黎纲扮演者王宏身高:专题二：新课程理念下空间与图形教学的研讨 第一讲

主讲人：张 丹：北京教育学院数学系孙京红：北京市海淀区教师进修学校数学教研员孙雪林：北京大学附属小学数学教师王雪峰：北京大学附属小学数学教师慈 艳：北京中关村第四小学数学教师第一场：案例研讨与提出问题一、对“空间与图形”的整体思考头脑风暴：1．对于空间与图形，请写出您认为最重要的核心词。2．在课程标准中，空间与图形的学习包括哪些内容？这些内容与过去有哪些变化？这种变化的意义是什么？四个部分之间的关系是什么？ 3．在这部分教学中，请写出您印象最深刻的教学现象？您还有哪些困惑的问题？在课程标准中，空间与图形的内容分为四个方面：图形的认识、图形与位置、图形与变换、图形的测量。与过去相比，从以一些图形的性质和测量为主，扩充到四个方面感觉空间的、图形的内容更加丰富了、更加充实了。在与老师们的交流中，对于空间与图形这一领域，确确实实老师们有一些困惑，而且有一些问题是带有普遍性的，比如：1．为什么在认识图形时，先学“体”，不先学“面”？结果造成学生对“球”、“圆”不分。在学生没有“面”的相关知识的基础上，如何给学生讲好“体”的知识？——原来图形的认识基本上是从“平面到立体”，现在是从“立体到平面再到立体”，这样变化的原因是什么？2．为什么要把中学几何的东西（比如三角形两边之和大于第三边）下放到小学？学生热热闹闹操作了半天，还不如到中学一下子就许会了。——小学几何与中学几何的不同的地方；学生学习图形性质的价值是什么？3．“东西南北”、“平移、旋转、轴对称”等应该在科学课、美术课中学习，为什么要在数学课上学？——图形的位置和图形的变换内容的数学价值是什么？4．“火车拐弯”“窗帘拉动（图形变化了）”……是旋转或平移吗？——什么是平移、旋转、轴对称。5．现在谈到了空间观念，是不是摸摸、看看就是空间观念？——什么是空间观念？ 6．学生的空间感比较差，比如从侧面观察立体图形时容易出现错误，教学中怎么办？——如何培养学生的空间观念？7．不少老师不愿意在探索图形特征、空间观念等过程上下功夫，而是马上进入到图形周长、面积、体积等的计算，因为前者在考试一般不好考，这怎么办？——有关考试评价问题。以上是教师们普遍关心的问题，不难看出，现在老师们关注的问题与实施新课程开始的问题不大一样了。大家开始思考一些整体的、深层次的问题，比如课程结构方面的、空间观念方面的、设置某些内容的价值方面的，特别还有学生认知困难方面的。下面大家就对这些问题进行进一步的分析。二、图形的认识这一部分内容从知识上看，似乎变化并不是太大，但是在一些教学方式、教学要求上，确实有一些变化。那么，首先从一个课例来开始：案例1 ：第一学段“长方形、正方形、三角形、圆的直观认识”的两个教学过程背景：学生已经在一年级上册直观认识了正方体、长方体、圆柱、球等立体图形。在此基础上，一年级下册直观认识长方形、正方形、三角形、圆的内容。过程1（1）探索从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中能得到哪些平面图形？从哪些立体图形中可以得到长方形、正方形、三角形、圆？（学生借助沙盘操作，可以把立体图形的某个面按在沙盘上）教师给学生比较充分的时间，学生的思维很开放，比如对于从哪些立体图形中可以得到长方形的这个问题，学生开始提出了两个老师事先设想好的答案：——长方体可以得到长方形；——三棱柱“躺着”也能得到长方形。突然，一个学生指出圆柱也可以得到长方形，引起其他同学的好奇。他的回答如下：——把圆柱滚一滚，或者把圆柱使劲按一按（实际就是截面），就可以得到长方形。受到启发，有的学生认为正方体也可以得到长方形。随着学生们的操作、交流、再操作，一节课的时间过去了将近一半。（2）教师演示从立体图形得到相应平面图形的过程（长方体——长方形、正方体——正方形、三棱柱——三角形、圆柱——圆），介绍平面图形的名称，并强调面在体上。（3）学生在纸上描出长方形、正方形、三角形、圆。（4）认识交通标志中的平面图形（由于前面的时间比较长，后面老师还有很多练习没有做，只是匆匆做了此练习）。