苦瓜怎么炒好吃又不苦:小学阶段各年级数学思想方法渗透的实践与研究

小学阶段各年级数学思想方法渗透的实践与研究

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       “小学阶段各年级数学思想方法渗透的实践与研究”课题组*

 

 

 

 

【内容摘要】小学数学教学中孕育着丰富的数学思想方法, 而数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识, 它是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式, 是实现数学思想的手段和重要工具。

 

 

在研究中我们探索了小学数学思想方法阶段特征，学生的思维阶段特征，以及数学思想方法行之有效的教学，通过研究我们发现，在教学中重视数学思想方法的渗透、孕育，能有效地提高教学效果，使教师的教学思想和学生的学习方式都发生了不同程度的改变。

 

 

【关键词】阶段特征  渗透点  实践成效  基本模式

 

 

 

 

 

 

 

 

一、背景与意义

 

 

（一）背景

 

 

对于小学中数学思想方法的渗透，人们早已开始研究，侧重点在于有哪些数学思想方法，这些数学思想方法的渗透可以带来哪些好处，有哪些意义等。但是长期以来，由于对数学教学效果的评价总是围绕着对“显性知识”的掌握而展开的，看学生是否记住了数学公式、概念、定理等等，是否会用某种方法解题，是否会用某种规则进行运算、推理，并把这些作为考试、考察的基本指标，许多教师的数学教学变成了单纯的“解题教学”，相对削弱了对学生“数学思想方法”的有效考察，影响了学生的数学能力和数学智能的均衡发展。

 

 

近一段时期以来，小学阶段对于数学思想方法在教学中的渗透已开始受到重视，而随着课程改革的不断深入，在小学数学教学实践中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法也开始成为当前数学教学的重点之一，（全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此，在小学阶段有意识地向学生渗透一

 

 

些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。

 

 

                                                

 

 

*本课题系2007年度市教研系统课题。  课题组负责人：沈惠芬  顾问：邬墉铨  课题组成员：

 

 

沈华斌   徐月珍   崔琴   王艳   赵舒   沈霞   郁芳瑛     本研究报告执笔：沈华斌

 

 

美国、日本、英国、德国等许多发达国家在数学教学中非常重视让学生掌握基本的数学思想方法，正如日本数学史家米山国藏所指出的：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发生作用，使他们受益终生。”强调数学思想方法的教学早已成为各发达国家的一致共识。现代社会已经更多的要求学生从小就受到数学思想方法的熏陶与启迪，以便为将来能够解决社会所面临的实际问题而打好基础，这也已成为我国的共识。如果不注重数学思想方法教学将会是我国数学教育的一种严重缺陷。 

 

 

《标准》颁布以来，在学习内容中提到了若干重要的数学观念、意识和能力，但没有提及关于数学思想方法方面的要求。之所以如此，一个重要的原因是，在界定和刻画适于义务教育阶段学生领悟和掌握的数学思想方法方面，多注重整体上如何渗透各类数学思想，而如何细致地分阶段去研究和实践数学思想方法、数学思想方法如何渗透等所积累的研究成果却还不够充分。

 

 

（二）理论假设

 

 

1.渗透数学思想方法的教学是否对教学效果有成效？

 

 

2.数学思想方法的渗透教学是否有推广价值？

 

 

（三）意义

 

 

首先, 我们要明确, 决定一个学生数学素质的高低, 最为重要的标志是看他能否用数学的思想方法去解决以至日常生活问题。其次, 我们要明确数学思想方法总是隐含在知识中, 这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟教材内容所隐含的思想方法, 从而把握教材的实质, 使数学思想方法的渗透成为一种有意识的教学活动。

 

 

    二、内容与目标

 

 

（一）课题的界定

 

 

数学思想方法：所谓数学思想, 就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识, 它是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式, 是实现数学思想的手段和重要工具。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程, 当这种积累达到一定程度时就会产生飞跃, 从而上升为数学思想。因此, 数学思想对数学方法起着指导作用。

在小学数学中, 许多数学思想和方法往往是一致的, 如假设思想和假设方法, 转化思想和转化方法等。数学思想是相应数学方法的理论根据, 数学方法是相应数学思想的技术实施。我们认为, 在小学数学教学中, 可把数学思想和方法看成一个整体———数学思想方法。前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。

关于数学思想的渗透：小学数学思想方法教学尚处于试验、探索阶段。渗透数学思想方法的教学一方面需要教师挖掘、提炼隐含于教材中的数学思想方法；另一方面教师要把数学思想方法的教学纳入到教学目标，做到有目的、有计划、有步骤地精心设计好教学过程。

 

 

（二）研究主要内容

 

 

首先理论研究小学阶段学生数学思维的阶段性特征，对小学阶段存在的数学思想方法的进行系统梳理。然后再研究小学不同阶段主要运用哪些数学思想方法，该如何运用到实践中去，在哪些方面运用何种思想方法，以及一种数学思想方法在不同阶段要达到怎样的渗透程度等等实践的基础上，大力开展数学思想方法课堂教学的尝试，探索小学中实施数学思想方法渗透教学的基本规律（一般模式），以实验班为基础，进行课堂教学尝试，以能够提供各个阶段教学实践中渗透数学思想方法的多个成功案例为主要内容。

 

 

（三）预期目标

 

 

1.实践性目标

 

 

（1）梳理出小学阶段数学思想方法分布表，学生思维的阶段特征。

 

 

（2）探究小学阶段数学思想方法的阶段性特征，渗透的侧重点。

 

 

（3）探讨总结数学思想方法课堂渗透有效性的途径和方法，形成以渗透数学思想方法提高数学课堂教学有效性的教学案例、论文集等研究成果。

 

 

2.育人性目标

 

 

