舰队collection改公式:2011中考数学一轮复习【代数篇】17.方差

中考复习之方差

知识考点：

了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。

精典例题：

【例1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。

（1）－2，1，4          （2）－1，1，2          （3）79，81，82

分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：

求方差较简便；（2）中各数据虽为较小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式：求方差较简便；（3）中数据较大且接近80，因此取运用公式：

求方差较简便。

答案：（1）；（2）；（3）

【例2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示，

（1）请填写下表：

平均数

方差

中位数

命中9环以上次数

甲

7

1.2

1

乙

（2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。

①从平均数和方差相结合看；

②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；

③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；

④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）

解：（1）略；

   （2）①∵平均数相同，，∴甲的成绩比乙稳定；

②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些；

③∵平均数相同，命中9环以上环数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些；

④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力。

评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是判断好坏的标准。

探索与创新：

【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是20±5毫米，他先加工了8件，量得直径分别为（单位：毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。当他加工完10件后，发现这10件的直径平均数为20毫米，标准差为0.3毫米，请问此工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？

分析：要想作出正确的判断，需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两件轴的直径。

解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。

设最后加工的两件轴的直径分别为毫米，毫米（≤），令，，取，则。

由得：

由得：

∴有方程组，解得：

∴，

因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为19.8毫米的），一件是不符合要求的（直径为20.6毫米的）。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知一组数据－1，，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（    ）

    A、              B、2                C、4              D、10

2、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在10天中，这个生产小组每天出的次品数为（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，在这10天中，该生产小组生产零件所出的次品数的（    ）

    A、平均数是2       B、众数是3      C、中位数是1.5      D、方差是1.25

3、设、、…、的方差是，则、…、的方差是（    ）

    A、            B、            C、          D、

4、下列各组数据中，满足条件“容量为5，平均数为4，方差为2”的是（    ）

    A、3，4，4，3，5                          B、4，4.5，3.5，6，2

C、，3，6，3，              D、5，3，4，7，1

二、填空题：

1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取5只，称得它们的重量如下（单位：千克）：3.3，3.0，3.4，3.1，3.2，在这个问题中，样本方差＝        。

2、一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4、7、8、6、5、9、10、7、6、8，则这名学生射击环数的标准差是          。

3、若、4、2、5、3的平均数是，且、是方程的两个根，则这组数据的方差为          。

4、已知样本99、101、102、、（≤）的平均数为100，方差为2，则＝      ，＝        。

5、现有A、B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分这几种不同分值中的一种。测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如图所示。

  （1）由观察所得，        班的标准差较大；

  （2）若两班合计共有60人及格，问参加者最少获        分值可以及格。

三、解答题：

1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：

甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8

乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11

如果你也经过了这次考察，请你经过计算后回答下列问题：

（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？

（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？

2、甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习，各练5次，他们每个同学合格的次数分别如下：

甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1

乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3

（1）如果合格3次以上（含3次）作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？

（2）请你比较哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？

3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：

输入汉字（个）

132

133

134

135

136

137

众数

中位数

平均数

方差

甲班学生（人）

1

0

1

5

2

1

135

135

135

1.6

乙班学生（人）

0

1

4

1

2

2

请你填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价甲、乙两班学生的比赛成绩（至少从两个方面进行评价）。

4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已知算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学的统计学知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。

分数

50

60

70

80

90

100

人数

甲组

2

5

10

13

14

6

乙组

4

4

16

2

12

12

参考答案

一、选择题：BDCC

二、填空题：

1、0.02；2、；3、2；4、＝98，＝100；5、（1）A，（2）4分

三、解答题：

1、（1）∵＝10，＝10

       ∴两种农作物的10株苗的平均高度相同。

  （2）∵＝3.6，＝4.2

∴＜

故甲种农作物的10株苗长的比较整齐。

2、（1）甲组合格人数为3人，甲组及格率为；同理乙组的及格率为50％，所以乙组的及格率高。

（2）∵＝2，＝2，＝1，＝1.8

∴＜

∴甲组的口语会话的合格次数比较稳定。

3、134，134.5，135，1.8。评价：①从众数看，甲班每分钟输入135字的人最多，乙班每分钟输入134字的人最多；②从中位数看，甲班每分钟输入135字以上的人数比乙班多；③从方差看，＜，甲班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，乙班速度最快的选手比甲班多1人。

4、①从成绩的众数来看，由于甲组、乙组成绩的众数分别为90分、70分，因此甲班成绩较好；②从中位数、平均数来看，甲乙两组成绩的中位数、众数都是80分，成绩相同，其中成绩在80分以上的甲、乙两班各有33人，26人，因此甲组成绩总体较好；③从方差来看，＝172，＝256，所以＜，甲组成绩比乙组更稳定；④从高分段看，甲、乙两组成绩达到或超过90分的分别有20人、24人，因此乙组成绩较好。