鬼泣4技能加点:高中数学解题基本方法--换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x ＋1)＝log (4－x )  （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。

4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程 ＝3的解是_______________。

6.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t＝ ，y ＝ ＋ ；

2小题：设x ＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]；

3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；

4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；

6小题：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2 ,log 3)。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数x、y满足4x －5xy＋4y ＝5   （ ①式） ，设S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设 代入①式求S 和S 的值。

【解】设 代入①式得：  4S－5S·sinαcosα＝5 

解得 S＝  ；

∵ -1≤sin2α≤1  ∴  3≤8－5sin2α≤13   ∴ ≤ ≤

∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，

则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5， 

移项平方整理得  100t +39S －160S＋100＝0 。

∴  39S －160S＋100≤0  解得： ≤S≤

∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝ ＋t、y ＝ －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5  ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。

例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全国理）

【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设  ，再代入可求cosα即cos 。

【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,

由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,

解得：cosα＝ ，    即：cos ＝ 。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－

＝－2 ，设 ＝－ ＋m， ＝－ －m ，

所以cosA＝ ，cosC＝ ，两式分别相加、相减得：

cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，

cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，

即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。

【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和积互化得：

2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0,

解得：cos ＝

      y
    ,       ,  
－           x

例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。

【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝

∴  f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋  （a>0），t∈[- , ]

t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－

当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－   ；

当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值：   。   

∴  f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。

【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t，

代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：

，解得    ∴ t<0即log <0

0< <1，解得0

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log 、 log 、log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝   (②式)，求 的值。

【解】 设 ＝ ＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得：  ＋ ＝ ＝     即： ＋ ＝

设 ＝t，则t＋ ＝  ,   解得：t＝3或      ∴ ＝± 或±

【另解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0，

∴t＝3或 ，    解得 ＝± 或± 。

【注】 第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ＝ ，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

例6. 实数x、y满足 ＋ ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。

【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，

即：   代入不等式x＋y－k>0得：

3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)

 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

          y
                        x

   
                 x＋y－k>0

          k      平面区域

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：

1.   已知f(x )＝lgx  (x>0)，则f(4)的值为_____。

A. 2lg2        B.  lg2     C.  lg2    D.  lg4

2.   函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。

A. [-2,+∞)    B.  [-1,+∞)    D. (-∞,+∞)   C. (-∞,-1]

3.   设等差数列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，则a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为_____。

A.  85        B.  72.5       C.  60      D.  52.5

4.   已知x ＋4y ＝4x，则x＋y的范围是_________________。

5.   已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。

6.   不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

7.   函数y＝2x＋ 的值域是________________。

8.   在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。

     y      D      C
            A      B

     O                x

9.   实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。

10.      已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x ＋y ＝2  (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。