随宇而安的小说:数学课程改革的实践与认识

匡继昌  （湖南师范大学数学系 410081）

 

编者按  自从教育部制订并实施了《全日制义务教育数学课程标准》，引发了数学教育界和数学界的诸多思考与讨论，讨论中出现了正反两方面的意见。体现出我国逐步走向学术民主、思想民主的进程。讨论中涉及的问题很多，比如怎样评价我国的中小学数学教育？传统与革新应该是什么样的关系？中学生负担过重是由于高考还是由于课本内容过深过繁？数学通报作为一本面向中学数学教育与教学的刊物，愿意为广大中学教师和教育工作者提供一个发表意见的园地，旨在相互切磋，携手共进。

1 新数学课程标准应充分听取数学家的不同意见
《全日制义务教育数学课程标准》已颁布实施，按照新标准编写的新教材也陆续出版试用。按原计划是分步到位，滚动发展，预计到2010年才全面实行新课程。事实上，2001年全国有38个国家级新课程试验区，到2003年9月，全国就有1072个县区加入试验。涉及学生超过3500万，大有全面铺开之势。各种新闻媒体的宣传都是一片赞扬声。事实上，2000年8月，新课程标准刚制定出来，中国数学会就召开部分数学家的研讨会，2002年，中国数学会又邀请80名数学家对新教材进行学术评议．对新标准，新教材提出了许多不同的意见，有的意见还很尖锐，遗憾的是这些意见没有引起重视。

历史的经验值得注意。上世纪60－70年代西方持续20年的“新数学运动”，一开始就受到许多数学家的批评．特别是1962年，新数学运动仍处于高潮时期，75位美国和加拿大著名数学家联名在“美国数学月刊”上发表了一封公开信，指责“新数学运动”作得太过分。这封公开信旗帜鲜明地反对空洞抽象的理论和僵化的形式主义，大声呼吁学习像“初等代数，平面与立体几何、三角、解析几何和微积分”这样的传统基础数学；同时还强调学生应该能够相当熟练地运用数学语言去找出证明，在具体实践中认识数学概念或得出数学概念。40多年后再看这封公开信所提出的主张，我认为仍然是正确的，并且好像针对当前的情况说的。再看从上世纪90年代开始的台湾教改，至今也持续了10年。当初声称要使学生快乐地学习，要使每个学生都有大学可念，导致中小学教育质量日降，迫使学生家长花大价钱在校外进行填鸭式的补习。而拼命增加大学的结果，到今天台湾的大学达170多所，教学质量可想而知。类似的沉重代价都表明，教改可以提高教学质量，也可以降低教学质量；可以造福子孙，也可以误人子弟；可以利国利民，也可以误国误民。当前新数学课程标准的推行，只用一种声音说话，至少是不正常的。

2 应防止一些时髦的理论将教改引入歧途
当代科学技术迅速发展，引起人类知识爆炸性增长，为了在日趋激烈的国际竞争中立于不败之地，教改成了世界上所有国家都面临的重大主题。其中，各级各类学校数学教学的改革则成了争论的焦点之一。这是因为，一方面，数学的重要性已被越来越多的人所认识。要了解科学技术的任何领域都需要对数学的基本理解，而且数学一直都是其他科学发展的基础。美国国会议员Brown曾强调指出：“改善数学教育对我们的社会是极其重要的，正如数学是通向科学成功的必经之路，那么对数学的基本了解也是在今日世界取得成功的必经之路”。因此，报告“强调所有学生接受高质量的数学教育对于国家的科学技术和经济是何等关键”。另一方面，当前国际上流行的一些时髦理论将教改引入歧途。由著名数学家组成的专家小组指出，“一些时髦的理论把学校里的数学教学彻底破坏了，因此数学教学现在处于危机状态。”

下面仅就数学新课程标准和新教材所反映出的时髦理论作些分析．

1．新课程标准要求“学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的，富有挑战性的”。新标准向三偏（偏窄、偏深、偏旧）开刀，首当其冲的仍然是欧氏几何。事实上，数学的每次教改风暴（如新数学运动），都是从欧氏几何开刀．如何处理传统的初等数学，历来是中学教改争论的焦点，作者认为：

（1）欧氏几何、微积分、现代数学是数学发展史和数学教育发展史上的三个里程碑．反映了人们从具体到一步步抽象的认识过程，青少年在学习中也要经历这么一个从具体到抽象的认识过程，数及其运算与初等几何属于第一代数学模型，集合及其运算是第二代数学模型．新数学运动要学生跳过第一代数学模型，去理解第二代数学模型，违背了学生的认识规律，在教学中自然不过关，必然造成数学教育质量下滑．