（1）在日常教学中，让我们一线的数学教师更好地从整体上把握教材的数学思想方法的编排体系，注重引导、渗透可利用资源，让学生感悟、领会数学思想方法的内涵，以逐步提高教师的教学业务水平。

 

 

（2）提高学生学习数学的能力，自觉地、主动地在学习过程中运用所学知识，并创造性地运用发散思维、或逆向思维，提高解决问题的能力。

 

 

三、研究的实施过程

 

 

（一）研究步骤

 

 

第一阶段：在理论方面进行小学数学思想的系统研究（2007年9月——2007年12月）责任人：课题组全体成员

 

 

通过文献研究搞清小学阶段学生数学思维的阶段性特征，小学阶段各年级数学思想方法的概念、范畴、作用，每个阶段存在哪些数学思想方法，该如何运用到实践中去，在哪些方面运用何种思想方法，一种数学思想方法在不同阶段要达到怎样的渗透程度，提出课题研究目标、步骤和预期效果。

 

 

第二阶段：进行数学思想方法渗透的教学实践（2008年1月——2009年6月）

 

 

责任人：课题组全体成员

 

 

各位课题组人员针对自己所负责的年级，弄清每个阶段存在哪些数学思想方法，该如何运用到实践中去，在哪些方面运用何种思想方法，一种数学思想方法在不同阶段要达到怎样的渗透程度，在实践过程有哪些收获，写出理论研究小结。

 

 

在数学思想方法理论研究取得一定的成果后，在自己所任教班级作为实验班进行数学思想方法渗透教学，并结合学校“人人汇报一堂创新课”活动上好“研究课”，进行尝试教学。尝试教学后召开专题讨论会，研究讨论所取得的成果或需改进之处，本课题组在整个研究过程中共召开了7次研究会议。

 

 

第三阶段：进行经验总结（2009年7月——2009年8月）责任人：沈华斌

 

 

收集各课题成员的研究材料，做好归纳整理，本着全面、客观、科学的眼光对研究情况进行分析，写出课题结题报告，总结、研究值得推广的经验和收获，将研究成果整理成文。做好课题所要达到的目标。

 

 

（二）行动研究方式

 

 

1．理论研究：主要收集小学阶段存在的数学思想方法以及该思想的内涵，制定实践方案。

 

 

2．实践研究

 

 

（1）探究阶段特征：结合实践，探究常见的数学思想方法的阶段特征，以便我们在教学实践中，对症下药，摸清常见的数学思想方法的渗透方式。

 

 

（2）丰富的活动：课题实施过程中，我们重视将空洞的理论研究变成具体形象的实践操作，结合人人一堂创新课，同时开展扎实有效的“探究课”。

 

 

（3）经验总结法：对实验中出现的成功经验和失败教训都要进行及时的总结，（包括理论方面的经验和实践方面的经验），定期召开论文交流与评比、案例分析与讨论和教学实践系列研讨活动，请专家对这些经验予以鉴定、好的经验及时推广。

 

 

（三）研究措施

 

 

1.学生思维的学段特征

 

 

（1）第一学段（1～3年级）学生的数学思考要求

 

 

 在（1～3年级）这一学段中，由于学生年龄段处在7~10岁，根据思维发展心理学的研究结论，我们的学生已经由学前期（3~7岁）的具体形象思维开始向抽象逻辑思维过渡，但仍以具体形象思维为主，在这个阶段，学生往往只注意数学知识的学习，注重知识的积累，而未曾注意到这些知识起到横向联系和固定作用的思想方法，或者只是处于一种“朦朦胧胧”、“若有所悟”的状况。那么我们教师该如何根据这一学段学生的特点，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，来培养学生数学思想能力，渗透数学思想方法，使它和数学智能达到均衡发展，这将是我们研究的主要内容之一。

 

 

（2）第二学段（4～6年级）学生的数学思考要求

 

 

在这一学段，随着运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题的实践机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，直至产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被应用多次的思想方法就会凸现出来，学生开始理解解题过程中所使用的方法与策略，并概括总结出这一思想方法，数学思想方法的学习开始出现明朗化。这时候，我们的教学也应该有个初步理解阶段，在我们正面地、直截了当介绍某种数学思想方法，要求学生如何初步掌握该方法解决问题的要领，会简单应用该方法来解决实际问题。

 

 

2.小学阶段数学思想方法的疏理

 

 

在第一阶段，我们主要探索了小学阶段出现频数较高的数学思想方法（见表1），其理由是：（1）这些数学思想方法几乎包摄了全部小学数学内容；（2）符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在小学数学教学中，运用这些思想方法分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想方法可以为进一步学习中学数学打下较好的基础。

 

 

表1    小学阶段数学思想大体分布表

 

 

册数

 

 

单元

 

 

内容

 

 

可渗透的数学思想方法

 

 

 

 

一

 

 

年

 

 

级

 

 

上

 

 

册

 

 

一、准备课

 

 

分类、同样多、多些少些、练习一

 

 

分类、集合、对应、符号化

 

 

二、10以内数

 

 

的认识和加减法

 

 

1、2、3、4、5、6的认识，加法和减法

 

 

集合、符号化、对应、化归、分类

 

 

练习七第11题，练习八第7、10题

 

 

函数

 

 

整理复习第4、5题

 

 

分类、统计

 

 

三、认识图形（一）

 

 

长方形、正方形、三角形、圆，拼组图形

 

 

符号化、排列组合

 

 

四、11~20各数的认识

 

 

例1~例6

 

 

对应、符号化、基本量

 

 

五、20以内的进

 

 

位加法

 

 

9加几：例1~例4

 

 

对应、集合

 

 

9加几：例5

 

 

对应、结构

 

 

 

 

一

 

 

年

 

 

级

 

 

下

 

 

册

 

 

一、位置

 

