金头龟是深水龟吗:小学数学思想方法解读与备课专辑1

小学数学思想方法解读与备课专辑

理解数学  改变课堂

——写在前面的话

为了帮助广大小学数学教师提升专业素养，进一步提高实施新课程的水平，从而更有效地进行小学数学教学，全面提高教学质量，本期特别推出《新课程小学数学思想方法解读与备课专辑》。此《专辑》以小学数学四大领域（数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用）内容为逻辑框架，兼顾了多种版本的教材，从各学段教学的重点难点内容出发，通过丰富、精彩的案例对教师的的备课、教学给予具体的指导和建议，特别是对教师在教学中普遍存在的问题与困惑进行了澄清和提示。此《专辑》着眼于新课程小学数学教学的本质内涵，阐释了小学阶段的核心教学理念、数学思想和数学方法，并以开阔的视野，对小学数学内容进行了整体解读，是教师朋友提高教学能力的良师益友。

此《专辑》的撰写者均为对数学教学有着深刻理解、教学积累深厚、具有新课程教学实力的著名特级教师、优秀教师，他们研究的是日常课程教学中的实践问题，但又不囿于对日常教学的一般认识，在文章中，通过阐述和课例分析，提示了数学教学的本质和规律，他们以个人的研究专长，展现了自己在相应领域中的教学精华，使《专辑》闪烁着思想与实践的光辉。

此《专辑》的编辑工作长达半年之久，期间我们曾请一些教学专家和一线教师试读，听取他们的读后感，因此《专辑》是在反复研究和修改后面世的。

此《专辑》文章观点精粹如下：

数与代数

理解意义  培养数感

——“数的认识”备课解读与难点透视

认数教学以理解数的意义为重点。让学生理解数的意义，建立正确的数的概念一般有两个角度：一是从数的组成去建构；二是联系实际来体会。

数感需要培养。数感与具有数学知识的多少、理解数学知识的程度有关，但更多地表现为应用数与运算的态度和意识。

如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学难度。

把握基本矛盾  走向有效教学

——“数的运算”备课解读与难点透视

在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。

基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。多数学学生喜欢的方法，教师易教、学生易学的方法，对后续知识的掌握有价值的方法，是最理想的基本算法。

在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成由动作思维向形象思维，再向抽象思维的发展过程。

把握“转折”：从“算术”走向“代数”

——“式与方程”和“正比例、反比例”备课解读与难点透视

在教学认识方程时，教师要有“建模”意识。解方程不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程，而应当成为数学模型转换、深刻理解“相等关系”的过程。

比的教学重在理解比的意义，而不只是解决实际问题。

一个凸显数学本质的教学领域

——“探索规律”备课解读与难点透视

探索规律作为小学数学知识结构新的部分，也需要系统的眼光，构建一个适合学生学习的序列。

从在一个单位时间设计一个教学活动的教学角度看，教材的编写和课堂教学的设计都是选择的艺术。教学目标的多元化也促使教学时要更注重效率。

空间与图形

认识图形世界  发展空间观念  提升数学思考

——“图形的认识、测量”备课解读与难点透视

该告诉的不妨告诉；只是以怎样的方式“告诉”，却是一门艺术。

唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机结合为一体，观察能力才能真正得以培养。

要善于引导学生在适当的时候跳出具体的、直观的解题方法，以相对抽象、更为一般的层面上认识算法、理解问题结构。

“图形与位置”的备课与教学

准确把握教学目标，不要偏离“初步认识”的整体定位。

要依据儿童认知空间方位的特点确立教学的难点和组织教学。

要善于借助适当的情境与活动，以提示数学知识的实际背景与现实原型。

“图形与变换”的备课与教学

什么是变换？什么是平移、旋转和轴对称？教师先要理解这些基本的概念。

要注意选择典型的、更能体现数学意义的教学活动，否则就容易遮蔽数学概念的本质。

要注意引导学生对观察对象加以适当的简化、抽象、忽略一些无关紧要的细节。

统计与概率

“所有的判断都是统计学”

——“统计与概率”教学备课难点解析

以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，它有别与讲究因果关系的逻辑思维。

学生凭借经验就能判断“可能”和“一定”，还需要做实验吗？鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正他们对概率的认识。实验不仅要做，而且是要多次做。

“动手实践，主动探索”绝不能简单地等同于“动手活动”，二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。

实践与综合应用

是一个领域，更是一种数学教育价值观

——“实践与综合应用”备课解读与难点透视

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理解意义  培养数感

——“数的认识”备课解读与难点透视

深圳  黄爱华  罗忱红

    一，内容变化。

数的认识在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块。我们知道，《数学课程标准（实验稿）》对数系作了以下规定：

                正整数

         整数   0

                负整数

有理数          正分数

         分数

                负分数

（正整数和0统称为自然数）

与以往相比，这个规定蕴含的主要变化有：（1）明确规定了0是自然数。过去教材把“用来表示物体个数的1，2，3，4，…的数，叫做自然数”。“0和自然数都是整数。”而现在则是：正整数和0统称自然数。（2）增加了认识负整数的教学内容，从而在小学阶段完成了对整数的认识。

二，整数的认识。

首先认识自然数，是因为生活中存在着各种各样不同的数量，学生在入学前，就有了一定的生活经验。通过数数，在认识最基本的数学符号1，2，3，…的同时知道自然数的作用是用来表示物体的个数。初步体会数学的作用和特征，即数学可以解决生活中有关数及其关系的问题以及数学的抽象性和符号性。

教材处理自然数的认识大致可以分为四大块：认识100以内的数、认识比100大的数、因数与倍数、认识负数。在安排认识100以内数的时候，大多教材都会细分为三个阶段：第一阶段：认识10以内的数（含10以内数的加减）。第二阶段：认识11——20之间的各数（含20以内数的加减）。第三阶段：认识100以内的数（含相应的加减和表内乘除）。

认识比100大的数，不同版本有不同的处理。人教版和北师大版教材分两段完成：（1）认识万以内的数；（2）认识万级、亿级的数。苏教版教材分三段完成：（1）认识千以内的数；（2）认识万以内的数；（3）认识万级、亿级的数。

“因数与倍数”的教学既帮助学生进一步理解和认识整数，又为分数的学习提供准备，一般另设单元，放在教材适当的位置。

“认识负数”一般另设一个单元，放在教材的某一册中。

1，认数教学以理解数的意义为重点。

让学生理解数的意义、建立正确的数的概念是认数教学的任务。理解数的意义一般有两个角度：一是从数的组成去建构，二是联系实际来体会。传统教学偏重前者，新课程则认为把这两个角度有机地结合起来效果更好。而且联系实际体会数的意义，更有利于学生在现实生活中应用自己认识的数。

理解数的意义包括：

数的含义。如：认识整数、小数、分数、百分数和负数，探索各种数之间的联系，会进行整数、小数、分数、百分数之间的相互转化；能感受大数的意义并进行估计；知道整数、奇数、偶数、质数、合数。

计数技能。如：能认、读、写数；会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置；认识数位，了解十进制计数法，识别数位上数字的意义。

数的相对大小关系。如：认识“＜，=，＞”的含义，能够用符号和词语描述万以内数的大小；会比较小数、分数、百分数大小。

数学交流。如：能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流；在熟悉的生活场景中，了解负数的意义，会用负数表示生活中一些常见的问题。

数学活动。如：能找出10以内某个自然数的小于100的所有倍数，知道2，3，5的倍数特征；能找出10以内两个自然数的公倍数、最小公倍数；能找出1——100中某个自然数的所有因数；能找出两个数的公因数、最大公因数。

（1）让学生在生动具体的情境中认识数。

小学生，尤其是低年级学生学习数学的热情和积极性，在一定程度上取决于他们对学习素材的感受与兴趣。现实的、有趣的、具有挑战性的问题情境，容易激活学生已有的生活经验和数学知识，激起学习的愿望，调动学生解决问题的策略与机智。因此这部分内容的教学应该注意从学生熟悉的生活情境或童话世界出发，选择学生身边的、生动有趣的、有利于学生主动探索的事物，创设鲜明的问题情境。

案例1：“0的认识”（江苏  谈晓晔  郭庆松）

①（出示0的卡通形象）“0”自我介绍说：“小朋友，我的名字叫零，我神通广大，无处不在。想想你在哪儿见过我呢？”（让学生尽情地说。）

②“0”接着说：“那么你们知道我可以表示哪些意思呢？”（让学生说说自己对0的认识。）

③今天这节课我们来认识0。

提示课题：0的认识。

●创设情境，探究新知。

①教师讲述：“在一个天气晴朗的星期天，四只小兔约好了到野外去采蘑菇，我们来看看，它们分别采了多少个蘑菇。”（出示下图）

让学生思考每只小兔采的蘑菇可以用哪一个数来表示。

学生介绍时，教师对应写出3，2，1，0。教师在写0时，注意动作慢一点，让学生看清楚0是怎么写的。同时强调说明，“一个也没有”用0表示，0与1，2，3一样也是一个数。

