鬼灯白泽同人h漫:高中数学解题常用思想方法---分类讨论思想方法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：

1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。

A.  0≤a≤1    B.  a≤1      C.   a<1        D.  0

2.若a>0且a≠1，p＝log (a ＋a＋1)，q＝log (a ＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝q     B. pq     D.当a>1时，p>q；当0

3.函数y＝ ＋ ＋ ＋ 的值域是_________。

4.若θ∈(0, )，则 的值为_____。

A. 1或－1         B. 0或－1     C. 0或1     D. 0或1或－1

5.函数y＝x＋ 的值域是_____。

A.  [2,+∞)      B. (-∞,-2]∪[2,+∞)    C. (-∞,+∞)     D. [-2,2]

6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A.       B.         C.        D. 或

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0     B. x＋y－5＝0     C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0    D.不能确定

【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；

2小题：对底数a分a>1、0

3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；

4小题：分θ＝ 、0<θ< 、 <θ< 三种情况，选D；

5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；

6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；

7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 设00且a≠1，比较|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小。

【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

【解】 ∵ 01

①  当0 (1－x)>0，log (1＋x)<0，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－[－log (1＋x)]＝log (1－x )>0;

②  当a>1时，log (1－x)<0，log (1＋x)>0，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0；

由①、②可知，|log (1－x)|>|log (1＋x)|。

【注】本题要求对对数函数y＝log x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0

例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：  ①. C A∪B且C中含有3个元素；   ②. C∩A≠φ  。

【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

【解】  C ·C ＋C ·C ＋C ·C ＝1084

【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C －C ＝1084。

例3. 设{a }是由正数组成的等比数列，S 是前n项和。  ①. 证明：  ；      ②.是否存在常数c>0，使得 ＝lg（S －c）成立？并证明结论。(95年全国理)

【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。

【解】 设{a }的公比q，则a >0，q>0

①．当q＝1时，S ＝na ，从而S S －S ＝na (n＋2)a －(n＋1) a ＝－a <0；

   当q≠1时，S ＝ ，从而

S S －S ＝ － ＝－a q <0；

由上可得S S ，所以lg(S S ) )，即 。

②. 要使 ＝lg（S －c）成立，则必有(S －c)(S －c)＝(S －c) ,

分两种情况讨论如下：

当q＝1时，S ＝na ，则

(S －c)(S －c)－(S －c) ＝(na －c)[(n＋2)a －c]－[(n＋1)a －c] ＝－a <0

当q≠1时，S ＝ ，则(S －c)(S －c)－(S －c) ＝[ －c][ －c]－[ －c] ＝－a q [a －c(1－q)]

∵  a q ≠0    ∴  a －c(1－q)＝0即c＝

而S －c＝S － ＝－ <0       ∴对数式无意义

由上综述，不存在常数c>0, 使得 ＝lg（S －c）成立。

【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明 >log S  ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。

例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

例4. 设函数f(x)＝ax －2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。

 


     1     4       x




      1     4     x

【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。

【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ ） ＋2－

∴ 或

或

∴ a≥1或 ；

当a<0时， ，解得φ；

当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意

由上而得，实数a的取值范围是a>  。

【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。

例5. 解不等式 >0  (a为常数，a≠－ )

【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－ 分别加以讨论。

【解】 2a＋1>0时，a>－ ；    －4a<6a时，a>0 。   所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；

当a＝0时，x >0，解得：x≠0；

当－ 0，解得: x<6a或x>－4a；

当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a

综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－ －4a；当a>－ 时，6a

【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z ＋2|z|＝a 。  (90年全国高考)

【分析】由已知z ＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z ∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。

【解】 ∵ |z|∈R，由z ＋2|z|＝a得：z ∈R；   ∴ z为实数或纯虚数

当z∈R时，|z| ＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋     ∴ z＝±(－1＋ )；

当z为纯虚数时，设z＝±yｉ  (y>0)，   ∴ －y ＋2y＝a   解得：y＝1±   （0≤a≤1）

由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ

【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。

【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x －y ＋2 ＋2xyｉ＝a；

∴

当y＝0时，x ＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋ )，所以z＝±(－1＋ )；

当x＝0时，－y ＋2|y|＝a，解得y＝±(1± )，所以±(1± )ｉ。

由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ

【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。

例7. 在xoy平面上给定曲线y ＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。    （本题难度0.40）

【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。

【解】 设M(x,y)为曲线y ＝2x上任意一点，则

|MA| ＝(x－a) ＋y ＝(x－a) ＋2x＝x －2(a－1)x＋a ＝[x－(a－1)] ＋(2a－1)

由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：

当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA} ＝2a－1；

当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA} ＝a ；

综上所述，有f(a)＝     。

【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。

Ⅲ、巩固性题组：

1.   若log <1，则a的取值范围是_____。

A. (0, )     B. ( ,1)     C. (0, )∪(1,+∞)     D. ( ,+∞)

2.   非零实数a、b、c，则 ＋ ＋ ＋ 的值组成的集合是_____。

A. {-4,4}     B. {0,4}     C. {-4,0}      D. {-4,0,4}

3.   f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。

A.当x＝2a时有最小值0          B.当x＝3a时有最大值0

C.无最大值，且无最小值         D.有最小值但无最大值

4. 设f (x,y)＝0是椭圆方程，f (x,y)＝0是直线方程，则方程f (x,y)＋λf (x,y)＝0  （λ∈R）表示的曲线是_____。

   A.只能是椭圆    B.椭圆或直线    C.椭圆或一点     D.还有上述外的其它情况

5. 函数f(x)＝ax －2ax＋2＋b  (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。

   A.  a＝1,b＝0           B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3

   C.  a＝－1，b＝3        D. 以上答案均不正确

6.方程(x －x－1) ＝1的整数解的个数是_____。

   A.  1     B.  3     C.  4      D.  5

7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。

   A.  7     B.  6     C.  5      D.  4

8.z∈C，方程z －3|z|＋2＝0的解的个数是_____。

A.  2      B.  3     C.  4      D.  5

9.复数z＝a＋aｉ  (a≠0)的辐角主值是______________。

10.解关于x的不等式：  2log (2x－1)>log (x －a)     (a>0且a≠1)

11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S ，又设T ＝ ，求 T  。

12. 若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。

13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。

14. 函数f(x)＝(|m|－1)x －2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。