黎熠然:专题二：新课程理念下空间与图形教学的研讨 第二讲：新课程理念下“空间与图形”的教学研讨

第二讲

 

新课程理念下“空间与图形”的教学研讨主讲人：张 丹：北京教育学院数学系孙京红：北京市海淀区教师进修学校数学教研员孙雪林：北京大学附属小学数学教学主任王雪峰：北京大学附属小学数学教师慈 艳：北京中关村第四小学数学教师第二场 观点分享经过上面对一些案例及问题的研讨，我想很多老师都有了自己的思考。那么，下面，我们对有关空间与图形的教学提出自己的想法，主要分图形的认识、图形与位置、图形与变换以及图形的测量，最后是空间观念，与大家展开一个进一步的交流。需要强调的是，这些观点是这个项目组集体讨论的结果，是有着我们自己的思考的。当然，肯定还有一些不成熟的地方，但求能引起大家更多的讨论。一、图形的认识在这部分中，有两个内容跟大家交流，一个是图形的认识整个内容呈现的线索；第二就是提出一些教学上的建议。1．内容呈现的主要线索（1）从立体到平面再到立体为什么新课程提倡先认识立体，再认识平面，反过来再去认识立体：◆首先从孩子的认知规律这个角度进行考虑，在孩子的现实生活当中，他们首先接触到的应该是立体的，比如说他们的铅笔盒，比如说他们每天看到的黑板、桌椅这些都是立体的。而平面图形是附着在立体上的。学生的数学学习自然要遵循孩子的认知规律，体现从整体到局部再到整体的过程。◆再有从立体到平面再到立体，如果我们再把它细化，应该是从立体到平面到基本元素，之后再到平面、再到立体，而前后的两个平面，两个立体是有着区别的。开始学生们是从直观上来认识立体图形和平面图形的，而后来则要尝试把握这些平面图形和立体图形的特征。举一个例子，就像我们去看一个人，你首先是对他一个整体的认识，然后你才会去关注这个人的眉毛、鼻子、眼睛；反过来当你关注了眉毛、鼻子、眼睛以后，你再去整体认识这个人，你就会有一个更新的认识。◆还有一个原因，新课程强调空间观念，空间观念其中有一个重要的方面：就是三维和二维的转化，即从立体转换到平面，反过来由平面再转换到立体。对于这一点，当然可以通过观察物体这样的素材来体现，但是在学生的学习过程中，也可以体现这样一个过程：从立体图形中找到平面图形，从平面图形中去还原立体图形。我们再去回顾一下前面讨论过的第一个案例，就是一年级直观认识平面图形的两个教学过程。根据上面的讨论，过程1给了学生比较充分地操作和探索空间，使学生感受从立体到平面的过程，从这一点来说，过程1还是非常有价值的。（2）从生活中抽象出图形到应用于生活第二个线索就是从生活中抽象出图形，然后学习了图形及其特征以后，再应用于生活的过程。我们再去回顾一下前面讨论过的第一个案例的过程2，就体现了这一过程，这一点也是非常具有价值的。有的老师可能会说，你们到底喜欢过程1啊，还是喜欢过程2，其实，这个没有什么定论，关键是这节课教师所确定的目标是什么。有的老师认为两个过程都很好，那么就需要单元备课的思想，这两个过程不是一节课就能完成的。还想强调的是，现在老师都比较重视从生活中抽象出图形的过程，但是反过来将图形及其特征应用到生活中去，教师似乎挖掘的比较少。这就需要教师们和学生们共同思考，学习了长方形、正方形、三角形等的特征以后，在生活中能不能运用这些特征。举一个中学的例子，希望能给大家一些启发。[案例][1]当一个建筑工人为一个修理厂建造长方体底座时，要判断底座表面的形状是否为长方形形。你能为他设计一种判断的方法吗？如果他只有一圈皮尺，能否完成这个任务？当学生在尝试解决这个实际问题时，他们需要将所学的有关图形特征充分利用起来，这不仅促进了对这些特征的理解，并且发展了学生解决问题的能力。学生可以探索出不同的方法。在只有皮尺的情况下，可以量出底座表面所有边长及对角线的长度，由此进行判断（如图1）；也可以量出底座表面的某些长度，再利用勾股定理的逆定理来判断直角（如图2)  当然上面的例子不能应用在小学，只是提供一个例子希望教师们重视应用图形特征的过程。（3）从直观辨认到探索特征（边、角、对称性……）第三条线索就要从直观辨认到探索特征。比如一年级直观辨认长方形等平面图形，到一定年级后，需要继续探索这些图形的特征。图形的特征既包括边的特征、角的特征，另外就是图形的对称性的特征。图形的对称性是非常重要的，这一点可能以前没有受到重视。举一个例子，对于长方形的特征，我们不仅要探索它的边是否相等、角是否为直角，还应关注长方形的轴对称性。这里向大家介绍已经得到比较广泛公认的，荷兰范·希尔夫妇的几何思维水平，当然这个研究主要针对的是平面图形的认识：水平1：直观化水平2：描述/分析水平3：抽象/关联水平4：演绎/形式化推理水平5：严密/元数学从这几个水平可以看出，按照范·希尔夫妇的理论，学生通过思维水平的进步，从一个直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。这实际上也说明了从直观辨认到探索特征是符合儿童的认知规律的。进一步，小学阶段对于平面图形的学习，显然主要是上面的第一、二、三水平，而第四、五水平呢，应该是初中、高中，甚至大学学习应达到的。我们前面也提过这样的一个问题，就小学几何和中学几何，它们之间还是有不同的。虽然到了中学还要学三角形内角和，还要学三角形两边之和大于第三边，包括基本图形的基本特征都要重新学，但是那时候呢就需要从一些公认的前提出发去证明它们。而学生对于三角形内角和为180度等特征的一个直观认识，或者对其证明过程的直观积淀，就需要在小学的时候完成。比如，对于三角形内角和，小学阶段学生把角撕下拼在一起，或者折一下，这些为中学的添辅助线奠定了直观经验。