舰队collection秋月炮:2011中考数学一轮复习【代数篇】22.二次根式的概念

中考复习之二次根式的概念

知识考点：

数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。

精典例题：

【例1】填空题：

（1）的平方根是          ；的算术平方根是          ；的算术平方根是          ；的立方根是          。

（2）若是的立方根，则＝        ；若的平方根是±6，则＝    。

（3）若有意义，则          ；若有意义，则         。

（4）若，则          ；若，则          ；若，则        ；若有意义，则的取值范围是          ；

（5）若有意义，则＝          。

（6）若＜0，则＝          ；若＜0，化简＝          。

答案：（1），，，；（2），6；（3）≤，≠2；

     （4）≤0，≥，＜0，≥－1且≠0；（5）；

     （6），

【例2】选择题：

1、式子成立的条件是（    ）

A、≥3        B、≤1            C、1≤≤3      D、1＜≤3

2、下列等式不成立的是（    ）

    A、    B、     C、      D、

3、若＜2，化简的正确结果是（    ）

    A、－1              B、1            C、            D、

4、式子（＞0）化简的结果是（    ）

    A、      B、        C、          D、

    答案：DDDA

【例3】解答题：

（1）已知，求的值。

（2）设、都是实数，且满足，求的值。

分析：解决题（1）的问题，一般不需要将的值求出，可将等式两边同时平方，可求得，再求的值，开方即得所求代数式的值；题（2）中，由被开方数是非负数得，但分母，故，代入原等式求得的值。

略解：（1）由得：，

          故

         （2）    解得，

              ∴＝1

探索与创新：

【问题一】最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由。

分析：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义，不是同类二次根式。

略解：假设他们是同类根式，则有：

            解得

      把代入两根式皆为无意义，故它们不能是同类根式。

【问题二】观察下面各式及其验证过程：

（1）

     验证：

（2）

     验证：

（3）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；

（4）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且≥2）表示的等式，并给出证明。

分析：本题是一道常见的探索性题型，通过从特殊到一船的归纳方法来观察和分析，类比得出用表示的等式：

    解答过程略。

跟踪训练：

一、填空题：

1、的平方根是          ；的算术平方根是          ；的立方根是          ；

2、当         时，无意义；有意义的条件是          。

3、如果的平方根是±2，那么＝          。

4、最简二次根式与是同类二次根式，则＝      ，＝     。

5、如果，则、应满足                    。

6、把根号外的因式移到根号内：＝          ；当＞0时，＝        ；＝        。

7、若，则＝            。

8、若＜0，化简：＝          。

二、选择题：

1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（    ）

    A、±1                B、0              C、1              D、0和1

2、在、、、、中，最简二次根式的个数是（    ）

    A、1                B、2                C、3              D、4

3、下列说法正确的是（    ）

    A、0没有平方根                      B、－1的平方根是－1

C、4的平方根是－2                   D、的算术平方根是3

4、的算术平方根是（    ）

A、6              B、－6            C、          D、

5、对于任意实数，下列等式成立的是（    ）

A、      B、        C、      D、

6、设的小数部分为，则的值是（    ）

A、1        B、是一个无理数          C、3          D、无法确定

7、若，则的值是（    ）

A、        B、            C、2          D、

8、如果1≤≤，则的值是（    ）

A、          B、            C、        D、1

9、二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（    ）

    A、①②            B、③④⑤        C、②③          D、只有④

三、计算题：

    1、；

    2、；

    3、。

四、若、为实数，且＜，化简：。

五、如果的小数部分是，的小数部分是，试求的值。

六、已知是的算术平方根，是的立方根，求A＋B的次方根的值。

七、已知正数和，有下列命题：

    （1）若，则≤1；

    （2）若，则≤；

    （3）若，则≤3；

     根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则≤        。

八、由下列等式：＝2 ，＝3 ，＝4 ，……所提示的规律，可得出一般的结论是                        。

九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。

    已知为实数，化简：

    解：原式＝

            ＝

参考答案

一、填空题：

    1、±21，，；2、，≤2且≠－8；3、16；4、1，1；

5、≤且≥0；6、，，；7、0.12；8、

二、选择题：BADCD，CCDA

三、解答题：

    1、－0.55；2、35；3、

四、＝2，＜2，原式＝3

五、

六、＝2，＝3，A＝2，B＝－1；

    当为奇数时，A＋B的次方根为1；当为偶数时，A＋B的次方根为±1；

七、

八、＝ （为大于1的自然数）

九、不正确，正确解答是：原式＝＝