（2）数学不同于技术．技术更新快，我们只能学先进的技术，而不必去学落后的、被淘汰的技术，而数学则是一种累积性的学问。今天的数学是经历了几千年的漫长发展历程所累积起来的，绝不能将两千多年前的欧氏几何与“陈旧落后”划等号．著名网络科普作家培米姆．安萨利最近提出人类最伟大的十大科学发现中，第一项就是勾股定理，它在公元前一千多年西周的“周髀算经”中就有记载，称为商高定理．在西方，称之为毕达哥拉斯定理（公元前6世纪）．而古巴比伦人发现勾股数，其年代比商高和毕达哥拉斯都更早，大约在公元前19⒁－1600年之间．（其它9项科学发现依次是微生物的存在；牛顿三大运动定律和微积分；物质结构；血液循环；电流；物种进化；基因；热力学四大定律；光的波粒二象性导致量子力学的诞生，详见科技日报2ul3年10月30日）．

（3）要重新认识欧氏几何的地位和作用．它除了培养学生逻辑思维能力以外，现代数学中许多基本概念都借用了几何语言，如距离空间中的点，距离，球，三角不等式，内积空间中两个正交向量满足勾股定理等。借助于图形的直观性及由它进行类推的方法，为我们学习和理解高度抽象的概念提供了极大的方便．

（4）当前推行“初等数学现代化”，在师范院校，现代数学课程开得很少，却开设了不少关于“从现代数学看中学数学”之类的课程，然而学完这类课程之后，不能解释“矩形面积为什么等于底乘高”，“两点之间为什么以直线距离最短”，不能证明π,e为什么是无理数，不能解释“给定周长的所有闭平面曲线中为什么圆所围的面积最大”之类的问题；讲勾股定理：a2+b2＝c2,却很少有人问，将指数2换成3或4，或n>2时有什么结果；在中学讲有理数、无理数、实数，但是它们的本质特征是什么？总之，对于初等数学中的许多问题，只要多问几个为什么，就会进人高等数学和现代数学的领域．在中学教材中，使用了集合、映射的语言并不等于就是现代化了，因为在中学讲集合，不可能讲“集合论”，在集合中引入各种结构，形成抽象空间，才能进人现代数学的领域，不学习现代数学，是无法真正理解中学数学内容的．因此，作者历来主张应该把现代数学定位为高师数学教育中的主干课程．

2．“体系创新论”。这也是当前十分时髦的理论．新的数学课程标准打破了传统的代数、几何、三角的分科，代之以“数与代数”，“空间与图形”、“统计与概率”“联系与综合”四大板块．这种创新实际上破坏了千百年来形成的数学科学体系．我们可以在“集合与映射”的名义下概括全部数学内容，之所以还要分成代数、几何、分析，是有它们各自的研究侧面。代数是从最早的用符号表示未知数的原始思想到解方程发展到研究一般集合的代数结构；而几何则是从远古时期测量距离和面积，然后逐渐归纳总结成一个演绎体系——欧氏几何；到17世纪笛卡儿利用代数方法研究几何问题，产生了解析几何…随后有非欧几何。1872年，克莱因提出埃尔朗根纲领，按变换群作出几何分类，20世纪的几何学发展到不仅以现实世界的时空结构为研究对象，而且还以微分流形为研究对象，侧重的是集合的几何结构。与它密切相关的则是集合的拓扑结构，发展成今天的拓扑学；而分析数学的核心则是极限，它在本质上是研究各种无限过程，从用极限方法研究这些抽象空间的映射性质，从而构成了宠大的现代分析体系。当然，教学体系不一定完全照搬科学体系，但不能完全脱离科学体系另搞一套．此外，新教材打乱了传统的科学体系，结构松散，跳跃，也给教和学带来极大的困难．

20世纪50年代苏联的名著一开始就强调指出：“对于任何一门科学的正确概念都不能从有关这门科学的片断知识中形成，尽管这些片断知识足够广泛．还需要对这门科学的整体有正确的观点，需要了解这门科学的本质．”因此，学生从新教材的片断知识中是学不好数学的．”