过程2（1）出示由4种平面图形拼成的有趣的小船（每种图形若干个，大小不一），让学生进行分类。（2）引导学生认识每种平面图形的名称。（3）学生分别从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中得到正方形、长方形、三角形、圆，认识到面在体上。与过程1不同，教师直接引导学生从长方体——长方形、正方体——正方形、三棱柱——三角形、圆柱——圆。（4）回到生活中去：寻找生活中“存在”的平面图形。（5）拼图游戏：用若干个平面图形拼图。在拼图的过程中，学生初步对图形的一些特征有了感受。当然，这节课教材不要求掌握图形的特征。讨论问题：上面的两个教学过程，您更喜欢哪个？您的依据是什么？ 其实，就这两个教学过程，某个学校的老师也进行了讨论。这些老师有喜欢过程1的，有喜欢过程2的，总结一下，分别的主要原因如下：l    更喜欢过程1的理由：
    （1）过程1非常开放，发展了学生的探索能力。（2）在活动中，使学生重点体会了面和体的关系。（3）在活动中体会了“展开图、截面”，为以后的学习积累了活动经验。l   更喜欢过程2的理由：（1）过程2从生活中来，又回到生活中去，设计了丰富多彩的活动，紧紧把握住了本节的教学目标：直观认识平面图形，同时也让学生初步体会了面在体上。（2）对于一年级的孩子，过程1这样的挑战性活动，是不是难度高了。（3）特别是，老师们提到了这么一个想法：毕竟，一个年级应该有一个年级的重点，这节课应该把重点放在认识平面图形。也有的老师希望如果能把两个过程结合就更好了，但显然一节课是绝对完不成的。通过以上案例的讨论，倒并不一定非要取得一个共识，所谓“教无定法”，只是希望通过案例引发老师们的进一步思考，因此提出几个问题：1．您比较喜欢哪个教学过程，谈谈您的理由，关键是您的理由是什么？2．对于图形的认识，在第一学段最重要的目标是什么？请举例说明。案例2：第二学段学习“两边之和大于第三边”时，学生出现的困惑老师给学生提供了一些长短不同的小棒，鼓励学生用它们拼三角形。在此过程中，希望学生发现：当两边之和等于第三边、或者是小于第三边的时候，拼不成三角形，从而反过来意识到，三角形得两边之和应该大于第三边。实际教学中，对于两边之和小于第三边的情形，学生毫无疑义地认为不能拼成三角形。关键是两边之和等于第三边的情形，比如4，5，9，学生们却产生了分歧，一部分学生确实利用小棒“拼成”了三角形，也就是学生通过操作，认为“当两边之和等于第三边时，能拼成一个三角形”，并且很多同学都赞同。 由这个案例，提出两个可以思考的问题：1. 学生为什么会出现这些想法？您在教学中将如何处理？2.既然操作造成了“麻烦”，图形的认识是否还需要操作？ 案例3：分享评价的案例上面提到过，不少老师不愿意在探索图形特征、空间观念等过程上下功夫，而是马上进入到图形周长、面积、体积等的计算，因为前者在考试一般不好考。老师们有这样的想法也是正常的，这就需要我们在评价考试上共同探索。下面就是几个来自实践中的评价的案例：1．请你将下面的图形进行分类，并说说分类的标准。 2.补全图形消防栓上的长方形玻璃被打碎了（如下图），工人师傅想知道玻璃原来的样子，你能把它画下来吗？ 3．五年级有关长方体的教学内容可以这样考查：上图中分别是一个长方体的前面和右面，那么这个长方体的底面积是（ ）平方厘米。A．6   B．12  C．18  D．44．澳大利亚维多利亚州2004年小学数学考试(基本题)（1）如图，正方体有多少个顶点？ 正方体的顶点显然在澳大利亚维多利亚州是不需要学生记忆的。本题实际上是考察了学生识图的能力。（2）如图，哪条直线与x垂直？ 以上呈现的这些评价试题，并不一定说都是最好的，但毕竟我们很多老师，在这方面已经走了一步，也就是说，图形的特征、探索的过程、空间观念是可以考察的。为了使大家有更广泛地分享和启发，提出下面的一个思考问题：
