鼓吹:小学数学教学中函数思想的渗透

高泽新（北京市东城区教师研修中心）
陈琦（北京市东城区东交民巷小学）
高辉（北京市东城区春江小学）
一、源起
在北京市进行的一次说课比赛中，当一位选手进行了“正比例的意义”的说课后，评委向他提出了这样一个问题：“你在说课中几次提到了要在‘正比例’一课的教学中渗透函数的思想，请问你认为‘正比例’是函数吗？”说课者答道：“正比例是一种特殊的函数。”评委又问：“你说课中出现的一些图表能反映出一定的函数关系吗？”说课者却不敢断言。可以看出，这位教师对于什么是函数及函数本质的认识和理解不够准确和全面，那么其对什么是函数思想以及如何在小学数学课堂教学中进行有效渗透更可见一斑。目前，在小学数学课堂教学中非常重视数学思想方法的有效渗透。然而，教师们对一些数学思想方法的理解和把握又是怎样的呢？是不是能在教学中进行有效的渗透呢？带着这样的问题，我们决定从众多的数学思想方法之中选择函数思想作为研究点。
二、调研及分析
（一）调研目的
为了了解小学数学教师对函数的理解、对函数思想的认识以及对函数思想在课堂教学中渗透的情况，我们对东城区17名六年级数学教师进行了问卷调查。
（二）调研问卷（见附件一）
（三）调研结果统计
表1  对函数定义的掌握情况
能准确描述
描述基本正确
用某一特殊函数
代表函数定义
对函数的定义
根本不知道
5.9％
41.2％
17.6％
35.3％
表2  对函数本质的认知情况
选项
①运动
变化
②对应
思想
③集合思想
④数形结合
⑤极限思想
⑥符号化思想
百分比
94.1％
94.1％
28.5％
58.8％
71.5％
23.5％
表3  函数的表示法
选项
式
图
表
文字
百分比
94.1％
47.1％
11.8％
5.9％
表4  判断
题目
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
正确率
5.9％
5.9％
94.1％
94.1％
5.9％
94.1％
41.2％
（四）调研分析
1.通过对以上调研结果的分析，可以得到以下结论：
（1）通过表1可以看出，绝大多数教师不能用准确的语言描述函数的定义；
（2）通过表2可以看出，教师对于函数的本质有一定的认识，部分教师还存在模棱两可的认识；
（3）通过表3可以看出，大多数教师认为能写出表达式的才叫函数，而图、表、文字等呈现方式他们认为不是函数；
（4）通过表4可以看出，大多数教师能用运动变化的观点审视小学数学教材，知道哪些知识的教学中可以渗透函数思想。
2.基于以上的调研，我们认为要做到小学数学教学中有效渗透函数思想，教师应解决好以下三个方面的问题。
（1）什么是函数？（函数的本质）
（2）什么是函数思想？
（3）小学数学教学中如何渗透函数思想？
三、问题解决
（一）什么是函数
我们认为，要想解决一线老师们的问题，首先就是要澄清他们对函数的认识，建立正确的函数概念，这是一切的基础所在。
1.函数定义
（1）初中定义：一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y为x的函数。[1]
（2）高中定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合：｛f（x）｜x∈A｝叫作函数的值域。[2]
（3）大学定义：设非空集合DR，则映射f：D→R称为D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D。[3]
以上三种定义就反映了函数的发展史，依次叫做函数的“变量说”“对应说”和“关系说”。
“变量说”建立在变量(数)的基础上，优点是形象、直观、自然，通俗易懂，但没有突出函数的本质——对应关系。“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学的语言，普适性强，更重要的是它们都抓住了函数的本质——对应关系。[4]
2.函数的常用表示法
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征（因为函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征），一般来说主要研究函数的性质。为了研究函数的性质人们往往借助解析式表示法、表格表示法和图像表示法这三种表示方法。
解析式表示法是最常用的方法，适用于表述连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数的性质、构建数学模型，对初学者来说也是最抽象的。
表格表示法适用于表述变量取值是离散的情况。
图像表示法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质。
3.澄清几个问题
在调研中发现，多数教师对于数列、图像、表格等是否是函数认识不清。
（1）数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，也可以为自然数集，或者自然数集的子集。自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数。[5]
（2）图像是函数。
（3）表格是函数。
教师应该认识到，虽然某些数列、图像、表格虽然不能用解析式表达出内在的规律，但是其中的变量仍旧存在着一定的关系，所以它们都是函数。
（二）什么是函数思想
函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图像和性质,使问题获得解决。函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。
《九年义务教育全日制小学数学课程标准》在基本理念中指出：教师帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法[6]。这说明了数学思想方法对小学数学学习有着极其重要的作用。虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，但这不等于没有函数的雏形、没有函数思想的存在。在小学阶段渗透函数思想方法，可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。这对于培养学生的辩证唯物主义观点、培养他们分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义，而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。
（三）在小学数学教学中如何渗透函数思想
教师澄清了对函数的认识，知道了什么是函数思想及其教育价值，有利于教师站在函数思想的高度审视教材、设计教学。我们认为在小学数学教学中可以从以下几方面做起。
1.在探索“数与运算”的规律中渗透函数思想
在人教版小学数学五年级上册第20页中安排了以下练习。
算一算，填一填。
被除数
1.5
15
150
除数
5
50
500
商
有些老师让学生计算完毕、答案正确就满足了。如果我们以函数思想的高度来设计教学，则可以这样做：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律）并思考这个特点是怎样引起的，然后再出现教科书第24页的如下练习。

