钢铁机器侠无敌版:大会发言之二──统计与概率难点分析及教学建议

统计与概率研究随机现象的规律性。对新课标教材中的统计与概率内容，就知识层面和方法看，似乎不难。但蕴涵的概率观点和统计思想却不容易了解。那么，概率的意义究竟是什么？概率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？下面就这些问题作一简单分析。

一、概率的难点分析

1．概率的抽象性。概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，太抽象了。

2. 统计规律的隐含性。随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验时，事件频率的稳定性。这种规律称之为统计规律性。

频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的。同时它也给出了度量的一种方法。

现实中，只有个别特殊情形，在合理的假设下不需通过重复实验而直接计算概率，而大量事件的概率需要用频率去估计。由于统计规律是通过大量重复实验揭示的，因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义，利用概率思想进行风险决策。

对概率与频率的关系的认识可以分三个层次进行教学。

直观认识。概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在n次实验中，事件发生的频繁程度。一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。反之也对。

具体实验。通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。

精确刻画。有些资料这样叙述：“实验次数越多，用频率估计概率越准确”，这样的叙述严密吗？以掷硬币为例，已知“正面向上”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率为是0.5，用频率估计概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为0.2，误差为0.3。显然上面的叙述不严密，太绝对了。究竟如何精确地刻画频率的稳定性呢？提供如下案例供参考（不需要学生了解计算方法）。

案例1  分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性。

用f_n表示掷n次硬币“正面向上”的频率，f_n的取值具有不确定性，用EXCEL计算结果如下表：

比较严格的叙述为：“当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”。

3. 概率定义的复杂性。概率事件发生的可能性大小的度量。这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有那些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助。概率是频率的稳定值。这是概率的统计定义。它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性。但频率还有随机性的特征，特别当实验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么。

为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。先认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）。

案例2美国的一个电视游戏节目

有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊。给你一次猜的机会。猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜1号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如2号门）打开。现在再给你一次机会，请问你是否要换3号门？

这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个。在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有。足以看出概率问题是有一定难度的。

观点一 一位数学博士说：美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是1/3，所以不必换。

观点二假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以不必换。

观点三车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3 ，现在既然2号门后面没有车，所以车在3号门后面的概率为2/3，因此应该换。

哈佛大学概率教授（Diaconis）应电视台邀请，进行了表演。以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。按照规则要求，演示了8次，结果是有6次显示应当换。

    Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量试验才获得的。如果这个游戏允许多次重复，那一定是“换”为好。如果只给你一次机会，那是很难说的。

    分析由于随机性，如果1号门后面确实是车，你猜对了，此时要换反而得不到车。如果1号门后面没有车，此时换就得到车。那么换与不换应该依据什么为准则？在此问题中，以得到车的概率最大为准则。三种观点在应用概率思想方面都是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小的判断上。

首先注意的一点是，主持人是知道汽车在哪扇门后的。换的结果是将汽车换成羊，或将羊换成汽车。选择1号门，得到汽车的概率为1/3，得到羊的概率为2/3。如果换3号门，得到羊的概率为1/3，得到汽车的概率为2/3。从概率决策的角度应该换，观点三是正确的。

    如果主持人也不知道那扇门后面是车，而是任意选择一扇门，此时换与不换等价于抽签时是先抽还是后抽。我们知道抽签不分次序先后，得到车的概率都是1/3。但现在的问题是：主持人打开的一定是无车的门，所以观点一是错误的。          

当主持人打开无车的2号门时，如果让你在1号门和3号门之间重新任选一扇门，得到车和羊的概率都是1/2。现在不是让你重新任选一扇门，而是问你是否要换。重新选择和交换结果是不同的，所以观点二也是错误的。

Diaconis 教授的观点是正确的。既然在概率大小的判断上有分歧，通过重复模拟实验，借助频率的大小来判断最有说服力。但遗憾的是重复实验次数太少，频率的值很不稳定，说服力不强，当时并没有消除争议。

