因式分解

目录

概述

因式分解的方法

基本方法

竞赛用到的方法

多项式因式分解的一般步骤：

因式分解四个注意：

因式分解的应用

[编辑本段] 概述

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也作分解因式。
　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
　　分解因式与整式乘法互为逆变形。

[编辑本段] 因式分解的方法

　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。

[编辑本段] 基本方法

　　⑴提公因式法
　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
　　注意：把2a*2+1/2变成2(a*2+1/4)不叫提公因式
　　⑵公式法
　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
　　平方差公式：a*2-b*2=(a+b)(a-b)；
　　完全平方公式：a*2±2ab＋b*2＝(a±b)*2；
　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
　　立方和公式：a*3+b*3=(a+b)(a*2-ab+b*2)；
　　立方差公式：a*3-b*3=(a-b)(a*2+ab+b*2)；
　　完全立方公式：a*3±3a*2b＋3ab*2±b*3=(a±b)*3．
　　其余公式请参看上边的图片。
　　例如：a*2 +4ab+4b*2 =(a+2b)*2(参看右图)．

[编辑本段] 竞赛用到的方法

　　

⑶分组分解法

　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
　　比如：
　　ax+ay+bx+by
　　=a(x+y)+b(x+y)
　　=(a+b)(x+y)
　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
　　同样，这道题也可以这样做。
　　ax+ay+bx+by
　　=x(a+b)+y(a+b)
　　=(a+b)(x+y)
　　几道例题：
　　1. 5ax+5bx+3ay+3by
　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
　　=(5x+3y)(a+b)
　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
　　2. 3x-２x+x-1
　　解法：=(x3-x2)+(x-1)
　　=２x(x-1)+(x-1)
　　=(x-1)(x2+1)
　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
　　3. 2x-x-2y-y
　　解法：=(x2-y2)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y-1)
　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
　　
　　

⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。
　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解
　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
　　图示如下：
　　×
　　c d
　　例如：因为
　　1 -3
　　×
　　7 2
　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
　　所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．
　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
　　

⑸拆项、添项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
　　=(c+b)(c-a)(a+b)．
　　
　　

⑹配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
　　例如：x²+3x-40
　　=x²+3x+2.25-42.25
　　=(x+1.5)²-(6.5)²
　　=(x+8)(x-5)．
　　

⑺应用因式定理

　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
　　例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)
　　
　　

⑻换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
　　注意:换元后勿忘还元.
　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则
　　原式=(y+1)(y+2)-12
　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10
　　=(y+5)(y-2)
　　=(x²+x+5)(x²+x-2)
　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
　　也可以参看右图。
　　
　　

⑼求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
　　例如在分解2x^4+7x³-2x²-13x+6时，令2x^4 +7x³-2x²-13x+6=0，
　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
　　所以2x^4+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
　　
　　

⑽图象法

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
　　例如在分解x³ +2x² -5x-6时，可以令y=x³ +2x² -5x-6.
　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
　　则x³ +2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
　　
　　

⑾主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
　　
　　

⑿特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
　　例如在分解x³+9x²+23x+15时，令x=2，则
　　x³ +9x² +23x+15=8+36+46+15=105，
　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
　　则x³+9x²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。
　　
　　

⒀待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
　　例如在分解x^4-x³-5x²-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
　　于是设x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d)
　　=x^4+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd
　　由此可得a+c=-1，
　　ac+b+d=-5，
　　ad+bc=-6，
　　bd=-4．
　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
　　则x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+x+1)(x²-2x-4)．
　　也可以参看右图。
　　
　　

⒁双十字相乘法

　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。
　　例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12．
　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
　　解：
　　x 2y 2
　　① ② ③
　　x 3y 6
　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
　　双十字相乘法其步骤为：
　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X²+5xy+6y²=(x+2y)(x+3y)；
　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

[编辑本段] 多项式因式分解的一般步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”
　　几道例题
　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
　　（分解因式的过程也可以参看右图。）
　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．
　　∵a、b、c是△ABC的三条边，
　　∴a＋2b＋c＞0．
　　∴a－c＝0，
　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。
　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

[编辑本段] 因式分解四个注意：

　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考
　　例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
　　解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误
　　例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
　　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
　　考试时应注意：
　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了
　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

[编辑本段] 因式分解的应用

　　1、 应用于多项式除法。
　　2、 应用于高次方程的求根