②先出示下图，让学生想一想，两幅图表示怎样的一件事情，再跟同桌说一说。

提问：“原来的萝卜数用什么数表示？现在呢？”教师强调一个萝卜也没有用0表示。

“你会写0吗？”让学生先想一想怎样写0，再让学生尝试在“日”字格里书写0。

教师引导全班对几个同学的书写作出评价，同时教师强调写0时的起笔、拐弯和收笔，强调拐弯要圆滑。

学生独立完成书本上的描红后继续在田字格里写出两个0，教师巡视，注意对个别困难学生进行指导。

学生在小组内互相对所写的0进行评价。

③教师：“通过刚才的学习，我们知道0这个数可以表示什么？是不是所有的0都表示一个都没有呢？请同学们拿出自己的直尺，看一看直尺开始的地方是几？”

讲述：“在这里0表示起点，用尺子量长度时，从0 开始量起。”

谈话：“直尺上的数是怎样排列的？请你从左到右依次读一读。”

④小结：“通过刚才的学习，你能说说0能表示什么意思吗？”

这节课的特色有以下几点：一是创设了生动有趣的情境，以情境支撑数的理解。二是数形结合，利用实物、图片帮助学生理解数的意义。在教学中，通过数与物一一对应的方法，让学生经历从具体物体的多少到抽象出数的过程，帮助学生理解数。三是浓缩数的发生发展过程，突出“0”的教学。我们知道，在早期的美索不达米亚数学时代就有使用60进制计数法的记录，然而到了希腊数学的黄金时代却一度失去了它的魅力，直到公元8世纪鳊数学家认识到“0”的作用后，才真正获得位值概念的基础。从数字1——9到数字“0”的产生，这期间经历了若干世纪的发展历程，学生却要在短短的一课时内解决，因此颇费心思。在本节课中，教师通过让学生观察物体数量从有到无的过程，分析数的变化，进而选择合适的数值表示……这一系列过程帮助学生去认识“0”；然后从理解“0”的意义到写“0”，再到“0”还可以表示其他的意义这些教学环节，为学生提供了在自主探索、比较、分析、判断、概括的思维活动中体验、理解、掌握知识。即使是写数字，也要让学生动脑筋想一想如何写，然后再书写，让学生养成有步骤地思考问题、解决问题的习惯，在独立思考、合作交流中完成学习任务。

结合情境认识10以内的数，是认数的开始，这阶段的教学对建立数的概念十分重要。有的老师认为，许多学生入学前都已经会数数了，现在只要写好数就行了。其实不然，教学10以内数的认识应注意：①物体个数与数一一对应，不能允许口中按顺序数数，却不能与物体个数对应。②物体个数与数字一一对应，每个不同的数量与不同的数学符号（数字）对应。③注意选择不同的情境和不同的学具，帮助学生理解数的意义。如3可以表示所有数量是3个的物体，而与物体的大小、形状、质量等状态无关。④知道数的作用不但可以用来表示数量的多少（基数），还可以表示顺序（序数）和编码，如3可以表示有3个物体，也可以表示第3个物体。

（2）理解数的意义要与数的读写和计算紧密结合起来。

首先，正确理解数的意义是读好数、写好数的基础，可使学生在读数、写数时事半功倍。例如：在认识整百数时，可让学生经历以下过程：

①亲身经历数数的过程，真正感受100有多少。可以让学生数小棒、小方块或其他各种不同物体，一个一个地数，十个十个地数。亲身经历数数的过程，比起看课件演示或听老师口头描述，更有利于学生形成数感。

②经历100个一到1个一百的过程，建立计数单位的概念。亲自动手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，经历100个一到1个一百的过程，建立以“百”做计数单位的概念。

③经历1个一百到几个一百的过程。把各自的一百放到一起，就是几个一百，通过合作得到几百。由于有前面数数的经历，容易使学生明白：几个一百是几百，几百就是几百个1。

④借助计数器上的算珠与实物的对比，体会一个算珠放在不同的位置上，可以表示1个（1根小棒）、10个（10根小棒或1小捆小棒）、100个（100根小棒或10小捆小棒、1大捆小棒），实现以一当十、当一百的飞跃。

⑤实物、算珠与写数、读数对比。如真正含有300根小棒的3大捆小棒，与计数器百位上的3个算珠，和写法300对照起来，最终完成对几百的认识。

在活动中，学生体会到同一个数字在不同数位上表示的数值是不同的，初步渗透位值思想，帮助学生进一步理解数，从而达到更好地掌握数的读写的目的。

反之，熟练地读数、写数，也能更好地帮助学生理解数的意义。例如：在认识整万数时，教材介绍了我国的计数习惯，根据已有知识，给出各个数位的名称和顺序，让学生联系数的意义，通过类比，推出数位的名称及顺序，认识新的计数单位，完善对数位顺序表的认识。

教材编排一般是先认识一个范围的数，接着就是学习这个范围内的数的有关运算。所以认识数的教学必须为数的运算的教学作铺垫。读写教学中要注意：①在低年级，对数的分解和组成，要作为基本的技能来训练；在高年级，要在读写中体会数的分解与组成。②读写数教学的重点是万以内数的读法和写法。③读写数教学的难点是多位数的读法和写法，特别是中间有0的数的读、写。突破的方法是先分级，再从高往低逐级读，实在了读法，写法也就不难了。

现行的课程标准实验教科书大多没有用文字形式总结多位数的读法和写法，这并不是不重视读数与写数的基本方法，而是为教学留出空间，由教师组成学生体验方法、交流方法。学生总结的方法是自己真实的体会和经验，是主动获得知识的表现。

2，了解十进制计数法对理解数的意义有重要作用。

整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对理解整数的意义有重要的作用。十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位间的关系——每相邻两个计数单位间的进率是10；二是计数法的位值原则——哪一个数位上的数是几，就表示有几个这样的单位。

（1）认识10是关键。

学生从认识1，2，3…起，老师就应帮助学生体会，数字是用来表示生活中各种不同的数量的，每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示。当数量从9增加1到了10，按理应该用一个新的符号来表示，但这样一来，如果每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示，就需要有无限多的符号。前人在9的后面用“10”来表示，没有创造使用新符号，而是例行了一个数位，十位上的“1”就代表10，这样就方便多了，一个10和几个1是十几，就有了11，12，13…，这就是位值制的基础。这样，0到9十个数字就可以表示出生活中无限多的物体的个数。这个创造太科学了，可以让学生从中体会到数学的抽象性与符号性的好处。所以，教学中建立好10的概念非常重要。

（2）按单位数数。

为帮助学生了解十进制计数法，可以通过一个单位、一个单位地数，逐步建立新的计数单位。学生在学习万以内数的时候，就要明确地知道，10个一是一十、10个十是一百、10个百是一千、10个千是一万，即10个单位就是一个相邻的较大单位。学习比万大的数，可以一边数一边接受10个万是十万、10个十万是一百万、10个百万是一千万，从而引出了新的计数单位十万、百万和千万。一千万一千万、一亿一亿、十亿十亿…地数，教学计数单位亿、十亿、百亿和千亿。在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率都是10。

（3）不断扩展数位顺序表。

随着认识的数越来越大，教师应不断扩充完善数位顺序表。从认识10～20的数起，就让学生了解个位和十位。认识百以内数时，及时补充认识百位。在“认识万以内数”的时候，第一次出现了数位顺序表。在认识整数的最后一个单元里，学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，把十万、百万、千万这三个计数单位引上计数器，了解个、十、百……千万在计数时的排列顺序。然后让学生在数位顺序表里填写十万位、百万位和千万位，通过填写知道从个位到千万位的数位顺序，初步把这些数位分成个级和万级。再扩展到亿级，表里的内容也丰富了，有数级、数位、计数单位。教材把亿级及相关的数位、计数单位都留给学生填写，让他们知道数级、数位和计数单位间的对应关系。在整理了数位顺序表后，还应通过“每相邻两个计数单位之间有什么关系”这个问题，概括地讲述十进制计数法。

体会位值原则，有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数、写数的方法。

下面的案例2中，教师通过组织学生玩抽签游戏，使学生结合现实的素材，自己理解和解释不同位值上的数所表示的意义，既有趣，又充满了数学的味道。

案例2：“万以内数的大小比较”教学片断

●第一次抽签，从个位抽起。

游戏规则：①每次两队各派一个代表抽签；②第一次抽到的数字放在个位上，第二次抽到的放在十位上，第三次……③哪一队抽到的数字组成的四位数大，哪一队就赢；④能确定胜负时，本轮比赛结束。

