鸡泽徐明明被杀:如何提高学生的几何推理与证明能力

随着新课标的实施，学生数学学习能力、应用能力都有所提高。但几何证明中逻辑 思维能力反而有所下降。如何扭转这一颓势，已成为课堂教学中不可忽视的一个重 要方面。在几年来新课标教学中，我深刻认识到“授人以鱼，不如授之以渔”的重要 性，针对新课标的特点，就如何提高学生的几何逻辑思维能力进行了不断探索和尝 试，认真做好学生学习兴趣的培养，夯实基础知识，提高基本技能,加强证明过程 探索培养，切实提高学生逻辑思维能力和创新意识，更好的提高学生实践能力。

一、兴趣的培养、激发* 俗话说“几何头，代数尾”，几何证明入门比较枯燥，所以培养学习兴趣是取得成功 的前提。近代物理大师爱因斯坦有句名言“兴趣是最好的老师”，它能诱发学习动 机，强化学习动力。从初中生心理状态说，他们的学习活动最容易从兴趣出发，最 容易被兴趣左右，在有兴趣的学习活动中，思维最主动，最活跃，智力和能力也发 挥最充分，因此在教学过程中充分结合实际，培养学习兴趣。

（一）借助生活中的例子，激发学生学习兴趣生活中的生动场景，是教学课程资源的丰富材料。这些材料能够激发学生的数 学兴趣和增强他们对数学的情感，也能帮助学生对抽象的数学逻辑和概念的理解。 由于现实生活中应用几何图形的内容很多，针对这一特点，教学之前让学生回顾现 实生活应用几何图形的例子。如：如何在墙上固定一根木条，学生肯定回答钉两根 铁钉（两点确定一条直线），如何使摇摆不定的四边形固定（借助三角形的稳定 性），拉闸门的原理（四边形的不稳定性），楼房的设计、室内装修、公路叉口设 计、图案设计（这些主要利用图形平移、轴对称、旋转）等等。让学生学习之前充 分体会到学有所用，激发学生学习兴趣。

（二）借助活动激发学习兴趣* 新课程标准指出：数学教学是教学活动的教导，是师生交流、互动、共同发展的过 程。有效的数学教学应当从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充 分的从事从事教学活动的机会。“寓教于活动之中”，是初中数学教学的有效手段。 利用活动进行抽象知识的探索与学习，能够有效地激发初中学生的学习兴趣，提高 思维的积极性，使他们在愉快的情绪中轻轻松松、饶有兴趣地学习数学。 心理学家布鲁纳认为：学习是一个主动的过程，对学生学习内因的最好激发是激起 学生对所学材料的兴趣，即来自学习活动本身的内在动机，这是直接推动学生主动 学习的心理动机。 因此，在教学过程中，利用课本内容，抓住一切机会让学生动手，如在全等三角形 判定的教学中，可以让学生根据已知条件，分别画出一个三角形，再剪下来进行比 较，看是否重合，或与其他同学比较。这样能让学生在活动中学习到全等的判定方 法。在讲解利用三角函数解决实际问题时，可以让学生利用测角仪到操场测量旗杆 的高度……。

（三）借助情感交流，增强学习兴趣 “惑人心者莫先乎于情”，教师应该加强与学生感情交流，增进与学生的友谊，作为 现代初中生，他们不会与教师交流，因此，教师应该放下架子，主动与学生交流， 主动关心他们，热情地帮助他们解决学习与生活中的困难。做学生的知心朋友，使 学生对教师有较强的信任感、亲近感。那么学生自然而然地过渡到喜爱你所教的数 学上，达到“尊其师，信其道”的效果。

（四）利用成功效应，增强学生的兴趣所谓“成功效应”就是让学生通过努力独自解决一个问题取得成功之后，或通过努力 取得好成绩后所体现的欣喜的情绪。教师应在平时多鼓励学生争取能独立完成问 题，特别是遇到困难时，应克服畏难情绪，充分发挥个人才智克服困难，体验成功 的喜悦。培养学生的自信心，增强学习兴趣。

二、夯实基础，提高技能

（一）基础扎实，知识灵活应用是解决好几何证明的关键。要求学生对基础知识 做好透彻的理解，对每一个学过的定义、公理、定理，都要求学生做到：既要能背 诵，又能结合图形写出推理过程，这是书写证明，运用定义、定理的基础。 证明的每一步都是具体运用定理、定义进行推理。每一个复杂的证明过程都是由这 样一些证明步骤组成的。光会背定义、定理的词句，不明白它的含义，不会用它去 推理是不会证明的。有些同学看到图形想不到用什么定理，想到定理却又说不出自 己的意思，这些情况都是死记硬背的结果。有些同学在证明过程逻辑混乱，证明过 程总是欠缺条件，这引起情况是学生对定义、定理没有透彻理解，只知一、二的体 现。在平时的教学中，应特别注意进行结合图形写出推理的训练，让学生明确在什 么样的条件下能得到怎样的结果。这样才能较好的体现逻辑思维过程。 如在探究垂径定理时，除让学生通过折叠圆得到相关结论时，还要结合图形写 出：AB是⊙O直径（或过圆心的线段） （注：对判定定理只要写出一组条件，对性质要写出所有的结 论，证明时选用，并且要求学生结合图形、推理过程理记住定理）。 经过这种训练，使学生可以理解定理、定义所指的内容在图中指的是什么，又学会 了在推理过程中怎样使用这个定理。