所以，老师们千万不要认为，学习一个重要知识一下子就可以学完，或者说小学管小学的、中学管中学的，而需要以一个整体的观点看所教学的内容。有关范·希尔夫妇的几何思维水平和教学阶段，感兴趣的老师可以进一步参看拓展资源1。（4）从直线到圆在这个过程中，会有一些思想方法上的变化，到了图形的测量中再详细阐述。（5）基本上是从静态到动态对于图形的认识，不仅仅是从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识，这是跟过去相比比较加强的。比如对角的认识，曾经有一个老师举过学生的一个常见错误：低年级学生老有一种混淆，认为角的大小与画出的角的两条边的长短有关。其实，这对于低年级学生也是正常的，如果从静态上去观察一个角，孩子比较容易关注它的明显因素——两条边，而相对不是那么明显的“角的张口的大小”，学生不容易观察到。如果这时候呢，教师鼓励学生动态地去认识角，比如利用活动角不断张开，学生会慢慢关注角的张口，事实上，利用图形的运动（变换）来认识图形，是一个将静态认识与动态认识相结合的途径。关于这一点，我们将在图形的变换中再提及。2．教学的主要建议（1）重视图形分类的价值图形分类不仅仅在数学中是非常重要的，而且通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此，在图形的认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。以前，教师往往会在图形学习完以后，在复习整理阶段进行图形分类的活动，当然这还是非常重要的。实际上，在图形性质探索的初始阶段，也可以安排图形分类的活动，鼓励学生在尝试对图形进行分类的过程中去关注图形的边、角等的特征。对此，我们的一位老师作了有益的尝试，感兴趣的老师请参见拓展资源2。下面再提供一个低年级渗透图形分类的教学案例：准备下面的一些物品或类似的东西：一个橘子、一条肥皂、一罐牛奶、一顶生日帽、一个楔子。引导学生借助操作思考下面的问题：    哪些东西可以滑动，哪些东西可以滚动？哪些是平的，哪些是曲的？哪些有直的边？哪些有曲的边？哪些面是方形的？哪些面是三角的？哪些面是圆的？哪些有点或角？哪些没有？总结一下，教学中，教师可以从以下几个方面引导学生对图形进行分类：第一，将图形分成平面的和立体的；第二，将平面图形分成直的和曲的；第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类。（2）重视在运动中认识图形特别希望老师们能鼓励学生把静态和动态结合起来，鼓励学生在运动变化中，去观察认识图形及其特征。老师们也有这个感觉，有的图形按照标准位置放，学生们就能认出来，换一个角度学生就不认识了。教学中，教师就可以将图形转一转、移一移、翻一翻，使图形动起来，帮助学生认识图形变化中不变的特征。这部分内容还将在图形与变换中进一步涉及。（3）重视从复杂图形中辨别基本图形鼓励学生能够从复杂图形中辨别一些基本图形，发展识图能力。比如对于长方体直观图中长宽高的辨认，学生往往存在着困难，这里有一个教师的好的做法。他首先画一个长方体的直观图，然后问学生说：擦掉一条边，你们能不能把这个长方体还原。逐步的擦去长方体的某些边，只剩下了这个长方体的长宽高时，学生发现不能再擦了，再擦就还原不回原来的长方体了。于是，在这个过程当中，学生不但感受了长方体的特征，同时加深理解了长宽高。（4）恰当的运用标准图形和变式图形对于这一点，老师们都有了很好的做法，这里就不赘述了。（5）重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合在图形的认识和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学几何跟中学几何学习的一个区别。这些活动呢，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。当然，还包括一些非常简单的推理，以及对图形及其特征的表达。教学中非常重要的一点，是能将观察、操作、想象、推理、表达进行有机的结合，既认识到它们各自的价值，又能在一些活动中把它们结合起来。我们来举个例子，比如说对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想：它的两个对边相等……。在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后，教师还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。这里需要强调的是学生动手操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得远远多的对图形的“洞察”。总结一下，操作的价值主要体现在以下几个方面：第一，操作是探索图形性质的有效手段。第二，操作可以对通过观察等得到的猜想进行验证。第三，操作可以加深对图形及其性质的理解。比如将长方形对折，发现长方形对边相等，实际上学生也进一步体会长方形的轴对称性；又如，画的活动非常有助于学生在头脑中建立图形的表象。在动手操作中，也不要忽视推理的价值。虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子没有推理的意识。而且推理还能够帮助我们解决操作中出现的误差。比如前面讨论过的“两边之和大于第三边”教学中，由于操作中的误差，造成了当两边之和等于第三边时，学生“拼出”了三角形。面对这一情况，最好的解决方法是借助一些推理。其实，学生也有这个意识，比如有的学生说得非常的形象：4+5=9，9与9都平行（重合）了，拼不成了。