诱人犯罪下载:对1小学数学“统计与概率”教学的思考

让学生拥有一颗数据分析的头脑
——对小学数学“统计与概率”教学的思考
学校：浙江省绍兴市北海小学教育集团  　作者：俞建栋
【内容提要】
在“统计与概率”中帮助学生逐渐建立起数据分析的观念是最重要的。它的内容与现实生活联系密切，因此在教学中致力捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系，帮助学生借助生活中的具体情境，用生活中的经验和实例培养统计意识；重视学生多角度获取信息，培养数据分析能力；学会选择合适的统计量，增强数据分析方法；会用统计的思想做实验，运用数据进行推断，使学生拥有一颗数据分析的头脑，逐步形成统计观念和随机思想。
【关键词】   数学   统计  概率  数据分析  频率
2009年笔者有幸参加省、市实验学校教改之星评比活动，两次活动的课堂展示环节中分别抽到《折线统计图》和《中位数》。两课内容虽然不一，但均来自“统计与概率”这一知识领域，同时也引发笔者对小学数学中“统计与概率”教学的持续思考与实践。
从《数学课程标准》的规定来看：小学阶段“统计与概率”的主要内容有：①描述统计。包括整理数据、统计图表等；②数据的代表。平均数、中位数、众数；③可能性。重要目标：是帮助学生逐渐建立起数据分析的观念。“统计与概率”这块教学内容从一出来就成为我们老师喜爱的热门内容，因为它与生活联系，又有学生可以操作实践的内容，比较容易体现新课标的理念。但以往老师只有统计图表的教学经验，对许多新增加的内容比较陌生，加上一些教师自身就缺乏统计与概率的专业知识，因此在众多的公开课和家常课中，一些不可忽视的教学现象值得我们关注和思考：
现象透视一：教学素材选择不当，无法凸显统计知识的价值
基于“统计与概率”的教学要紧密联系生活实际，扎根学生的现实背景，体现“统计为生活服务”的理念。所以在课堂上教师努力地在统计素材选择上做足文章。这其中出现许多能激发学生兴趣而有意义的素材，但也出现一些“乱投医”现象。
例如：在一位教师教学《复式折线统计图》时出示下表，并让学生制作复式折线统计图。
创设了506班和507班在艺术节各项比赛的得分统计表
项目
舞蹈
绘画
书法
摄影
剪刻
布贴
506
6
10
8
2
3
5
507
4
5
3
9
6
5
表面上看，这个情境切合学生生活，而实际这题没有需要用复式折线统计图表示的意义，因为艺术节各项目的得分是一种离散量，而非连续量，本题用复式条形图更合适。虽然有些离散量也适合用折线统计图表示，但至少这题笔者认为是选择不当的。
同样在概率教学中如：太阳从西边升起，世界上每天都人出生。这些都是人为制作的伪命题，前者让学生质疑在地球还是金星上，后者一天没有人出生这样的小概率事件不会发生吗？
所以像旅游人数的统计、商店货物的销售统计等。看似这些素材与学生的实际生活有着联系，但其实并不紧密，有些更是人为编造的多（包括数据），基于现实的统计内容少。因此，素材选择不当，让学生难以体会到统计概率的必要性。
策略思考一：选择有效生动的生活素材，培养统计意识
可以说“统计与概率”的教学过程就是学生亲近生活的过程，教师应关注学生在现实生活中的经历，注重选择贴近生活的有效素材，使他们经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步形成统计意识。
例如：今年校优质课评比中有七位教师对五下年级《复式折线统计图》进行同课异构。几位教师的例题的素材如下：
教师1：利用今年热闹的低碳主题，创设去年和今年同期的日平均气温对比。
教师2：利用今年的广州亚运会主题，引出历届亚运会中国和韩国的获金牌数对比。
教师3：虚拟了土豆和黄瓜的入库统计对比。
教师4：创设小宝宝体重和标准体重对比。
教师5：利用年初的冬奥运主题，创设绍兴与温哥华的日平均气温对比。
教师6：创设506班与507班班级博客每月发日志数对比。
教师7：利用今年的世界合唱节，创设中国和奥地利历届派出合唱团的数量对比。