师：我们把全班同学分为两个队，一个叫黄河队，另一个叫长江队。请两位同学代表来抽签。

（黄河队抽到3，长江队抽到8。把3与8的卡片分别贴到个位上。）

师：现在能定胜负吗？可以玩下一轮了吗？

生1：虽然8比3大，但还不能确定胜负。

师：为什么？

生2：因为8是代表8个1，3是代表3个1，如果其他数位上的数字两队都一样，就可能赢。

师：那我们接着抽吧！

（黄河队抽到9，长江队抽到5。把9与5的卡片分别贴到十位上。）

师：目前哪个队抽到的数比较大呢？

生1：黄河队。

师：现在能定胜负吗？

生1：还要看百位。

师：是不是抽了百位就可以定胜负了呢？

生3：还不行。

生4：要所有的位都抽出来，才知道谁能赢！

学生抽出结果后，教师板书：4593＜7358。

师：长江队赢了！请大家像老师这样做好记录。

师：通过刚才的游戏，你有什么话想说？

师：最关键的一抽是哪一抽？为什么？是不是还可以这样想：一个是4000多，5000不到，另一个已是7000多了，当然7000多的大。（一起把4和7圈上）

师：假如黄河队的千位上抽的也是7呢？7593和7358怎样比较？

生：如果千位的数一样，就看百位，百位上的数大这个数就大。

师：这时该圈哪两个数字？（5和3）

师：如果黄河队的千位上抽的是0呢？该怎么比较？

●第二次抽签，从千位抽起。

游戏规则：①每次两队各派一个代表抽签；②第一次抽到的数字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……③哪一队抽到的数字组成的四位数大，哪一队就赢；④能确定胜负时，本轮比赛结束。

（黄河队抽到8，长江队抽到5。把8与5的卡片分别贴到千位上。）

师：让我们接着抽。

生：不用抽了。黄河队赢了，因为8个千比5个千大。

师：假如长江队百位上抽到9，黄河队百位上抽到6，能赢回来吗？

生1：不能。因为百位就是抽到9，也只代表900，都不够1000，而刚才黄河队比长江队多3000。

师：百位、十位和个位都抽到9呢？

生2：老师，不用再抽了，胜负已经知道了。玩下一轮吧！

师：记录还是要做的，怎么写？

生：8□□□＞5□□□。

●第三次抽签，由抽签者自己决定放在哪一位上。

游戏规则：①每次两队各派一个代表抽签；②每一次抽到的数字由抽签者自己决定放在哪一位上；③哪一队抽到的数字组成的四位数大，哪一队就赢；④能确定胜负时，本轮比赛结束。

（黄河队抽到3，学生把3放到个位上，长江队抽到7，学生把7放到百位上。）

师：请你们说说，为什么这样放？

生1：我抽到的3太小了，放在个位比较好，让出高位给大数字。

生2：我抽的7比较大，本来想放到千位，但要是等一下，我们组还有人手气比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以把7放在百位。

师：要是等一下抽到的数都比8小，怎么办？

生2：那也没办法，博一博呗！

生3：也不一定输，还得看第三组抽到什么数。

……

生：黄河队赢了，因为9853＞6728。

师：请同学们小组交流刚才大家提出的问题：①比较的方法；②数位相同时怎样比较；③万以内数的比较和千以内数的比较有什么不同；④比较的时候有没有简便的方法。

师：该老师玩一玩了。我抽出四个数字，帮我记一下：3，9，2，6。用这四个数字组成一个最大的四位数是多少？最小的呢？你能组成第二大的或第二小的吗？

在一些课堂上，老师通常把知识怎样发生的、问题怎样解决以及解决的策略和结果都通过讲解呈现给学生。具体到比较数的大小，一般是先教比较数的大小的方法，再运用这个法则判断两个数的大小。而这节课另辟蹊径。教师创设情境，利用比赛的形式，激起学生的求知欲望，脱离枯燥的比较数的大小的方法，以对数的意义和位值原理的理解支撑数的相对大小关系的比较。教师利用任务驱动的方式，设置富有挑战性的教学内容（哪一队抽到的数字组成的四位数大，哪一队就赢），让学生在解决问题中感受数的意义，发展数感；教师设计的游戏规则饶有深意——①第一次从低位抽起；②第二次从高位抽起；③第三次每抽到一个数字由抽签者自己决定放在哪一位上。游戏中教师让学生充分交流，让学生在游戏中自我完善对数的相对大小的认识，在不断的比较中优化、加深了对数位、计数单位、十进制的认识，强化对数的理解。整节课中，没有教学比较大小的方法，但每抽出一个数位上的数，会引起孩子们的关注和思考，老师抓住这种时机及时让他们讨论（现在能定胜负吗？可以玩下一轮了吗？最关键的一抽是哪一抽？为什么？），这样，数的大小比较法则背后的道理就由学生分析出来了。游戏后，老师及时让学生总结比较两个四位数的大小的方法，由于有了前面的活动和讨论，学生就有了要说的话：“比较两个位数相同的数的大小，先比较它们的最高位……”这样抽象的法则，变成了学生生动的语言。

3，让学生在数学活动中形成数感。

“数感”主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达的交流信息；能为解决问题而选择适当的算法，并对结果的合理性作出解释。

“数感”并不神秘。它是人对数与运算的一般理解，这种理解使人将数与现实情境联系起来，使人眼中看到的世界有了量化的意味。

“数感”十分重要。它关系到人的数学意识，即能用数学的视角去观察现实，能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际实际问题。一句话，它关系到人拥有的数学知识是“活”的还是“死”的。

“数感”需要培养。数感与具有数学知识的多少、与理解数学知识的程度有关，但绝不是正比例关系。数感更多地表现为应用数与运算的态度与意识，突出表现为主动、自觉地应用。小学生的数感与有没有得到培养成正相关。这种培养需要老师的精心设计。

4，让学生体会数学符号产生的需要和作用。

除了“空间观念”曾被列入原《大纲》外，数感、符号感、统计观念等都是由《标准》首次明确地列为数学课程的学习内容。《标准》把数学思考落实到建立初步的两“感”、两“观念”上，落实到学生认识并掌握重要的数学知识的过程中。

符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表现；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解以及主动地使用符号的意识和习惯。这里包含三层意思：一是理解各种数学符号的意义，即表示什么意思，在什么时候使用以及怎样使用，这是发展符号感的基础。二是理解数学符号的作用与价值：为什么使用符号、有哪些好处，这是发展符号感的重点。三是在学习数学和应用数学时，在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动地甚至创造性地使用符号，这是具有符号感的表现。

发展学生的符号感可以从以下几方面进行：

（1）结合数学内容，体会数学符号的作用。

常见的数学语言有文字语言和符号语言，符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来，方便人们进行表达、交流、思考以及解决问题。

教学常用的数学符号，首先要注意结合具体的情境，让学生了解数学符号产生的需要，体会由于使用符号，才能清楚、简便地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律。数学符号为我们进行表达和交流带来了便捷。其次要在具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，使学生认识符号、会用符号，体会到符号是语言的一种形式，数学符号是数学语言的一部分。

（2）参与创造符号，体会符号发展过程。

数学符号在数学教科书里有很多。如表达大小关系的符号“＜”，“＞”和“=”；表达运算的符号“＋”，“－”，“×”，“÷”；表达运算顺序的小括号、中括号；0，1，2，3，…，9是数字符号，它们能组成无数个数；小数点、分数线、百分号、千分号等是特定的数学符号；字母也可以作为符号，用来表达数量关系、计算公式……这些符号是人们公认的，习惯使用的，属于数学事实。

当学生在具体的情境中体会到需要符号的时候，先让学生经历自己创造数学符号的过程，体会到数学符号原来并不神秘，是人创造的，在长期的生产生活中不同的符号在使用时逐步发展统一成现在的符号。这也能帮助学生形成符号感。

数学符号的教学，教师一般比较多地采取简单告诉的方法，容易使学生对数学符号产生神秘感。下面的案例中，老师就很好地帮助学生消除了这种神秘感。

案例3：“循环小数”教学片断

师：（指板演题）“3.333…”中不断重复出现的数字是哪一个？（3）在“5.32727……”中依次不断地重复出现的数字是哪几个？（2，7）在“6.416416……”中不断地重复出现的数字是哪几个？（4，1，6）

师：我们能不能想一个办法，让循环小数的写法简单一些，比如，去掉省略号，依次不断重复出现的数字只写一次，也依然能让人看出这个循环小数的意思？

……

生1：我想了一个办法，3.333…写作3.(3)；5.32727…写作5.3(27)；6.416416…写作6.(416)。

生2：我的办法是，3.333…写作3.3；5.32727…写作5.327；6.416416…写作6.416。

生3：我的办法是，3.333…写作3.（无限）；5.32727…写作5.3（无限）；6.416416…写作6.（无限）。

生4：我的办法是，3.333…写作3.3（3无限）；5.32727…写作5.327（27无限）；6.416416…写作6.416（416无限）。

生5：我的办法是，3.333…写作；5.32727…写作；6.416416…写作。

师：你认为哪种符号比较好？

生1：不要有汉字比较好。

生2：第五种办法比较好，简洁明了。

生3：我认为，只要在循环节的第一个数字和最后一个数字上点上点就可以了。

教师不急于把简便写法告诉学生，而是让学生自己想办法去创造符号，使学生在想办法的过程中体会到数学符号产生的需要，体会到数学知识中符号是一种约定俗成，符号不再那么神秘，而当有些学生的思路接近数学上的约定俗成时，他们体会到的是一种学习成功的满足。在此基础上，组织学生对所创造的符号进行认论，进一步体会数学符号简捷明了的特点。