3．“让学生自主探索论”．新的课程标准强调让学生自主探索、观察、实验、猜测、验证等，本身并不错．但绝不能代替数学上严格的证明．数学与物理、化学、生物等以实验为基础的学科的最大区别就在于数学证明的逻辑严格性．在物理学中，要问牛顿第二定律为什么成立，只能靠实验回答。在数学中，问直角三角形中的勾股定理为什么成立，还能靠去测量三角形的三条边长度吗？勾股定理之所以能列入人类最伟大的十个科学发现之首，不仅仅是它的结论，而且还在于它的证明思想的光辉．loomis曾收集该定理的不同证法达370种．直到今天，如果一项科学理论能够从数学上加以证明，人们才会认可这项科学理论是真正可靠的．就在数学内部，如果仅凭直观，又有谁能相信处处不可导的连续函数的存在？在Weierstvass等数学家具体的造出这一类函数后，还有人把它当成“病态的”，人为的构造．如果不通过Ｂaire纲定理的严格证明，人们更无法相信这类函数比有导数的连续函数“多得多”．多年来，我们对数学证明一直存在偏见，把较长的数学证明看成“繁琐”，在教改中，也总是向数学证明“开刀”，丢掉了数学证明，就等于丢掉了数学的核心，所造成的后果是教学质量的下滑．

4．“贴近生活论”．新教材通过情景设计，密切数学与现实生活的联系．但一过头就会走向反面．一个学期的教材，竟达200多页，零碎的数学知识淹没在花花绿绿的画面和大量的生活实例中，学生看一遍教材要多少时间？而且学生在看书的过程中，往往把时间花在弄懂那些生活实例上．现在中学生不注意看教材，教师也不引导学生看教材．为了应付高考，搞的是题海战术，这是本末倒置的做法．

华罗庚在讲到学习过程时，要经历“薄——厚——薄”的反复过程，两头的薄应该是指教材．教材应该写得精炼，突出最核心的内容，是学生应该掌握的最低要求，因而是学生要反复看的基本依据。而中间的厚应该指教学参考书与杂志．我建议教参分为学生用和教师用两种。供学生用的教参，不是教材的低水平重复，而是适当的加深和提高，因而主要供学有余力的学生使用。而教师用的教参则应包括如何使用和理解教材，可多讲一些应用实例供教师选用。对于这些实例，不要求学生都弄懂，以便使学生集中精力去理解最基本的数学概念和方法，总之，无论哪种教参，落脚点仍应该有助于学生理解教材。

5．“减负论”。这是多年来从上到下一直关注的问题．每次“减负”的结果，都导致教学内容的减少，教学难度的下降．学生负担究竟重在哪里？应作具体分析：

（1）高中3年的课既然可以在2年内讲完，只能说明当前中学数学教学内容偏少、偏易。负担重从何谈起？

（2）3年的课2年讲完，目的是腾出一年的时间来搞应试复习。一轮复习还不够，还要搞三轮，学生要做上千道各种练习题，模拟试题．要“减负”就要让学生从这种“题海战术”中解放出来。

（3）新的数学课程标准强调能力与创新精神的培养，但不能以削弱基础知识为代价．没有足够知识基础的能力只能是人的本能，而不是智能．为了应试，长达一年的复习，基本上是低水平的重复，用这些时间学微积分，完全可以打下一个好的基础．21世纪提出扫数学盲的历史任务，就是要懂得点微积分，才算脱盲，我们不能让学生在高中毕业后还是一个“数学盲”．

6．“情感体验论”．作为一种教学研究，无可非议，但将它作为国家课程标准就不合适．这是因为：

（1）当前的现实是，升学压力的背后是就业压力．考试本来是检验学习效果的一种重要手段，现在却反其道而行之，考什么就教什么．学生在高三要做上千道各种练习题，模拟试题是什么情感体验？有的学校甚至用高考试题来考老师，并据此与职称、工资甚至去留挂钩，导致师范院校不少学生只对与高考有关的试题感兴趣，而对学习现代数学反而不感兴趣．可以调查一下，有多少学生厌学，多少教师厌教？

（2）学生的情感还与教师的水平有关．作者在［8］中指出，教学方法的好坏，可以激发学生的创造性思维，也可以窒息这些思维；可以使学生热爱数学，也可以使学生害怕数学；可以使人聪明，也可以使人愚蠢，然而当学生的学习遇到困难时，我们往往责怪学生基础差，很少从教师方面找原因．