虽然学生还没有学过一个数除以小数的计算方法，但可以根据前一题得到的规律加以解决。这种整合不光是能解决一两个练习的问题，而是让学生从中体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想，同时为六年级学习正、反比例做了很好的孕伏。这样做可以把商不变的性质、小数除法、正比例和反比例的相关知识串联起来，使知识脉络化，可以说是一举多得，而这种“得”归根到底是依赖于函数思想而实现的。
2．在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想
在学习了长方形与正方形周长和面积后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。
序号
长（cm）
宽（cm）
周长（cm）
面积（cm2）
示意图
1
2
…
学生经过研究可以得到：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm（正方形）这四种长方形，其中正方形的面积最大。在研究过程中学生会渐渐地认识到：要想得到最大的面积，就要把所有的长方形一一例举出来去比较；而要想得到不同的长方形，必须在保持周长不变的情况下改变长方形的长和宽，由于长逐渐地减小，在周长不变的情况下，宽必须跟随着不断地增大。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质。因此说，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念。
另外，我们应该认识到在小学的“空间与图形“领域的教学中，许多公式都是一种函数关系，也可以渗透函数思想。
3．利用数量关系在解决实际问题中渗透函数思想
学生在小学阶段学习和掌握了许多的数量关系，如：单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系……其实当这些数量关系中的某一种量固定后，另外两种量在变化时就构成了函数。
以简单的解决问题来说，我们可以把封闭的题目改编成开放的题，如让学生根据所给的两个条件补一个问题，或给一个条件和问题，让学生补上另一个条件。例如，学校有120名学生排队做操，                ，可以站几排？这看起来是很简单的一点儿变化，当把学生的各种补充条件汇集到一起时，学生就会认识到：可以站几排是随着每排人数的变化而变化着的；而每排的人数也会有一定限制，至少不会少于1人，至多不会超过120人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域。我们看到这种开放不是简单形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。
4．在“统计与概率”的教学中渗透函数思想
“统计与概率”的内容往往通过表格、图像来描述数据，但大多数教师认为其中不存在函数关系，只重视到了其对培养学生统计观念的作用而忽视了对函数思想的渗透。
下面是一位老师设计的“测量一个水龙头不同时间内滴水量”的活动。
环节一：边测量边填表。
时间（分）
10
20
30
40
50
60
…
滴水量（毫升）
环节二：根据实验数据再制成折线统计图。
环节三：结果分析：（1）说一说从图中你发现了什么；（2）描述一下滴水量与时间之间的关系；（3）估计3小时将浪费多少毫升水。
……
这个活动中, 学生不仅经历了统计的全过程，而且亲历了滴水量的变化随着时间的变化而变化的过程，初步体验了函数的味道。与此同时，还对学生进行了节水的德育教育，可见其功能是多方面的。
以上是从《课标》规定的四个教学领域谈及的可渗透函数思想的教学点。然而众多的数学思想方法也是有联系的，函数思想与其他一些思想方法紧密相连。
5.在与其他的数学思想方法的结合、相互勾连中渗透函数思想
（1）结合数形结合的思想方法。解析几何为几何学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的认识由静态发展到动态，这才是“数形结合”思想的本质所在[7]。数形结合的思想方法是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，它可以使代数问题几何化、几何问题代数化。而函数思想侧重于研究代数问题，有时将函数思想与数形结合的思想结合，可以使抽象的函数关系更具体、直观，便于学生理解。
例如，在教学“正比例”时，教师不仅利用统计表（表5）来研究数量之间所体现的规律，还利用信息技术手段将函数图像形成的过程展示出来，借助图像（图1）来研究正比例函数。


图1  单价与总价
在函数图像的形成过程中，学生不仅能感受一一对应、连续性，而且将抽象的数据借助具体的图像展现出来，在动态的过程中形成了对函数直观的认识，更好地帮助学生把握数量间的变化规律，使学生由具体形象的静态认识提高到在运动、变化中去概括，形成正确的表象信息。这样有利于学生对正比例意义的理解。
函数思想与数形结合思想的结合，使得抽象的学习内容更直观，能提高学习效果。因此，在教师的教学中应当充分利用这一点。
（2）结合极限的思想方法。极限的思想方法是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想方法。有时这两个对象就是具备函数关系的两个变量。
例如，在“圆的周长”的教学中，教师为了让学生认识圆周率而介绍人类探索的过程，而刘徽的“割圆术”是不能不提的。用圆的内接正多边形的周长来近似地代替圆的周长，当圆的内接正多边形的边数逐渐增多时，其周长就越来越接近圆的周长，正所谓“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” [8]。具体如图2。