（3）鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。

数学符号中还有一类不容忽视。这类符号只属于个人，是个人创造并习惯使用的。这类符号更有利于人开展数学思考，发现规律和找到解决问题的方法，更便于表达和交流。在过去的数学教学中，往往忽视了这一类数学符号。在使用自己的符号时，最能体会符号的价值，最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积累使用符号的经验。这些正是符号感最重要的部分。所以应尽量鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。

5，帮助学生认识负数，实现认识数的质的飞跃。

现实世界中存在着许多具有相反方向的量，或某种量的增大和减小，也可用这种量的某一状态为标准，把它们看作是向两个方向变化的量。要确切地表示这种具有相反方向的量，仅仅运用原有数（自然数和分数）就不够了，还必须把这两个互为相反的方向表示出来，于是产生了正数和负数。数从表示数量的多少到不但表示数量的多少，还表示相反方向的量，是数的发展的一个飞跃，老师要帮助学生完成这个飞跃。

正数和负数的认识，过去安排在中学有理数中学习，《标准》高速安排在小学的第二学段初步认识负数，有利于完整地建立整数的概念。教学时要注意：（1）通过丰富多彩的现实生活情境，帮助学生了解负数的意义。（2）借助直观，理解相反的分界点与“0”的关系。知道0既不是正数，也不是负数。（3）通过分步呈现数轴（不用告诉数轴名称）等办法，使学生认识到正数都大于0，负数都小于0。

案例4：“认识负数”教学片断（江苏  缪宇虹）

老师搜集了某天四个城市的最低温度资料，并用温度计图片显示：香港19摄氏度，请学生认读香港的最低气温，并介绍如何读温度计。此后依次出示上海（3摄氏度）与南京（0摄氏度）的温度计图片，请学生分别认读，并进行比较。再提问：在数学上怎样区分零上3摄氏度和零下3摄氏度呢？教师讲解：规定零上3摄氏度记作+3摄氏度或3摄氏度，规定零下3摄氏度记作-3摄氏度。然后详细介绍读法和写法。最后总结：“现在，我们可以说那一天上海的气温是+3℃，北京的气温是-3℃……”

●感知生活中的正数和负数。

师：新疆吐鲁番是我国海拔最低的地区，你知道它的海拔高度是多少？

出示海拔高度图：

教师依次提问：“从图中你知道了什么？”“以海平面为标准，珠穆朗玛峰比海平面高，吐鲁番盆地比海平面低。”“你能用今天学的知识表示这两个地方的海拔高度吗？”最后小结：“用正负数还可以区分海平面以上的高度和海平面以下的高度。”

此后请学生做如下练习：

（1）用正数或者负数表示下面各地的海拔高度。（出示海拔高度图）

中国最大的咸水湖——青海湖的海拔高度高于海平面3139米。

世界最低最咸的湖——死海低于海平面400米。

世界海拔高度最低的国家——马尔代夫比海平面高1米。

（2）说说下面的海拔高度是高于海平面还是低于海平面？

里海是世界上最大的湖，水面的海拔高度是-28米。

太平洋的马里亚纳海沟是世界上最深的海沟，最深处海拔-11034米。

●描述正数和负数的意义。

出示：+3，-3，40，-12，-400，-155，+8848

师：你能将这些数分分类吗？

师：像+3，40，+8848这样的数都是正数，像-3，-12，-400，-155这样的数都是负数。

师：从温度计上观察，0摄氏度以上的数都是正数，0摄氏度以下的数都是负数。海平面以上的数都是正数，海平面以下的数都是负数。

师：0是正数和负数的分界线，0既不是正数也不是负数。正数大于0，负数小于0。

●寻找生活中的正数和负数。

师：在生活中，哪里见过负数？

学生说出存折、电梯面板等等，老师要求学生说明这些负数的意思。

师：（电脑出示有关图片）像零摄氏度以上与零摄氏度以下、海平面以上和海平面以下、地面以上和地面以下、存入和取出、比赛的得分和失分、股价的上涨和下跌等等，都是具有相反意义的量，都可以用正负数来表示。课后请同学们搜集有关负数在生活中应用的资料，下节课来交流。

三、分数的认识。

在表达平均分的结果的时候，遇到了分的结果比1还要小的情况，比如一半、小半、大半等，如何表示这样的结果呢？这时候只有自然数显然是不够的，于是引进了分数。这时候认识的分数，都是把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的。这就是“分数的初步认识”。后来扩展到不但可以把一个物体平均分，如果把一些物体、一个计量单位等看作一个整体，平均分以后，其中的一份或者几份，虽然是一个或几个，可以用自然数来表示，但也可以理解为是这个整体的几分之一或几分之几。这样建立的分数概念就基本完整了，这也就是教材中的“分数的意义”。

分数的意义与运算的教学是小学数学教学中的重要内容。分数的意义对于小学生来说是个比较抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排，分两次完成对分数的认识，加上最后认识的百分数，对分数的认识分成了三个阶段：“分数的初步认识”一般安排在第一学段；“分数的意义”一般安排在第二学段；在这两个单元中认识的分数都是正分数。在学习了分数的四则运算后，又安排认识百分数。