（3）新课程和新教材低估了学生的理解能力，使得教材内容越来越少，而面对升学压力，许多家长又不得不花大的价钱将孩子送进各种课外补习班，这又是什么样的情感体验？

3 教材建设是长期艰巨而复杂的任务
多年来，不少人对教材建设看得很容易，甚至认为不过是玩排列组合游戏。仅以高校的“数学分析”教材为例，正式出版的上百套，但大多数是大同小异，所以有人就说这是“职称教材”，即写不出论文才去写教材升职称。新的数学课程标准颁布后，短短的几个月新教材就出版发行了，没有认识到教材建设的长期性、艰巨性、复杂性和严肃性。教材是教与学的基本依据，教材的质量和水平在很大程度上决定着教学的质量和水平。

下面结合我们的教改实践和成果［9］，谈谈我们的认识。面向21世纪的教材的出版，实际上是凝聚了我们20年教这门课的实践与认识，大体上经历了四个阶段：第一阶段是上世纪80年代中期开始，我们在学习和消化国内出版的多种不同风格的优秀教材的基础上，为了探索从“难教难学”向“易教易学”转变的新途径，开始自编教材，但内容与体系未变。第二阶段，我们在教学实践中发现，在引入勒贝格积分的众多方式中，用类似于黎曼和的方式最容易使学生理解。只要将小区间的长度换成可测子集的测度，这在学完集合的测度之后是顺理成章的事。但用积分和去讨论积分的性质却很繁，于是我们又讲了一个与它等价的定义，即用测度定义积分，使得积分性质的证明大大简化。第三阶段，我们也是通过教学实践发现用开集逼近的方式定义可测集，要比传统的用内外测度相等或卡氏条件都要简洁得多。第四阶段，尝试将欧氏空间上的测度积分与抽象测度与积分打通，通过在集合中引入不同的结构，得到相应的抽象空间，再讨论这些抽象空间之间的映射，就自然得到了现代分析的基本框架，这样，就使得学生用较少的时间就能掌握现代分析中最有用的核心内容和方法，而不至于因减少学时而降低必要的学术水平。

以上四个阶段反映了我们在教学实践中对实分析与泛函分析的不断加深理解的过程。数学是一门需要深人理解的学问而不是符号的堆集。许多著名数学家到晚年才转向写教材，就在于他们对数学的理解不一样，他们写的教材可以让几代人都受益。

由此想到我们的中学数学教材建设，也应该认真分析传统的初等数学中哪些是今天仍然是最有用的核心内容和方法技巧，研究如何让学生用较少的时间就能掌握传统的初等数学和微积分的基本思想。我们今天讲平面几何，当然不能照搬《几何原本》的那套体系，也不能像新数学课程标准那样零星地介绍，应该建立一套新的逻辑体系，又如讲代数二次方程，既不需要像16世纪的Ｓtifol那样用200页的篇幅，也不必让学生作过多的各种应用题。

综上所述，作者认为，按新的数学课程标准编写的新教材，与人民教育出版社2001年出版的九年义务教育的教材相比，前者的书变厚了，教学内容和水平却大大降低了。而后者吸取了新中国成立以来几十年的教学改革成果，是一套比较成熟的教材，当然还有进一步改进和提高的问题。，例如，作者希望教材的篇幅还可以小一些，文字表述更精炼与生动些，使得教材中浓缩的是初等数学和微积分中的精华，同时希望各编一套分别供学生和教师用的配套教学参考书。各种应用实例可编入教参中，教材中应用实例过多，势必影响学生对数学本身的基本概念，基本理论主要线索的理解和掌握。要使师生认识教材的重要性，多在学习和理解教材上下功夫，而不应该把大部分精力花在各种复习资料上．

 

参考文献

1 Ｏn the mathematics curriculum of the high school [j],the Amer.math.monthly.1962,69;189-193

2 George.E.brown jr,challenges facing mathematics in the twenty-first century[j].notices of the American mathematical society,1997,44(5):1-2

3 美国国家研究委员会．人人关心数学教育的未来．北京：北京图书出版公司，1993

4 伦敦数学会．，教学研究所和皇家统计学会报告；种种赶时髦的理论加上数学等于课堂危机[R]。英国每日电讯报，1995年11月1日

5 义务教育阶段国家数学课程标准．北京：北京师范大学出版社，2000

6 匡继昌．现代数学在高师数学教学中的定位[J]．数学教育学报，2002，11（1）68-71

7 亚历山大洛夫等．数学——它的内容，方法和意义．北京：科学出版社，1984

8匡继昌．试论高等师范院校数学研究式教学．数学教育学报，2003，12（2）；74-77

9匡继昌．实分析与泛函分析[H]．北京：高等教育出版社，2002