    阅读上面的评价试题，对您有什么启发？以上通过三个案例，对图形的认识有了一个初步的梳理，最后针对这一部分留一些作业：作业1．原来的课程是从平面到立体，现在是从立体到平面，怎样理解？2．在图形认识的教学过程中，量、折、撕、剪、画等操作活动的价值有哪些？3．在评价学生对图形及其特征的掌握情况时，您有哪些好的评价方法和评价试题？三、图形与位置图形与位置这一部分内容，是在新课程中增加的内容。对于新增加的内容，建议老师观察一下学生的原始想法。下面就是在没有学确定位置之前，对一所学校四年级学生所做的测试：测试问题：请你在纸上描述出你们班长的位置。下面是学生的几种做法：（1）文字叙述班长的位置：X行X列。比如三排第四个、第三列的第四个人。（2）文字叙述班长的位置：从X数X行X列。比如：从窗户数的第三排、第四个。从门这边数是第五组的第四个。（3）用图表示班长的位置：X行X列 （4）用图表示班长的位置：从X数X行X列 （5）还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第三个。学生的想法很丰富，这一方面是个可喜的事情，另一方面，可能老师就犯愁了，现在的教材中或者是利用几排几列，或者是利用方向和距离确定位置，那么学生的这些想法和教材中的办法有什么联系呢？为此，我们提出以下几个思考问题：1．学生的想法有道理吗？与教材中确定位置的方法有什么联系？2. 如果您的学生也有这些想法，您准备如何处理？在图形与位置的教学中，还有一些老师比较困惑的问题，现在也提出来供大家进一步讨论：1．有的老师提出：教材规定的行列与某些地方生活中的行列似乎正好相反，怎么办？如何看待教师提出的这个问题？2．确定位置的内容似乎科学课、社会课也要教，数学课为什么要设置这部分内容？ 我们也把上面的第2题作为这一部分的作业。四、图形与变换图形与变换也是新增加的内容，我们还是从课例开始。案例：一位教师进行轴对称图形教学的时候，课堂上出现了一个“突发事件”：教师组织学生对平面图形的轴对称性进行分析。在分析过程中，像正方形、长方形、圆，这些平面图形，它们的轴对称性学生的想法都很一致。而当判断（一般）平行四边形是不是轴对称图形的时候，学生产生了比较大的分歧。很多学生认为平行四边形就应该是轴对称图形，主要观点如下：（1）如果把平行四边形对折，再对折，它就能够完全重合了，对折了两次了。（2）把平行四边形从中间撕开，然后给它转过来，这样也完全重合了。（3）把平行四边形竖过来，看看两边是平行的，而且两边的角都是一模一样的，所以我认为它是轴对称图形。这位教师在课后反思中谈道：教师已经反复强调了对折以后能够完全重合的图形是轴对称图形，为什么学生还认为平行四边形是轴对称图形。学生的这种“执着”是什么原因呢？以上教学中出现的现象挺有意思的，（一般）平行四边形按照定义一判断肯定不是轴对称图形，没想到孩子这么“执着”，他就觉得这么一个“完美”的一个图形，看着这么对称，它怎么能会不是轴对称图形呢？所以他特别想把它重合，想了好多办法：撕下来转过来，甚至再折一次。其实，孩子的想法蕴涵着丰富的数学价值，平行四边形虽然不能靠对折重合，它是可以通过旋转来重合的，那么是不是除了轴对称，还有其他的对称，所以提出下面的两个问题，也作为这一部分的第一个作业：作 业1．小学阶段学习过的平面图形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？2．学生们为什么总觉得平行四边形“对称”？学生的想法在教学上对您是否有启发？对于图形与变换，除了轴对称，还有平移和旋转，在此我们也列举一些收集来的教师的困惑，大家一起讨论：1．在判断轴对称图形时，是否要考虑图形内部的颜色或图案？2．“火车拐弯”“窗帘拉动（图形变大或变小了）”“摩天轮”……是旋转或平移吗？3．为什么要增加平移、旋转、轴对称的内容？实际上，对于上面的第一个问题，不是一个好的问题，教师出现困惑可能是由于评价考试的原因。只要在教学或评价的时候，说明一下就可以了。而第二个问题和第三个问题，有点意思。我想对于老师，有些东西是应该清楚的，比如如何判断一个图形是否进行了平移、旋转、轴对称。进一步，老师们需要思考这一部分的数学价值和教育价值是什么。因此，留以下作业：作业1．