 

上下、前后、左右、位置、练习一

 

 

有序、对应

 

 

二、20以内的退位减法

 

 

例1～例2、整理和复习第1、2题

 

 

转化、分类

 

 

三、图形的拼组

 

 

例1～例2

 

 

 

 

四、100以内数的认识

 

 

例1～例3、例6～例9、例10、摆一摆，想一想

 

 

建模、比较、转化、符号化

 

 

五、认识人民币

 

 

 

 

 

 

六、100以内的加法和减法

 

 

 

 

建模、转化

 

 

七、认识时间

 

 

例1～例2、练习十五

 

 

建模、数形结合

 

 

八、找规律

 

 

例1～例7、练习十六

 

 

有序、分类、集合、排列组合

 

 

九、统计

 

 

例1～例2、练习十七

 

 

分类、统计

 

 

 

 

二

 

 

年

 

 

级

 

 

上册

 

 

 

 

二、100以内的加法和减法

 

 

两位数加两位数、两位数减两位数、连加、连减和加减混合、加减法估算

 

 

集合、符号化、化归、分类

 

 

我长高了

 

 

分类、统计、符号化

 

 

三、角的初步认识

 

 

认识角和直角

 

 

符号化、分类

 

 

 

 

四、表内乘法（一）

 

 

乘法的初步认识

 

 

建模

 

 

2～6的乘法口诀

 

 

化归、函数、转化、数形结合、对应

 

 

五、观察物体

 

 

例1～例3

 

 

局部与整体

 

 

练习十五

 

 

转化

 

 

 

 

 

 

六、表内乘法（二）

 

 

例1、                               练习十六、例5、例6

 

 

 

 

化归、函数、数形结合、对应、有序

 

 

例2～例4、练习十七

 

 

建模、数形结合、转化

 

 

练习二十

 

 

函数、代数

 

 

看一看、摆一摆

 

 

数形结合、有序

 

 

七、统计

 

 

以一当二

 

 

分类、有序、统计

 

 

八、数学广角

 

 

排列、组合

 

 

有序

 

 

 

 

 

 

 

 

二

 

 

年

 

 

级

 

 

下

 

 

册

 

 

一、解决问题

 

 

 例1～练习二

 

 

建模、比较、转化

 

 

 

 

二、表内除法（一）

 

 

1.平均分（例1～练习三）

 

 

数形、建模

 

 

练习三（第1题）

 

 

对应

 

 

除法（例4～练习四）

 

 

数形、符号化

 

 

2.用2～6的乘法口诀求商（例1～练习八）

 

 

有序、化归、转化、函数

 

 

三、图形与变换

 

 

锐角和钝角、平移和旋转、剪一剪

 

 

分类、比较、转化、归纳

 

 

 

 

四、表内除法（二）

 

 

用7、8、9的口诀求商（例1）

 

 

建模、转化

 

 

练习十一（第5、10题）

 

 

函数

 

 

解决问题

 

 

建模、数形结合

 

 

五、万以内数的认识

 

 

认识“百”和“千”、比较大小、整百整千数加减法

 

 

对应、符号化、基本量、建模、转化

 

 

六、克和千克

 

 

认识、比较克和千克

 

 

建模、转化、比较

 

 

七、万以内的加法和减法（一）

 

 

例1～ 练习二十一

 

 

建模、转化

 

 

有多重

 

 

分类、比较、统计

 

 

八、统计

 

 

复式统计表、以一当五

 

 

分类、统计

 

 

九、找规律

 

 

例1、例2、练习二十三

 

 

数形结合、有序、分类、集合、排列组合

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三

 

 

年

 

 

级

 

 

上

 

 

册

 

 

一、测量

 

 

毫米、分米的认识；千米的认识；吨的认识、练习1～3

 

 

化归、比较、

 

 

分类

 

 

 

 

二、万以内的加法和减法（二）

 

 

加法、减法

 

 

比较、类比

 

 

练习五第10题、思考题

 

 

练习六思考题

 

 

假设

 

 

加减法验算、练习七第4、5题

 

 

化归、假设、转化

 

 

 

 

 

 

三、四边形

 

 

 

 

四边形、平行四边形

 

 

集合、比较、分类

 

 

周长、长方形和正方形的周长

 

 

 

 

集合、符号化、化归、比较、

 

 

 

 

估计、练习十一第6题

 

 

数形结合、可逆、变中抓不变、对应、比较

 

 

四、有余数的除法

 

 

例1～例4、练习十三第8题

 

 

比较、转化、可逆、化归

 

 

五、时、分、秒

 

 

秒的认识 、时间的计算

 

 

建模、代换、数形结合、

 

 

 

 

六、多位数乘一位数

 

 

口算乘法、练习十五第12题

 

 

对应

 

 

笔算乘法例1～例7

 

 

对应、分类

 

 

整理和复习

 

 

分类、整体

 

 

七、分数的初步认识

 

 

几分之一、几分之几、分数大小的比较

 

 

对应、比较、数形结合

 

 

八、可能性

 

 

例1～例4、

 

 

练习二十四

 

 

假设、比较、可逆、数形结合、建模

 

 

九、数学广角

 

 

排列、组合、掷一掷

 

 

对应、符号化、数形结合

 

 

 

 

 

 

 

 

三

 

 

年

 

 

级

 

 

下

 

 

册

 

 

 

 

一、位置与方向

 

 

认识方向、看简单路线图、辨认方向

 

 

有序、对应

 

 

 

 

 

 

二、除数是一位数的除法

 

 

口算除法

 

 

类比、数形结合、转化、函数

 

 

笔算除法：例1~例4

 

 

数形结合、有序、转化、建模

 

 

笔算除法：例5~例7

 

 

归纳、类比、概括、建模

 

 

三、统计

 

