食堂冰柜:在高考复习中如何提高学生的数学能力

                           崇明中学  任忠平

教了几届高三，也知道了上高三复习课的一些简单原则，可真正要上好高三复习课却不是那么简单，因而每当高考结束都有一些遗憾，有一些感悟，回头再教一届高三，又有一些遗憾，有一些感悟。近几年高考数学试题，在基础上集中体现了“选拔性、内容新、考能力”的特征。这些试题层次分明，梯度合理，坚持多角度、多层次进行考查；各类题型起点较低，由浅入深，注重基础知识、通法通性的考查；坚持多问把关的特点，多数题目有多种不同的解题思路，注重思想方法的考查。它基本符合当前高中数学教学的实际，具有良好的评价功能和教学导向性。针对以上特点，笔者结合教学实际，认为高考总复习中要把提高能力放在首位。那么如何提高学生的数学能力呢？我在这方面做过一点尝试，在此浅谈，以其引玉。
 1、在平时的课堂教学中切实抓好“三基”,夯实数学基础，以不变应万变。

数学的“三基”是指数学的基础知识、基本技能和基本方法。 其重要性是不言而喻的。 只有打好坚实基础，才有取得好成绩的可能。翻阅历年高考题，或多或少总能在课本上找到“根源”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合，没有偏题、怪题，解题注重通性通法，淡化特殊技巧，体现了对“三基”的考查。因此复习时，应做好以下几点：
1 用好课本。 在平时教学中要用好课本，就是到了复习阶段，也要以课本为主，充分发挥教材中知识更新形成过程和例题的典型作用。 基本训练也要以课本的习题为主要素材，一定要克服“眼高手低”的毛病，在没有扎实抓好基础知识和基本训练之前就去攻难题、搞综合提高，肯定不会有好的效果。即使在复习的后阶段，进行解较难题目的训练时，也要不断联系基础知识和基本训练，充分体会基础数学的通用性通法在解题中的作用，做到基础知识和基本训练常抓不懈。 事实上高考数学试卷中有相当多的试题是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的，因此要切实抓好基础知识和基本训练，用好课本。

　 2  精选例题、习题。 要求选择的题目典型有代表性，体现通性、通法，有举一反三的作用。

　 3  反复训练，达到自动化。 对"三基"的掌握需要一个过程，必须经过适量、适当训练才能达到。因此，每练一题就应是一次学习和巩固，一看到这类问题马上就是能想到涉及这类问题的相关知识点及解决它的常用方法, 使之养成习惯，达到自动化。

2、在平时的教学练中让学生熟练地掌握基本的数学思想方法和常用的数学方法。

数学思想蕴含于基础知识之中，是数学的精髓．教师只有在讲授基础知识的过程中不断渗透相关的数学思想，才能使学生的基础知识达到一个质的“飞跃”.在数学方法的讲授中教师还要有意识地选择具有综合性的试题，把个题的解法看成是某一方法、某一思想的具体应用，讲解其本质的东西，这样才能使学生举一反三、触类旁通，才能将掌握的方法应用于各章节的知识中。.

高中数学中常用的思想方法有以下几类：数形结合的思想方法、函数与方程的思想方法、分类讨论的思想方法、等价转化的思想方法等．用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，以培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通，引申推广，以培养思维的深刻性、抽象性；积极对解法进行反思，不断优化思维品质。对同一数学问题进行多角度的审视，引发不同联想，在一题多解中提高数学能力。

如函数与方程的思想，就是指从问题的数量关系入手，利用函数或方程的概念和性质去转化或解决问题的思想。我在课上举了这样一个例子：三个数a、b、c成等比数列，若 成立，则b的取值范围为__      .　　　　.

解：法1（函数思想）：设公比为 ，则 ，

∴ ，∴只需求函数 的值域，用判别式法可得 .

法2（方程思想）： ∴ 的两根. ∵ 且 ，∴ .

