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略论数学反思培养（转录)
反思是个体，乃至整个群体成熟的一个重要标志。人类自古以来就具有反思意识，在我国古代有“反求诸己”、“扪心自问”、“吾日三省吾省”等至理名言。近年来，有关“反思”的研究日渐增多，但绝大部分是从哲学、心理学、教育学的视野中研究得出的一般性结果，或在普遍性结论中辅以学科例子的佐证。而以数学为直接研究对象，对中学生数学反思能力培养的研究则较少。数学学习中的反思、反思能力是近年来越来越受关注的一个课题。《普通高中数学课程标准（实验）》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决，不断地经历直观感知，……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”，同时提出，评价应关注学生“能否不断反思数学学习过程，并改进学习方法”，“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”。
关于数学中的反思
数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用。用荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”。
曹才翰先生也非常重视并倡导培养学生对学习过程的反思习惯，认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。郑毓信教授从建构主义与数学教育的角度批出，“数学抽象就其本质而言是一种建构活动，但这种建构不仅仅是纯粹个人的行为，而必然是一个在不同个体之间进行表述、交流、批判与反思，以及不断改进的过程，个人的创造建构只有得到数学共同体接受，才能真正成为数学的组成部分”也就是说，学生在数学学习过程中，只有不断地反思，才能够使自己建构的知识不断地与数学共同体所拥有的知识靠近，最终达到一致。涂荣豹教授以数学学科为具体背景，最提出了反思性数学学习的概念，探讨了反思性数学学习的意义和基本特征，并提出了反思性数学学习的具体内容。
反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质；反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动，是为了更好地提高学习效益。
反思性数学学习是相对于操作性数学学习而言的，操作性数学学习是学生凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动，这种活动所依赖的是那些通常并不清楚的经验和理解而进行的自动化的、直觉的操作活动。大多数学生在活动中做出的决策是刺激——反应式的而非反思的，直觉的而非理性的，例行的而非主动自觉的。
反思性数学学习的基本特征是它的探究性，在数学学习活动探究其中的问题和答案，不断学习策略，建构自己对问题的理解，产生超越已有信息外的信息。反思性数学学习可以帮助学习者从例行公事的行为中解放出来，帮助他们学会数学学习；可以使学习者的数学学习活动成为有目标、有策略的主动行为，可以使学习成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力；可以有利于学习者在学习活动中获得个人体验，使他们变得更加成熟，促进他们的全面发展。
操作性数学学习是相对单一的学习，而反思性数学学习则是多维的学习；操作性数学学习只要完成了学习任务就达到了学习的要求，而反思性学习不仅要完成学习任务，而且使学习者的理性思维得到提高；操作性数学学习是被动的、消极的，而反思性数学学习以“学会学习”为目的，既关注直接结果又关注间接结果，即眼前的学习成绩和学生自身未来的发展。实际上，如果不能“学会学习”，就不能真正“学会知识”。显而易见，操作性数学学习的含金量不高，而反思性数学学习更具有启智价值，含金量高。
关于数学反思能力
能力可分为一般心理能力和特殊心理能力。一般心理能力是顺利完成各种活动任务所必备的基本心理能力，如注意力、记忆力、想像力和思维力等。特殊心理指顺利完成特殊活动所必备的基本心理能力，数学能力就是一种特殊的心理能力，它是顺利完成数学活动所必备的能力。
一种更被普遍认同的中学生数学能力是“运算能力、逻辑思维空间想象能力”或“运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、运用数学知识来分析和解决实际问题的能力”。数学一种复合能力。数学反思能力属较高层次的能力——元认知能力，它与认知能力是有区别的。实验研究表明，认知与元认知是可以分离的两个概念。实验发现，元认知可以弥补一般能力的不足，它作为与一能力相对独立的因素在起作用，即元认知通过对生获得认知活动的进展信息，间接地促进和推动了这种能力的发展，使认知主体完成认知任务，实现认知目标。
