鬼泣超高清手机壁纸:高中数学解题基本方法---参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设2 ＝3 ＝5 >1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

2. （理）直线 上与点A(-2,3)的距离等于 的点的坐标是________。

   （文）若k<－1，则圆锥曲线x －ky ＝1的离心率是_________。

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z ＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)

6. 椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x＋2y－ ＝0的最大距离是_____。

   A.  3       B.         C.        D.  2

【简解】1小题：设2 ＝3 ＝5 ＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝± 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝ ，所以e＝－ ；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则 xy＝6、 yz＝4、 xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。

5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝ 的最大值，选C。

Ⅱ、示范性题组：

例1.   实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，代入a ＋b ＋c 可求。

【解】由a＋b＋c＝1，设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0，

∴  a ＋b ＋c ＝（ ＋t ） ＋（ ＋t ） ＋( ＋t ) ＝ ＋ (t ＋t ＋t )＋t ＋t ＋t ＝ ＋t ＋t ＋t ≥

所以a ＋b ＋c 的最小值是 。

【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。

本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥ 。

两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。

例2.   椭圆 ＋ ＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k ·k ＝－  ，

 ①．求证：|OP| ＋|OQ| 等于定值；     ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设 （椭圆参数方程），参数θ 、θ 为P、Q两点，先计算k ·k 得出一个结论，再计算|OP| ＋|OQ| ，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。

【解】由 ＋ ＝1，设 ，P(4cosθ ,2sinθ )，Q(4cosθ ,2sinθ ),

则k ·k ＝ ＝－ ，整理得到：

cosθ  cosθ ＋sinθ  sinθ ＝0,即cos（θ －θ ）＝0。

∴  |OP| ＋|OQ| ＝16cos θ ＋4sin θ ＋16cos θ ＋4sin θ ＝8＋12(cos θ ＋cos θ )＝20＋6（cos2θ ＋cos2θ )＝20＋12cos（θ ＋θ ）cos（θ －θ ）＝20，

即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为 ，

所以有( ) ＋y ＝2＋2(cosθ  cosθ ＋sinθ  sinθ )＝2,

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为 ＋ ＝1。

【注】由椭圆方程，联想到a ＋b ＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ ＋ cosθ ） ＋（sinθ ＋sinθ ） ，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－ ，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：

，消y得(1＋4k )x ＝16,即|x |＝ ；

，消y得(1＋ )x ＝16，即|x |＝ ；

所以|OP| ＋|OQ| ＝( ) ＋（ ）

＝ ＝20。即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。

在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝ |x －x |求|OP|和|OQ|的长。

           S

                  E
     
    D                C
           O       F
   A            B

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos β。

【分析】要证明cosα=-cos β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。

【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。

 设BC＝a (为参数)， 则SF＝ ＝ ,

SC＝ ＝

＝

又 ∵BE＝ ＝ ＝

在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝ ＝ ＝－cos β。

所以cosα＝－cos β。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。

Ⅲ、巩固性题组：

1.   已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。

2.   函数y＝x＋2＋ 的值域是________________。

3.   抛物线y＝x －10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin θ与x轴两个交点距离的最大值为_____

A.  5      B.  10      C.  2      D.  3

4.   过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L ：x－3y＋10＝0及L ：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。

5.   求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

6.   f(x)＝(1－ cos x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。

7. 若关于x的方程2x ＋xlg ＋lg ( )＋lg ＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。

8. 给定的抛物线y ＝2px  (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有 ＋ 为定值。