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张奠宙谈分数教学中应注意的几个问题带给我的思考

数学《新课标》制定人之一，北师大著名数学教育家张奠宙先生在他的《“分数”教学中需要澄清的几个数学问题》一文中谈到，从一些“分数意义”教学设计中他看到“从数学上看，有一些问题不大对头，需要澄清。”下面是他的一些观点：

一、分数的份数定义需要突出引进“新数”的意义

他谈到：“许多小学数学教材和教案都把分数定义为‘把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。’”张奠宙先生认为“这个定义含混不清，表示‘一份或几份’的数究竟是自然数还是分数？”接着他谈到“分数是自然数的扩展，对学生来说是要认识一种新数，而任何数都是表示数量大小的，因此我建议，在分数的定义中应该加两个字——大小，即：将一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的大小的数，叫分数。”理由是：如果没有“大小”的意思，如何能比较分数的大小？而加上这两个字，分数就体现为是引进的一种“数”，它也有大小之分，是实实在在能够比较大小的。如果说自然数是一位老朋友，分数就是一位新朋友，会使儿童觉得亲切。

作者从教材对分数的“定义”有缺陷这个高度指出了广大普通教师教学上的一种困惑。因为在实际教学中，我也碰到过这种现象，譬如我们经常考察学生这样一种题：把一根2米长的绳子平均分成5份，每份是这根绳子的（ ）分之（ ），每份长（ ）米， 米是这根绳子的（ ）分之（）。学生碰到这样的题非常头疼，教师讲解时要费尽千辛万苦才能使学生似懂非懂地理解 米也是一种数。

二、明确定义分数是两个自然数相除（除数不为0）的商

作者认为前面所说的“份数”定义是分数的初步认识阶段，第二阶段必须明确地给分数一个定义。分数的定义只有一个，就是两个自然数相除（除数不为0）的商。所谓“份数”定义只是初步认识时的过渡说法，至于“比”定义则是商定义的引申。

分数的本质在于“能够表示不能整除情形下平均分以后得到的那个结果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然数，a≠0）时，其商是整数；不能整除时，其商就是新的数，我们称它为分数。

上面的观点，我认为解决了我们教学中的大障碍。我记得自己上这样的课时，查阅了好几种教学设计，没有一种设计不强调“平均分”和对“单位1”的理解。因为分数的定义就是“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。”教学重难点肯定就是“平均分”和“单位1”的理解与掌握。于是练习题就是判断图形的分法是否平均分了和一块饼、一堆苹果等之类是否会认出“单位1”等。费尽心机用各种变式练习来强化“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份”上。结果就是学生对“一根2米长的绳子平均分成5份，每份是这根绳子的（ ）分之（ ），每份长（ ）米，4/5米是这根绳子的（ ）分之（ ）。”这样的题难以理解了。因为过分强调“份”的定义，这样的结果不出才怪呢。假如我们按照张先生的办法，把“份”的定义作为过渡，或者直接先讲“商”定义再辅以“份”定义的理解，则我想这样出力不讨好的尴尬就会少出一些了。

三、加强用数射线表示分数

作者认为“分数是相对于整体“1”而言的。在数射线上的0和1之间，标出 1/2、1/3 、1/4 等，乃是认识分数的关键一步，及早进行，十分重要。”

我认为，还可以加以补充2/3 、2/4 、3/4 、……甚至4/3 、5/3 ……都可以，只是时机要掌握好，循序渐进，扎扎实实。

四、把“分数的基本性质”，直接说成“分数的相等性质”。

作者说，他翻看小学数学教材目录，见有“分数的基本性质”竟不知为何物，打开一看，原来是分数的相等性质。就认为：为什么不直接说呢？所为基本性质，“基本”在何处？如何让学生理解其“基本”？恐怕连老师也说不清楚。因此，教材里的标题应该是“分数的相等性质”。

我觉得作者真是说到了点子上。记得未进行课改前，我教五年级数学，上面就有分数的基本性质：给分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变。费尽心思给学生讲明白后，一位学生说，老师，其实就是说1/2 =2/4 =3/6 =4/8 ……， 2/3= 4/6= 6/9……也就是哪些分数和哪些分数相等吧？我肯定地说，分数的基本性质实际就是相等性质，这位调皮的学生接着说，老师，那么‘四项基本原则’，也就是‘四项相等原则’了，我当时还大惊失色，纠正说，分数的基本性质不能说成是分数的相等性质。现在想想，原来问题实际出在“基本”二字上了。

假如用分数的“商”定义，再来理解分数的相等性质，找到那些相等的分数再去观察一下他们的分子与分母之间的特殊关系，学生自己就知道如何找与一个分数相等的其他分数了。