有的学生可能会根据“两点之间线段最短”来说明等于的时候是拼不成的（三角形三边关系的课堂实录见拓展资源3）。关于这个问题，我曾经请教过王尚志教授，他是一个数学专业工作者，也是课程标准的制订者，他就提到了“两点之间线段最短”，这实际上也是一个非常重要的公理，进一步，他提供了一个如何教学“两边之和大于第三边”的思路，供大家思考：首先通过具体情境使学生认识到“两点之间线段最短”，然后画出两个点，两点之间画一条线段和若干条折线。实际上，折线与两点之间的线段就形成了一个一个的三角形。接着鼓励学生思考，如果把它们看成一个一个的三角形的话，你能发现什么，即“两边之和大于第三边”。还想在这里强调的是，教师还要注意鼓励学生在操作中积极思考，否则缺乏思考的盲目操作会造成操作的无效性。为了说明问题，下面介绍一个老师设计的三角形内角和的练习活动：老师撕了4个不同的三角形,分别为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和不等边三角形，得到了12个角，分别为60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。这四个三角形每个角分别是多少度？在解决这个问题的过程中，学生不仅要应用“三角形内角和是180度”的结论，并且学生要思考从何下手比较合适。（6）注重图形之间的联系教师还应重视在图形及其性质之间建立联系。学生学习的时候是分散的，这就需要老师以适当的形式把分散的内容串起来。下面的两张表是周玉仁教授提供的有关图形性质的两个表：表1   边 角 正方形 四边相等 四角都是直角 长方形 对边相等 四角都是直角 平行四边形 两组对边分别平行 对角相等 梯形 只有一组对边平行   表2   平行四边形 菱形 长方形 正方形 对边平行 √ √ √ √ 对边相等 √ √ √ √ 对角相等 √ √ √ √ 四边相等   √   √ 四角相等     √ √  上面的第一个表是大家比较熟悉的，第二个表是从另外一个角度揭示图形之间的联系，大家不妨将两个表都呈现给孩子，使学生不断体会图形之间的联系。二、图形与位置1．介绍两种确定位置方法的数学原理目前，教材中有两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。  如上图，平面直角坐标系有一个坐标原点O，然后是横轴、纵轴。在这样的情况下，一个点对应着横坐标和纵坐标，如图中的P（2，2）。我们常说的几行几列就是直角坐标。极坐标系，首先也有一个原点O，然后是极轴。对于点P，就用OP的长度（极径）及OP相对于极轴的角度（极角）来刻画，如P（3，60⁰）。我们常说的距离方向就是极坐标。两种刻画位置的方法，既有不同点，又有一些相同点：都要有原点；都要用两个要素来刻画，这两个要素可以是两个长度，也可以是一个长度、一个角度。为什么会有不同种确定位置的方式呢，我想更多是由于实际应用的缘故。可能在有些地方用直角坐标刻画位置会更方便一些，有些地方用极坐来刻画会更好。记得看过一个有趣的例子，在海上如何刻画船只的位置，有一个方法是用相邻两个了望台观察到的船只的角度，就是从这个了望台看船只可能是30度，从那边呢可能是60度，这两条弧线有个交点，就是船只的位置。有了上面的学习，我们再来看看前面提到的学生前测中的做法，你会发现学生的做法都是很有道理的。我们来分析一下学生的几种做法：虽然做法（1）、（2）是用文字刻画位置，（3）、（4）是用图来刻画位置，但4种做法都对应着直角坐标的思想，它们都表明学生已经意识到需要用两个要素来刻画平面上的位置。进一步，做法（2）和做法（4）还标明了参照物，当然参照物不同刻画的结果就不同。而做法（5）则对应了极坐标的初步思想。所以，老师们可以看到，学生们在没学之前都有了非常好的原始经验，关键我们老师如何去利用。我想，一个好的做法应该强调建立联系，建立学生原始想法和数学方法之间的一种联系。教学中，可以先把同一做法内部的不同表示形式建立联系，比如说都用文字表述的方式，我们来比一比有什么相同的地方，学生会发现尽管有说排的、列的、组的……，但都是用两个因素来刻画位置，如果再说明以谁为参照物，位置就确定下来了。然后，就是在所有的方法之间建立联系，比如数和形之间的对应。最后，再引申到数学上确定位置的方法。2．学习这部分内容的价值前面已经提到过，有的老师提出对于确定位置的内容，科学课、社会课都有，为什么数学课还要学习。对于这个问题的回答，我们不妨首先看一下对孙晓天老师的采访。孙晓天老师是我们国家义务教育课程标准的负责人之一，同时也是小学数学实验教材评审组的组长。他长期关注中小学数学课程，他的发言会对我们有不少启发。孙老师的采访：关于位置和定位的问题，确实很多课里边都有，生活课里边有，讲自然，讲地理的时候肯定也有，但教育没有很明确的界限，说生活课里边讲了东南西北，数学里边就不能讲了，我想数学自然有数学的角度。第一学段的内容，还是带有生活的味道，但是如果仅仅告诉常识我们就打住了，这个确实可以不在数学里讲了。在数学里边，常识是定位的起点，下面就一定要表示，这马上就变成数学的内容了。数学有好几种办法，一个是可以用直角坐标，另外一个可以用方向、距离，这些别的学科没有。另外，位置定位的问题，是培养学生空间观念的一个重要载体，我仅仅告诉你在中关村南大街第二个路口左侧的红绿灯底下，你怎么就能找到我呢，实际你脑子里在过滤一个地图，是在模拟你怎么往那边走，这个过程就是一个空间想象的过程，这个就是一种能力，而生活课的教学、自然课的教学是不管这个能力的。