目标认知是对认知过程的自我调控，因而元认知过程离不开认知过程。数学认知发展为数学反思能力的发展提供了基础，只有具有了很强的数学观察能力、数学记忆能力，才能提高对问题情景中各种线索的的敏感度，抓住反思的时机，及时调节思维的方向，对解决问题的各种策略进行权衡、预见，从而提高控制水平，丰富元认知知识，加深元认知体验。数学思维发展特别是抽象思维能力的发展，极大地丰富了学生反思的技能，为提高学生的反思水平和预见能力打下了基础。数学化能力的发展为反思提供了更大的广阔空间和机会，另一方面数学反思能力的发展，提高了认知效率，缩短了认知时间，因此，数学反思能力和数学认知能力是相互促进、互为基础。
数学反思学习者在数学学习活动中对自己数学认知过程的自我意识，自我监控能力。它以反思的技能和反思的毅力为基础，并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来。它对数学认知活动起指导、支配、决定、监控的作用。
数学反思能力培养的实施途径
通过我们的实践表明，学生的数学反思能力有必要而且有可能进行培养。以下是我们的一些主要做法，仅供参考：
1、建立学习档案：给自己建立学习档案，是养成良好反思习惯的途径。学习档案内容可丰富多样。如自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，容易解错的习题，学习失败的教训等。
2、听课反思：没有反思的听课是被动的、肤浅的。从教师讲解中反思思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。
3、解题反思：对问题解答后的结论的正确性的检验或提出疑问；是否还有其他解法或更佳解法；能否对问题的题设或结论进行变式；对否把当前的命题推广到一般情况；进一步考虑问题的题设的完备性（充分性）及结论的精确性。
4、数学周记：反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步。学习是一个系统工程，培养反思习惯的措施，是全方位、多角度、多层次的反思。课堂上教师示范解题反思的过程中学生自己想到，但未与教师交流的问题，作业中对某些习题不同解法的探讨，学习情感、体验的感受，都可以通过数学周记（或数学日记）的形式宣泄出来，记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。
目前数学教学中最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动的最重要的环节。由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的高中生不可能一次地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次的反复思考、深入研究、自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征。
21国参加的国际数学教育调查
（IAEP）1989。 13岁学生成绩
中国大陆 80
中国台湾 73
韩国 73
瑞士 71
苏联 70
法国 64
英国 61
美国 55
巴西 37
莫桑比克 28
几条新闻
《基础课程改革纲要》出版， 课程大改革正在进行。
《9年义务教育数学课程标准》出版。
2001秋在20个县区实行。 2002 占 15%。2003全面推开
高中课程标准框架形成（后面介绍）
所有课程的《国家标准》在2002年全面更新。
数学教育研究的新趋势
数学教育个案研究陆续发表
张奠宙编： 数学素质教案精编
[美]匹兹堡大学案例
哈佛数学教育案例。 （上海教育出版社）
奚定华《数学教学设计》
李士奇编：《数学教育个案学习》（华东师范大学出版社）
罗增儒：《中学数学教学课例》（陕西师大出版社）
理念与经验； 实验与统计； 定性与案例。
访美见闻之一：
布什政府投入大批财力改革教育
家长造反： 接管中学。 要学校打好基础， 写作文， 做作业， 记忆基本事实
加州大学不要SAT高考成绩。 举手通过入学申请。
高考不公平。 小布什SAT成绩只有1200分（1600分为满分）
校园安全
访美见闻之二
* "什么是建构主义(http://www.mathforum)
* " 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得"教"的作用不再是演讲、解释、或者企图去"传送"知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。"
访美见闻之三
马力平的畅销书: 中国小学教师的优异成绩名扬海外. 3/5 ÷ 5/13 = 62%的小学教师不会做。90 %具有学士学位。30%具有硕士博士学位
费城高中的两堂课： 反差。
建构个性发展与放任自流
美国数学差优秀学生远超中国。
第三次国际数学教育调查.1996
第一名 新加坡
第二名 韩国
第三名 日本
第四名 香港
美国在42个国家中处于中下水平. 朝野震惊, 产生数学战争. 新加坡说:"考试毕竟是一次考试而已." 日本学生"恨数学".
