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天空有多高，学生的发展就有多远

—— 可否这样认识“圆”？

“圆的初步认识”是小学数学中的重要内容，是学生“正式”认识的第一个曲边图形，其具有丰富的教育价值，因而是小学教师上研究课的首先内容之一。正是因为研究的人多了，教师感觉“很难再上出新意”。前一段时间在北京小学听了陈新华老师执教的“圆的初步认识”，当时的第一感觉是“学生太了不起”：初中三年级要学习的内容，六年级的学生竟学得如此精彩！课后留给我们很多思考，现将其主要教学过程以及分析摘录在此与大家共享。

一、可否这样认识“圆”？

（一）“动态生成”中初步感知：“圆”是到定点的距离等于定长的点的轨迹

“圆的初步认识”有很多种“导入”方法， 陈 老师设计了一个非常简单但与“圆”密切相关的问题引入新课：

给定学校的位置，小明家距离学校 300 米 ，若用 1 厘米 代表 100 米 。想象一下，小明家可能在哪儿？在纸上找一找，画一画。

虽然是一个简单的问题，但学生的解决过程是多样的：有的用直尺来找，有的试图用圆规来找，还有的似乎自言自语说“有无数种可能”。经过思考讨论师生共同得出结论：“以学校的位置为中心，向任何方向延伸 3 厘米处都是小明的家”。

教师再利用课件动态演示：“直尺”的 0 刻度线对准学校，直尺上 3 厘米 处就是小明的家。转动直尺，当直尺转动的角度越来越小，“小明的家”就形成一个“圆”。

接下来教师很自然地介绍：圆心、圆周、圆内、圆外。

如此引入新课，学生充分地经历了“圆”的形成过程，并认识 “圆心”是圆内的一个点，处于圆的中心位置，圆周上任一点到圆心的距离都相等 。

（二）用圆规画圆进一步认识“圆”：半径决定圆的大小

学生经历上述“圆的动态生成过程”，对圆的本质特征：“圆周上的点到定点的距离等于定长”有了形象而深刻的认识，接下来：

师：一般我们会像刚才那样用尺子描点画圆吗？

生：不会，用圆规画圆。

师：为什么不用直尺画圆？

生：直尺只能画出直线或者线段，而圆是一个曲边图形。

师：用圆规怎么画圆？同学们能自己尝试画一个圆吗？

由于经历了上述“动态生成过程”，学生几乎都可以独立地用圆规画圆。这时教师又提出一个有价值的问题：

师：请同学画一大一小两个圆，尽量让别人一眼看出哪个大哪个小，想一想怎么画？

学生画出的两个“圆”各不相同，例如：

生：我画了一个大圆，里面有一个小圆，它们的圆心在一个位置，也就是图上的圆心 O ，改变两脚间的距离就可以再画一个圆，大家可以明显的看出里面的小圆一定比外面的圆的面积小。

“同心圆”、“相离的圆”、“相交的圆”等情况都出现。经历这样的“画圆”过程，学生认识到“ 圆心所在位置决定了圆所在的位置。 ”

教师重点介绍了“同心圆”的特征，学生认识到：改变圆规两脚间的距离，圆的大小会随着改变，两脚间的距离越大圆就越大！ 此时教师没有急于给出“半径”的定义，但什么是“半径”已经呼之欲出，而且“半径”的作用已经“深入人心”：半径决定圆的大小。  

（三）过“点”画圆：理性判断中再一次认识“圆”

接下来的 5 次“画圆”是学生在“思想”上“画圆”，没有动手操作，在推理中进一步认识圆的本质特征。

第一次“画圆”

师： A 、 B 、 C 三点位置如图，请同学们想办法画一个以 C 为圆心， A 、 B 都在圆上的圆。

学生尝试用圆规来画，但很快就有学生小声嘀咕“画不出来！”学生知道 CA 不可能等于 CB 。

第二次“画圆”

师：在该图中，以哪个点为圆心画圆，另两个点会都在圆上？

学生很快得出结论：以 B 点为圆心！因为 B 点到 A 、 C 的距离相等。

第三次“画圆”

师：如果将 C 点去掉，画 A 、 B 两点都在圆上的圆（如右下图），想一想怎么画？圆心可能在哪儿？

学生交流尝试，绝大部分学生一下子就选择了 AB 的中点作为圆心，还有一部分学生确定线段 AB 中点的上方的格点处也能作圆心，个别学生找出了 3 个以上的点可以作圆心。

师 ：将自己画的圆展示给同学们看看，并说说你是怎么选择圆心的？

生 ：我是以O₁为圆心画了一个圆，因为O₁到 A 、 B 两点的距离都相等，都是正方形的边长；还可以以 O₂为圆心，因为 O₂到 A 、 B 两点的距离也相等， 是小正方形的对角线！

