舰队collection41攻略:2011中考数学一轮复习【代数篇】1.正比例函数与反比例函数
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/04/30 08:22:11
中考复习之正比例函数与反比例函数
知识考点:
1、掌握正、反比例函数的概念;
2、掌握正、反比例函数的图象的性质;
3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。
精典例题:
【例1】填空:
1、若正比例函数的图象经过二、四象限,则这个正比例函数的解析式是 。
2、已知点P(1,)在反比例函数(≠0)的图像上,其中(为实数),则这个函数的图像在第 象限。
3、如图,正比例函数(>0)与反比例函数的图像交于A、C两点,AB⊥轴于B,CD⊥轴于D,则= 。
答案:1、;2、一、三;3、6;4、(2,-4)
【例2】如图,直线(>0)与双曲线(>0)在第一象限的一支相交于A、B两点,与坐标轴交于C、D两点,P是双曲线上一点,且。
(1)试用、表示C、P两点的坐标;
(2)若△POD的面积等于1,试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式;
(3)若△OAB的面积等于,试求△COA与△BOD的面积之和。
解析:(1)C(0,),D(,0)
∵PO=PD
∴,
∴P(,)
(2)∵,有,化简得:=1
∴(>0)
(3)设A(,),B(,),由得:
,又得,即得,再由得,从而,,从而推出,所以。
故
评注:利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐标,即解由它们的解析式组成的方程组。
探索与创新:
【问题】如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和轴、轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1。这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支,点P是这条曲线上任意一点,它的坐标是(、),由点P向轴、轴所作的垂线PM、PN,垂足是M、N,直线AB分别交PM、PN于点E、F。
(1)分别求出点E、F的坐标(用的代数式表示点E的坐标,用的代数式表示点F的坐标,只须写出结果,不要求写出计算过程);
(2)求△OEF的面积(结果用含、的代数式表示);[
(3)△AOF与△BOE是否一定相似,请予以证明。如果不一定相似或一定不相似,简要说明理由。
(4)当点P在曲线上移动时,△OEF随之变动,指出在△OEF的三个内角中,大小始终保持不变的那个角的大小,并证明你的结论。
解析:(1)点E(,),点F(,)
(2)
=
=
(3)△AOF与△BOE一定相似,下面给出证明
∵OA=OB=1
∴∠FAO=∠EBO
BE=
AF=
∵点P(,)是曲线上一点
∴,即AF·BE=OB·OA=1
∴
∴△AOF∽△BOE
(4)当点P在曲线上移动时,△OEF中∠EOF一定等于450,由(3)知,∠AFO=∠BOE,于是由∠AFO=∠B+∠BOF及∠BOE=∠BOF+∠EOF
∴∠EOF=∠B=450
评注:此题第(3)(4)问均为探索性问题,(4)以(3)为基础,在肯定(3)的结论后,(4)的解决就不难了。在证明三角形相似时,∠EBO=∠OAF是较明显的,关键是证明两夹边对应成比例,这里用到了点P(,)在双曲线上这一重要条件,挖掘形的特征,并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。
跟踪训练:
一、选择题:
1、下列命题中:
①函数(2≤≤5)的图像是一条直线;
②若与成反比例,与成正比例,则与成反比例;
③如果一条双曲线经过点(,),那么它一定同时经过点(,);
④如果P1(,),P2(,),是双曲线同一分支上的两点,那么当>时,>。
正确的个数有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、已知M是反比例函数(≠0)图像上一点,MA⊥轴于A,若,则这个反比例函数的解析式是( )
A、 B、
C、或 D、或
3、在同一坐标系中函数和的大致图像必是( )
A B C D
4、在反比例函数的图像上有三点(,),(,),(,)若 >>0>,则下列各式正确的是( )
A、>> B、>>
C、>> D、>>
5、在同一坐标系内,两个反比例函数的图像与反比例函数的图像( 为常数)具有以下对称性:既关于轴,又关于轴成轴对称,那么的值是( )
A、3 B、2 C、1 D、0
二、填空题:
1、若反比例函数在每一个象限内,随的增大而增大,则= 。
2、A、B两点关于轴对称,A在双曲线上,点B在直线上,则A点坐标是 。
3、已知双曲线上有一点A(,),且、是方程的两根,则= ,点A到原点的距离是 。
4、已知直线与双曲线相交于点(,2),那么它们的另一个交点为 。
5、如图,Rt△AOB的顶点A是一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限的交点,且,则A点坐标是 。
三、解答题:
1、如图,直线交轴、轴于点A、B,与反比例函数的图像交于C、D两点,如果A(2,0),点C、D分别在一、三象限,且OA=OB=AC=BD,求反比例函数的解析式。
2、已知,与成正比例,与成反比例,当=-1时,=3;当=2时,=-3,
(1)求与之间的函数关系式;
(2)当时,求的值。
3、如图,反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求△AOB的面积。
4、如图,已知双曲线(>0)与经过点A(1,0),B(0,1)的直线交于P、Q两点,连结OP、OQ。
(1)求证:△OAQ≌△OBP;
(2)若C是OA上不与O、A重合的任意一点,CA=,CD⊥AB于D,DE⊥OB于E。①为何值时,CE=AC?②线段OA上是否存在点C,使CE∥AB?若存在这样的点,则请写出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
参考答案
一、选择题:CCCAC
二、填空题:
1、-2;2、(1,1)或(-1,-1);3、,;4、(,)
5、(-1,2)
三、解答题:
1、;2、(1);(2);
3、(1)A(-2,4),B(4,-2);(2)6;
4、(1)略;(2)①;②存在,C(,0)