小学的教育无疑要为初中、高中的教育做准备，学生以后要学习坐标系，坐标系肯定是数学的内容了，现在我们讲的确定位置，实际就是坐标系的萌芽，现在我们一点一点的积淀，到真正的笛卡儿坐标系出现的时候，就变成一个顺理成章的过程了。那随着以后，我们还要有极坐标系，还有其他形形色色的坐标系，那么所有这些坐标系，其实都是建立在我们小学关于方向，关于位置认识的基础之上的，而这个责任，生活和自然课或者说其他的课程，完全承载不起来。实际上，如果把确定位置看成一个起点的话，就是科学课里边讲了，数学该讲也还要讲，所以一方面是可以重复的，另一方面，数学是有自己的认知和教学的体系的。我想至少不要认为，别人讲了我就不用讲了。你去听听别人怎么讲，你再看看你讲的这个和别人一样不一样，就会认识到这个事情的重要。我想确定位置是这样，类似像平移、旋转、轴对称，这样一些跟变换有关的内容，也是如此。美术课这几样玩的最花哨，但角度不一样，我们现在是从直观的角度，我们的目的是以后逐渐地要把它抽象起来，要把它形式地表示出来。和美术等其他课程之间的相通，恰恰说明了数学的作用，其实无论多少漂亮的图形，归根到底都是数学里边的平移、旋转、轴对称组合出来的，其实让学生认识到这一点，完全是积极的。在小学阶段，关于这几个对象的认识，都是从直观的角度，都是从把握空间的高度，大家认识到这一点，就不会产生重复啦，多余啦，太难啦等疑问了。听完了上面的一段采访，我觉得有两点很有启发。第一，数学跟其他学科，在学习图形与位置上的不同，就是数学的表达。你在其他的学科也会学习确定位置，但是要把它用数学的语言表达下来，就需要学习数学了。另外，数学还要思考背后的道理是什么，为什么用数对就能刻划平面上点的位置。实际上就牵涉到对维数的一种认识。教师可以设计一些活动，使学生体会到，如果在一条直线上确定位置，比如说在小组一排中确定位置，告诉我从哪开始数，只要1个数就可以了；那么在平面上就要用2个数，即数对。比如电影院里，上面有一层、下面有一层，就要用3个数来刻画了。当然，确定位置的内容也是发展学生空间观念的良好素材。第二，千万不要认为，一个内容在某些学科学过就不用再学了，关键是找寻各个学科对一个内容的不同的刻画角度，这样就便于学生养成从多种角度来观察事物的习惯。3．教学建议（1）重视探索如何确定位置的过程对于这部分内容的教学，教师应鼓励学生在具体的情境中，探索如何来描述物体或图形的位置，探索刻画位置需要哪些要素。看下面的一个教学中的例子，教师在学生学习确定位置之前，设置了丰富的情境：说一说剧院、教室是如何确定观众和学生的位置的。城区的地图经常有小方格在上面，以便于我们确定位置，如汽车站在（E，7）小方格里。在地图上确定某地的位置需要知道它的经度和纬度。在此基础上，教师介绍了17世纪一个叫笛卡尔的法国人用同样的想法来确定点的位置，以及直角坐标确定位置的方法。这个案例提供了丰富的情境，针对这些现实问题的讨论，学生将感受确定位置在生活中的重要性，体会数学对确定位置的作用，并抽象出不同确定位置方式的共同特征。（2）注重从具体情境中抽象出坐标的过程教学中还应重视从具体情境中抽象出坐标的过程。前一阵也听到过这样的一节课，老师就比较重视这一过程。教学最开始呈现的是一个教室的场景，确定教室里一个同学的位置；然后，教师利用课件将每个同学抽象成点；接着在点上套上方格，就体现了一个抽象的过程。（3）淡化非本质的对“行列”的讨论最后想要的一点是，在教学中不要在一些非本质的内容上下太大的功夫，比如行和列，有的老师说横为行，有的老师说竖为行，还有的老师用组等名称，对于这些，千万不要纠缠，实际上就是一个规定，有了规定以后大家表达起来就统一了。建议老师，不妨在教学的开始就把这些“障碍“扫清，向学生说明为了交流方便，统一把这一行当成第一行……这个当成第一列……评价中更不能用这些去考学生。三、图形与变换1. 平移、旋转、轴对称的要素对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，我觉得对于小学生就够了。但是作为老师，这样还是不行的，在图形的变换中有一个非常重要的变换呢，就是全等变换，或者叫做合同变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，它本质上是两点之间的距离不发生变化，换句话说在原来的图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，保距离的一种变换，距离保持了以后，自然图形的形状、大小，都可以证明仍然是保持的。全等变换有几种方式，其实可以直观地想一想，两个图形是完全一样的，要由这个图形运动得到那个图形，可以通过怎样的运动。首先可以是平移，平移到一定位置上，或者说对于三角形有一个顶点能够重合了，这时候无非有两种情况：一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的，这时需要经过旋转两个图形就重合了；还有一种情况是顶点的顺序相反，这时需要经过反射（翻折）两个图形就重合了。上面的变换就是我们所说的平移变换、旋转变换和反射变换，它们是三种基本的全等变换。反射变换有的老师把它叫做轴对称变换，实际上一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形是成轴对称的。具体的什么叫平移，什么叫旋转，什么叫反射，我们不给出数学上严格的定义，而是直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。  如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。有关三种变换的进一步阐述见拓展资源4。