3、在平时的教学中，注重让学生对解题后的“反思”，以提高学生的数学解题能力。　　

提高学生的数学解题能力，受诸多条件和因素的影响。长期的学习经验表明，不少的同学在完成作业或进行解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，就是解题后的“反思”。一道数学题经过反复思考，苦思冥想解出答案之后，就心满意足了，而不再去思考、探索：这道题考查了我们哪些方面的概念、知识和能力？解答的每一步推理是否合理？这道题有没有其他的解法？多种方法中哪一种比较简单一点？把这道题的条件或结论进一步推广又会如何？等等。

“与其终日而做矣，不如须臾之所思也”。一个问题的解决并不等于思维活动结束，而是深入研究的开始。若注意回顾反思问题解答的过程、思路、方法，可能发现新问题，促使我们更深入地思考，去改进完善，得到更简洁的解法。因为在解题时还不能完全领悟，或许走了弯路，若解题后杀个“回马枪”，细致准确地审题，找准突破口，仔细回味反思，可使思路自然、流畅，解法更合理，或跳出思维定势，得到标新立异的解法。还能抓住问题实质进行变式编题，迁移应用。教学中教学应有意识地选用一 些错解或错题，进行解题后反思，使学生真正认实到解题后思考的重要性。

如已知：a、b、c、d∈R，且a² + b² = 1，c² + d² = 1，求证：|ac+bd| ≤1

证法一 ：∵  a、b、c、d∈R，

∴  ac ≤(a² + c² )/2 ； bd ≤(b² + d² )/2

∴  ac + b d ≤(a² + c² )/2 +(b² + d² )/2= 1

∴  |ac+bd| ≤ 1。

解题后引导学生反思：为什么要这样解？这样解正确吗？解题过程中用了哪些知识点？通过学生反思，得知如果ac+bd= - 2，则|ac + b d|=2与|ac + b d|≤1矛盾，所以上述证明是错误的。本题是以绝对值不等式为背景的，所以想到利用绝对值的定义来证明此题。

证法 ：（比较法）

         ∵|ac+bd|≤1

          ∴- 1≤ac+bd≤1 即 ac+bd≥-1且ac+bd≤1

    利用作差法证明上述两式。

通过这样反思，学生反思至少有以下两点收获：①本题是含绝对值不等式的证明题，利用去绝对值来证明，思路得到了肯定，下次遇这类题就不会手足无措；②反思过程中得知绝对值不等式是双向的，单向成立是不能推出绝对值成立的，这样在以后遇到类似的题目不会出错。

4、在平时的教学中，系统整理，构建数学知识网络.

第一轮复习，也称“知识篇”，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，所学的往往是零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。平时复习中应重视教材中概念、定理、公式等基础知识、基本技能；同时，更应注重知识的发展形成过程，例题的分析思路，求解过程。在复习中应立足教材、夯实基础，以课本为主，全面梳理知识、方法，注意知识结构的重组与概括。将高中阶段所学的数学知识进行系统整理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，构建成知识网络，使学生对整个高中数学体系有一个全面的认识和把握，以便于知识的存储,提取和应用，也有利于学生思维品质的培养和提高，这是数学复习的重要环节。在老师指导下把高中数学有关知识点梳理成一个有机的网络。这不是简单地重复初学的过程，而是站在更高的角度上激活记忆(囿于篇幅，无法展开叙述)。同时要完成适量的练习，使知识网络骨架成为有血有肉有感觉的有机体，完成读书由“薄—厚”到“厚—薄”的过程转变。

如“函数”这部分纵横向联系的知识结构为：

5、在平时的教学中加强非智力因素训练，提高教学效果。

   现代认知学习心理学认为，学生的学习过程是一个特殊的认知过程，其主体是学生，学生要牢固掌握数学，就必须用内心的创造与体验的方法来学习数学，好的教师不只是单纯地机械地教数学，而是在于能激发学生自己去学数学，复习的效果最终体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途。在复习时，由于解题的量很大，就更要求我们将解题活动组织得生动活泼、情趣盎然.让学生领略到数学的优美、奇异和魅力，这样才能变苦役为享受，有效地防止智力疲劳，保持解题的“好胃口”。一道好的数学题，即便具有相当的难度，它却像一段引人入胜的故事，又像一部情节曲折的电视剧，那迭起的悬念、丛生的疑窦正是它的诱人之处.“山重水覆”的困惑被“柳暗花明”的喜悦取代之后，学生又怎能不赞叹自己智能的威力？我们要使学生由“要我学”转化为“我要学”，课堂上要想方设法调动学生的学习积极性，创设情境，激发热情，有这样一些比较成功的做法：一是运用情感原理，唤起学生学习数学的热情；二是运用成功原理，变苦学为乐学；三是在学法上教给学生“点金术”等等。

学生数学能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练。只有这样，才能其正把这一工作做好。

总之，依据考试大纲的要求，根据高考试题的新特点、把握正确方向，打好扎实的数学基础，打破传统复习模式、冲破"题海"，走出猜题押题的误区，构建能力首位的复习模式，是高考胜利的关键，让我们共同努力，期待20O9年高考的胜利!