:向心加速度推导过程

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　　　向心加速度推导过程　　　　　捧真心于2011年11月15日

高中物理一年级中学到匀速圆周运动。有关圆周运动有几个概念：

1.运动半径R；

2.线速度V ：质点沿切向的即时速度；

3.角速度ω：质点绕某点运动通过弧度角与所用时间的比值；

4.向心加速度a：速度变化与时间的比值；

5.圆心角θ；

现在对向心加速度公式进行推导：

现设一质点以R为半径作匀速圆周运动，质点的线速度为V，周期为T，角速度为ω。

当质点运动一周时，周角为2π，是间为T，由定义有：

ω＝2π/T

因为线速度又等于周长与周期比值

∵V ＝L/T=2πR/T＝ωR

∴V=ωR…………………………（1）

如图甲，质点在时间差Δt内从a点运动到b点，则它的速度变化量为ΔV，

如图乙。速度变化的角等于圆心角θ。

在Va、Vb、ΔV组成的小三角形成中，

把它补成小扇形。在数学上有弧长等于半径与圆心角的积。

当θ足够小时，则可以认为弧长等于弦长。

这时ΔV相当扇形的弦，Va＝Vb＝V相当于半径

所以有

ΔV＝θV……………………………………（２）

因为圆心角等于角速度与时间的积

θ=ωΔt……………………………………（３）

由（１）、（２）、（３）可得

a=ΔV/Δt=θV/Δt=θωR/Δt＝ωΔtωR/Δt＝ω^２R

即

a=ω^２R

还可以推出

a＝ω^２R＝ωRω＝ωV=(V/R)V=V^２/R

即

a=ωV＝ω^２R＝V^２/R

证明完毕，愿对你有所帮助。　捧真心于2011年11月15日

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