反过来再来看前头举过的三个例子，比如说摩天轮转动这个例子，看起来又像平移，又像旋转。实际上，这个例子不是一个好例子。为什么这么说呢，就是因为它过于复杂了，说不清楚的东西太多了。比如说如果把人抽象成一个点的话，似乎能够看成绕着摩天轮中心的旋转运动。但是，在数学中单纯的讨论一个点的运动没有多大意义，实际上变换是平面上每个点都做同样的运动。如果把人抽象成一个三角形、或者一个长方形，你又发现它不是一个旋转了。有的文章是这么认为的，如果静态地看运动前和运动后的图形，人的运动可以看成能够通过平移得到，但是也不能简单的说就是一个平移，所以这个问题太复杂了，我们不建议让学生去讨论这个问题。又如，窗帘拉动这件事，也是很麻烦的。如果只看窗帘的一个边，确实是在平移；但是要把窗帘看成一个整体，又可以把它看成一种伸缩的变化。所以这些例子都不是好的例子。在学习的开始，教师应该鼓励学生从具体情境中去理解三种变换，但是这时候选择的例子要简洁一些，并且说清楚关注的是什么。当学生有了经验以后，可以尽快的进入到图形的变换的讨论中。2．学习这部分内容的价值学习这部分内容的价值主要有两方面：第一，现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，我们当然希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。第二，需要特别强调的是，变换对刻画图形的价值。现在很多几何主要研究的就是变换下的不变量。比如小学主要接触的是全等变换，研究的是在全等变换下不变的东西，这时我们把能够重合的图形看成是一样的。3．教学建议(1)重视操作活动，体会变换的特征第一个建议就是要重视操作活动来体会变换的特征。特别在这部分内容，学生还有一些困难，比如学生在方格纸上进行平移的时候，在找平移距离的时候，不是找平移前后两个对应点之间的距离，而是中间空白那一段的距离。要克服这个困难呢，最重要的还是要操作。有的老师还反映，学生在旋转过程中，对确定旋转角度感觉很困难，我觉得也是要鼓励学生去操作。比如，有的老师在教学中就这样处理，甭管是什么图形，都套在一个正方形或一个圆上，运动时等于在变换正方形和圆。当然，操作还应该与适当的想象相结合。低年级可以先操作然后再去回想变换的过程，到了高年级可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。（2）明确教学要求在教学时，教师还应该明确教学要求，特别是作图要求。这里再明确一下，首先小学阶段的作图是在方格纸上。另外，对于平移的作图，只要求做水平方向、竖直方向的平移；对于旋转来说，就是作图形旋转90度后的图形。这些基本要求老师要把握住。（3）从变换的角度欣赏图形、设计图案学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形，设计图案。例如，在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，将发现其中包含的熟悉的图形；将运用数学的眼光分析图案的组成，如是否运用了变换；将欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美；将以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案以灵活运用所学知识和技能，并从中体会创造的乐趣与艰辛。老师们可能会说，现在从一年级就开始欣赏图案，到六年级还在欣赏图案，有没有什么不同呢。教师应认识到欣赏图案的活动的主要目的，还是发展学生的空间观念，促使学生对图形进一步的认识。等到学习了变换以后，学生就可以从变换的角度来欣赏图案，分析一个基本图形发生了怎样的一个变换之后，形成了这么美妙的一个图案。(4)重视从变换角度认识图形首先，回到前面讨论过的平行四边形是否为轴对称的这个话题，确实在那节课中，孩子总是觉得平行四边形这么完满，应该是对称的。实际上，平行四边形是中心对称的，就是沿中心旋转180度以后能够重合。而轴对称呢，实际上是通过反射以后能够重合的，所以对称本身跟变换是不能够分开的。这样，我们就需要对一些基本图形的对称性进行梳理。比如正三角形，是轴对称的，但不是中心对称，但是它是另外一种旋转对称，就是可以旋转120度、240度能够重合的。所以说是否对称，实际上就是变换以后能不能重合。平行四边形是否为轴对称的案例片段及基本图形的对称性见拓展资源5。需要强调的是，在认识图形的教学过程中，也要重视变换。比如有的老师在认识圆的过程中，除了让学生去折，体会轴对称，还鼓励学生去旋转。把两个一样大小的圆重合在一起沿圆心钉住，旋转上面的圆，总是和下面的圆重合的，这实际上就是旋转对称的一个想法。圆是关于任意一个角度都是旋转对称的，所以圆是个最完满的图形，它有无数多条对称轴，它关于任何一个角度都是旋转对称的。教学中不必介绍旋转对称、中心对称这样的词，但是可以设计一些活动，使学生从运动的角度认识图形。这个图形是跟那个图形不一样，可能是在边角上，比如说圆老师们会强调它是由曲线围成的，还可能是在对称性上，比如圆的广泛的对称性是圆的一个非常基本的特征。再介绍一位初中教师的经验，我觉得对小学老师也会有启发。初中学生学习几何困难的一个原因呢，学生找不到复杂图形中的基本图形。比如要证明两个三角形全等，首先你得找到两个三角形，尤其图形复杂了以后，这就是个不小的困难。这位老师就特别舍得在图形的运动上下功夫，每次接手初一的时候，总是要花两节课，就是给学生一个基本图形，比如三角形、长方形，鼓励学生把这个基本图形进行平移、旋转、轴对称，观察运动后会得到什么样的图形。