 

简单的数据分析、平均数

 

 

对应、统计、数形结合

 

 

四、年、月、日

 

 

例1~例2

 

 

化归、对应、整体

 

 

五、两位数乘两位数

 

 

口算乘法

 

 

类比、转化 

 

 

笔算乘法

 

 

建模、有序

 

 

 

 

六、面积

 

 

面积和面积单位

 

 

数形结合、类比

 

 

长方形和正方形的面积计算

 

 

代数、概括、建模、转化

 

 

练习十九

 

 

代数

 

 

面积单位间的进率

 

 

数形结合、转化

 

 

七、小数的初步认识

 

 

认识小数

 

 

符号化、转化、对应

 

 

简单小数加减法、练习二十二 

 

 

建模、归纳

 

 

八、解决问题

 

 

例1、例2、练习

 

 

数形结合  基本量

 

 

九、数学广角

 

 

 

 

集合       等量代换

 

 

 

 

四

 

 

年

 

 

级

 

 

上

 

 

册

 

 

一、大数的认识

 

 

亿以内数的认识

 

 

对应、有序、建模、极限

 

 

二、角的度量

 

 

直线、射线、角的认识、角的度量、角的分类、画角

 

 

符号化、排列组合

 

 

三、三位数乘两位数

 

 

口算乘法、三位数乘两位数的笔算乘法

 

 

对应、集合、转化、分类、

 

 

四、平行四边形和梯形的认识

 

 

平行四边形和梯形的认识、画平行四边形

 

 

符号化、集合

 

 

五、除数是两位数的除法

 

 

口算除法、除数是两位数的除法

 

 

对应、集合

 

 

六、统计

 

 

条形统计图

 

 

分类、统计、对应、比较

 

 

七、数学广角

 

 

烙饼问题

 

 

有序、转化

 

 

四

 

 

年

 

 

级

 

 

下

 

 

册

 

 

一、四则运算

 

 

四则运算

 

 

有序、

 

 

二、位置与方向

 

 

位置与方向

 

 

有序、对应

 

 

三、运算定律与简便运算

 

 

加法结合律、叫法交换律、减法的性质、乘法结合律、乘法结合律、乘法分配律、除法的性质。

 

 

建模、符号化

 

 

四、小数的意义和性质

 

 

小数的意义和读写法、小数的性质

 

 

建模、比较、转化、符号化

 

 

五、三角形

 

 

三角形的认识、三角形的分类

 

 

比较、符号化

 

 

六、小数的加减法

 

 

小数的加减及混合运算

 

 

建模、转化

 

 

七、统计

 

 

折线统计图

 

 

分类、统计、对应、比较

 

 

八、数学广角

 

 

植树问题

 

 

有序、转化、归类

 

 

 

 

 

 

五

 

 

年

 

 

级

 

 

上

 

 

册

 

 

一、小数乘法

 

 

例1～例2

 

 

例3～例4

 

 

例7～例8

 

 

转化、对应、

 

 

对比、有序、

 

 

比较、函数思想

 

 

二、小数除法

 

 

例1～例4

 

 

例7～例9

 

 

例11

 

 

转化、极限、

 

 

对比、有序、

 

 

化归、函数思想

 

 

三、观察物体

 

 

正面、侧面、上面、练习

 

 

有序、对应

 

 

四、简易方程

 

 

例题

 

 

 

 

量一量、找规律

 

 

 

 

符号化、等量代换、函数思想

 

 

统计、归纳、函数、极限

 

 

五、多边行的面积

 

 

平行四边形的面积、三角形的面积、

 

 

梯形的面积、 组合图形的面积

 

 

转化、符号化、对应

 

 

六、统计与可能性

 

 

统计

 

 

可能性

 

 

分类、统计

 

 

概率思想、排列组合

 

 

七、数学广角

 

 

例1～例4

 

 

数字编码思想

 

 

 

 

五

 

 

年

 

 

级

 

 

下

 

 

册

 

 

一、图形的变换

 

 

轴对称图形、旋转

 

 

有序、对应、建模

 

 

二、因数与倍数

 

 

因数与倍数

 

 

质数与合数

 

 

建模、比较、数形结合

 

 

符号化、极限、分类

 

 

三、长方体和正方体

 

 

特征认识、表面积和体积

 

 

建模、比较、数形结合

 

 

符号化

 

 

四、分数的意义和性质

 

 

分数的意义

 

 

真分数和假分数  约分和通分

 

 

 

 

分数的基本性质

 

 

建模、集合、整体

 

 

建模、集合、比较、数行结合

 

 

化归

 

 

五、分数的加法和减法

 

 

加法和减法

 

 

建模、转化

 

 

六、统计

 

 

 

 

例1～例2

 

 

打电话

 

 

分类、统计

 

 

优化

 

 

七、数学广角

 

 

找次品：例1～例2

 

 

归纳、优化

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

六

 

 

年

 

 

级

 

 

上

 

 

册

 

 

一、位置

 

 

例1、例2

 

 

对应、

 

 

 

 

 

 

二、分数乘法

 

 

 

 

分数乘整数

 

 

分数乘分数

 

 

简便计算、混合运算

 

 

数形结合、类比、归纳、

 

 

求一个数的几分之几是多少的问题

 

 

稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题

 

 

数形结合、建模、

 

 

倒数的概念、求一个数的倒数

 

 

归纳、类比

 

 

三、分数除法

 

 

例1~例4

 

 

类比、归纳、对应、数形结合、函数

 

 

解决问题（例1、例2、）练习十

 

 

方程、数形结合、建模、归纳

 

 

比的意义、比的基本性质、按比例分配

 

 

类比、化归、归纳

 

 

四、圆

 

 

认识圆：例1~例3

 

 

归纳、类比

 

 

圆的周长

 