影响数学教育的文化因素
家庭高度期望与管束
善于 “心算 ”的传统
熟能生巧的教育古训
强调背诵的学习理念
重视现世功业的 儒家文化
“苦读+科举 ”的 考试文化
回避 “原始问题 ”的 考据文化
宋明以后的儒学不再面对原始问题
孔孟经典 不可动摇的公理
朱熹的注疏 必须遵循的定理和推论
读书人的文章 不过做一个练习而已
八股文： 按朱熹老夫子的标准答案做“学答” -- - 美其名“代圣贤立言 ”
[清] 戴震（1722--1777）考据学派对科学的影响
文字狱使读书人回避“原始问题”
在“故纸堆”中考据、训诂， 重证据、重演绎， 接近西方的逻辑推理。
儒家文化 -- 宏观上的演绎系统
考据文化 -- 微观上的演绎方法
梁启超、胡适谈考据文化
自清代考据学派200年之训练， 成为一种遗传。 我国学子之头脑渐趋于冷静慎密。 此种精神实为科学成立之基本要素。 （清代学术概论）
胡适： “大胆假设， 小心求证 ”
面对原始问题： 大胆不够
崇尚逻辑推证： 小心有余
数学 = 逻辑的文化渊源
数学有两个侧面: 创造思考与逻辑证明
考据文化将数学的逻辑层面进行同化, 成为中国现代数学教学的核心思想.
同样, 考据文化和演绎式的儒家文化,将创新性 的数学思维方式进行过滤, 没有很好吸收溶入.
大学校长数学家多
20世纪中国中小学数学教育
第一阶段（1919 -- 1949） “算术 ”时期。 没有教学法研究。 鸡兔同笼。 以算为主。
第二阶段 （1949 -- 1969） 学习苏联时期。苏联《数学教学法》传入中国。系统化、严谨化、理论化。5个教学环节。
第三阶段 （1970 --2000）。兼收并蓄时期。学生为主体。考试竞争压力。 奥林匹克数学竞赛。 酝酿新的突破。
中国 的 “双基 ”数学教育体系
一个统一的考试
两个基础： 基础知识， 基本技能
三大能力：基本运算能力， 空间想象能力， 逻辑思维能力（核心）。
四大基本原则： 科学性； 量力性；学生的积极性； 理论联系实际。
五个教学环节。复习--导入--讲授--巩固--作业。
唯 “基础 ”论
基础与创新。 摘果子的基础。为基础而基础是傻练。 打工仔。
基础是在变的。 100年前的基础。做古体诗，毛笔字， 中学为体， 西学为用。
基础的整合。 胚胎式的发展。 一万年以后怎么办
新基础： 数学计算， 数学证明；数学应用，数学建模； 数学应变； 数学技术
开放式教学： 历史的必然
国家的开放：经济的腾飞。国际化。全球化。 WTO。全球网络。
社会的开放：平等自由地表达意见。鼓励创新， 独立思考。
数学的开放：走出自我孤立。面向大自然、 面向其他科学。陈景润到王选。
教育的开放：权力下放，校本课程。以学生的发展为本。高考的多样化。
“与时俱进 ”的数学教育
第一代：（1898-1919）长袍马褂。 中学为体， 西学为用。天地人元 ---XYZW
第二代：（1919-1949）西装。英美式。 两支粉笔进课堂。 一讲到底。 精英教育。九点圆。
第三代 （1950-1966）中山装。 苏联式。少而精。 强调理论严谨。一颗红心，两种准备
第四代 （1978 - 1995）茄克T恤。 考试第一。 奥赛第一。
第五代 （1995--）素质教育， 创新教育。 9年义务教育。 5天工作制。 能力立意。
建设中国的数学教育学派。
数学观：中国数学正在发生变化
数学教育观：中国数学教育面临重大改革。
中国数学课程：全面更新。高考改革。
数学题型： 从单一化归到全面发展
数学教学模式：正在突破旧的束缚
日本藤田宏：（2000 东京）
数学发展的四个高峰
欧氏几何的诞生。 古希腊数学文明。 公元前300年
微积分的发现和进展（17-18世纪）
现代公理化数学的诞生（19世纪-- 20世纪中叶）
信息时代的数学（20世纪中叶以来）。 特点： 来源于实际问题。 广泛的实际应用。 与数学以外的科学分支紧密联系。
Mandelbrot 集合
迭代过程
Zk+1 = Zk2 + C
当 Z0 = C 时此序列收敛， 即为图中黑色部分。
第四个数学高峰群的思潮
数学绝对主义的破灭。 哥德尔不完备性定理。 《证明与反驳》。 经验主义复兴
布尔巴基学派的盛衰。结构主义不能覆盖数学。 1970年前后的数学变化。
“理论数学 ”和 “实验数学 ”Hodge 与Atiyah. Thurston. Mandelbroit. Thom.
数学技术产生。 CT、滤波、金融、小波、密码、计算模拟、数据压缩....