1，在与自然数的联系中借助直观来初步认识分数。

“分数的初步认识”，是学生第一次建立分数的概念，教材安排一般有以下特点：

（1）单位“1”由一个物体组成；即每次平均分的都是1个物体，如一个饼、一个圆等。

（2）只认识真分数以及分子分母相等的假分数。因为分得的结果，每一份都比1小。取一份或几份或全部，所得的分数都小于1或等于1。

（3）分母都比较小。

（4）不概括分数的定义，只通过直观描述初步建立分数概念。

由于是对分数的初步认识，应充分运用形象和直观手段，让学生在具体的情境中操作感悟，如通过操作活动初步理解分数，能够将图与分数相互表示。通常见到的课堂结构一般是：

（1）创设一个平均分的情境引出分数；（2）动手操作（如折纸、涂阴影等）感知和初步理解分数；（3）在练习（图与数相互表示）中巩固和进一步理解分数。

也有的教师在教学过程中，不但做到了让学生通过操作活动初步理解分数，并能够将图与分数相互表示，而且还能明确相对大小，感受量变与质变的规律。这类课的课堂结构一般是：

（1）从自然数过渡到分数；

（2）理解二分之一的含义；

（3）学习单位“1”的大小与相应二分之一大小的关系；

（4）在练习中不断加深对分数的理解，出现分子与分母相等的分数、零分数等；

（5）归纳解决问题的思路。

案例5：“分数的初步认识”教学片断（江苏  张齐华）

●情境——冲突

出示主题情境图。

引导学生思考：

（1）把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？

（2）把2瓶矿泉水平均分给2人，每人分得几瓶？

结合学生的交流，教师揭示：每份分得同样多，数学上叫做“平均分”。

（3）把1个蛋糕平均分给2人，每人分得多少？

结合学生的交流，自然引出“一半”。

（4）每人分得的苹果、矿泉水可以用以前学过的数来表示，那“一半”该用怎样的数来表示呢？

学生交流各自的想法，教师结合学生的交流，揭示课题：认识分数。

●活动——建构

着力建构“二分之一”。

（1）直观感知，初步认识。

①引导：我们把蛋糕平均分成了几份？“一半”是其中的几份？

揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用来表示。

②追问：这一份（指2份中的1份）是蛋糕的，另一份（指2份中的另1份）呢？

小结：把一个蛋糕平均分成2份，每份都是它的。

（2）动手操作，深化认识。

①出示一张长方形纸，引导学生思考：怎样表示它的呢？

②出示操作要求：先折一折，再用斜线把它的涂上颜色。

③学生动手操作并表示出长方形纸的。可能出现如下表示方法：

④组织学生交流各自的表示方法。

⑤深究：折法不同，涂色部分的形状也不同，为什么涂色部分都是长方形的？

结合学生的交流，教师小结：不管怎样对折，只要平均分成2份，每份都是长方形的。

（3）观察判断，拓展认识。

①出示如下四个图形。引导学生思考：下列图形中，哪些图形的涂色部分可以用表示？

②学生交流，并说明判断理由。

③小结：只有把一个图形平均分成2份，每份才是这个图形的。

类比迁移，认识“几分之一”。

（1）提问：认识了后，你还想认识几分之一？

学生交流，教师板书学生交流中提到的部分分数。

（2）引导：能不能也用某个图形表示出你想认识的几分之一？

学生动手折长方形、正方形或圆形纸，并给其中的一份涂上颜色，表示几分之一。

（3）交流：你表示出了几分之一？你是怎么表示的？

学生结合自己的操作活动，交流自己表示的分数及其表示方法。

（4）从学生中收集长方形、正方形和圆三种不同图形的，贴在黑板上，并引导学生思考：三种图形的形状各不相同，为什么涂色部分都能用表示？

学生交流，教师引导学生深入理解：不管什么图形，只要平均分成4份，其中的每份都是这个图形的。

……

●应用——提升

关于分数的联想。（教师依次出示如下三幅图。）

（1）法国国旗让你联想到了几分之一？你能具体说说哪一部分大约是法国国旗的吗？

学生交流并小结：法国国旗中的每一部分都大约是它的。

（2）画面中的五角星，让你联想到了几分之一？

（3）图中的巧克力，让你联想到了几分之一？

①学生一般首先会联想到，教师随机出示如下左图，引导学生思考：如果每人分得这块巧克力的，这块巧克力能分给几人？

②引导：同样一块巧克力，换一个角度观察，你还能联想到几分之一？

结合学生的交流，教师随机出示如上中图和右图，并引导学生思考：如果每人分这块巧克力的或，这块巧克力又能分给几人？

③小结：同样一块巧克力，从不同角度观察，联想到的分数也各不相同。

这节课，老师创设了学生熟悉的郊游、分东西的情境，让学生自己在表达分的结果时体会到：自然数不能表达这样一些结果，于是引出了数的扩展的需要，激发了学生学习分数的内在学习动机。在分苹果、矿泉水和蛋糕这一解决问题的过程中，随着问题发展所呈现的思维冲突，又自然引导学生的思维从“整数”突围出来，为学生实现“由整数向分数”的自然过渡构筑了良好的思维空间。“一半”是学生的生活经验，而“”则是这一生活经验数学化的结果。在教师的引导下，学生借助有意义的接受学习，在“生活经验”与“数学知识”之间架构起认知桥梁。这样处理，体现了教师对学生生活经验、认知水平和知识建构方式的准确把握。

“平均分”是初步认识分数的基础，是产生一个分数的前提。教师运用三个教学策略，强化学生对“平均分”的重视。第一次是教师巧妙地引导学生唤醒原有的“平均分”的经验，为初步认识分数做好适宜的认知铺垫；第二次是围绕不同图形的展开第二层次的“求同比较”“（图形不同，为什么涂色部分都是它的），再一次剥离分数的非本质属性，使学生进一步感受到单位“1”是什么并不重要，关键是“平均分成了多少份”和“表示这样的多少份”，这才是分数最本质的内涵；第三次是通过“不平均”和“平均”的对比，再次强化对平均的认识。现实生活中许多画面，都能引发学生对分数的联想，法国国旗、五角星及巧克力便是教师对教学资源进行有效开发的结果。尤其是巧克力这一素材的应用，可谓恰到好处。一方面，渗透了“观察角度不同，联想到的分数也不同”的思考策略；另一方面，又蕴含了同样一块巧克力，分的份数越多，每一份少这一反比例的函数思想；与此同时，“1”里面有n个在这里也得到了无形的铺垫。

2，分数的意义教学要着力解决对单位“1”的深入理解。

“分数的意义”这个单元，是让学生在对分数有了初步认识的基础上，进一步系统地认识分数。其重点是把第一次的初步认识进一步扩展。其特点是：（1）单位“1”由“一个”变成“一些”；（2）给出分数的定义。

教学时，主要突出“也可以把一堆物体看作是一个整体来平均分”的思想。如一堆苹果，一个班级的人数，等等，如果看成一个整体也平均分的话，分得的结果，每份也可以就是这个整体的几分之一。而这个几分之一，可能含有一个、两个或若干个，表述成“表示这样的一份或几份的数是这个整体的几份之几”。我们可以通过下面的案例感受教师如何精心设计教学过程，解决单位“1”可以由多个物体组成这个教学难点的。

案例6：“分数的意义”教学片断（江苏  夏青峰）

（1）出示下图：

师：阴影部分可用什么分数来表示？

生1：。

生2：

……

师：怎么都认为是呢？

生：我把这个长方形平均分成3份，阴影部分是这样的1份，就是。

屏幕显示三等分线：

师：那也就是说，这里的是表示________。

学生回答，老师完成下面板书：把一个长方形平均分成3份，表示这样1份的数。

（2）屏幕出示：

师：阴影部分又可用什么分数表示：

生：。

师：这次不是了，但已经很接近正确答案。

生：。

生：。

……

屏幕显示八等分的虚线：

师：这次能说出是几分之几了吧？！

生：我认为是，因为它把这个圆平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。

师：好的。那反过来说，这里的就是表示——

师生共同完成板书：把一个圆平均分成8份，表示这样3份的数。

3，屏幕出示：

师：露出的部分是一个整体的，这个整体该是个什么样子呢？你能大概地把它画出来吗？

学生画。

师：谁愿意把你的作品与大家分享？

生1：（展示）

师：可以这样画吗？

生：可以。因为这里一共有4个小三角形，露出来的是1个，就是它的。

师：还有不同的画法吗？

学生纷纷展示自己的作品。

师：判断这些图形是否符合要求，关键看什么？

生：关键看是否一共画了4个三角形。

师：怎样的4个三角形？

生：和露出来（的三角形）一样的4个三角形。

师：好。看大家是否猜中了。这个整体究竟是什么呢？

屏幕出示下图1。

   （图1）                      （图2）

（学生表现出诧异的神色。）

生1：老师，不对。这4个三角形不连在一起，不是一个整体。

生2：我觉得是对的。虽然它们不连在一起，但是我们可以把它看成是一个整体。

生3：我觉得它不能看成一个整体，因为一个三角形就是一个整体，而这是4个三角形。

生4：我认为它是一个整体。比如，一个人，我们可以看成是一个整体；一组人，我们与可以看成是一个整体；一个班的人，也可以看成是一个整体。

……

学生出现了交流与辩论，最后大家基本统一了意见。

屏幕出示上图2。

在教学“分数的初步认识”的时候，我们通常是出示标好等分线的图形，让学生说出阴影部分占整个图形的几分之几。而夏老师出示的图形却没有等分线，他让学生致病猜一猜是几分之几，这不仅要求学生运用分数的本质意义去思考问题，而且对培养学生的数感起着积极的作用。看部分想整体的教学环节，真是设计精妙，一箭双雕。它在加深学生对分数的理解、培养学生数学想象能力的同时，还帮助学生实现了从把单个物体看成一个整体，到把一些物体看成一个整体的思维跨越，抓住了学生认知的难点，进行了有效的突破。

3，抓住百分数的特征进行教学。

说到百分数，要分清两种情况：一种是分母是100的分数，另一种是表示一个数是另一个数的百分之几的数。我们所说的百分数，一般指后者，它在写法（和读法）上与前者也有区别，用百分号（%）来表示。认识百分数要注意以下几点：

（1）分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体的数量。百分数只表示两个数之间的关系，并不表示具体的数量。

（2）由于以上原因，分数可能有单位，也可能没有单位，但百分数不能加上单位，这是它与分数的不同。

（3）分数一般用最简分数的形式表示，但百分数为了便于比较，分母固定为100，所以当分子分母不互质时，不用约分成最简分数的形式，也不用化成带分数，而且分子也可能是小数。

（4）由于百分数的广泛应用，认识百分数应该联系学生的生活实际，并通过日常生活的运用加深理解概念，体会百分数的好处。

案例7：“百分数的意义”教学片断

（上课前一天老师布置学生在生活中找一个实际应用的百分数。）

师：请同学们拿出在生活中找到的实际应用的百分数，说说是在哪儿找到的。

学生汇报自己找到的百分数。

生：我在报纸上找到的。

一件上衣的布料，棉的含量是65%，涤纶的含量是35%。

……

师：听了同学们的汇报，有的是在生活当中找到了百分数，有的是对生活当中一些现象做了一些分析、计算得到的百分数。总之说明一个问题，生活之间百分数的应用非常广泛。我也找了，愿不愿意看看我找的？

师出示：泸州老窖的酒精度52%，洋河大曲的酒精度38%，王子啤酒的酒精度3.1%。

师：人们屡什么那么喜欢用百分数呢？用百分数到底有什么好处？我觉得这个问题很有必要研究。

师：除了这两个问题外，你们还想弄清楚什么问题啊？

生思考后，自由提出自己想问的问题。

师：我们把这些问题稍微整理一下，写在黑板上，作为我们今天研究的问题。

师板书：

1，百分数的意义是什么？

2，用百分数有什么好处？

3，百分数和分数有什么不同？

师：你们看，这几个问题，是黄老师一个一个地讲给你们听呢，还是你们自己研究？

生：（异口同声）自己研究。

●探究百分数的意义。

请同学研究你找到的生活中的百分数，并填写在老师设计好的表格里面。

《百分数的意义和读写法》

调查纪要单

学生独立研究，教师巡视。

汇报结果。

师：你是怎么比较得出泸州老窖的酒精度含量很高，在各种酒中是比较厉害的？

（泸州老窖的酒精度52%；洋河大曲的酒精度38%；王子啤酒的酒精度3.1%。）

生：从这些百分数中很容易看出泸州老窖的酒精度含量很高。因为百分数的分母都是100，只要比较三个百分数的分子就可以了。

生：我认为百分数的最大好处就是分母都是100，便于比较大小。

……

●小组合作学习，比较百分数与分数的不同。

师：接下来我们就比较一下百分数和分数，到底有哪些不同。请小组合作讨论，并填写下面的表格。

学生小组合作学习，教师巡视。

汇报结果。

生：我们认为它们的意义不同，百分数后面不带单位。

生：写法不同。百分数通常不写成分数形式，而是采用百分号（%）来表示。

生：读法不同。百分数一般读作“百分之几”，不读“一百分之几”。

生：百分数可以不是最简分数，如52%。分数就不一样，有时要约成最简分数。

生：百分数的式子可以是小数，如3.1%，分数不同。

……

百分数是在日常生产和生活中使用频率很高的知识，学生虽未正式认识百分数，但对百分数却并非一无所知。因此，老师上课前让学生调查生活中的百分数的做法是完全可行的，还可以让学生从中体会到百分数在生活中的广泛应用，认识到知识对于个人的意义，对激发内在的学习动机起到了很好的作用。更为可贵的是，老师在这节课中，直接把学生调查到的数据和问题作为学习和研究的对象，学生是在理解和解释自己及同学调查得来的数据的过程中认识百分数的。