 

转化、建模

 

 

圆的面积、例1、例2、练习十六、整理和复习

 

 

转化、建模、数形结合、归纳

 

 

五、百分数

 

 

百分数的意义和写法

 

 

比较、归纳

 

 

百分数和分数、小数的互化：例1~例4

 

 

建模、

 

 

用百分数解决问题：例1~例5、整理和复习

 

 

建模、类比、数形结合、分类、比较

 

 

六、统计

 

 

扇形统计图、练习25

 

 

符号化、比较

 

 

七、数学广角

 

 

例1、练习26

 

 

枚举、方程、假设、类比

 

 

 

 

 

 

六

 

 

年

 

 

级

 

 

下

 

 

册

 

 

一、负数

 

 

 

 

例1～例4、练习1

 

 

数形结合、比较、建模、归纳

 

 

二、圆柱与圆锥

 

 

圆柱的认识：例1~例2

 

 

对应、数形结合

 

 

圆柱的表面积：例3~例4、练习2

 

 

转化、比较、对应、

 

 

圆柱的体积：例5~例6、练习3

 

 

转化、类比、分类、数形结合

 

 

圆锥：例1~例、练习4、整理和复习

 

 

归纳、比较、转化、类比

 

 

三、比例

 

 

自行车里的数学

 

 

比例的意义和基本性质：例1~例3

 

 

建模、方程、

 

 

正比例和反比例的意义：例1~例3

 

 

类比、建模、数形结合、归纳、比较

 

 

比例的应用：例1~例6、整理和复习

 

 

方程、建模、比较、数形结合、归纳

 

 

四、统计

 

 

例1~例2

 

 

比较、数形结合

 

 

 

 

 

 

六、整理与复习

 

 

数与代数

 

 

建模、比较、整体、符号、分类、比较

 

 

空间与图形

 

 

极限、集合、转化、类比、分类、数形结合、

 

 

统计与概率

 

 

对应、比较、数形结合、符号

 

 

综合应用

 

 

比较、数形结合、

 

 

我们对人教版《小学数学》教材中的数学思想方法出现的频数也进行了统计，结果见表2。                     表2     数学思想方法频数分布表

 

 

数学思想方法

 

 

频数

 

 

 

 

数学思想方法

 

 

频数

 

 

分类方法

 

 

31

 

 

 

 

类比方法

 

 

16

 

 

数形结合方法

 

 

35

 

 

 

 

有序方法

 

 

20

 

 

化归方法

 

 

29

 

 

 

 

集合方法

 

 

15

 

 

符号方法

 

 

23

 

 

 

 

统计方法

 

 

29

 

 

建模方法

 

 

39

 

 

 

 

极限方法

 

 

27

 

 

函数方法

 

 

12

 

 

 

 

对应方法

 

 

34

 

 

比较方法

 

 

34

 

 

 

 

 

 

 

 

从表1和表2中可以看出，小学数学蕴涵着丰富的数学思想方法内容，不但种类繁多，而且部分数学思想方法出现频数也很多，这说明在小学教学中加强数学思想方法的渗透是非常有必要的，是很有意义的。

 

 

四、研究成果与结论

 

 

（一）小学数学思想方法的研究成果

 

 

1．小学阶段数学思想方法的阶段特征

 

 

小学教学中蕴含着丰富的数学思想方法内容，不但方法种类多，而且某些思想方法出现的频数也很大。鉴于小学生认知能力和小学数学教学内容的限制，且小学生的思维以具体形象思维为主，需要我们将部分出现频数较高的数学思想方法落实到小学数学教学过程中，而且对部分数学思想方法要求不宜过高。首先我们来看看数学思想方法在小学不同阶段的特点：

 

 

（1）侧重阶段不同

 

 

每种数学思想都有自身的特点，有的数学思想的渗透时，往往比较形象、具体，相对来说适合低段教学时渗透（案例一）；有的数学思想知识起点相对比较高，相对来说适合中高年级教学时渗透（案例二）；当然这只是相对来说，每种数学思想往往贯穿整个小学阶段的教学，只是侧重点有所不同，而且数学思想的渗透不是小学阶段6年时间就可以让学生们掌握的很娴熟，应该是一个长期的教学任务。只有在课堂教学中合理地、有步骤地渗透数学思想方法，提高数学思维品质，才能达到“随风潜入夜，润物细无声”的效果。

 

 

[案例一]分类思想的渗透

 

 

对于儿童而言，对“类”和“分类”的认识不是靠定义、靠说理，而应该注重引导学生在活动中体验。分类，在课标实验教科书一年级上册5单元独立成“章”。

 

 

教学时可以通过联系学生的生活实际，从学生熟悉的“房间的场景”人手，通过学生的观察，说出自己的感受，从而产生整理房间的需要。在整理的过程中，对房间内穿的、用的、玩的有了相应的认识。这里的“穿的”、“玩的”、“用的”就是“类”的一种表述。学生在这样的活动中，其思维过程首先是观察，其次是比较。经过比较之后，进行排列。排列的过程就是按照一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。这样—种划分和组织的结果就形成了分类。

 

 

分类的关键在于正确地选择分类标准。—个科学的分类标准必须能够对分类的对象进行不重复、无遗漏的划分，这也是分类的重要原则。例如，人教版课标教构一年级上册第39页的“做一做”。（右上图）

 

 

就是让学生选择不同的标准对卡片进行分类后，再进行交流。让学生体会到同一标准下，分类结果的一致性，不同标准下，分类结果的多样性。低段学生往往在活动或具体情境下感悟相关的数学思想方法，这样带来的效果更加明显。

 

 

[案例二]极限思想的渗透

 

 

极限是指用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。这对于小学生来说，是比较难以理解的，所以一般在中高段才会对此数学思想方法有所渗透。