这些例题中除了第3位老师是一个虚拟情境，其它素材均是让学生感兴趣生活素材。这样素材可以让学生在生活中亲历统计，逐渐体会到统计的价值，也渐渐建立起了统计意识。
又如：笔者在教学《折线统计图》时围绕“蚕宝宝”这一生活素材，加强数学和科学课的整合，体现统计的现实意义和应用价值。养蚕宝宝是学生熟悉而又感兴趣的生活素材，同时这一素材又需要用数学中的统计去分析养蚕宝宝的观察数据。基于这些认识，我整节课都围绕着养蚕宝宝这一素材设计数学问题情境。从课堂导入中的蚕宝宝的身体变化统计图、养蚕的某一时间桑叶的喂养量统计图、养蚕中的室内温度统计图、养蚕比赛四个小组的蚕宝宝成活条数统计图。每一块内容紧扣主题但又达到不同的教学目标。
再如，在教学《中位数》时笔者为帮助学生建立中位数的概念，创设了身高演示的情境，利用五位学生、姚明、幼儿和教师身高的有趣变化，让学生判断中位数和平均数是否改变，并结合情境说明身高中位数的意义，以加深对中位数的理解，并阐明中位数与平均数各自的特点和适用范围。
以上的学习素材既有浓厚的生活气息，又具有现实的统计意义，这样的学习才有利于建立起学生在生活中的统计意识
现象透视二：制图的高手，读图的“哑巴”
同样在教学《复式折线统计图》时其中一位教师基本教学过程如下：
在通过情境创设让学生了解绍兴和温哥华的气温统计图后，便引导让学生讨论制作两地的复式折线统计图；在学生作品交流反馈中，进一步明确复式折线统计图的制图方法；然后换一个素材再进行制图练习。整个课堂教学一直围绕如何制图中进行。而本课是学生已经学习了复式条形统计图及单式折线统计图的基础上来认识复式折线统计图，了解其特点，并能对数据进行简单的分析和预测。教材安排是重在读，让学生读懂图意，分析数据，而不是重在画。
而在画图与读图的定位上同课异构的另外几位老师也犯了相同的错误。在教学中，一方面没有读懂学生已有的作图起点，进行重复教学；另一方面拔高作图要求，花大量时间让学生研究横轴、纵轴的填写。正因为时间花在作图上，所以读图的时间就少的可怜，甚至出现了一个经典的提问：从图中你获得了那些信息？表面上教师尊重了学生主动发现，实则脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里。往往在几个学生简单回答后，就匆匆结束。这种蜻蜓点水式读图既缺少了读法的指导，更缺失了数据分析观念的培养。
策略思考二：重视学生多角度获取信息，培养数据分析能力
上海的曹培英老师曾形象地把完整的统计过程比喻为一条鱼，过去对“鱼头”（数据的采集）、“鱼尾”（图表的解读）重视不够，把主要精力放在“烧中段”（图表的制作）上，而现在主张“烧全鱼”。
如何让学生读图通过数据分析作出判断，体会数据中是蕴涵着信息的？是我们教师在教学中比较困惑的，以至出现了前面大家经典一问：从统计表（图）中你可以获得那些信息？这样的问题不是不可以问，关键是我们教师心中应该有引导学生读图表的价值目标。笔者认为学生的读图可以从三个层次进行引导。
以笔者执教的《折线统计图》为例：
第一层次，读从统计图表中能直接看到的信息。如：单个数据的第17天是1片，统计图的名称，纵轴的单位等。
第二层次，读经过简单分析后能得到
的信息。包括数据间的比较（多少、倍数、
百分比、插值等），如第18天的喂养量比
第17天多0.5片，第21天是第18天的
2倍等；还包括数据的整体变化（极端数
值、平均数、变化情况等），如第20天最
多，第22天最少，从第17天到第20天食
量逐渐增大，而第20天以后，食量就逐渐
减少了。
第三层次：超越数据本身的读取，包括通过数据来进行推断预测，能否解决统计的问题？为什么会呈现这种情况？如学生预测按照这趋势发展第21天的喂养量可能是0片，因为蚕宝宝一生有4眠，第17天到第22天刚好是一眠，所以它的食量是先逐渐增加再逐渐减少到0，开始休眠。这样既培养了学生的数据分析能力，也让学生体会到统计知识应用于生活，解答了科学课中的问题。