数学的多元发展
Wiles证明费马定理。 在Berkeley的科学报告会门票出现黑市。
美国数学博士工作难找。 罗彻斯特大学代数拓扑博士点遭校长撤消的风波
物理学家Witten获费尔兹奖。 数学家获医学奖、生物学奖、经济学奖。
金融数学异军突起。数字化生存。
陈景润和王选。
核心数学更加 “核心 ”
20世纪核心数学飞速发展。
从局部到整体 （拓扑）
从交换到非交换 （算子代数。 K理论）
从线性到非线性 （混沌、分维）
从低维到高维、无限维
随机数学大发展
黎曼猜想、庞卡来猜想、 开普勒猜想
数学的未来
P = NP 微软礼聘 Freedman. Smale 认为这是未来世纪要优先解决的问题。
只有10%的数学家， 其研究目的是发表论文。 90%的数学家从事用计算机为各行各业解决实际问题。（数学所 梁国平）
计算机证明。 从四色问题Kepler猜想。吴文俊的机器证明。 人工智能。
维护数学的统一。
数学的未来（续）
数字地球、 数字时代的数学。
实验数学。 用实验补充论证（代替）
数学技术市场。 数学风险投资。 数学股票买卖。
改善数学的公众形象。数学文化。
电子数学杂志。 网络时代的数学传播。
数学的特性：
老三条：苏联A·亚历山大洛夫： 抽象性， 严谨性， 广泛应用性。
新三句：
( 模式性。 万物数量关系的普适模式
( 演绎性。 数学表达和论证的方式
( 实用性。 最直接最广泛的实用技术
数学教育的明天
大众数学教育。Bass: Why Mathematics “数学渴望 ”， “数学有用 ”， “ 数学有情 ”。公众形象。数学不好感到脸红。
信息数学教育。运用信息技术获得数学能力。 “跑步健身， 以车代步 ”。 “马拉松 ”职业运动员与汽车驾驶员。
理性数学教育。 崇尚理性，欣赏数学之美。数学技术， 直面咸淡人生。独立思考、探究创新、论证求真。
诺贝尔奖得主 -- 李政道：
我们中国的传统是做“学问”， 为什么你们老是在做“学答”
屈原的《九问》， 就是做“学问”。 （对复旦大学学生的讲话。1997）
学问： 学习、研究、问难。
“吾他日未尝学问，好驰马试剑” （孟子。滕文公上）
学习从发问开始。没有问题， 就没有创造可言。
诺贝尔奖得主 -- 杨振宁：
– 成功的秘诀
– 面对物理学中的原始问题， 不要淹没在文献的海洋里！
– （《杨振宁文集》 第439页）
杨振宁曾面临的原始问题
非交换规范场问题--
（Yang-Mills 方程）（1954）
统计力学中的多体问题--
（Yang --Baxter 方程）（1967）
面对原始问题， 不要在文献夹缝中求生存
陈省身：要在本土上有自己的问题， 让外国人跟着我们的问题做。
面对原始问题，要从基础教育抓起
爱因斯坦： “旧学校给学生太多的 ‘好胜心， 却很少培养学生的 ’好奇心。 ”（1935。 在纽约州立大学的讲话）
袁枚： “学如箭镞， 才如弓弩， 识以领之， 方能中鹄 ”。 数学意识的重要。
上海51中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向10层楼三根导线的电阻不同。如何测量 他想到解联立方程
– x+y =a x ------------
– y+z =b y ------------
– z+x =c z ------------
一条船上有75头牛， 32头羊， 问船长几岁 （75 -32 =43）
这是学校把学生越教越笨的表现。
中国的中小学生 有92。5% 给出答案
法国四年级小学生给答案的为65%
中国学生的成功与不足. 看到问题和作答案.
数学师和数学匠.
.小学数学课程中的问题：
1，1，2，1，1，2 , ___, ___, ___ 应该 是什么
乘数、 被乘数。 12 x 4 读做12 乘以4， 读12 乘 4 为错。
带分数。
这不是数学！
我是这样想的……
概念教学: 淡化形式, 注重实质.
下列是问题是否妥当
判断下列各例是否正确
1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形
2。 含有未知数的（等）式子叫方程
3. （平面上）不相交的两条直线叫平行 线。
平行四边形也是梯形， 有何不可
x - x =0; 0x=0; 是方程吗
也许还要加上“在欧氏空间中”中学数学课程标准汇报
9年义务教育数学课程标准已经公布。 2001年开始试点。
高中数学课程标准正拟订中。
高一： 基本课程 （艺术、高职...)