 

 

人教版五年级上册在循环小数的教学中，许多人认为0.99……这个数无论小数点后面9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近1，而不等于1。笔者在教学过程中从两方面来说明0.99……等于1。首先学生很容易理解1÷3=0.33……，2÷3=0.66……，因为+=1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比较大小，让学生找大于0.99……而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99……=1。

 

 

这样的教学可以使学生在头脑中初步萌生出“无限”的概念。如此教学不但能激发学生学习数学的兴趣，而且对于发展学生智力，培养学生良好的思维能力是十分有益的，更重要的是渗透给学生极限的思想方法。

 

 

（2）不同年级渗透程度不同

 

 

数学思想的渗透往往贯穿整个小学阶段的教学过程，但是同一数学思想在不同阶段的渗透程度是不同的（见附件9），往往在低段启蒙阶段，以间接地隐性渗透，在学生不知不觉中，感悟了这种数学思想方法，并且会简单利用它解决数学问题，而在中高段则可能直接开门见山地介绍这种数学思想方法，并明确这样的方法就是某某数学思想方法。在教学中就直接告知学生，使学生进一步理解自己所使用的方法，更深层次上去认知数学思想方法，能把它简单用于解决实际问题。

 

 

2. 数学思想方法教学的渗透点

 

 

受年龄特征的制约小学生对数学思想方法有深刻的理解是比较难的，但这并不等于我们在小学数学教学中可以淡化对数学思想方法的渗透，相反我们应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们将来学习数学思想理论，提高抽象思维，奠定基础。课题组认为小学数学教学中可以在以下几方面加强对数学思想方法加以渗透（渗透点）。

 

 

（1）在教学概念时渗透

 

 

[案例三] 类比

 

 

对不同的数学概念运用类比进行比较分析，通过异同的比较能使学生加深对概念内涵的理解。

 

 

如对于反比例的教学，教师可以通过熟知的正比例类比到反比例。例如y／x =2  与xy=2两者的区别在哪？前者可以用通式y／x= k（k为常数，k≠0）来表示，后者呢？学生很容易抽象出反比例的通式xy=k(k为常数,k≠0)这样的类比，效果还是不错的。又如，学生刚开始接触比的基本性质时，感觉困难，但学生对于分数的基本性质是相当熟悉的。根据这点利用类比迁移来讲：对照分数的基本性质，看比又有什么样的基本性质呢？复习分数的基本性质，引导学生总结比的基本性质，会发现学生很自然的说出比的基本性质，既“比的前项和后项都乘以或者都除以相同的数（零除外），比值不变。”学生通过这样的类比不但加深了对概念的理解，同时也有效的提高了解题能力。

 

 

（2）在教学图形时渗透

 

 

[案例四] 极限

 

 

人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端（没有端点）可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室      学校    我们所在的城市     地球的大气层     太阳系……，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想；而是经过一点可以画（  ）条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条……直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。

 

 

  通过有限想象无限，根据课件出示的数量变化趋势，想象它们的最终结果。既让学生掌握了直线的性质，又理解了无限逼近的极限思想。

 

 

（3）在解决问题时渗透

 

 

[案例五] 集合

 

 

一些小学数学竞赛题和思考题，数量关系比较隐蔽且复杂，若以集合思想辅以图形分析题意，则可以使数量关系明朗化，进而找出解题方法。

 

 

例如：某班有学生45人，参加演讲比赛的有16人，参加书法比赛的有14人，如果这两种比赛都没有参加的有20人，那么同时参加演讲、书法这两种比赛的有多少人?

 

 

分析：由题意作图如下：

 

 

                   

 

 

由图可知，参加比赛的人数为：45—20=25(人) ，而参加演讲比赛的人数+参加书法比赛的人数：16+14=30(人) 。30人比25人多，这是因为有一部分人既参加了演讲比赛，又参加了书法比赛，这部分人重复计数了。故同时参加演讲、书法两种比赛的人数(图中阴影部分)为：30—25=5(人)。

 

 

（4）在教学练习时渗透

 

 

[案例六]  极限  数形结合

 

 

在教学了分数的简单加减法之后，借助数形结合可以设计这样一个练习：一个大正方形，它的面积是1，每次将它剩余部分平均分，每次得到剩余部分的二分之一，于是得到算式：，一般同学们先会使用通分来计算，但是如果不停地分下去……，会得到算式：

 

 

，这时我们借助用数形结合的思想方法，画出上图，从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限的项相加时其结果为1。

 

 

解决这题运用了极限和数形结合两种不同的思想方法，所以我们的练习设计不能仅仅着眼于一个问题的解决，而是关注学生在解决这个问题中领悟到其中的数学知识及思想方法，更关注在解决问题中充分锻炼自己的思维能力。

 

 

（5）思想方法的渗透多样化

 

 

[案例七]  {探索土豆的体积}片段   

 

 

教师出示一个土豆，请学生讨论如何求它的体积。   

 

 

生1：把土豆放入水中，水面升高的部分就是土豆的体积。   

 

 

生2：把土豆蒸熟并捣成土豆泥，把它塑造成规则的图形就能求出它的体积。   

 

 

生3：这个土豆像圆柱，把它看成近似的圆柱，只要量出它的半径和高就能求出体积。   

 

 

师：既简便又快捷。估算在生活中有着广泛的应用。   

 

 

生4：先把土豆削成一个规则的图形，剩下的部分一直往下分，可以切成长方体的小块或正方体的小块。   

 

 

生5：可以把土豆切成小块，拼成长方体或正方体，分得越多，越接近规则的图形。   

 

 

师：这种化整为零的思想用得好!   

