鬼灯的冷彻鬼白cp:高中数学解题常用思想方法--函数与方程的思想方法
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/03/28 23:54:08
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。
Ⅰ、再现性题组:
1.方程lgx+x=3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
2.如果函数f(x)=x
A. f(2)
3.已知函数y=f(x)有反函数,则方程f(x)=a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
4.已知sinθ+cosθ=
A. -
5.已知等差数列的前n项和为S
6.关于x的方程sin
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°,则此棱锥的侧面积为___________。
8. 建造一个容积为
【简解】1小题:图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法),选C;
2小题:函数f(x)的对称轴为2,结合其单调性,选A;
3小题:从反面考虑,注意应用特例,选B;
4小题:设tg
5小题:利用
6小题:设cosx=t,t∈[-1,1],则a=t
7小题:设高h,由体积解出h=2
8小题:设长x,则宽
Ⅱ、示范性题组:
例1. 设a>0,a≠1,试求方程log
【分析】由换底公式进行换底后出现同底,再进行等价转化为方程组,分离参数后分析式子特点,从而选用三角换元法,用三角函数的值域求解。
【解】 将原方程化为:log
∴ k=
设
当θ∈(-
当θ∈(0,
综上所述,k的取值范围是:k<-1或0
-ak
-a a x
【注】 求参数的范围,分离参数后变成函数值域的问题,观察所求函数式,引入新的变量,转化为三角函数的值域问题,在进行三角换元时,要注意新的变量的范围。一般地,此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。
另一种解题思路是采取“数形结合法”: 将原方程化为:log
由图可知,当-ak>a或-a<-ak<0时曲线C
还有一种思路是直接解出方程的根,然后对方程的根进行讨论,具体过程是:原方程等价变形为
例2. 设不等式2x-1>m(x
【分析】 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,即关于m的一次不等式(x
【解】问题可变成关于m的一次不等式:(x
则
解得x∈(
【注】 本题的关键是变换角度,以参数m作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x
一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题。
例3. 设等差数列{a
①.求公差d的取值范围; ②.指出S
【分析】 ①问利用公式a
【解】① 由a
S
S
解得:-
② S
=
因为d<0,故[n-
【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快。由次可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a
例4. 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。
【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。
M
A H B
D C
【解】 在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB于H,
设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。
∴MD
=(sin
即当x=
【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地,对于求最大值、最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列,且tgA·tgC=2+
【分析】已知了一个积式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思想求解。
【解】 由A、B、C成等差数列,可得B=60°;
由△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC,得
tgA+tgC=tgB(tgA·tgC-1)=
设tgA、tgC是方程x
设A
由此容易得到a=8,b=4
【注】本题的解答关键是利用“△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC”这一条性质得到tgA+tgC,从而设立方程求出tgA和tgC的值,使问题得到解决。
例6. 若(z-x)
【分析】 观察题设,发现正好是判别式b
【证明】 当x=y时,可得x=z, ∴x、y、z成等差数列;
当x≠y时,设方程(x-y)t
∴t
【注】一般地,题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x
例7. △ABC中,求证:cosA·cosB·cosC≤
【分析】考虑首先使用三角公式进行变形,结合三角形中有关的性质和定理,主要是运用“三角形的内角和为180°”。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决。
【证明】 设k=cosA·cosB·cosC=
整理得:cos
∴ △=cos
∴ k≤
【注】本题原本是三角问题,引入参数后,通过三角变形,发现了其等式具有“二次”特点,于是联想了一元二次方程,将问题变成代数中的方程有实解的问题,这既是“方程思想”,也体现了“判别式法”、“参数法”。
此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”,具体解答过程是:cosA·cosB·cosC=
例8. 设f(x)=lg
【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)=lg
【解】 由题设可知,不等式1+2
即:(
设t=(
∴ t
所以a的取值范围是a>-
【注】对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。
在解决不等式(
Ⅲ、巩固性题组:
1. 方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。
A. 1 B.
2. 已知函数f(x)=|2
A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>
3. 已知函数f(x)=log
A.
4.已知{a
A. 8 B.
5.等差数列{a
6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x
7.若关于x的方程|x
8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y=x
9.已知实数x、y、z满足等式x+y+z=5和xy+yz+zx=3,试求z的取值范围。
10.已知lg
11.设α、β、γ均为锐角,且cos
12.当p为何值时,曲线y
13.已知关于x的实系数二次方程x
①. 如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;
②. 如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2 。 (93年全国理)
14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I