“谁和谁比？”“哪个量是单位‘1’？”“这个分数表示的意义是什么？”这本来是数学老师经常在上课时问的问题。很多时候，学生是在老师的帮助下，通过课本例题认识百分数的，通常中老师引导全班共同弄清老师作为例题教学提出的问题，并以提问的方式来问，回答问题的只能是少数人。不同的是，这节课，每人一张学习表，每人收集到的事例和数据不尽相同。这种一人一表、一人一例的方法，与全班共同研究一个例题的方法相比，好就好在“迫使”每一个学生都必须独立思考，都必须在不同的情境中回答相同的问题，既需要每个人独立思考，也可以随时交流，有困难的学生，可以随时向老师或同伴请教。大量的实例有助于学生在整体上把握百分数的概念和意义，体会它的作用和好处。

有一种延续了半个世纪的教学方式，被有的专家称为“集体作业的教学方式”。这就是先出现一个问题，然后请同学站起来应答，当几个人解决了，就相信全班都会了。这种教学方式教师之所以喜欢，是因为它既能活跃课堂气氛，又便于控制教学节奏和进度。苏霍姆林斯基认为“这种方式容易造成表面的积极性和一切顺利的假象。在这样的方式下，那些中等学生是否也有独立思考、独立解决问题的体验，我们仍不得而知。”基础既落实到位，又落实到人，体现了课程标准提倡的“关注每一个孩子的发展”的理念。

新课程特别强调问题在学习活动中的重要性。一方面强调通过问题来进行学习，把问题看作是学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线；另一方面通过学习来生成问题，把学习过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。总之，问题意识是学生进行学习特别是发现学习、探究学习、研究性学习的心理要素。上述案例，教师引领学生积极地、科学地、有创造性地提出问题，并尝试去解决问题，有助于学习方式的转变。

四、小数的认识。

我们现在常用的计数制是十进制，它的重要特征是位值制，即写在不同位置上的数字表示着不同的值。当人们在度量可以分割的量时，常常把作为单位的量细分为它的，，，这样就得到一种以10的幂为分母的特殊的分数，这种分数叫十进分数。为了应用上的方便，人们把十进分数改用位值制的记法，这就是小数。在有理数范围内的小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。当分数的分母是10，100，1000，…时，可以用一位小数、两位小数、三位小数等来表示。由十进分数改写的小数都是有限小数，所以所有的有限小数都能改写成分数。

在小学里学生还要遇到无限循环小数，它可由不能化成十进分数的分数改写而成，所以无限循环小数也都可以改写成分数。有限小数和无限循环小数都是有理数范围里的数。

无限不循环小数不能由分数改写得到，它是无理数的一川表现形式。在小学生认识的数里，只有圆周率=3.141592…是无理数，但这并不需要告诉学生。它只是在计算圆周长的时候才被介绍到。

小数概念的引入，通常有两种做法：一是从生活实例出发；二是从表示度量结果的需要出发。这都是小学生能够理解的。

通常认识小数也分为两个阶段：第一阶段是小数的初步认识，特点是：（1）联系生活实际中具体的量来认识小数；（2）以一位小数为主；（3）不定义小数，只描述为：像0.5，1.06，16.85，…这样的数叫做小数。第二阶段较系统地认识小数的意义。特点是：（1）给出小数的定义：分母是10，100，…的分数，可以用小数表示；（2）再次扩展数位顺序表，建立十分位、百分位、千分位……的概念；（3）运用小数的计数单位分析小数的组成、小数的性质，比较小数的大小；（4）把非整万（亿）的大数改写成以万（亿）为单位的小数等。

1，充分运用生活经验，建立小数概念。

虽然小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。但在生活中最常见到的是小数，如2.45元，30.8米，2.5吨等具体的数量，而不是分数。所以学生认识小数，不一定要从分数的概念入手，可以由测量长度的结果不是整米数、物品的价格不是整元数出发引入小数。也可以直接运用生活中各种鲜活的实例，让学生感受小数的现实作用。学生已有的经验能够支持学生理解小数的意义，发现小数的性质，进行比较大小的活动，从而实现感性认识到理性认识的飞跃。

2，数形结合，教学小数的知识。

小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。如用大正方形表示整数“1”，它的十分之几、百分之几分别表示成一位小数、两位小数；依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系……这些都有助于学生领会小数的知识。

3，始终把小数的意义作为教学重点。

小数的意义是进一步学习小数的性质、比较小数大小的规划、改写大数的方法的基础。

十进分数除了可以写成分母是10，100，1000，…的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是10的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是100的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几……教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是学生需要建立的小数概念。

教学小数的意义，要不要从一位小数到两位小数，再到三位小数、四位小数依次逐一进行？我们认为不一定。因为一位小数与十分之几的相互关系在三年级时已经了解，只不过学生对这种关系只有初步的感受，并不是很清楚。三位小数、四位小数与一位小数、两位小数在意义上有区别，但本质上又是相通的，有一致的方面。一位小数与两位小数的意义和读写方法，对三、四位小数具有可迁移性。因此，教学时，可以两位小数的意义为主要研究对象，向前联系一位小数与整数，往后发展到三位小数和四位小数，逐渐形成比较完整的小数概念以及计数方法。

4，利用知识迁移，建立小数与分数的联系。

迁移，指一种学习对另一种学习的影响。分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接、显著的影响；小数的意义和整数的大小比较或加减计算对小数的大小比较或加减计算有直接、显著的影响。反过来，后者的学习对前也有促进作用。迁移，有时在听教师讲解的过程中实现。例如，“5分米和4分米分别是几分之几米”是学生已有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，就不难解决。然后不妨直接告诉学生：“米还可以写成0.5米，米还可以写成0.4米。”注意：是“还可以写成”，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到，十分之几和一位小数，百分之几和两位小数……之间的关系。用单名数或复名数表示具体的数量、把正方形平均分成10份，100份，1000份，…，表示其中的若干份以及用数轴表示数，过去曾经是认识整数、分数时常用的模型，而现在又拓展到了小数。比如，把一个正方形平均分成10份，100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示。到了这时，学生理解的小数已经不是具体的量了，自然就接受了不带单位的小数。这些做法，无论对小数意义的接受、理解，还是对小数的模型的建立，培养关于小数的数感，都很有帮助。

5，沟通整数与小数计数与比较方法的关系。

整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是“十”，小数的计数方法是整数计数方法的扩展。教学中要设计相应的教学环节，将整数的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系。不仅如此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统，把原来认识的整数数位表扩充到小数，把分单位和小数的计数单位联系起来，使学生逐步在头脑中建构起完整的认数体系。

学生已经掌握的比较整数大小的知识，有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要在认识上做必要的调整。如，在整数中，位数多的数一定比位数少的数大（四位数大于三位数）。而在小数中未必一定如此（三位小数不一定比两位小数大）。因此，从比较整数的大小到比较小数的大小，不是单纯的认知同化和方法迁移。

综上所述，理解数的意义是数学课程的重要任务。小学阶段主要学习整数、小数、分数等数的概念。这些概念本身是抽象的，只有为学生提供充分的可以感知的现实背景，才能使学生真正理解数的意义，建立数感。

把握基本矛盾  走向有效教学

——“数的运算”备课解读与难点透视

江苏  徐  斌

课改前，关于“数的运算”教学议论很多：

——中国学生的计算能力全球最高，为什么要进行改革？

——计算教学过于形式化、技巧化，严惩脱离学生生活实际；

——计算教学的训练单调枯燥，严重挫伤了学生的学习热情；

——过分强调精确计算，忽视了估算能力的培养；

……

课改后，关于“数的运算”教学仍然议论很多：

——学生的计算能力（口算能力和笔算能力）严重下降；

——在计算目标（速度和正确率）方面两极分化现象严重；

——计算器的引入干扰了学生计算能力的形成；

——“算法多样化”影响了课堂教学的效率；

……

如何应对“数的运算”教学改革中的问题？本文试从数的运算的重要意义与价值、教学内容和目标的变化出发，针对目前数的运算教学中普遍存在的基本矛盾进行分析并提出解决策略。