 

 

生6：可以把土豆的质量称出来，再量1立方厘米的小块的质量……   

 

 

这个片段感触最深的是数学思想方法的渗透。学生能够把未知的转化为已知的，把不规则的转化为规则的，更为可贵的是每种方法都有其思维价值。生1是“曹冲称象”的再现，运用的是等量代换的思想；生2将土豆变形，把不规则的图形转化为规则的图形，“变中抓不变”；生3的估算意识对解决实际问题至关重要；生4和生5运用了极限的思想解决问题；生6采用由部分推知整体的策略，而且把质量、体积、正比例的知识综合在一起，灵活解决问题。学生解决问题的方法多样，体现了策略的多样化。   

(二) 学生和教师数学素养提升成果

 

 

1.探索“数学思想方法”渗透教学的一般模式。

 

 

一般来说，数学思想由于有很多种类，所以没有固定的模式可言，但是相对于我们平时无“数学思想方法”渗透的教学，还是有一定的模式可循。数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式： 发掘——操作——掌握——领悟

 

 

 （1）深入研究教材，发掘数学思想方法

 

 

数学思想方法是隐性的更本质的知识内容。因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关数学思想方法。例如，在教学中，分数乘法法则的讲述，在一些旧教材中注重由一般到特殊化的演绎推理，而新编的教材中充分运用了数形结合和归纳推理的方法，后者降低了难度而又不失科学性，教师可给学生介绍这两种基本而又常用的数学思想方法。

 

 

所以要把数学思想方法的学习纳入教学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程，同时精心设计一些与此思想方法相关的思考问题，潜移默化地加以孕育，做好铺垫工作。这就要求我们教师要深入研究教材，善于发现其中的数学思想方法，教师自己要及时更新观念，不断提高对数学思想方法教学重要性的认识。

 

 

（2）仔细设计预案，落实数学思想方法

 

 

认真设计数学思想方法教学的目标后，认真设计预案，看看哪个环节可以渗透哪些数学思想方法，当实施了该数学思想方法的教学之后，应要求学生按照一定地程序和步骤进行练习，并通过一定数量的问题训练，使学生初步巩固刚刚形成的数学思想方法。一般来说，数学思想方法的训练不要急于求成。

 

 

（3）灵活教学新知，掌握数学思想方法

 

 

在学生知识形成的过程中，有计划地介绍有关的数学思想方法。例如，在学生知识形成阶段，可运用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法、函数思想方法、方程思想方法等，在知识总结阶段，可采用公理化、结构化等思想方法。

 

 

    （4）反思教学过程，领悟数学思想方法

 

 

在教学结束后，及时反思自己的教学过程，分析其中的得与失，总结渗透时的好的优点，及时记录下来，为以后的教学提供很好的范例。

 

 

2.教师的数学素养和教学理念得到提升。

 

 

经过这两年课题的实施与研究，我们的数学教师充分认识到“数学思想方法”渗透的重要性，改变了以往只注重“计算”为主，只重视算法多样化，忽视算法多样化背后的不确定性的教学，开始自觉地尝试数学思想方法教学，提升了自身的数学素养，能培养学生更好地理解数学知识，培养学生分析问题解决问题的能力，在教学中更注重对教学过程的把握，同时经常写反思，提高自己的科研能力，促使自己业务水平不断提高。

 

 

3.课堂教学有效性的提升

 

 

（1）注重教学目标的整合

 

 

教学中把知识和思想方法目标、能力目标与情感目标进行平衡与和谐的整合，是学生在获得知识的过程中掌握数学思想方法并学会学习，从而有效地促进自身的发展，并在发展过程中深化知识的理解、活化思想方法的应用。

 

 

如“梯形的面积”一课，我们是这么设置目标的：知识目标是通过为题情境要求学生自主实验、探索梯形的面积，归纳出梯形面积公式；思想方法目标是通过展示数学化思考的过程，提炼出化归方法。能力与情感目标是能初步应用化归方法解决问题，并使学生认识化归方法在解决问题中的重要作业；开展数学化交流，促进合作学习，培养团队合作精神。这些目标相互作用、相互促进共同达成教学的总目标。

 

 

（2）重视学法指导

 

 

在学生自主学习的过程中，教师经常启发学生、引导学生如何将未知的知识转化成自己已经能解决问题，或是靠自学、小组合作等形式学习新知，掌握学习新知的方法，并能以此来影响其他同学，教师则引领学生开展合作学习取长补短，培养团队合作精神。

 

 

4.提升了学生思维能力

 

 

我们进行了关于渗透数学思想方法对解决问题能力的实证研究。为了便于分析、统计，在研究中，我们分别对实验班和对照班的370名学生进行教学测试：

 

 

 

 

小组合作

 

 

学生学法

 

 

新知总结

 

 

自我反思

 

 

实验班

 

 

小组成员之间团队精神强，大部分小组能相互商量、交流

 

 

学生的思维较活跃、开放，能主动用不同的方法解题，思维有“亮点”

 

 

大部分学生能理智、主动认可别人的正确想法，并相互补充，完善，找到正确的解题方法

 

 

大多数学生能掌握学习内容，并对自身学习作出一定的反思评价

 

 

普通班

 

 

小组合作比较被动，各顾各的较多

 

 

学生思维较“固定”，一般没有自身的学法

 

 

优秀生发言“较多”，大多学生只是旁听，未能参与整个教学过程

 

 

学生能完成课堂练习，但学习积极性不高、兴趣不大

 

 

由上表得知，数学思想方法的渗透教学与学生数学学习的关系非常密切，而通过教学中渗透思想方法，引导、影响学生去感悟、去运用这些数学思想方法，这对学生本身是一种学习方法的训练、指导，这也为学生进一步学习中学知识奠定一定的基础。

 

 

（三）基本结论

 

 

1.小学数学思想方法教学的行之有效

 

 

