斯西刷新时间:合情推理 培养能力──“直线与平面平行的判定”教学实录
一、复习质疑,引入新课
教师:通过上节课的学习,我们知道了直线与平面有三种位置关系,它们分别是直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.其中直线和平面平行是一种非常重要的关系.它不仅应用较多,而且是学习平面与平面平行的基础.那么怎样判定直线与平面平行呢?
学生:根据定义:直线与平面无公共点.
教师:但是,直线是无限伸长,平面无限延展,很难保证直线与平面无公共点,操作起来很难.今天我们就来寻找判定线面平行的“捷径”.
(板书课题:直线与平面平行的判定)
二、观察模型,引发思考
教师:大家来观察门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,另一边所在的直线与门框所在的平面的位置关系.(出示模具:一个平行四边形纸板、一个梯形纸板.)再来观察这个平行四边行纸板,我把它的一条边放在讲台所在的平面内,饶着这条边转动,观察它的对边所在的直线与讲台所在的平面的位置关系.若把该平行四边形的另一边放在讲台所在的平面内,饶着这条边转动,观察它的对边所在的直线与讲台所在的平面的位置关系.若换成梯形,请再进一步观察.
学生:当门扇绕着一边转动时,另一边所在的直线与门框所在的平面是平行的.平行四边形无论哪一边放在讲台所在的平面内,它的对边所在的直线与讲台所在的平面都是平行的.而梯形则不同:若一底边放在讲台所在的平面内,另一底所在的直线与讲台所在的平面是平行的,若一腰放在讲台所在的平面内,另一腰所在的直线与讲台所在的平面是不平行的.
教师:大家回答的很好!下面请大家思考课本55页的探究.
三、尝试探索,建构新知
(探究:如图,平面
学生:因为直线
教师:直线
(学生1在黑板上画出如上图示的图形;学生2板演:
教师:该定理有三个条件,请大家思考这三个条件任意去掉一个,结论还成立吗?.
学生:若无
教师:所以这三个条件缺一不可,
四、初试牛刀,规范过程
教师:下面看一个例题:(例1.求证: 空间四边行相邻两边中点的连线平行于经过另两边所在的平面.)请一位同学到黑板上写出已知,求证.
学生3:在黑板板演:已知:如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证:EF平行于经过BC,CD的平面.
教师:请大家来共同欣赏学生3写的已知、求证.因为BC,CD相交,所以经过BC,CD的平面就
是平面BCD.只需证明EF∥平面BCD即可. 下面我们共同写该题的证明过程:因为E,F分别
是AB,AD的中点,所以EF∥BD,又因为
所以EF∥平面BCD.
该题借助于三角形内的中位线证明线线平行,从而证明线面平行.再看一个变式:若E,F是线段AB,AD上的动点满足什么条件时有EF∥平面BCD.
学生:满足
教师:很好,其实,这就是利用线段成比例得到线线平行.下面我们在看第2个例题: 例2.如图:在三棱锥A-BCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心.求证:MN//平面BCD.
(学生自主解决该题,教师巡视了解情况,并对有问题的学生给予指导,稍后请一名学生板演过程.并点评学生书写的过程)
五、发散思维,培养能力
教师:下面再看一个例题: 例3.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点.
(1)若P,Q分别是AE,BD的中点,判断PQ与平面CBE的位置关系;
(2)若AP=DQ, 判断PQ与平面CBE的位置关系.
(该题先让学生思考,再找学生讲解过程)
学生4:连接AC交BD于Q,PQ是三角形ACE的中位线,所以PQ∥EC,从而PQ∥平面CEB;
教师:很好,还有没有不同的解法?比如看看能不能通过构造平行四边形构造平行关系.
学生5:过P作PG平行于AB交EB于G,过Q作QH平行于AB交BC于H,连接GH.
因为
教师:学生5的解法很好,构造了平行四边形进而构造线线的平行.
六、巩固练习,加深印象
教师:自己解决课本P55,练习1、练习2.(学生自主解决,相互讨论.)
七、总结方法,上升层次
教师:下面我们小结一下这节课学习的内容.
学生:1、线面平行的判定定理及应用,2、转化思想在本节的体现.
八、课后巩固,发展能力
作业:1.已知三棱柱