一，“数的运算”的重要意义和价值。

“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。

数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。一定的计算能力是每个公民应具备的基本素养。

1，在日常生活中有广泛的应用。

数的运算是人们认识客观世界的周围事物的重要工具之一。从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及相互之间的关系。从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。

2，对培养学生的思维能力有重要作用。

学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。

3，有利于渗透数学思想方法的教育。

数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。

二，内容变化解读。

随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内容和要求，是小学数学课堂教材改革研究的任务之一。

1，加强的内容。

（1）注重计算与日常生活的联系。

过去一提到计算，常常和“抽象”、“单调”、“枯燥”等词语联系在一起，计算教学陷入了一些误区。与传统的计算相比，《数学课程标准（实验稿）》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。《标准》中提出：“经历将一些实际问题抽象为数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”

诚然，计算本身具有较强的抽象性，但其反映的内容又常常是现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。新课程注重计算的现实意义，适当让学生经历一些现实情境，使学生通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。

（2）加强计算器的运用。

计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。《标准》中强调：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”

借助计算器不仅有利于学生进行较复杂的运算，解决实际问题，而且还可以培养学生探索数学规律的能力。一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，节约时间，提高计算的速度；另一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。

当然，计算器的引入是一种新的改革和试验，需要我们深入研究，防止简单化处理，特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用，在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。

（3）强化估算的作用。

估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。

如仿，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活或工作中估算的作用也越来越突出。如，人们在使用工具进行计算时，由于操作上的失误会使计算结果有很大的误差，这就要求人们具有一定的估算能力，能对计算结果的合理性进行判断，并对其合理性作出解释。另外，估算还可以用于平时的计算，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题；在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。所以估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。

《标准》中明确提出要培养估算能力。在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”

2，削弱的内容。

（1）删减珠算的内容。

珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要的作用，同时，珠算教学的形象性对于学生智力开发也有很大的促进作用。但是随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。因此《标准》中基本不介绍珠算，取而代之的是计算器。

（2）删减繁琐的运算步骤。

在整数运算方面，《标准》明确提出：“进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。”而在这里“简单”运算的含义具体包括：“加、减法以两三位为主”，“乘法是三位数乘两位数”，“除法是三位数除以两位数”。在小数、分数运算方面，《标准》提出：“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。”

（3）删减运算的数目要求。

在口算方面，《标准》提出：“会口算百以内一位数乘、除两位数。”在笔算方面，提出：“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。”

我们知道，同一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算错误率有成倍的增长。因此降低计算中的数目要求，也就降低了学生的错误率，减轻了学生负担。

三，教学要点。

第一学段总体要求：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。”

第二学段总体要求：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。”

在实际的教学中，要特别注意如下问题的解决。

1，如何建立四则运算概念？

首先，应注重在具体情境中体会运算意义。四则运算是小学数学最基础的知识。一般对加法的定义是：“把两个数合并成一个数的运算。”减法的定义是：“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。”乘法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。”除法的定义是：“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。心理学研究表明，当一个数的运算与所代表的情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。因此《标准》提出“结合具体情境”的要求。

案例1：“加法”（人教版《数学》一上）

教材创设了学生熟悉的活动情境图“折纸游戏”：已经折了1只红色的纸鸟，2只蓝色的纸鸟。

教学时，可以组织学生观察并述说：红色纸鸟的只数可以用“1”表示，蓝色纸鸟的只数可以用“2”表示，一共折的纸鸟只数可以用“3”表示；要求一共有多少只纸鸟，可以把“1”和“2”合并起来，在数学上把这种运算叫做“加法”，写成“1＋2=3”；然后让学生联系情境说一说“1”和“2”，“3”和“＋”各表示什么含义；最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动，逐步形成对加法意义的认识。

这样，学生对加法含义的理解是建立在丰富的感性积累基础之上，在头脑中形成鲜明的动态表象，从而获得关于加法运算意义的准确理解。

案例2：“乘法”（苏教版《数学》一下）

教材通过情境图，首先让学生在具体活动中感知“几个几”：免有3个2，鸡有4个3；再让学生用已经学过的连加进行计算：2＋2＋2=6，3＋3＋3＋3=12。

接着通过操作学具和观察花片活动，使学生进一步体验“几个几”：3个5可以写成5＋5＋5=15，5个3可以写成3＋3＋3＋3＋3=15。

然后通过计算桌子上电脑的台数：2＋2＋2＋2=8，讲述——“4个2相加，可以写成2×4=8或4×2=8”。同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式的读法。

这样的编排和教学，改变了过去强调“相同加数”、“相同加数的个数”、“每份数”、“份数”、“被乘数”、“乘数”等过分形式化的概念以及所谓被乘数和乘数不能换位置的人为障碍，强化了乘法的本质——同数相加。学生认识乘法的过程，成了快乐的学习体验过程，成了理解数学概念本质的过程。

2，如何重视口算教学？

口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，它不仅仅是笔算的基础，而且也是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。口算还是数感发展过程中的一个重要部分。

在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：

（1）在数形结合中理解口算原理。

数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。

案例3：“整百数加、减整百数”（北师大版《数学》二下）

首先创设“买电器”的情境：洗衣机500元，电冰箱1200元，电视机800元，电风扇160元。提出问题：“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共花多少钱？”列式：500＋800。接着通过具体的人民币（都是百元面值）的呈现，引发学生思考：5加8等于13，500＋800=1300。

然后通过计数器演示：5个百加8个百是13个百，也就是1300。最后让学生说说自己的思考和计算过程。

这样，由具体实物（百元人民币形象地表示计算单位“百”）的操作过渡到半形象半抽象的计数器（百位上算珠操作）演示，再通过学生在头脑中的表象运演，使学生逐步理解口算的算理（5个百加8个百是13个百，就是1300）。这样的教学符合学生的思维发展规律：直观动作思维→抽象逻辑思维。

（2）科学合理地训练，强化基本口算。

在小学的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法、表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。

笔者调查了当前小学生基本口算能力的现状和错误分布情况，发现在低年级阶段有些老师过分提高口算的速度要求（每分钟30道甚至50道），而中高年级则忽视基本口算训练，过分依赖笔算。

要强化基本口算，首先应重视基本口算方法的教学。小学生口算的方法一般有三个层次：逐一重新计数→借数数加算或减算→按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个地数，等等。同时我们还应该注意，在教学初期，为了达到算法指导下的正确计算，可不做计算速度的要求。

其次，应注重退位减法与表内除法的思维教学。小学生正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。而20以内退位减法和表内除法在很大程度上依赖于学生的逆向思维。因此教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本计算思维（算减想加、算除想乘）的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。

再次，应注意口算训练的科学性。要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。

3，如何加强估算意识？

做算具有重要的应用价值，是学生应该具备的重要的计算技能。随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人在日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。在小学阶段的计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算，等等。要体现《标准》中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：

（1）培养数感是打好估算的基础。

数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。在估算中数感主要表现为能在具体情境中把握数的相对大小关系，能为解决问题而选择适当的算法，能对结果的合理性作出解释。估算可以发展学生对数的认识，培养数感；同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。除了在数的认识时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。

（2）掌握估算方法，养成估算习惯。

有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：简约、转换和补偿。所谓“简约”，是指学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。例如估算“495＋310”，把495看作500，把310看作300，这样估算时只要想比较简单的形式“500＋300”即可。所谓“转换”，是指学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。例如，估算加法问题“602＋597＋589”，把加法问题转换为乘法问题：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。例如，“602＋597＋589”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：“答案大约是1800，而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。”

我们在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，及时觉察出错误并加以更正。

案例4：（北师大版《数学》三上）

一个同学说“我有一串五色珠子，共98颗，每种颜色颗数都相等。”另一位同学经过估算指出“这是不可能的”。这里，后一位同学就是用估算进行了判断。他可能用乘法的思路：5乘一个数的得数个位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余数的。

可见，养成了估算的良好习惯，能解释结果的合理性，验证了计算的精确度。

4，如何体现算法多样化？

《标准》中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应新生学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面：

（1）理解算法多样化的内涵。

所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。这两者都由一定的程序与规则组成，因此运算方法与解题策略有共性也有区别。前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于信息复杂，更多要依靠思维能力。两者无本质区别，只有层次之差。

（2）找准算法多样化的前提。

现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。

（3）把握算法优化的标准。

过去我们仅仅用成为认为唯一合理的方法作为基本算法教给学生。现在我们认为的基本算法是什么呢？其实，基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。理想的基本算法是三位一体的。在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。

四，当前计算教学存在的基本矛盾和处理策略。

依据笔者的调查和分析，课程改革之后计算教学中出现了一些亟须解决的基本矛盾。现分别加以分析，以寻求良好的处理策略。

1，情境创设与复习铺垫。

现在的计算教学几乎不见了过去教学中的“复习铺垫”，取而代之的是“情境创设”。目前大多计算教学的一般教学流程常常是：教师创设情境、学生提出问题、独立思考算法、反馈交流算法、自主选择算法。为此，许计算课不是从“买东西”开始，就是到“逛商场”结束。一些教师在上课时首先关注的不是学习内容本身，而是如何挖空心思创设新奇诱人的所谓“情境”。现在的计算教学，很难再看到过去常见的复习铺垫了。难道情境创设和复习铺垫真是水火不相容吗？情景创设和复习铺垫之间到底是怎样的关系？