综上所述，数学教学的价值取向不仅仅局限于让学生获得基本的数学知识和技能，更重要的是在数学教学活动中，让学生了解数学的价值，增强数学的应用意识，获得数学的基本数学思想方法，经历解决问题的过程，在知识获得的过程中促进学生的发展，又使学生获得了学习兴趣和体验成功的快乐感受，两年多的课题实践证明，在小学中渗透数学思想方法教学是行之有效的。

 

 

2.小学数学思想方法教学的推广意义

 

 

鉴于数学思想方法对于学生的影响，对于教学的改善，而且目前在小学数学课堂上进行数学思想方法的教学尚处于起步阶段，其教学的随意性很强，因此本课题的研究成果巨头重要的推广价值，在小学数学教学中有必要加强数学思想方法的教学，当然推广之前，我们有必要做好几个工作：一要努力转变教师的观念；二要把数学思想方法的教学列为教学的目标之一；三要努力提高教师自身的业务水平和数学素养；四要大力开展数学思想方的课题教学实践，探索渗透数学思想方法的基本规律。

 

 

五、问题讨论和后续研究

 

 

（一）防止产生负面影响

 

 

渗透数学思想方法时如何要防止产生负面影响。如在渗透化归思想方法时，如果我们在研究数学问题时一味地寻找旧的模式和解题经验，容易阻碍新方法和工具的产生，对发展学生的数学创新意识产生消极影响。也就是说，好的教育能够充分施展培育创新的力量，提升受教育者的创新素养，而不当的教育可能构成对创新的打击与窒息。这就需要我们在利用“数学思想方法”时注意它的“双重身份”，切忌面对新的数学问题生搬硬套原来的解题模式、方法，要灵活地运用这种思想方法。我们应该抑制它的保守性，克服它的负面效应，而发扬它的创新精神，展示它的优势。

 

 

（二）渗透到何种程度？

 

 

小学阶段数学思想方法的渗透，那么到底该渗透到哪种程度呢？渗透到何种程度才对于学生是容易接受的，又可以为他后续的学习积累一定的思想基础，这将有待于我们不断的深入探讨。

 

 

通过本课题的实施，各参与课题研究的教师普遍收益很大，特别是一些年轻教师，在课堂上对数学知识如何渗透数学思想方法有了进一步的认识，养成了写教学反思的好习惯，每一位成员均能结合教学实际和课题研究的目标及时发现问题、研究问题，在一年多的研究中已有多篇与课题研究相关的论文在区级及以上获奖（获奖资料见附件），教育教学水平也有了进一步提高，课堂有效性得到进一步加强。

 

 

                                                         

 

 

参考文献：

 

 

[1]顾泠沅，朱成杰.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004

 

 

[2]斯苗儿编著.小学数学教学案例专题透视[M].杭州：浙江大学出版社，2005

 

 

[3]林华美. 抽象 归纳 建模[J].福建教育, 2007，(10)

 

 

[4]张燕燕.还数学教学以“精彩”-浅谈“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的渗透[J]. 福建教育, 2007，(10)

 

 

[5]蒋明玉.巧用转化  化难为易[J]. 福建教育, 2007，(10)

 

 

[6]唐少雄. 渗透数学思想方法要注意“三性”[J]. 福建教育, 2007，(10)

 

 

[7]王红宇.数学教学应重视数学思想方法的渗透[J].小学教学参考，2008，（7－8）

 

 

[8]王薏.在《植树问题》中渗透数学建模思想[J].中小学数学·小学版，2008,（9）

 

 

[9]刘德美. “鸡兔同笼”中的数学思想方法[J]. 中小学数学·小学版，2008,（9）

 

 

[10]李斌.例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用[J]. 小学教学参考，2008，（9）

 

 

[11]刘加霞.函数思想在小学数学教学中的渗透(上) [J].小学教学·数学版,2008,(1)

 

 

刘加霞.函数思想在小学数学教学中的渗透(下) [J].小学教学·数学版,2008,(3)

 

 

刘加霞. “数形结合”思想在教学中的渗透(上) [J].小学教学·数学版,2008,(4)

 

 

刘加霞. “数形结合”思想在教学中的渗透(下) [J].小学教学·数学版,2008,(5)

 

 

[12]冯胜. 小学数学“分类”思想方法的形成与运用[J].中小学数学·小学版,2007，(10)

 

 

[13]虞琳娜,金凌芬. 小学数学教学符号化思想渗透的基本途径[J]. 学科教学探索，2006（6）

 

 

[14]蔡正清. “转化思想”在小学数学解题中的运用[J]. 小学教学参考，2007，（6）

 

 

  

 

 

 

 

小学阶段各年级数学思想方法渗透的实践与研究

 

 

 

 

附件目录

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

目录

 

 

附件1：小学数学“数形结合”思想方法的灵活妙用………………………………………1

 

 

（市第五届学科统一论文评比获一等奖、区第五届(各学科统一)教学论文评比获一等奖）

 

 

附件2：“极限”思想在小学数学教学中的有效渗透……………………………………… 5

 

 

（市第六届学科统一论文评比获一等奖、区第六届(各学科统一)教学论文评比获二等奖）

 

 

附件3：数学思想之“集合思想”在小学数学教学中的渗透………………………………9

 

 

附件4：小学数学教学中“符号化思想”的有效渗透………………………………………12

 

 

附件5：“对应”思想在小学数学教学中的渗透…………………………………………… 14

 

 

附件6：“建模”思想内涵及其在小学数学教学中的渗透………………………………… 18

 

 

附件7：“类比”思想内涵及其在小学数学教学中的渗透………………………………… 21

 

 

附件8：渗透归纳思想，提高学生的思维能力………………………………………………24

 

 

附件9：“化归”思想及其在小学数学教学中的渗透……………………………………… 26