    二、统计的难点分析

真实的数据能提供科学信息，数据能帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。因此，“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体”又是统计最核心的思想方法。

统计学已有2000多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学可以描述统计和推断统计。描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。

那么统计内容学习的难点在那里呢？

1．传统的数学思维模式对统计思维方法的影响

统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。它所采用的是归纳推理，属于合情推理范畴。带有很强的实验性。

确定性数学主要运用演绎推理的方式，即从已有的事实（包括定义、公理、定理）出发，按照规定的法则证明结论，或揭示数学规律。研究确定性数学，是不能用个别举例或验证代替一般的证明的。比如可以通过测量或拼接的方法，归纳得出“三角形内角和等于180°”，但是，哪怕你度量了100次，只能说发现了这一结论，未经证明之前仍不能作为定理。

统计学习，这种思维方式的转变需要一个过程。

2.统计方法的评价与统计结果的解释

确定性数学在确定的条件下，结论是完全确定的。对其结果可以用“对”和“错”来评判。用样本推断总体，由于样本数据和总体的不一致性，会产生代表性误差，由于样本的随机性，会产生随机误差，从而造成估计的结论也具有不确定性。因此，评价一种估计方法的好坏，不能仅依一次估计的误差大小来衡量，而应考虑所有可能样本的情况下，整体误差的大小。对统计结论也不能用“对”和“错”来解释，而应指出在多大的置信度下，误差有多大。

对某种统计方法，既让学生认识到方法的合理性，又体会到结果的不确定性，这是渗透统计思想不可缺少的。问题是，在学生没有或具有很少的概率知识背景下，在教学中应该如何处理？这肯定是一个难点。

3．统计原理的理解与运用

统计推断的依据是一些统计原理。例如，统计估计依据的极大似然原理，假设检验时依据小概率原理，回归分析依据最小二乘原理等。它们都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般原理。它们不同于数学公理或定理，公理是大家公认的事实，是绝对正确的；定理是经过严密的逻辑证明是正确的事实。而统计原理本身并不是绝对正确的，利用这些原理进行推断肯定会犯错误。如何理解这些原理，并将其运用到统计推理中，这是又一个难点。

案例3  目前流行的甲型H1N1流感传染性很强，假设在人群中的感染率为20%。现有Ⅰ，Ⅱ两种疫苗，疫苗Ⅰ对8个健康的人进行注射，最后结果为无一人感染。疫苗Ⅱ对25个健康的人进行注射，最后结果为有一人感染。你认为这两种疫苗哪个更有效？

直观分析：如果不考虑概率，注射疫苗Ⅰ后感染率为0，注射疫苗Ⅱ后感染率为4%，似乎疫苗Ⅰ更有效些。而实际上感染率只有20%，并非100%。假设疫苗Ⅰ完全无效，“8人注射无一人感染”仍有较大的可能性。假设疫苗Ⅱ无效的条件下，“25人注射有1人感染”的可能性要小的多。依据小概率原理，判断疫苗Ⅱ比疫苗Ⅰ可能更有效些。

推理过程：设事件A=“8人注射无一人感染”，B=“25人注射有1人感染”，

假设疫苗Ⅰ无效，，A发生的可能性较大，没有充足的证据说明苗Ⅰ有效。

假设疫苗Ⅱ无效，，B是一个小概率事件，依据小概率原理，认为B在一次实验中是不会发生的，但现在竟然发生了，和统计原理相违背，从而否定假设，认为疫苗Ⅱ有效。

这种推理称为假设检验。所运用的推理方式类似于数学反证法。应用数学反证法，当推出和已知事实矛盾的结果时，否定假设。假设检验是一旦小概率事件发生，就否定假设。但小概率原理不是绝对正确的事实，所以推理有可能犯错误。我们追求的是使犯错误的概率尽可能小。

三、对统计与概率教学的几点建议

1．突出核心思想，把握重点和难点。对概率意义和统计思想的理解，是教学的重点，也是难点。不要把概率教学变成复杂的概率计算；把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题。