现在一方面是“信息时代”，计算机的普及使图表制作更趋于“自动化”，另一方面生活中充斥各种统计图表，是名副其实的“读图时代”，所以《数学课程标准》已降低了对图表制作的要求，只要求以填表、涂格子、画条形、描点、连线等形式，帮助学生积累数据的“量感”，感知数量的“变化”，更重视图表的解读。因此，吃好“鱼头”、“鱼尾”，适度兼顾“中段”，在统计学习领域显得更为适宜。
现象透视三：重视统计量的计算，忽视统计量意义的理解
一直以来，我们教师总认为平均数的意义很浅显，就是“移多补少”；平均数的计算也很简单，“总数÷总份数”，于是我们的教学落脚点就定在数量关系上，一味在“总数”与“总份数”的变化及两者的“相对应”上动脑筋，人为的设置审题陷阱和设计各种变式。这就造就学生解决平均数应用题的水平很高，但是当遇到真正的数据需要分析时，却很少想到用平均数。所以平均数、中位数还是众数，让学生理解应有三个角度：算法理解、概念理解、统计理解。对于统计教学，概念理解和统计理解是非常重要的
策略思考三：学会选择合适的统计量，增强数据分析方法
小学数学“统计与概率”教学中描述一组数据的集中趋势，可以用平均数、中位数和众数。但让教师和学生最困惑的是：不是计算方法而是它们的统计意义到底有什么区别，什么时候该用什么统计量？
其实一般而言，平均数作为数据代表，相对可靠和稳定，因为它与其中的每个数据都有关系。只有当一组数据中有极端数据和众数出现，而平均数不能有效地反映这组数据的基本特点时，才会选择中位数或者众数。所以笔者认为要区别它们的统计意义，可以这样尝试：
（1）营造知识冲突  引出数据代表
三个数据代表的统计意义只有在知识冲突和学生思维的碰撞中方显差异。例如：笔者引出平均数时，创设夹弹子比赛，4人一组和5人一组比一比那组夹的快？营造总数和平均数的冲突，从而引出平均数的意义。
引出中位数时，创设在“趣味数学”兴趣小组的一次组内竞赛中，王小明得到了76分，全组的平均分为75分（其他得分分别是100、93、85、84、82、80、76、61、5），小明告诉妈妈说，自己这次成绩在兴趣小组中处于“中上水平”。在这样学生熟悉的生活情境，从中讨论小明的说法与实际情况有非常大的出入，从而引发学生的认识冲突，然后引导学生发现大多数同学的成绩都高于平均分，说明用平均分来表示中等水平不合适，由此以“平均数”为参照物引出“中位数”，体会中位数学习的必要性。
引出众数时：笔者创设：小马去找工作，看到招聘广告上写着该公司月平均工资3000元，而工作一月后发现实际领到工资只有1500元，然后出示工资单：
星海公司三月份工资单
员工
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
工资
10000
8500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1000
引出“大部分员工只有1500元，平均工资怎么会3000元呢”问题讨论，引发学生对“月工资水平”的认识冲突。引导观察平均数在这组数据中平均数明显偏离中心，而大多数员工工资在1500元的位置，从而自然的引出众数概念，首次体会众数的统计意义
（2）理解统计意义，掌握寻找方法
例如：教学平均数时引导当参赛人数不一样，总数无法比较时，可以用“总数÷人数”来比，或者用移多补少的方法来比，在方法的交流中再次理解平均数的统计意义，每一个人的成绩都会影响平均数。教学中位数时，笔者出示以下：
1、把数据按大小排列填入下表。
2、把这组数据纸条对折，思考折痕上的“数”在这组数据中有什么特点？
此环节虽小，但意义重大，在一排一折中让学生悟出了中位数的寻找方法和统计意义（一组数据的“分水岭”）
在教学寻找众数方法时，笔者设计“售鞋老板进货问题”，故意让学生无法一眼就看出众数是多少，必须通过“画正字”或别的方法进行统计才能知道哪种鞋销售最多，哪种最少，从而让学生掌握寻找众数的方法，感知统计的价值。
（3）合理对比选择，解决统计问题
如何让学生能根据现实情境合理选择统计量？首先教师创设数据特征明显的现实情境，如：出示从男女生中各选择一名运动员去参赛的题组：