什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形是否进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的方向和距离，如何确定旋转角度和旋转中心？2．为什么要增加平移、旋转、轴对称的内容？ 五、图形的测量图形的测量从知识上说是过去就有的内容，想必老师们都有很多教学心得。那么，和过去相比，新课程有了哪些新的想法，就是一个值得研究的问题。先从高年级圆的面积的教学谈起。案例1  由圆的面积备课谈起一个学校对于圆的面积的教学设计进行了讨论。首先，他们分析了教材，教材的基本呈现形式如下： 教材将圆平均等分为了若干份扇形，然后将这些扇形“拼成”了近似的平行四边形和长方形，并且分的份数越多，就越接近平行四边形和长方形。接着，教材引导学生分析圆的周长与半径与平行四边形的底和高（或长方形的长和宽）的关系，由此推导出圆的面积的公式。老师们把“切——拼”的过程称为“切蛋糕”。分析了教材后，大家谈起了最近分别看的有关“圆的面积”的三节课：◆第一节课
    教师引导学生将16个扇形拼成不同的图形—在拼上下功夫。教师从复习平行四边形面积公式的推导过程引入，然后引导学生将圆平均分成若干个扇形。接着，教师给了学生比较充分地探索和小组合作的时间，鼓励他们将这些扇形拼成了近似的长方形、平行四边形、梯形和三角形，如下图： 然后老师从中选取一种，引导学生推导圆的面积。◆第二节课
    教师引导学生用某一个图形进行多种角度的推导—在推导上下功夫。第二位老师从实际问题来引入，使学生产生探索圆的面积公式的愿望。然后，教师还是引导学生将圆平均分成若干个扇形，并将它们拼成一个近似的平行四边形。接着，他把重点放在公式的推导过程上，就是给了学生较长的探索和小组合作时间，鼓励他们用不同的份数进行推导，即尽管都是拼成近似的平行四边形，但由于拼的份数不一样，中间的推导过程也是不一样的。教师引导学生体会用不同的份数都可以推导出圆的公式。◆第三节课
    教师一开始就给了学生比较大的探索空间，鼓励学生自由尝试解决圆的面积的问题。下面是学生的做法：（1）圆中“得到”一个内接正方形。学生：我们把圆形内部折出一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但是我们不知道这多余的八个图形的面积怎么求。 （2）圆中画小方格。学生：中间的小方格好数出来，但是旁边不满一格的不知怎么办。 （3）教材中的“切蛋糕”。讨论问题：上面的三种教学过程，您最喜欢哪个？说说理由。这个学校的老师喜欢三种教学过程的都有，分别的理由如下：——喜欢第一节课，因为很多优秀教师就是这么上的，孩子们也很活跃，发展了他们的动手能力和创造能力。——喜欢第二节课，因为学生推导的很扎实，对公式的理解就会深刻。——喜欢第三节课，因为学生的想法挺新颖的。不知道我们学校的学生是否也会这么想？不妨做个学生调研。 随机抽取了一个学习小组，下面是调研结果：学生们很快想到了类似于上面第三节课第一位学生提出的想法：把圆转换成正方形，在圆的内部画了一个圆内接四边形，在圆的外面画了一个圆外切四边形。正方形的面积知道，但这个（外切）正方形，它比圆多出这四块，然后就没办法了，因为这个不是三角形，它是弯的。下面，学生花了十分钟的时间，尝试把圆的面积和两个正方形的面积的联系找出来，但进展不大。最后，忽然有一个女生灵光一现：可不可以把这个圆，分解成很多很多的小三角形。针对以上这个学校的教研活动，提出以下问题供大家思考：1．在上述的三个教学案例中，哪个学生的活动是富有数学价值的？说说您的理由。2．学生的想法和教材上的想法有没有什么联系？教材中为什么要“切蛋糕”？3．面对学生的想法，您在教学设计中如何处理？  案例2：学生对面积的困惑1．学生对计算的“依赖“。听了平行四边形面积的探索的一节课。教师开始给了一个长是10、宽是6的长方形，学生通过以前的知识马上得到长方形的面积为60。然后他给了学生一系列的平行四边形，它们的一个边还是10，另一个边还是6，相邻的两条边的长度没有变，只是越来越“歪”了。学生开始绝大部分还是认为面积是60，后来教师鼓励学生学生去观察这些平行四边形，有些学生开始觉得有点不像，但是还是有很多的孩子认为，面积就应该是60。