另外，他把以后将要出现的例题中的复杂图形全都摆出来，鼓励学生进行观察，复杂图形中某个图形，可以通过哪个图形得到，培养学生这种对图形的直观感觉。四、图形的测量1. 在具体情境中，注重对所测量的量的实际意义的理解教学中应重视结合一些具体的情境，使学生对所要测量的量（比如周长、面积）的实际意义加以体会，这一点是非常重要的。回顾前面讨论过的学生对周长和面积的混淆，这种混淆学生光通过记公式，是解决不了了的。包括前面介绍的有关周长认识的两节课例，我们更倾向于第一位老师的一个做法，就是为学生设计大量操作感知的活动，学生在这些活动中，对周长有了比较充分的认识，以后再进入了面积的学习之后，周长与面积的混淆可能会少一些。进一步我们思考，为什么学生容易将周长和面积混淆，可能有如下的原因：第一，学生往往是周长和面积一起看到啊，严格的说是图形的边线和图形的面是一起看到的。所以，有的老师在这方面做了比较好的尝试，就是用线将图形绕了一周之后，将线拉直，让学生真正的看到，这条线的长度就是这个图形的周长。第二，在一般情况下，周长和面积两者是统一的，最典型的例子就是圆，圆周长大了，它的面积也大了。对于形状不是非常特殊的长方形来说，一般情况下，也都是周长大一点，它的面积也大一点。所以学生就感觉到，两者都差不多。第三，老师们往往非常强调公式，特别强调面积公式，是长乘宽呢，还是底乘高呢。因为周长从某种意义上没有什么公式，就是把各边加在一起，所以你也没学过三角形周长公式、平行四边形周长公式。所以，学生就对面积公式记得比较清楚，看见相邻两边的数据就想作乘，所以学生就觉得所有平行四边形的面积都是6乘10。因此，教学中不要过早的引入到计算，而应让学生对周长和面积有了一定认识以后再寻找公式。另外，一般教材在长正方形那个学完之后，直到圆才又一次出现周长。教师不妨在讲中间那些平面图形，如三角形、平行四边形时，除了关注图形的面积，也有意识地让学生求一求周长，将二者加以区分。教师还可以设计一些实际问题，鼓励学生根据实际问题及对周长和面积的理解，选择是用周长还是用面积来解决实际问题。2．体会度量的“含义”：要有单位，单位要统一，用单位去量，满足一些性质。教师可以设计一些活动，使学生体会到度量的含义。实际上，度量的一个基本想法是，首先它要有一个单位，当然这个单位要统一；然后用单位去量，蕴涵了比的思想；在量的过程中，要满足一定的性质，比如经常说的可加性：量这一段是1厘米，那一段是2厘米，加在一起就是3厘米。当然，这些想法教师不可能也不必去讲，只能通过一些活动使学生加以体会。3．体会测量单位的实际意义学生还需要通过实际活动建立对测量单位实际意义的体验。比如生活中哪些物体的长度大约是1米，哪些物体表面的面积大约是1平方米，哪些物体的体积大约是1立方米。新课程以来，在这方面教师已经做了很多有益的尝试。这里就不赘述了。4．重视估测    在测量的学习中，应始终重视估测的重要性。估测有助于儿童理解测量的特征和过程，并获得对测量单位大小的认识。学生在估测方面的能力只有通过实践才能发展，他们将在实际问题中发展估测的策略，积累根据问题确定精确度的经验。例如，学生可以尝试用不同的方法估测教室地面的面积。他们可能会利用步测的方法估计教室的长与宽，再利用公式进行计算；可能首先估计一块地砖的面积，再数一数一共有多少块地砖；可能分别估计讲台、每套桌椅、空地等的面积，再将结果相加。不同策略之间的交流，将加深学生对量及其单位实际意义的理解，发展学生灵活运用知识解决实际问题的能力。5．探索面积、体积等公式掌握规则图形的面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，但教学不能将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，体会重要的数学思想，发展空间观念也是大有好处的。回顾上面提到的圆的面积的例子，仔细分析学生们的不同想法，不难发现它们不仅有趣，而且都蕴涵了重要的数学思想。什么思想呢？就是老师们经常说的一句话：现在进入到曲边形的学习，在思想方法上是一个新的转变。那么，到底是什么转变？也就是我们怎么来处理曲线图形的测量，无非要将它转化为直线。但是要用直的代替曲的话，就需要细分很多段，这样用直的代替曲的误差就不会太大。这就是为什么教材上设计“切蛋糕”的活动，而且切了8个以后，还要再切16个，切32个，也就是极限的思想。我们再来看学生的想法。第一个想法，无论学生用圆内接正四边形，还是圆外切正四边形，都是想要用直的代替曲的，当然由于太具有挑战性了，学生感到了困难。其实，教师可以引导这个学生思考一下剩下的这四个曲边形像什么图形，像不像三角形，能不能用三角形去代替它？还剩下类似三角形的能不能再用一个小的三角形来代替。如果，把所有的圆上的这些点连在一起，就是一些正多边形，正八边形、正十六边形。这实际上就是刘徽的割圆术。其实，学生的想法跟教材的想法也是一致的。教材不也在割圆吗？无非是为了让学生更好地体会，教材把圆割成小扇形后，将这些小扇形重新进行了拼摆。利用学生的方法也能够推导出圆的公式。第二个想法是画方格。学生这种想法应该来自于最初求面积度量的学习，就是要数面积单位的个数。这种想法应该是最原始的，但同时也应该是有价值的想法。如果小方格再细分，与圆的面积就会越接近。学生的这个思想，既有对面积度量的一种本质认识，同时也提供了以直代曲的一种思想。当然这个方法，在小学阶段是没有办法得到圆的面积公式的综上所述，虽然评价考试中很难考察探索过程，但是除了考试，还有更重要的。比如在以上过程中数学思想的蕴伏，比如探索的精神和探索的意识，这些对学生的一生都是非常有帮助的。