鬼灯的冷彻鬼白cp:高中数学解题常用思想方法--函数与方程的思想方法

来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/03/28 23:54:08

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。

Ⅰ、再现性题组:

1.方程lgx+x=3的解所在的区间为_____。

A.  (0,1)      B.  (1,2)     C.  (2,3)     D.  (3,+∞)

2.如果函数f(x)=x +bx+c对于任意实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么_____。

A. f(2)

3.已知函数y=f(x)有反函数,则方程f(x)=a  (a是常数)  ______。

A.有且仅有一个实根   B.至多一个实根    C.至少一个实根   D.不同于以上结论

4.已知sinθ+cosθ= ,θ∈( ,π),则tgθ的值是_____。

A. -             B. -         C.         D. 

5.已知等差数列的前n项和为S ,且S =S   (p≠q,p、q∈N),则S =_________。

6.关于x的方程sin x+cosx+a=0有实根,则实数a的取值范围是__________。

7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°,则此棱锥的侧面积为___________。

8. 建造一个容积为8m ,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。

【简解】1小题:图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法),选C;

2小题:函数f(x)的对称轴为2,结合其单调性,选A;

3小题:从反面考虑,注意应用特例,选B;

4小题:设tg =x (x>0),则 ,解出x=2,再用万能公式,选A;

5小题:利用 是关于n的一次函数,设S =S =m, =x,则( ,p)、( ,q)、(x,p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得x=0,则答案:0;

6小题:设cosx=t,t∈[-1,1],则a=t -t-1∈[- ,1],所以答案:[- ,1];

7小题:设高h,由体积解出h=2 ,答案:24

8小题:设长x,则宽 ,造价y=4×120+4x×80+ ×80≥1760,答案:1760。

Ⅱ、示范性题组:

例1. 设a>0,a≠1,试求方程log (x-ak)=log (x -a )有实数解的k的范围。(89年全国高考)

【分析】由换底公式进行换底后出现同底,再进行等价转化为方程组,分离参数后分析式子特点,从而选用三角换元法,用三角函数的值域求解。

【解】 将原方程化为:log (x-ak)=log ,  等价于   (a>0,a≠1)

∴ k=    ( | |>1 ),  

=cscθ,  θ∈(- ,0)∪(0, ),则 k=f(θ)=cscθ-|ctgθ|

当θ∈(- ,0)时,f(θ)=cscθ+ctgθ=ctg <-1,故k<-1;

当θ∈(0, )时,f(θ)=cscθ-ctgθ=tg ∈(0,1),故0

综上所述,k的取值范围是:k<-1或0

            y         C

 C        

 

               -ak

        -a          a          x

      

【注】 求参数的范围,分离参数后变成函数值域的问题,观察所求函数式,引入新的变量,转化为三角函数的值域问题,在进行三角换元时,要注意新的变量的范围。一般地,此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。

另一种解题思路是采取“数形结合法”: 将原方程化为:log (x-ak)=log ,等价于x-ak=  (x-ak>0),设曲线C :y=x-ak,曲线C :y=  (y>0),如图所示。

由图可知,当-ak>a或-a<-ak<0时曲线C 与C 有交点,即方程有实解。所以k的取值范围是:k<-1或0

还有一种思路是直接解出方程的根,然后对方程的根进行讨论,具体过程是:原方程等价变形为 后,解得: ,所以 >ak,即 -k>0,通分得 <0,解得k<-1或0

例2. 设不等式2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。

【分析】 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,即关于m的一次不等式(x -1)m-(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究,设f(m)=(x -1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件

【解】问题可变成关于m的一次不等式:(x -1)m-(2x-1)<0在[-2,2] 恒成立,设f(m)=(x -1)m-(2x-1),

解得x∈( ,

【注】 本题的关键是变换角度,以参数m作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x -1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。

一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题。

例3. 设等差数列{a }的前n项的和为S ,已知a =12,S >0,S <0 。

①.求公差d的取值范围; ②.指出S 、S 、…、S 中哪一个值最大,并说明理由。(92年全国高考)

【分析】 ①问利用公式a 与S 建立不等式,容易求解d的范围;②问利用S 是n的二次函数,将S 中哪一个值最大,变成求二次函数中n为何值时S 取最大值的函数最值问题。

【解】① 由a =a +2d=12,得到a =12-2d,所以

S 12a +66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0,

S 13a +78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0。

 解得:-

② S =na n(n1-1)d=n(12-2d)+ n(n-1)d

[n- (5- )] [ (5- )]

因为d<0,故[n- (5- )] 最小时,S 最大。由- (5- )<6.5,故正整数n=6时[n- (5- )] 最小,所以S 最大。

【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快。由次可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性。

本题的另一种思路是寻求a >0、a <0 ,即:由d<0知道a >a >…>a ,由S =13a <0得a <0,由S =6(a +a )>0得a >0。所以,在S 、S 、…、S 中,S 的值最大。

例4. 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。

【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。

  P

         M
A        H       B
     D     C

【解】 在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB于H,

设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。

∴MD =x +[(2r-x)sinθ] =(sin +1)x -4rsin θx+4r sin θ

=(sin θ+1)[x- ]

即当x= 时,MD取最小值 为两异面直线的距离。

【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地,对于求最大值、最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。