（二）重视基础题目的训练，掌握它的证明方法。众所周知，较复杂的几何证明 题，都是由一些基础题目组成。有些基础题虽然不是课本上的定理，但它的证明方 法、图形特点，甚至一些结论都是很重要的。学生只有平时解题中多积累，才能探 索出一些证明方法，逐渐理清证明过程的条理，做到有条不紊，但这些基础题常被 一些学生忽视，特别是中上层学生，认为这些题太容易了，没有意思，不愿意动手 去做；看例题，做题都是看过、做过就算，不去加以思考、比较、归纳，这是很多 学生在证明过程中条理不清楚、逻辑思维混乱的体现，也是制约学生对复杂问题进 行证明的一个瓶颈。例如：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D， 求证： 通过这些题目的证明，让学生更好掌握相似三角形证明方法， 证明方法虽然简单，但其结论在一些复杂题目中有很重要的作用。 通过强化这些基本题目的训练，使学生能更好的掌握定理的内容、应用，以及证明 时的一些书写格式，证明的条理性，这也符合戴尔《经验之塔》的第一部分，积累了 做的经验。

三、学习方法的指导

好的学习方法能起到事半功倍的效果，如何让学生掌握好学习方法，教师在教学过 程应及时指导学生，使学生能尽早探索符合自己实际的方法。

（一）读书的指导* 由于很多学生都存在数学不用读的思想，所以对定义、定理的理解记忆不够重视， 出现了对定义、定理、公理等只知大概，而没有深刻体会到它们其中已知和结论， 结果在证明过程中总是出现欠缺条件的现象，针对这种现象，要求学生一定要认真 结合图形理解记忆定义、定理。这样是学好证明的前提，因此教师在教学过程中要 经常检查学生对定义、定理的记忆情况，并且结合图形证明学生说出定理证明过 程，加深对定理理解和运用。

（二）解题的指导 “独立自主，团结协作”是学生学会证明方法的必经之道，要知道几何证明过程实质 是一个推理过程，只在当一个定理的所有条件满足时，才可能得出这个定理的结 论，再把这个结论与其他结论或条件结合，如此下去，直到你的要求的结论为止， 因此在解题过程中，要求学生多动手完整地写出证明过程，并在做过程中检验每一 步的证明是否有理由根据，不能想当然；只有这样，经过自己思考，加工，才能真 正掌握知识，运用知识，在头脑形成深刻印象。通过这样的练习，进一步巩固了基 本定理，进一步体验证明的条理性、灵活性。而现在的学生平时完成作业时抄袭现 象特别严重，自己不加思考，这是现在学生证明能力低下的一个重要原因。因此做 题的过程中要求学生必须独立思考、独立完成，避免抄袭现象，同时鼓励学生独立 完成的基础上，开展广泛交流（与同学交流，与教师交流），互相探讨，各抒己 见，取长补短，拓展思路。

（三）思维的指导 “几何、几何，想破头壳”，这是很多学生看到证明题就头晕脑胀的真实写照。在几 何证明的教学过程中怎样培养学生良好的思维习惯，将直接影响到学生的证明能 力。初中证明一般两种思维的方法：综合法和分析法。 综合法是由已知到求证的过程，综合法的证明学生容易入手，它直接利用已知条件 应用定理、公理得到结论；在证明过程中除直接应用原题目的已知条件外，还要注 意三点：第一，根据美国珍妮特·沃斯和新西兰戈登·德莱顿合著的《学习的革命》中 “画脑图”的思想，让学生充分发掘与已知条件相联系的内容，以便在证明过程中能 取得更广泛的思路。例如已知条件是正方形，那么在大脑中立刻应浮现正方形有关 的性质，包括中点的应用，直角三角形的性质等等；第二，证明过程要充分发掘图 形提供的已知条件（一般有公共角、公共边或公共线段，三角形的外角同弧所对的 圆周角等），因为这些条件在已知中没有说明，而是图形直接供给，或形成，学生 容易忽略，而这些条件往往是必用的条件，脱离这些条件，证明过程就会造成障 碍；第三，证明过程出现“断点”（当思路到某地方中断时）时，不要急躁，而是应 回头分析哪些条件还没用上或应用不充分，这些条件与问题之间是否存在直接或间 接的联系（包括添加辅助线），如果能突破这个瓶颈，问题就能较好解决。分析法是先结论入手，根据结论成立的条件，再分析这些条件是否具备，缺的怎么 办？如何找到，这样逐步逆推，直到所需的条件与已知条件符合为止。这也是教师 在证明过程中引导学生探索所缺条件的常用方法。由于课本没有要求掌握学生一般 不能很好掌握。大部分都是老师在课堂分析给学生听，然后由学生用综合法完成。 如何让学生学会分析，可通过举例让学初步了解。

（四）学会反思，学会总结*教会学生在解题结束后应经常进行反思、总结，对自己的解题方法、存在问题进行 反思，多问些为什么，查找问题症结，并在今后的学习中加以克服；对于同类型的 题目应加以归纳、对比，找出它们的联系，积累了经验，更好服务与今后解题。