生：（其余同学一看到他画的图，不由发出赞叹！）我还找到了更多的点可以作圆心， O₂上方的格点 O₃ 、O₄也能作圆心，我 量了量 ，它们到 A 、 B 两点的距离也相等，但是由于 越往上圆越大，画不下了 ！而且，下面的 O₅也能作圆心，画出的圆和以 O₂作圆心画出的圆一样大！ 往下和往上都还能画出无数的圆。

  在此情境中学生认识到过 A 、 B 两点可以画无数个圆并且：

师：没错！其实，这条线上的所有点都可以作圆心，因为它们到 A 、 B 两点的距离都相等，这条线叫线段 AB 的垂直平分线，同学们到中学会学到这个知识！

第四次“画圆”

师：如果还是 A 、 B 、 C 三个点，能画出这三点都在圆上的圆吗？

思考过后学生几乎异口同声说“能！”

师：如果不显示出圆， D 点在圆上吗？

生： 在圆上，因为圆心到 D 点的距离与圆心到 A 、 B 、 C 三点的距离相等。

师： E 、 F ……在圆上吗？

生：不在，因为到圆心的距离与 OA 的距离不相等。

生：应该在圆内！

通过这一次的“推理画圆”，学生进一步明确了圆周上的点到定点的距离都相等，与此距离不相等的点就不在圆周上。

教师在此给出“半径”的定义，由于有前面的“画圆”过程，学生自己得出结论：

生：半径有无数条！因为圆上有无数多个点，就像小明的家有无数多种可能！

生：无数条半径都相等，圆上任意一点到圆心的距离都相等！

生：圆规两脚间的距离就是半径！

生：半径越长圆就越大；半径越短，圆就越小，半径决定圆的大小。

第五次“画圆”

师：如果请同学们在长 3 宽 2 的长方形中画最大的圆，半径应该多长呢？

学生画“圆”进一步感受圆的特征，同时教师介绍 《墨经》中的“圆，一中同长也”的含义 ，进一步认识圆的特征 。

（四）实际问题情境中认识“直径”以及“直径与半径的关系”

师：如果小亮家也距离学校 300 米 ，他家可能在哪儿？两家距离 600 米 ，可能吗？

师生共同解决上述问题（教师不断变换“小明家的位置”），在问题解决过程中认识直径、直径的特点以及直径与半径的关系。

最后教师利用圆的特点解释生活中的现象，例如篮球长上的三分线等。

二、天空有多高，学生的发展就有多远

（一）“静态抽象”还是“动态生成”？

现实生活中很多物体（自然的、人造的）的形状都是“圆形”，学生对此有丰富的认识和经验，例如学生很容易辨认出圆形，能够说出其特征：圆圆的、没有棱没有角、曲边等。因此“圆的初步认识”的教学有多种设计：可以展示“圆形”物体并从中抽象出“圆”；出示所学过的平面图形，进行分类，初步认识“圆”的特征；从“画圆”引入，在画圆过程中感知、强化认识圆的特征等等。可以说“圆”的引入有两类：一类是静态的认识，即对物体形状进行抽象；另一类是动态的认识，在“圆“的形成过程中认识圆。

哪一种引入都很好，但接下来的核心都是要认识“圆为什么是圆圆的、为什么没棱没角”（即到定点的距离等于定长）。因为学生已经对“圆”有初步认识（例如 100% 学生能够判断哪个平面图形是“圆形”），因此我们认为六年级学习“圆”还是让学生经历“圆的生成过程”更好，在动态生成过程中更能够把握“圆之所以为圆”的本质所在（例如课前调研时给出几个平面图形，让学生说说“圆为什么是圆圆的”，几乎没有学生能够说出原因）。

当然，学生必须是真正地经历“圆的生成过程”，例如在 陈 老师的课上，虽然从简单的问题入手：小明家距离学校 300 米 ，小明的家在哪里。但学生问题解决策略是多样的，学生的思维经历了“由特殊到一般”的过程：先是只能确定一个位置是小明家，后来发现有多个位置都可能是小明的家，最后在教学课件的帮助下，认识到以学校为中心，以 3 厘米 为半径的圆上的点都是小明家的位置，有无数个。经历了这样充分的“过程”学生对圆的本质特征有深刻认识，虽然这时学生可能还说不出“直径”、“半径”的定义以及特点。

（二）“背诵”定义还是追求学生的“真理解”？

“圆的初步认识”的教学目标中往往有这样的话：知道圆的各部分的名称，理解和掌握同一个圆里直径和半径的关系。

由于对此教学目标有不同的理解，就导致了不同的教学现实。例如 学习“半径”这一概念时，教师在直观认识的基础上先给出“半径”的定义，然后要求学生一字不差地说出“什么是半径”，后面的练习往往是这样的判断题：判断所给出图形（画出“真半径”、“假半径”）中哪一条是半径。