改造我们的数学问题
优秀的学校和教师都应该有自己的编制的问题.
情景题, 开放题, 应用题.
数学作文.
（荷兰）甲离学校10公里， 乙离甲3公里， 问乙离学校几公里
训练学生的表示能力。
甲、乙、学校在一条直线上 没有说。
校 乙 甲 乙'
设计一花坛， 使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。
这是数学和艺术相结合的开放题。 开放度极大。
国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行时， 日本的一堂公开课。
日本学生当堂有13种解答。
评价：得到不同的5种设计， 每种2分。
中国可以有这样的公开课吗
编码问题
超市条形码
图书码
（7，4）码
公说公有理， 婆说婆有理。香港某厂 业绩
年份 90 91 92
股东红利 5万 7.5万 10万
工资总额 10万 12.5万 15万
上海金汇学校： 简单邮路问题
100以内自然数的等差分拆
宁波第一中学江一鸣提出。 1998。
答案有限： 1+2+3= 6； 1+3+5=9；2+3+4=9；2+4+6 = 12 ； ......
计算机程序， 可以把全部 “分拆 ”打印出来。
然后根据数据做猜想：可等差分拆的书必为合数。
开放题的模式也要开放， 使用新技术 ！
门后的车
1 2 3
任选一门 （例如 1 号）
主持人打开无车的门（3号）
是否要换2 号
（考虑100扇门的情形）
国外高中数学题一束 :
四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数
解：顶点数：23 =16。
棱数：（16 · 4）/2 = 32
二维面：（16· C42）/4 = 24
三维面： （16 C43 ）/8 = 8
四维面： 1
一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 +... + 1
莫斯科大学入学试题（1995）
现要完成一项加工任务， 其中包含 5，000个A零件，3，000个B零件。该厂有100名工人。每个工人每小时能加工5个A零件、或3个B零件。 问如何安排工人，可使该任务尽快完成
解： 使|5000/5x -- 3000/(100-x)| 最小。
台湾联招试题
一个边长为1的正三角形， 抹去各边中间的三分之一， 向外作边长为1/3的正三角形。然后再将每边的中间1/3抹去， 向外作边长为1/9 的正三角形。 如此无限继续。 试求该图形所包含的面积， 以及各次构作的三角形周长的倒数之和。
分形。 时代感。 超纲
等比级数求和而已
分苹果问题（推广）
某A在果园摘了一堆苹果， 把它的一半加半个给第一个看门人， 又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人。 那时只剩下两个苹果了。 问原来有几个苹果
两个因子： 剩下的苹果数，看门人个数
思辨： 看门人比我多一个；A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果
1，2；3，4；7，8；15，16； 31，32；63，64 ；...
2，3；5，6；11，12； 23，24；47，48；95，96；...
3, 4; 7, 8;15, 16； 31， 32； 63，64；127，128
一半加一个一般加两个
加工资问题
"某人在一公司工作， 目前年薪为1万元。 老板说， 这里有两种方案供你选择。 第一种， 每一年加 1，000元。 第二种， 每半年加300元。 试问， 如果你在该公司工作5年，究竟用那种方案得到的收入多"
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1000 2000 3000 4000 5000 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
某小学数学教师培训著作 云：
铺垫 --- 强力度 （3分钟左右）
导入 --- 高速度 （2分钟左右） 提问
新授 --- 大密度 （15分钟左右） 反思
巩固 --- 多角度 （10分钟左右） 讨论
作业 --- 重效度 （8分钟左右） 活动
小结 --- 抓重点 （2分钟左右）
传授知识的教学环节！！！
改革中国的数学教学模式
讲推理, 更要讲道理.
引入 -- 创设问题情景
讲授与讨论
巩固与反思.
熟练与应变
后进生的教学. (卡片式, 24点). 石头
教学模式探讨
整体教学设计（GX）
范例教学设计
开放题教学模式.杭州二中范黎明
活动型教学设计. 数学实验. 量旗杆...