图2  圆的内接正多边形
在这个变化过程中，圆的内接正多边形的边数与其周长就是两种相依变化的量，具备函数关系。同时，圆的内接正多边形的周长的极限就是圆的周长，又体现了极限的思想。所以在这个例子中，函数思想与极限思想是密不可分的。
（3）结合对应的思想方法。函数思想往往与对应的思想密不可分，这是函数的本质所决定的。
例如，在人教版六年级上册“位置”的教学中，以往的教学目标只设定在学生能够用数对表示出整数列与行交叉处点的位置，实际上可以依次选择：在整数列但不在整数行的点、在整数行却不在整数列的点和既不在整数列又不在整数行的点这几种形式，使学生认识到无论点在哪里，都可以用数对表示点的位置。当把点移至图外时，学生自然能利用知识的迁移，认识到 “图外点”也能用数对表示位置。在为初中的直角坐标系的学习做好铺垫的同时，突出了点与数对的一一对应的关系，渗透了对应的思想。有的教师还在此基础上设计了如下的练习。
①用数对表示三角形ABC各个顶点的位置。
②画出三角形ABC向右平移5个单位后的图形A′B′C′。
③用数对表示所得图形A′B′C′各个顶点的位置。

练习内容将数对的学习与平移的知识相结合，通过图形平移前后数对的变化规律的研究渗透了函数的思想，使得教学立意更深更高，提高了教学品味。
函数是研究变量和变量之间关系的重要的数学模型，是中学阶段数学学习的一条主线。使小学生经历一些函数的雏形，丰富他们对函数的感受，有助于小学生数学学习的深刻性，有助于中小学数学教学的衔接。本次研究基于对当前小学数学教师对函数认识的现状的调查所暴露出的一些问题，试图通过澄清函数的概念、什么是函数思想后点明在小学数学教学中应如何渗透函数思想，帮助教师更好地服务于教学。
参考文献
[1]义务教育课程标准实验教科书八年级上册.人民教育出版社.P97
[2]普通高中课程标准实验教科书教材数学必修1.人民教育出版社.P18～19
[3]高等数学上册.高等教育出版社.2009.P5
[4]数学思想方法与中学数学.北京师范大学出版社.2008.P206
[5]数学思想方法与中学数学.北京师范大学出版社.2008.P117
[6]数学课程标准.北京师范大学出版社.2001.P2
[7]小学教学（数学版）.2008(04).P48
[8]中国古代数学思想.大连理工大学出版社.2008.P123
附件
调研问卷
1.请描述什么是函数。
2.你认为函数的本质是（          ）。（选项不唯一）
①运动变化 ②对应思想 ③集合思想 ④数形结合 ⑤极限思想 ⑥符号化思想
3.常用的函数表示法有                                          。
4.下面每组信息中的两个量具备函数关系吗？具备的画“P”，不具备的画“O”。 ④（     ）
①（    ）                                        ②（     ）
      
③（    ）                  ④（     ）                  ⑤（     ）

⑥（     ）                                        ⑦（     ）

5．小学数学教学中，哪些知识点能渗透函数思想？试举三个例子。
作者简介
高泽新  男，北京东城区教师研修中心小学数学研修员，中学高级教师，北京市骨干教师。“小学数学中极限思想的渗透点”等多篇论文荣获国家级、市级一等奖，《在简易方程教学中要突出代数思维方式的特点》等多篇文章发表在各类教育教学杂志上。任《小学数学思维训练教程》丛书副主编，《中小学数学教学》报兼职编辑，“北京市2009年义务教育教学质量分析与评价反馈”项目小学数学学科专家。参与“小学数学课堂教学中基础知识与创新意识培养实效性策略的研究”课题研究，该课题获北京市政府2009年度教育教学类成果一等奖。
陈琦  女，现任教于北京市东城区东交民巷小学，小学数学高级教师，北京市东城区小学数学兼职教研员。论文《转变学生的学习方式从优化数学课堂教学结构开始》获北京市一等奖，并发表在《北京市基础教育课程教材改革实验论文集》中，论文《慧眼识才，引导创新》获全国一等奖，论文《转变不良思维方法，调整心态，获得好“人缘”》获北京市一等奖。从教以来多次做区级展示课、公开课，其中“等量代换”获2008年北京市数学教学观摩活动区展示课一等奖。2009年获“北京市东城区优秀青年教师”称号。
高辉  女，北京东城区春江小学校级骨干教师。热爱小学数学教学工作，勤于思考、喜欢钻研。经常撰写教学日志、教学札记、案例等。曾在各级各类教学杂志中发表过多篇文章，并获北京市东城区第六届东兴杯教学比赛三等奖。