例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列,且tgA·tgC=2+ ,又知顶点C的对边c上的高等于4 ,求△ABC的三边a、b、c及三内角。

【分析】已知了一个积式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思想求解。

【解】 由A、B、C成等差数列,可得B=60°;

由△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC,得

tgA+tgC=tgB(tgA·tgC-1)=  (1+ )

设tgA、tgC是方程x -( +3)x+2+ =0的两根,解得x =1,x =2+

设A ,   ∴A= ,C=

由此容易得到a=8,b=4 ,c=4 +4。

【注】本题的解答关键是利用“△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC”这一条性质得到tgA+tgC,从而设立方程求出tgA和tgC的值,使问题得到解决。

例6. 若(z-x)  -4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列。

【分析】 观察题设,发现正好是判别式b -4ac=0的形式,因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。

【证明】 当x=y时,可得x=z,  ∴x、y、z成等差数列;

当x≠y时,设方程(x-y)t -(z-x)t+(y-z)=0,由△=0得t =t ,并易知t=1是方程的根。

∴t ·t =1  ,  即2y=x+z ,    ∴x、y、z成等差数列

【注】一般地,题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x +x =a、x ·x =b”的形式,则可以利用根与系数的关系构造方程;如果具备b -4ac≥0或b -4ac≤0的形式,可以利用根的判别式构造一元二次方程。这种方法使得非方程问题用方程思想来解决,体现了一定的技巧性,也是解题基本方法中的一种“构造法”。

例7. △ABC中,求证:cosA·cosB·cosC≤  。

【分析】考虑首先使用三角公式进行变形,结合三角形中有关的性质和定理,主要是运用“三角形的内角和为180°”。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决。

【证明】 设k=cosA·cosB·cosC= [cos(A+B)+cos(A-B)]·cosC= [-cosC+cos(A-B)]cosC

整理得:cos C-cos(A-B)·cosC+2k=0,即看作关于cosC的一元二次方程。

∴  △=cos (A-B)-8k≥0  即 8k≤cos (A-B)≤1  

∴ k≤ 即cosA·cosB·cosC≤

【注】本题原本是三角问题,引入参数后,通过三角变形,发现了其等式具有“二次”特点,于是联想了一元二次方程,将问题变成代数中的方程有实解的问题,这既是“方程思想”,也体现了“判别式法”、“参数法”。

此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”,具体解答过程是:cosA·cosB·cosC= [cos(A+B)+cos(A-B)]·cosC  =- cos C+ cos(A-B)·cosC=-  [cosC- ] cos (A-B)≤ cos (A-B) ≤

例8. 设f(x)=lg ,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围。

【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)=lg 有意义的函数问题,转化为1+2 +4 a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。

【解】 由题设可知,不等式1+2 +4 a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,

即:( ) +( ) +a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。

设t=( ) ,  则t≥ ,   又设g(t)=t +t+a,其对称轴为t=-

∴ t +t+a=0在[ ,+∞)上无实根,  即 g( )=( ) +a>0,得a>-

所以a的取值范围是a>-

【注】对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。

在解决不等式( ) +( ) +a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时,也可使用“分离参数法”: 设t=( ) ,  t≥ ,则有a=-t -t∈(-∞,- ],所以a的取值范围是a>- 。其中最后得到a的范围,是利用了二次函数在某区间上值域的研究,也可属应用“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组:

1.         方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。

A.  1      B.  2     C.  3     D.  4

2.         已知函数f(x)=|2 -1|,af(c)>f(b),则_____。

A. a<0,b<0,c>0    B. a<0,b>0,c>0    C. 2 <2      D. 2 +2 <2

3.         已知函数f(x)=log (x -4x+8), x∈[0,2]的最大值为-2,则a=_____。

A.       B.       C.  2     D.  4

4.已知{a }是等比数列,且a +a +a =18,a +a +a =-9,S =a +a +…+a ,那么 S 等于_____。

  A.  8      B.  16      C.  32      D.  48

5.等差数列{a }中,a =84,前n项和为S ,已知S >0,S <0,则当n=______时,S 最大。

6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x +px〉4x+p-3成立的x的取值范围是________。

7.若关于x的方程|x -6x+8|=a恰有两个不等实根,则实数a的取值范围是____________。

8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y=x +mx+2,若抛物线与线段AB相交于两点,求实数m的取值范围。

9.已知实数x、y、z满足等式x+y+z=5和xy+yz+zx=3,试求z的取值范围。

10.已知lg -4·lg ·lg =0,求证:b是a、c的等比中项。

11.设α、β、γ均为锐角,且cos α+cos β+cos γ+2cosα·cosβ·cosγ=1,求证:α+β+γ=π 。

12.当p为何值时,曲线y =2px (p>0)与椭圆 (x―2― ) +y =1有四个交点。(88年全国高考)

13.已知关于x的实系数二次方程x +ax+b=0有两个实数根α、β。证明:

①.      如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;

②.      如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2 。  (93年全国理)

14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I 表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I 时,f(x)=x 。    ①.求f(x)在I 上的解析表达式;   ②.对自然数k,求集合M ={a|使方程f(x)=ax在I 上有两个不相等的实根}。    (89年全国理)