（《圆的面积》的教学思考和教学设计见拓展资源6和拓展资源7）。五、空间观念最后呢，我们从整体结构上来对空间与图形进行思考。新课程强调从多种角度来认识图形，认识空间，也就是几何绝对不等同于有关图形的计算，它是对空间和图形的刻画和把握。如果要刻画一个图形，需要刻画它的特征，所以要学习图形的认识；需要刻画它的大小，所以要学习图形的测量；需要刻画它的位置，这个正方形跟那个正方形形状和大小是一样的，但是一个在这个地方，另一个在那个地方，那就要刻画它们的位置，所以要学习图形与位置；需要刻画它的运动，所以要学习图形的变换。进一步，这些刻画图形的不同角度，在几何学中都是有很大的发展的，包括坐标几何学，包括变换。结构的变化不是对过去课程的一个简单否定，而是在过去的基础上，使得学生能够从多种角度，多元多维地来认识图形，这点在小学阶段是非常重要的。1．空间观念的体现对于什么是空间观念，空间观念体现在哪些方面，首先，我们还是看看不同人的看法。孙晓天：小学数学提出空间观念这样一个概念，具有创新意义，是有相当大的积极意义。为什么这么说呢？小学的空间观念着眼的是空间，我想它主要是解决了两个问题。一个是怎么把握空间。这空间观念说白了就是三维和二维空间之间的相互关系，你的这个把握能力怎么样。在小学几何里面，无论是哪一套教材都体现的比较充分，类似于由展开图去想象它的实际图形，这个实际图形和它的展开图进行对位，以及通过描述所做的一些判断，像类似这样的题材在教材里非常多，我觉得这个都是帮助学生建立空间观念的教学内容。另外一个是空间推理。小学几何我觉得第一次有了推理，而这个推理呢又不是逻辑推理，这个是跟想象、跟直观、跟空间想象有关的推理。像类似这样的内容呢，在我们教材里面处理的也都是比较丰富的。这部分内容的教育价值，我想不用多说，这个无论是从教师培训哪，还是从专家讲座里啊，其实都说的很清楚了，就是空间观念对位于创新意识的形成。王尚志：我们不能忽视另外一个方面，那么就是几何是通过图形的方式展示出来的，它不仅帮助我们去了解图形的性质和图形性质之间的逻辑关系，还帮助我们建立起一种几何直观，即用图来说话。我想希尔伯特在他一本非常重要的书《几何直观》里非常清晰的描述，几何学的这方面的一个基本定位，就是要培养学生会用图形来描述问题，来刻画问题。那么帮助学生学会通过图形，来发现解决问题的思路，帮助学生能够用图形来描述我们得到的结果，我想这些绝对在数学中是非常重要的。我还希望强调的是，这样一种几何直观的能力，不仅在几何学中是重要的，在我们算术的学习中，在代数的学习中，在其他任何一个数学分支的学习和研究中，都是很重要的。周玉仁：空间观念可以看成物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象。在课程标准中，对空间观念也进行了刻画。标准中提到，空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本图形；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。具体分析，有这么几个角度：第一，就是转化，这个转化既包括二维和三维的转化，也包括现实生活与抽象图形之间的转化过程。孙晓天老师特别强调了二维和三维空间的转化，是发展学生空间观念的一个非常好的途径。对于二维和三维空间的转化，标准专门设置了视图与投影的内容。这部分内容的主要目的是通过观察、操作、想象、推理等活动，实现基本几何体与其三视图与展开图的相互转化：即当我们面对一个几何体或实物时，能想象出它所对应的平面图形（如三视图、展开图）；反过来，当我们看到某个三视图、展开图时，能想象出它所对应的几何体或实物的形状。此时，我们就可以理解，为什么要设计观察物体这样的活动了。有的老师可能会说，小学三视图的画法跟数学中三视图画法是不一样的，确实是有些差别。但我觉得在小学阶段，只要为学生奠定丰富的经验，没有本质上的错误就可以了。有的老师还说，明明从侧面看它是凹凸不平的，看的感觉是立体的东西，为什么要画成平面的。从数学上讲，视图实际上是平行投影，就相当于一束平行光线照在物体上后投射在墙上的影子。有的教材还出现了视角，那就相当一个点光源照在物体上。在教学上，教师可以利用投影仪，在投影仪上一看就是一个平面的。第二，就是制作，或者画出来。有了图形以后，怎么去把它表达出来，无论是制作模型还是画出来。第三，就是分析。从复杂图形中去分解基本图形，在分析的过程中去体会图形的特征。第四，就是想象。既包括描述和想象物体或图形的运动变化，也包括描述或想象物体或图形的位置关系。第五，特别重要的一条，也是王尚志老师特别强调的一条，就是图形直观的作用。2．发展空间观念的价值发展学生的空间观念，主要有两方面的价值：一方面，就是生活中解决问题的需要。在生活中、在所从事的职业中，可能真的需要有一定的空间观念。这就使人想起了前面采访的一位生物学研究者，他就提到了两维和三维的转化在他工作中的重要作用。另一方面，就是图和几何直观的作用。像王尚志老师提到的，用图来启发创造，启发思考。记得一位财会人员开始想象不到图形和空间观念在工作中有什么用，后来他也提到用图可以将几部分的关系直观地表示出来，实际上也说明了几何直观的价值。我们再看看国际上一些伟大的数学教育家、数学家，他们的看法：弗赖登塔尔：几何就是把握空间……那是儿童生活、呼吸和运动的空间。为了更好地在这个空间里生活、呼吸和运动，儿童必须学习了解、探究和征服空间。陈省身：几何学将是21世纪数学研究的前沿阵地之一。姜伯驹：几何学正在迎来一个新的高潮。阿蒂亚：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。