在 陈 老师的教学中没有“明确地”给出直径和半径的定义，也没有要求学生说一说什么叫“半径，更没有让学生在图形中判断哪些线段是半径，但学生对“半径”的理解不能说不深刻，否则学生不可能顺利地进行“过两点画圆”、“过三点画圆”以及“在长方形中画最大的圆”。

由此使我们想到数学概念教学到底是教“形式化的定义”还是追求学生思维上的“真理解”？显然，数学概念教学追求的是后者。那么，什么是思维上的“真理解”呢？

学生是否理解一个概念不在于能否说出它的“定义”，而在于 能否把握概念的本质，能否在具体情境中运用该概念进行问题解决 。例如在 陈 老师的课上学生能够解决“过给定的几点能否画圆”等几个“苛刻”的问题。学生能够认识到“ 半径有无数条！因为圆上有无数多个点，就像小明的家有无数多种可能！”、“无数条半径都相等，圆上任意一点到圆心的距离都相等！”、“半径越长圆就越大；半径越短，圆就越小，半径决定圆的大小。” 学生也能够解释生活中运用圆的特点的现象与事实。因此在 陈 老师的课堂上，学生“真的”认识了圆。

（三）“我也这样教为什么不行？”

听陈老师的现场课时，听者为她的新颖教学设计、为学生课堂上思维的真投入而震撼。听课结束后，有一位农村的骨干教师决定借鉴陈老师的教学，也这样认识“圆”，但后来以“失败”告终。对于“失败”的原因，教师认为主要是农村学生的基础差，“从来没有使用过圆规，甚至没有见过圆规”。真的是因为“学生基础差”吗？随着与该教师交流的深入，我们发现其“失败”的根本原因不是“学生差”（当然与学生之间存在差异有关但不是根本的）而是该教师并没有领会陈老师“这样认识圆”的“真谛”：在动态生成中把握圆的本质特征，在推理判断能否“画圆”中进一步深化对圆的本质特征的认识。下面是该教师的主要教学过程：

1 ．感知圆在生活中的存在

把汽车行驶、驾驶员操作的方向盘、圆形交通标志、交叉路口的圆形转盘等事物串联起来播放一段录像，并闪动有关物体上的圆．从而引出课题：圆的初步认识

2 ．认识圆的形状

给下列六个图形分类并说明分类理由，从而了解“圆”与其他图形的区别，进而 提问“圆是平面上的一种什么图形？” （类似的提问还有很多）

3 ．小明家离学校 300 米 ，请你画出小明家在哪儿。（提示： 1 厘米表示 100 米 ）

在该活动中教师没有让学生经历“充分”的过程，而是很快出示是“圆形”，并急于给出圆心、半径、等概念的定义以及特征。

4 ．教师提问：你会使圆规画圆吗？说说你是怎样画的？

学生不会使用圆规画圆，教师进行指导。

接下来的活动与 陈 老师的“过几点能否画圆”完全一样，但是学生的学习很被动，“因为学生不知道如何判断能否画圆”，“过 A 、 B 两点画圆”学生只能找到以其中点为圆心画圆，其他情况则想不到。

后续其他活动也如此，但由于时间关系没有上完。 总之，尝试着上完课后，教师感觉“心灰意冷”，“城乡的差距怎么这么大”。

分析该教师上述的教学活动可以看出，“失败”的主要原因不在于学生不会“使用圆规”，而是如前面所分析，学生没有充分经历“圆的生成过程”，既包括直观操作上的形成，也包括“头脑中”的形成，更包括学生思想（推理）上的形成过程。即教师没有处理好静态抽象出“圆”与动态生成“圆”的核心都是把握“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹”，并将这一本质转化为学生能够操作与理解的活动，相反地，该教师的提问更多的是“事实性提问”（例如“圆是什么图形”、“什么是半径”等），没有抓住概念的本质所在。

除此外，在陈老师的课堂上，学生能够迅速地判断“过几点是否能画圆”的一个重要工具是教师所给出的图形中其背景都是“ 方格纸 ”，由于有“方格纸”做“隐性工具”，学生能直观判断某些线段是否相等。这正是六年级学生与初三学生学习这一内容时的本质区别，初三学生在判断某些线段是否相等时的依据是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等，即初三学生借助的是“推理”，六年级学生运用的是“直观”（包括视觉上的观察和动手测量）。

由此看来，学习一份“好教学设计”或观摩一节“好”课一定要把握其“好”的根本原因，不要简单模仿其教学活动，要对其进行深入分析：理解数学概念的本质是什么？追问优秀教师为什么设计这个活动？我的学生的学习现实是什么？等问题。

在把握数学本质的基础上，并真正了解学生的学习基础与发展潜能，教师就可以大胆为学生创设发展的空间，因为我们相信：天空有多高，学生的发展就有多远。