他们提出自己的理由，比如说有一个孩子提到：这些平行四边形都可以看成是长方形逐渐拉动而成的，在整个拉动的过程中面积应该不变。针对这个，老师通过课件演示，使学生强烈感受到：拉到最后一个，平行四边形的面积跟开始差的很大了。如下图： 教师觉得这下肯定很有说服力了。但还有一些学生站起来说：“确实我发现它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的”。2．关于周长的两个处理：处理1：教师鼓励学生描一描、摸一摸、围一围、量一量、加一加等活动体会周长。但课后研讨中，老师们觉得周长很简单，没有必要这么多活动，似乎没有多少思维含量。处理2：学生在描一描、围一围感知周长后，教师设计一个探索活动：探索一些特殊图形的周长怎么求。课后研讨中，老师们觉得很有探索味道。针对上面的案例，提出下面的思考问题：（1）对于上面的两个周长教学的处理，您的看法如何？ （2）在教学中我们发现，高年级的孩子对于周长和面积仍然存在意义理解的困难。是什么原因造成这种现象？下面，对于图形的测量这部分内容，留一些作业供大家思考：作 业1.在新的课程中，对于图形的测量有了哪些新要求？谈谈变化的原因。
    2.在教学中可以从哪些方面促进学生对于度量（如周长、面积）的理解？ 六、空间观念回顾上面的讨论过程，开始是整体思考空间与图形的教学，然后分四个部分进行了研讨，最后回到非常重要的有关空间观念的讨论。我想，就直接提出一些可供思考的问题吧：1．什么是空间观念？空间观念体现在哪些方面？2．为什么强调空间观念？它对学生今后发展和学习的作用是什么？（有的数学专业工作者则由此引申到几何直观和图形语言的作用。）对于第2个问题，我们换一个角度，看看从事其他职业的人是如何看待图形和空间观念的作用的。下面是两段采访：采访1（生物学研究者）：图形在我的工作中的应用是比较多的。因为从生物角度来说，以前是处在一个理论方面，随着生物技术的发展，现在处在一个分子生物学的水平。分子是一个立体的东西，而不是一个平面的，那么以前学习的很多知识，如立体感、三维空间，甚至抽象的想象六维空间，就是说面和体的感受，在工作实际中作用是比较多的。另一方面，在生活中我们也经常会遇到，或者可以说每天都接触到，面和体的事物。所以说，小孩子从小有这方面的认识，对他今后的生活、工作都有很大的帮助。进一步地说，我们在工作中，经常会碰到把一个立体的东西，转换到一个平面上来看，那就需要考虑怎么去设计这个平面，平面上的样子是什么形状的的，是三角形、还是用平行四边形，或者是一个梯形去表达它。同样地，平面转换成立体的时候，我们也要考虑怎么来构建它，形成一个直观体，给人一个直观的感觉，立体的感觉。比如，DNA这个生物分子的基础，它就是一个空间螺旋结构，其实在平面上我们看到的可能只是两条线，但实际上它是一个空间很复杂的结构。稍微有一点变动，可能它的功能就改变了。小学在学图形的时候，主要在于建立孩子的一种空间思维方式，给他一种空间感。因为毕竟我们平时看平面多一些，看真正的立体的可能就是在不自觉中感受它，实际上没有刻意的去做。实际上就是说平面转化到立体，或者立体转化到平面。采访2（财务人员）：财务跟图形联系起来的东西很少，要说只能跟表格联系起来，别的也没有什么联系的。可能主要是锻炼思维能力，特别是空间想像能力。（想了一会儿，又说：）财务怎么与图形联系我还真没想过。财务上，坐标肯定要用的，还有就是表格也有一些。在财务管理上涉及到的图形比较多，现在很多管理实际应用数学的东西比较多。对、现在不管一个项目，或者一个事情做了以后，都可以用图形来表述的更清晰一些，比如财务几块成本构成联系，一块一块划分，那么哪块占多大比例，别人看着就很清晰。听完上面的发言，启发还是挺大的。虽然，有的人可能认为在自己的工作中，图形确实用处不大，但是她后来也觉得，图可能会帮助表达清晰。那一位生物学研究者就明确的说空间的观念非常有用。我想这些都可以启发大家一起思考。接着留两个作业：3．列举一些学生空间观念的困难，思考如何帮助学生克服这些困难？4．如何培养学生空间观念的途径有哪些？您有哪些好的做法。