男生射击选拔成绩（单位：环）
女生投篮选拔成绩（单位：个）
甲
9.1
9.1
9.8
9.0
9.1
9.1
甲
6
7
6
8
6
6
5
8
乙
9.8
9.9
9.8
9.8
3.7
9.8
乙
3
7
5
7
4
8
3
7
通过这两个判断决策练习，使学生体会到在决策判断时是依据众数还是平均数，必须根据数据特征进行具体分析，这里男生选择众数合适，女生选择平均数更合适，从而学会更全面地分析数据，进行统计决策。
现象透视四：重视概率实验的操作，忽视对数据的火热思考
现在教材中“概率”教学主要是三上年级的“可能性”和五上年级的“等可能性”教学。让学生亲自动手试验，在试验中直观体验事件的可能性，探究游戏规则的公平性与等可能性事件的关系，已是教师们的共识。于是教材和课堂上就出现大量抛硬币、摸球、转转盘等实验游戏。
事实上抛硬币确实是一种有助于学生感悟随机性的简便易行的实验，但在实际教学中，我们将它处理为验证等可能性的实验，却常常让教师处于尴尬境地。例如：一位教师通过足球比赛抛硬币的情境引发学生猜想：这样是否公平？学生根据生活经验轻而易举猜测出：公平，出现正面和反面的机会各是一半一半。而接下去的实验还是现了老师最不愿意面对的实验结果：抛的累计次数越多，误差越大，学生原本清楚的猜测，这会儿也糊涂了。最后不得不出示历史上几位数学家的实验数据和计算机模拟演示让学生相信“次数越多，正反面越接近一半”的结论。
策略思考四：用统计的思想做实验，运用数据进行推断
所以有些教师多次尝试抛硬币实验后感慨：能否“验证”    真要凭运气。而这恰恰体现了随机现象的随机性和可能性的魅力。通常古典概型的等可能性，一般不是通过实验验证的，但往往我们可以通过对实验数据统计来体验事件发生的可能性大小，用数据来推断可能性的大小会稳定在某一个数的附近，这才是实验的价值所在。怎样体现数据分析的价值，我们可以这样尝试：
以抛硬币实验为例，教师在教学中往往有两种处理思路，第一种思路是前面所述，先得出正面或反面的概率是    ，然后让学生通过多次掷硬币去验证这个结果。第二种思路是先让学生多次掷硬币，计算出现正面或反面的比例（频率）或者用统计图的方法直观演示，然后用频率估计一下出现正面或反面的可能性是多大。如果接近    的话，就推断这个硬币大概是均匀的。显然第一种思路是用实验去验证概率是多少，而第二种思路是用实验获得数据，从数据分析获取频率，用频率来推断概率。那种更科学呢？事实证明，前者无论是教师、学生还是科学家的实验数据也难刚好得到   。所以笔者比较欣赏第二种思路，这是一种统计的思想。这种通过数据来进行推断，让学生既体会了随机，又感受了数据中蕴含着信息，虽然每次的结果无法事先知道，但实验次数多了能够帮助我们做一些判断。
如：华应龙老师在执教“游戏公平”一课就很好体现了用统计的思想来做实验。他首先创设了一个“掷啤酒瓶盖”的实验，华老师的瓶盖虽然落下也是两种可能，但二者不是等可能的，符合统计概型，那公平与否就需要做实验，运用频率去估计概率的大小。实验前大多数学生都认可公平，但通过动手实验，收集数据、分析数据后，发现是反面朝上的可能性更大一些，并且华老师让学生进一步分析为什么反正朝上可能性大？还设计一个形象的比喻：踢毽子。学生在恍然大悟的同时，华老师让学生思考怎么设计比较公平。学生纷纷想到抛硬币、掷骰子等。于是华老师给学生准备两种骰子，一种均匀，一种不均匀，让学生通过实验来找一找。再一次让学生通过数据的分析，运用数据去推断那几组的骰子是均匀的，那几组是不均匀，不均匀的骰子中哪一面朝上可能性大？课行将结束时，华老师回到刚开始的环节设计一次抛瓶盖，当所有学生认为反面时，电脑却出来了一个正面，好一句“一切皆有可能”，这是对随机思想多好的诠释啊！妙哉！
总之，“统计与概率”教学的核心是帮助学生逐渐建立起数据分析的观念。因此我们的课堂应该让学生产生对数据的亲切感，愿意从数据分析中获取信息，愿意用数据统计来帮助解决问题。让学生拥有一颗数据分析的头脑，应该是我们“统计与概率”教学中孜孜追求的目标。