警花与警犬程雨铭图片:直线平行的条件和特征1

北 京 四 中

编　稿：史卫红　　审　稿：辛文升　　责　编：张　杨

直线平行的条件和特征

　　一、重点和难点：

　　重点：平行线的概念、平行线的判定和平行线的性质。

　　难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分 ②掌握简单推理论证的格式。

　　二、例题：

　　这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。

　　上述类型题目大致可分为两大类。

　　一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

　　另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。　　

　　例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。
　　（1）∵ ∠1和∠2是内错角，∴ ∠1=∠2，
　　（2）∵ AD//BC， ∴ ∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
　　（3）∵ ∠1=∠2，∴ AB//CD（两直线平行，内错角相等）

　　分析：根据概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手；对（3）考虑平行线的判定和性质。

　　解：（1）因为没有直线CD//AB的条件，不能得出内错角∠1，∠2相等的结论。

　　（2）因为∠1，∠2不是AD，BC被AC所截得的内错角，所以得不出∠1=∠2的结论，应改为：
　　∵ CD//AB，∴ ∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

　　（3）理由填错了，应改为：
　　∵ ∠１＝∠2，∴ CD//AB （内错角相等，两直线平行）

　　例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？

　　分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。

　　解：∵ ∠1=∠2（已知） 又∵ ∠CGE=∠2（对顶角相等）
　　∴ ∠1=∠CGE（等量代换）
　　又∵ ∠3=∠4（已知）
　　∴ ∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）
　　即∠MEF=∠EGH，
　　∴ EF//GH（同位角相等，两直线平行）。

　　说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。

　　例3．如图写出能使AB//CD成立的各种条件。

　　分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的角来判定AB//CD。

　　解：使AB//CD成立的条件有：

　　（1）根据同位角相等，判定两直线平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB

　　（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。

　　（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。

　　例4．已知如图，AB//CD，∠1=∠3，求证：AC//BD。

　　分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为AB//CD，所以可知∠1=∠2，又因为∠1=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AC与BD平行。

　　证明：∵ AB//CD（已知）
　　∴ ∠1=∠2（两直线平行内错角相等）
　　又∵ ∠1=∠3（已知）
　　∴ ∠2=∠3（等量代换）
　　∴ AC//BD（同位角相等，两直线平行）。

　　例5．已知如图，AB//CD，AC//BD，求证：∠1=∠3。

　　分析：因为∠1和∠3的位置不能构成同位角或内错角，也不是同旁内角，因此由图形中∠1与∠2是内错角位置，而∠2与∠3是同位角位置，而∠1与∠3都与∠2有关，由已知条件中AB//CD，推出∠1=∠2，AC//BD又推出∠2=∠3。通过等角进行转化。
　　证明：∵ AB//CD（已知）
　　∴ ∠1=∠2（两直线平行内错角相等）
　　又∵ AC//BD（已知）
　　∴ ∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
　　∴ ∠1=∠3（等量代换）

　　例6．已知如图∠1=∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD

　　证明：∵ BD平分∠ABC（已知）
　　∴ ∠2=∠3（角平分线定义）
　　∵ ∠1=∠2（已知）
　　∴ ∠1=∠3（等量代换）
　　∴ AB//CD（内错角相等两直线平行）。

　　例7．已知如图，AB//CD，∠1=∠2，求证：BD平分∠ABC。

　　证明：∵ AB//CD（已知）
　　∴ ∠1=∠3（两直线平行内错角相等）
　　又∵ ∠1=∠2（已知）
　　∴ ∠2=∠3（等量代换）
　　∴ BD平分∠ABC（角平分线定义）

　　说明：上面的例4和例5，例6和例7都是同一个图形中将已知条件和求证的结论适当调换，可培养灵活运用知识的能力。

　　三、证明角相等的基本方法

　　1.同角（或等角）的余角相等；

　　2.同角（或等角）的补角相等；

　　3.对顶角相等；

　　4.两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。

　　以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，题中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。

　　例8、如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。

　　分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明
∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：
　　

　　证明：∵ ∠2=∠C（已知），
　　∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
　　∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
　　又∵ ∠1=∠C（已知），
　　∴ ∠B=∠C（等量代换）。

　　例9、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。

　　分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例8一样通过等角进行转化，从已知条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角∠B、∠C，因此∠B+∠C=180^o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角∠B、∠A，∠B+∠A=180^o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：
　　

　　证明：AD//BC（已知），
　　∴ ∠A+∠B=180^o（两直线平行，同旁内角互补），
　　∵ AB//CD（已知），
　　∴ ∠B+∠C=180^o（两直线平行，同旁内角互补），
　　∴ ∠A=∠C（同角的补角相等），
　　同理可证∠B=∠D。

　　例10、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。

　　分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据条件或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形成内错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：
　　

　　证明：∵ AD⊥BC于D（已知），
　　∴ ∠ADC=90^o（垂直定义），
　　∵ EG⊥BC于G（已知），
　　∴ ∠EGD=90^o（垂直定义），
　　∴ ∠ADC=∠EGD（等量代换），
　　∴ EG//AD（同位角相等，两直线平行），
　　∴ ∠1=∠E（两直线平行同位角相等），
　　∠2=∠3（两直线平行内错角相等），
　　又∵ ∠E=∠3（已知），
　　∴ ∠1=∠2（等量代换）。

　　四、两条直线平行关系的论证。

　　利用角；

　　（1）同位角相等，两条直线平行；

　　（2）内错角相等，两条直线平行；

　　（3）同旁内角互补，两条直线平行。

　　例11、如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。

　　分析：要证明AB//CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC和∠DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，条件中又已知∠1=∠2，于是只要证明∠EBC=∠BCF。

　　证明：∵ BE//CF（已知），
　　∴ ∠EBC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）
　　∵ ∠1=∠2（已知），
　　∴ ∠1+∠EBC=∠2+∠FCB（等量加等量其和相等），
　　即∠ABC=∠BCD（等式性质），
　　∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）。

　　例12、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：DG//BC。

　　分析：要证明DG//BC，只需证明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需证明∠2=∠DCB，∠2与∠DCB又是同位角，只需证明CD//EF。根据条件CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。
　　（1） （平行线的判定）

　　（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）

　　（3） ∠1=∠DCBDG//BC（平行线判定）

　　在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。

　　证明：∵ CD⊥AB于D（已知），
　　∴ ∠CDB=90^o（垂直定义），
　　∵ EF⊥AB于F（已知），
　　∴ ∠EFB=90^o（垂直定义），
　　∴ ∠CDB=∠EFB（等量代换），
　　∴ CD//EF（同位角相等，两直线平行），
　　∴ ∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）
　　又∵ ∠1=∠2（已知），
　　∴ ∠1=∠DCB（等量代换），
　　∴ DG//BC（内错角相等，两直线平行）。

　　说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。