建构主义学习理论认为，学习总是与一定的社会文化背景即“情境”相联系的，在实际情境下进行学习，有利于意义建构。的确良好的问题情境能有效地激活学生的有关经验、体验。《标准》也非常强调，计算教学时“应通过解决实际问题进一步培养数感，增进学生对运算意义的理解”；“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程”；“避免将运算与应用割裂开来”。

然而任何事物都不是绝对的。因为数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要。数学两方面的来源都可能成为我们展开教学的背景。例如，“负数”过去很少出现在小学，现在《标准》规定要引进负数。现实生活中存在着大量的具有相反意义的量，可以作为提示负数的素材；同时，从数学本身出发，为了解决诸如“2－3”不够减的矛盾，也需要引进一种新的数，同样是小学生易于感知的问题情境。这里，选择两种角度之一导入都是可取的。

问题的另一方面，计算教学之前还要不要“复习铺垫”呢？其实，新课前的复习铺垫其主要目的，一是为了通过再现或再认等方式激活学生头脑中已有的相关旧知，二是为新知学习分散难点。前者，只要有必要，则无可厚非。问题在于后者。常常有人为了使教学“顺畅”，设计了一些过渡性、暗示性问题，甚至人为设置了一条狭隘的思维通道，使得学生无需探究或者只要稍加尝试结论就出来了。例如，教学一年级“9加几）时，有人精心设计了如下铺垫：

其实，计算9加几时，由于学生的生活背景和思考角度不同，不同的学生会想到不同的方法。教师应允许学生采用多样化的方法，不必把学生的思维局限在把另一个加数分成1和几的这一种所谓“凑十法”。显然这种把知识嚼烂再喂给学生的“铺垫”，对于发展学生主动获取知识的学习能力是不利的。

可见，创设情境和复习铺垫并不是对立的矛盾，并不是所有的计算教学都必须从生活中找“原型”，选择怎样的引入方式取决于计算教学的内容特点和学生的学习起点。

2，算理直观与算法抽象。

曾有一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，只要让学生掌握计算方法后，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求了。结果不少学生虽然能够依据计算法则进行计算，但因为算理不清，知识迁移的范围就极为有限，无法适应计算中千变万化的各种具体情况。

算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。算法是实施四则计算的基本程序和方法，通常是算理指导下的一些人为规定。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。因此在计算教学中重视算理和算法是一个十分重要的课题。

现在，在计算教学中教师们都十分重视让学生理解算理，特别是让学生在直观形象中理解算理，让学生不仅知道计算方法，而且知道驾驭方法的原理。

案例5：“一位数乘两位数的笔算”（苏教版《数学》二下）

首先出示情境图——两只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14个。让学生提出问题：一共摘了多少个桃？并列出乘法算式2×14。

接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数。

然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（下左图）：

同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。

最后，老师引导学生观察这种初始竖式，通过讲解让学生掌握简化竖式的写法（上右图），再让学生运用简化竖式进行计算练习。

上述案例反映了现在计算教学中的又一对基本矛盾——算理直观与算法抽象，在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰，但是好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中，马上就得面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算。

笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成“动作思维→形象思维→抽象思维”的发展过程。上述案例中，形成了初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题，见如下教学片断：

师：（在学生理解了14×2的初始竖式后）我们一起来用这样的竖式计算。

（请三名学生上台板演，其余学生自己尝试解答）

师：我们看黑板上的竖式。这些算式有什么共同的地方？

生1：它们都是两位数和一位数乘。

生2：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。

生3：我发现第二次乘下来都得整十的数。

生4：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，得数十位上的数就是第二次乘得的数。

师：大家观察得都很仔细。那么你觉得像这样写怎么样？

生1：比较清楚。

生2：清楚是清楚，不过有点繁，有些好像不要写两次的。

师：是啊，要是能简单些就好了。

生3：其实这个竖式积里十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去的。

师：哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕——

（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程。）

师：老师也来写一次，你们看——这样写比原来是否是简单多了？                     1 4

                     ×2

                     2 8

生：（齐）是！

师：我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。

师：刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？

（原来板演的三名学生上台，其余学生也动手将初始写法改成简单写法。）

在以上教学过程中，教师没有简单地让学生用所谓简化竖式计算，而是在实际计算中使学生进一步理解一位数乘两位数的算理，同时通过观察、比较找出这些初始竖式的共同点，进而产生简化竖式的需要，在此基础上自然引出简化模式。

可见，计算教学既需要让学生在直观在理解算理，也需要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。

3，算法多样与算法优化。

数学课程改革实施的初期，大家对“算法多样化”感觉很新鲜，计算教学一改过去“教材选定算法→教师讲解算法→学生模仿算法→练习强化算法”的机械模式，出现了非常可喜的变化，“算法多样化”已成为计算教学最明显的特征。

案例6：“两位数减一位数的退位减法”（北师大版《数学》一下）

首先，教师通过问题情境出示例题33-7。然后，经过老师的精心“引导”，出现了多样化的算法，老师花了将近一课时进行了展示（还分别用动画式课件进行演示）：

（1）33-1-1-1-1-1-1-1=26

（2）33-3=30，30-4=26

（3）33-10=23，23+3=26

（4）13-7=6，20+6=26

（5）10-7=3，23+3=26

（6）33-13=20，20+6=26

（7）33-6=27，27-1=26

……

最后，老师说：“你们喜欢用什么用什么样的算法就用什么样的算法。”

课后，笔者与上课老师进行了交流，老师说：“现在计算教学一定要算法多样化，算法越多越能体现课改精神。”笔者又询问了课堂上想出第一种算法的学生：“你真是这样算的吗？”学生说：“我才不愿意用这种笨方法呢！是老师课前吩咐我这么说的。”笔者连续问了好几个学生，竟没有一个学生用这种逐个减1的方法。那么后面的几种算法（特别是第六、第七种）真是学生自己想出来的吗？

上述案例反映了在计算教学中少数老师对算法多样和算法优化这对基本矛盾的认识模糊。算法多样化应是一种态度，是一个过程，算法多样化不是教学的最终目的，不能片面追求形式化。老师不必煞费苦心“索要”多样化的算法，也不必为了体现多样化刻意引导学生寻求“低思维层次算法”。即使有时是教材编排的算法，但在实际教学中没有出现，即学生已经超越了“低思维层次算法”，教师可以不再出示，没有必要走回头路。

4，解决问题与技能形成。

《标准》中不再设置专门的“应用题”领域，而是注重让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题”。

现在的计算课，如何处理解决实际问题与计算技能形成之间的矛盾？计算本身的问题如何解决？

我们发现，为了体现计算与应用的密切联系，在计算教学时不少教师总是从实际问题引入，在学生初步理解了算理后，马上就去解决大量的实际问题。表面上看，学生的应用意识得到了培养，但另一方面我们也发现，学生常常是算式列对了，计算错误率却很高。一段时间下来，学生的计算能力并未达到目标，于是再反过来进行大量的训练，使得不少学生短时间内似乎计算正确率和速度提高不少，但实际上违背了学生的认知规律，学生的计算技能并没有实质性的提高，更为严重的是，这种简单化的处理大大挫伤了学生的学习热情。

教育心理学认为，计算是一种智力操作技能，而知识转化为技能是需要过程的，计算技能的形成具有自身独特的规律。学生计算技能的形成一般要经历四个阶段，即：认知阶段、分解阶段、组合阶段、自动化阶段。认知阶段主要是让学生理解算理、明确方法，这比较容易做到，而后面三个阶段常常被老师们忽视。一般说来，复杂的计算技能总是可以分解为单一技能，对分解的单一技能进行训练逐渐组合，才能形成复合性技能，再通过综合训练就可以达到自动化阶段。

诚然，过去计算教学中单调、机械的大量重复性的过度训练是要不得的，但是，在计算教学时只注重算理理解和解决实际问题，对计算技能形成的过程如晴蜓点水一带而过，也是不利于培养学生的计算能力的。特别需要指出的是，在学生初步理解算理、明确算法后，不必马上去解决实际问题，因为这时正是计算技能形成的关键阶段，应该根据计算技能形成的规律，及时组织练习。具体地说，可以先针对重点、难点进行专项和对比练习，再根据学生的实际体验，适时缩减中间过程，进行归类和变式练习，最后再让学生面对实际问题，掌握相应的策略。

总之，计算教学的基本矛盾的平衡对于数学课程改革的成败有重要的影响，数学课程改革的深入推进也对计算教学的基本矛盾起着缓和或激化的作用。计算教学的基本矛盾也会出现不同的表现形式。在处理这些矛盾时，应该从数学教育本质出发，在大胆创新的同时，吸取传统教学中的优势，以计算教学基本矛盾的平衡为导向，促进计算教学的深入改革，为切实提高学生的计算能力和数学素养打好基础。