现在的情况是，许多学生（包括数学专业的大学生），可以计算很复杂的概率，但面对需要用概率和统计思想解决实际问题时，显的束手无策。这说明在教学中，过多的关注了知识技能的学习，忽视思想方法的理解。

2. 恰当的类比很有效。概率与频率的关系、总体的数字特征与样本的数字特征之间的关系，都比较抽象。可以用某物体长度真值和测量值来类比。

黑板的长度a是客观存在的，但未知。可以通过测量来了解；而测量结果总会有误差，为减少误差，可以用多次测量值的平均数估计a。

事件的概率p是客观存在的，但未知，可以用频率估计；频率具有不确定性，估计的误差不可避免，为减少误差，可以增加重复实验的次数。

总体指标X的平均值（数学期望）是一个确定的数值，可以用样本的平均值去估计；随机抽取的样本具有随机性，所以样本的平均值也具有随机性，要想估计的更准确些，可以适当增大样本容量。

又比如，如果样本的代表性好，用样本的特征推断总体的特征就比较准确。可以用“要想知道一锅汤是否够咸，在充分搅匀时，只需尝一小勺即可”类比。

3．必要的操作实验不可省。概率的统计规律性本身就是通过实验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是实验科学。在高中阶段，由于课时以及学生认知水平的限制，我们不可能也没有必要用严密的方法揭示一些稳定性规律，评价统计方法的优劣。设计恰当的实验，直观认识随机性规律、树立概率观点、理解统计思想是必要的，也是可行的。在一些具体问题中，可以通过实验纠正对概率判断上错误观点，统一认识，消除争议。

4. 重视反例和极端特例的作用。在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。

例１　用频率估计概率，有人认为“实验次数越大，估计的就越准确”。

极端特例：掷两枚硬币，有50%的可能得到频率为1/2，而掷1000次硬币，理论上仍有可能得到频率为1。说明“实验次数越大，估计的就越准确”，这样的表述不严密。

例２　从包含100个学生的总体中，随机抽取10名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式下估计的更准确些？

大多数人认为有放回抽样下估计的更准确，实际上恰恰相反。要想说服他们，我们不可能用数理统计的一套理论，通过计算概率或期望和方差，作出判断。

 以下两个极端特例都能说明问题。

    特例1：采用有放回抽样，有可能同一个体被重复抽到，也有可能10次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确。而不放回抽样不会发生这样的情况。

    特例2：假定样本容量为100，采用不放回抽样，样本和总体完全相同，估计结果完全确定，没有任何误差。而采用不放回抽样，很难遇到样本和总体完全相同的情况。

    例3 小概率原理、极大似然原理是统计推断中最常使用的原理。因为它们都不是绝对正确的，应用这些原理作统计推断，学生理解上有困难。其原因是，大多数情形我们把小于0.05的概率就看成小概率了。那就举概率更小的例子。

乘坐飞机有可能遇到空难，为什么绝大多数人不拒绝坐飞机？因为发生空难的概率太小了（据统计小于300万分之一），我这次不会出事的。这不是已经用小概率原理来决策了吗。

极大似然原理是说：一次实验有多个事件，哪一事件发生了，就认为这个事件的概率最大。当这些事件的概率相同时，应用极大似然原理是最不靠谱的。但在实际推断时，往往这些事件的概率相差悬殊。

例如，有两个箱子，其中第一个箱子装有99个红球，1个白球，第二个箱子装有99个白球，1个红球。任意选择一个箱子，从中任意摸出一球，结果摸出的红球，请你判断球是从哪个箱子中取出的。我想很少有人判断是从第二个箱子中取出的。

5．慎重选用教辅资料。目前市场上教辅材料很多，有的质量低劣。特别是关于统计与概率的一些资料，要么内容超标，要么错误百出，很容易误导我们的教学。

参考文献：

人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心。普通高中课程标准实验教科书数学③ （必修）A版。人民教育出版社2007。