诺里斯西刷新时间:合情推理 培养能力──“直线与平面平行的判定”教学实录

一、复习质疑，引入新课

教师：通过上节课的学习，我们知道了直线与平面有三种位置关系，它们分别是直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．其中直线和平面平行是一种非常重要的关系．它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础．那么怎样判定直线与平面平行呢?

学生：根据定义：直线与平面无公共点．

教师：但是，直线是无限伸长，平面无限延展，很难保证直线与平面无公共点，操作起来很难．今天我们就来寻找判定线面平行的“捷径”．

(板书课题：直线与平面平行的判定)

二、观察模型，引发思考

教师：大家来观察门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边所在的直线与门框所在的平面的位置关系．（出示模具：一个平行四边形纸板、一个梯形纸板．）再来观察这个平行四边行纸板，我把它的一条边放在讲台所在的平面内，饶着这条边转动，观察它的对边所在的直线与讲台所在的平面的位置关系．若把该平行四边形的另一边放在讲台所在的平面内，饶着这条边转动，观察它的对边所在的直线与讲台所在的平面的位置关系．若换成梯形，请再进一步观察．

学生：当门扇绕着一边转动时，另一边所在的直线与门框所在的平面是平行的．平行四边形无论哪一边放在讲台所在的平面内，它的对边所在的直线与讲台所在的平面都是平行的．而梯形则不同：若一底边放在讲台所在的平面内，另一底所在的直线与讲台所在的平面是平行的，若一腰放在讲台所在的平面内，另一腰所在的直线与讲台所在的平面是不平行的．

教师：大家回答的很好!下面请大家思考课本55页的探究．

三、尝试探索，建构新知

(探究：如图，平面外的直线平行于平面内的直线．(1)这两条直线共面吗?(2)直线与平面相交吗?)

学生：因为直线与直线平行，所以直线与直线共面． 直线与平面不相交．

教师：直线与平面不相交，又因为直线在平面外，所以有直线平行于平面．通过探究我们可以得到下面的结论：(板书定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．)这是文字语言，请大家把它转化成图形语言与符号语言．

(学生1在黑板上画出如上图示的图形;学生2板演：∥∥．)

教师：该定理有三个条件，请大家思考这三个条件任意去掉一个，结论还成立吗？．

学生：若无则可能;若无，则直线可能与平面相交;若无∥，则直线也可能与平面相交．

教师：所以这三个条件缺一不可， 这两个条件可以通过观察得到，而∥则待证明．所以我们要想证明线面平行可以转化成证明线线平行，即该定理体现了解决空间问题(线面平行)转化为平面问题(线线平行)的一种转化思想．

四、初试牛刀，规范过程

教师：下面看一个例题：(例1．求证： 空间四边行相邻两边中点的连线平行于经过另两边所在的平面．)请一位同学到黑板上写出已知，求证．

学生3：在黑板板演：已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：EF平行于经过BC，CD的平面．

教师：请大家来共同欣赏学生3写的已知、求证．因为BC，CD相交，所以经过BC，CD的平面就

是平面BCD．只需证明EF∥平面BCD即可． 下面我们共同写该题的证明过程：因为E，F分别

是AB，AD的中点，所以EF∥BD，又因为，

所以EF∥平面BCD．

该题借助于三角形内的中位线证明线线平行，从而证明线面平行．再看一个变式：若E，F是线段AB，AD上的动点满足什么条件时有EF∥平面BCD．

学生：满足时，有EF∥平面BCD．

教师：很好，其实，这就是利用线段成比例得到线线平行．下面我们在看第2个例题： 例2．如图：在三棱锥A-BCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心．求证：MN//平面BCD．

（学生自主解决该题，教师巡视了解情况，并对有问题的学生给予指导，稍后请一名学生板演过程．并点评学生书写的过程）

五、发散思维，培养能力

教师：下面再看一个例题： 例3．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点．

(1)若P，Q分别是AE，BD的中点，判断PQ与平面CBE的位置关系;

(2)若AP=DQ， 判断PQ与平面CBE的位置关系．

(该题先让学生思考，再找学生讲解过程)

学生4：连接AC交BD于Q，PQ是三角形ACE的中位线，所以PQ∥EC，从而PQ∥平面CEB;

教师：很好，还有没有不同的解法?比如看看能不能通过构造平行四边形构造平行关系．

学生5：过P作PG平行于AB交EB于G，过Q作QH平行于AB交BC于H，连接GH．

因为，AP=DQ，AE=BD，所以EP=BQ．从而，又因为AB=DC，所以PG平行且等于QH，所以四边形PQHG为平行四边形，从而PQ平行于GH．所以PQ∥平面CBE．

教师：学生5的解法很好，构造了平行四边形进而构造线线的平行．

六、巩固练习，加深印象

教师：自己解决课本P55，练习1、练习2．(学生自主解决，相互讨论．)

七、总结方法，上升层次

教师：下面我们小结一下这节课学习的内容．

学生：1、线面平行的判定定理及应用，2、转化思想在本节的体现．

八、课后巩固，发展能力

作业：1．已知三棱柱中，为的中点，为的中点，求证：∥．