……几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。 庞加莱：我们是通过逻辑去证明，但我们是通过直观去创造。3．培养学生的空间观念（1）为学生提供多种素材空间观念的培养，绝对不能仅仅依靠长方形、正方形等所谓的基本图形，它就需要教师提供多种的素材和多样的活动。素材中有二维的，还有三维的；图形中有直的，还有曲边形；对图形既可以包括测量上的把握时，也包括一些特征的把握，也包括我们所说的变换上的把握，坐标上的把握，也包括像莫比乌斯带那样拓扑性质的把握。当然，并不是说教学中要讲这些名词，关键是设计丰富的活动鼓励学生去体会，从而建立经验。换句话说你把这门打开了，他就有可能发展，如果你这门永远打不开，或打的很窄，学生发展的空间就很小。（2）要重视观察、操作、想象、推理、表达的结合我想这一点是非常重要的。空间观念绝对不是多摸摸就能培养出来的，还要鼓励学生思考为什么要去摸？什么东西要有意识要多摸一些？也就是除了操作，还有观察、想象、推理、表达，它们之间的结合无疑是非常重要的。（3）根据学生实际发展空间观念根据学生的实际来发展空间观念，这里既包括从学生熟悉的事物入手，还包括老师们一定要重视帮助学生克服困难。比如，前面有的老师提到了侧面观察学生比较困难，确实有一位北京的老师，她做了一个她班学生大面积的调研，发现学生正面观察没有太大问题，侧面观察问题比较大。进一步，她反思了自己的教学，发现一节课就是让学生正面看完、侧面看，花的时间挺多，学生也特忙，但是仍然这个困难没解决。后来，他又坚持思考怎么来帮助学生克服侧面观察的难题，想出了一些办法。第一，他发现学生为什么侧面观察比较困难呢？一个原因是，一般咱们上课给学生观察的物体都比较小，而学生又不太懂得什么叫做正对着一个面去观察，结果学生一观察三个面他全看到了，所以就影响了他的判断。后来，这位老师就有一个措施，就是从观察大的物体开始。他们班的教室里面有一个大柜子，他就组织学生去观察，从正面看。再从侧面看。学生再到一定年龄的时候，她就指导学生去观察小的物体了。第二，学生不会利用明显因素。他就鼓励学生带着思考去观察，先猜一猜有些不明显特征与明显特征的位置关系，再去观察、验证，然后再调整。当然，这位老师还有意识的在侧面观察中加大了时间。所以，无论如何观察都是一种有目的，有计划的，有思维参与的一种活动，不是简单的看一看的活动。（《如何有效地培养学生的观察能力》一文见拓展资源8）。（4）图形的认识、图形的变换、图形的位置、图形的测量对培养学生空间观念都有着重要价值，应将四部分有机结合不要把空间观念的发展孤立起来，有的老师认为好像只是观察物体等特定内容在培养学生的空间观念。实际上，图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形的测量，都对培养学生的空间观念有着重要的价值，在教学中应该进行有机整合。比如，我们可以把图形与变换与图形的认识结合在一起。（5）要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、整体上认识图形和空间，多装一些具体的东西在学生头脑中。（6）要时刻把握几何直观的培养，要有图形意识图形的意识、几何直观的培养，不仅仅是在几何教学中，在其他内容的教学中，也应是重要的任务。比如在数的学习中，王尚志老师特别强调了两个模型，一个是数直线（数轴），一个是方格。讲加减法的时候就可以利用数轴，加法就是顺着数轴的正方向数，减法就是顺着数轴的反方向数。又如，统计中的统计图，数据的变化用文字描述了半天也不一定清楚，画个图它就非常的直观。再如，现在小学都比较重视渗透一些变化的内容，类似正比例、反比例等，如果结合图来认识变化，就非常有助于学生理解。最后，对评价考试做一个简单的回应。对于老师来说，上好一节课是非常重要的，创造一些好的题目和好的评价形式也是非常重要的，所以在这里呼吁大家共同努力。除了前面介绍的几个题目以外，下面的题目也是我们收集的来自老师们的一些题目，供大家参考。说出你能想到的关于下图中两个图形之间相同和不同的地方。  这个题目实际上考察了一个综合把握图形的能力。如果从特征的角度来说，这两个图形没有什么不同；如果从变换的角度来说，在旋转变换下，这两个图形可以看成是完全相同的，换句话说能够通过旋转，由一个图形得到另一个图形。那么不同的地方呢，显然就是它们在空间中的位置是不一样的。如果再把这个题目变一变，两个图形的大小可以不一样，就是将测量也用在其中。如图，向同学交流”筝形“的特征。  这个题目实际上考察的是对图形特征的概括和描述。有的学生可能发现两个邻边分别相等，它是一个轴对称的图形。有的同学想到要与正方形区分，因此进一步说明它的四条边不相等。有的同学可能会描述道，只要画一个一般的三角形，将这个三角形沿一条边反射，就能得到一个“筝形”。将一张纸对折两次，然后剪下来如图所示的图形，请画出将其完全展开后图形。  这道题是TIMSS国际测试中的题目。它既是对轴对称的一种考察，也是对空间观念的一个考察。          这道题挺有意思的，它将度量、维数和空间观念结合在一起了。这一专题的研讨马上要结束了，我们提出了的想法和建议确实是经过思考的，但也并不是完全的成熟，只是希望能抛砖引玉，引来您更好的思考。同时，这次研讨，你们的想法对我们的启发也是非常大的。我想我们的目标，就是共同发现问题，共同寻找经验，共同克服困难，最终使我们的学生在空间与图形这个领域中能够得到尽可能多的受益。 参考文献： [1]改编自《美国学校数学课程与评价标准》第133页，全美数学教师理事会著，人民教育出版社译，人民教育出版社，1994。