暴露思维过程的教学设计（反思）
数学模型教学设计
运用多媒体手段的教学设计
创新的数学教育
1 善问 -- 新的教学环节
2 思考 -- 忌随大流。批评
3 猜想 -- 大胆假设合情推理
数学教育创新例谈
1 布鲁姆目标分类教学
2 数学与德育。 辨证形而上学 爱国主义与狭隘民族主义
3 美学。 在课堂上： 美观， 美好， 美妙， 完美。
4 数学方法论。不同于徐利治先生
5 预测：应用题，奥赛降温, 计算器的使用....
国内创新范例
陈重穆： 淡化形式， 注重实质。 GX.
戴再平： 开放题教学
张思明： 中学数学建模
上海长宁区： 活动教学。 玩坐标。
江一鸣。 等差分拆（计算机）
上海延安中学： 学生提问教学
挑战布鲁姆的目标教学、考试理论
田中： 中国 “双基 ”教学研究
教学论文的写作。 文风问题
1 平等交流。两种倾向都不好：浅谈， 刍议； 要..., 应该....
2 不要做注解文章，只为他人理论提供例子。 这是封建遗毒。
3 注意引用他人文章，不要随便拿。只有尊重版权， 研究才会繁荣。
4 原始资料。个案。案例。 从现象出发
（见《导引》的论文选读）
假如我是一个数学教师
保持一块 “教学自留地 ”。观察自己的课堂，发现规律性东西。
高考机器的 “润滑油 ”，少而精。
从自己的实践出发， 敢于向传统和流行的理论提出不同的看法， 或加以发展
积少成多，形成自己的特色
小题小做，或小题大做。“大帽子， 小例子 ”不可取。从实例出发
一些有潜力的选题
1 APOS理论（行动-过程-对象-概型）例：函数 2-->4；x-->x2; f(x), 知识整体
2 活动型教学。 从单纯的思维活动到一般的科学活动。尤其对数学后进生有效
3 探索性课例。 尤其用于优秀生
4 数学课德育特色系列
5 数学课上的美育研究
数学美学的教学思考
1 美观。 1/2+ 1/3 = 2/5 （和谐的天性）
2 美好。 （a+b）2 = a 2+ b2 (2ab) 二次方程求根公式，丑陋但美好。
3 美妙。 三条高交于一点。妙！辅助线，代换，变形，对人的冲击。
4 完美。 数学的体系。 数学的发展，人类的数学追求。
课题（续）
6 数学 “双基 ”的定量研究
7 数学教学案例：有效性分析。
8 数学优秀生的发现与培养 （特殊数学教育。 国际性）
9 基本资料的积累（性别， 民族....）
10 家教中的个案收集
与大家共勉
改革之树长青
与时俱进争先
美国NCTM课程标准片断
3-5年级
学生的特征
喜欢 数学
喜欢做数学练习
相信他们学习的内容是重要的
在探索数学概念时需要积极的思考
学习数学时， 既要有挑战性， 也需要帮助和支持更多更好的数学
理解几何关系
收集和比较各种数据
发展代数推理
养成度量技能，扩大词汇量
推理和作判断
熟练计算
用有效、精确、灵活的方法进行计算
基于对数的性质和关系的良好理解， 发展实用的策略。
熟练掌握数的基本构成方法
在心算、笔算、计算器计算时使用估算方法
计算熟练的学生应能
在选择计算方法时具有灵活性;
能理解并解释这些方法;
有效地获得准确的计算结果;
展示他们的思考过程及工作情况;
体现 “数觉 ”.
熟练计算的一个例子
乘法的性质
运用分配律性质
更强的基础
数及其运算的性质进行熟练计算
整数和有理数之间的关系
数目以及各几何对象间的等价形式
等价性
另一种基础 -- 数据分析
四年级学生放学后在干什么
在你的周围行人是否遵守交通规则
怎样使日常生活用水的总量减少
一种假设的探究
几何论证
如图： 将两个一样的矩形各分割为一半得到两个图形.
区域A和区域B是否一样大小
说明理由.
几何论证
3-5 年级学生
建立和加深对数学概念的理解
构造和理解更多、更好的数学
构造和打好“更强的基础”
构建和提高对数学表示的灵活运用
通过解决有趣的、挑战性的问题的正规体验得到发展
灵活机智的解题能手（1）
学习的工具
操作用：板块、方块等
计算器
计算机软件 (表格程序、动态几何软件、图形软件包等）
网络资源（数学问题的信息中心等）
灵活机智的解题能手（2）
探究图式
能拼成多少种矩形
玩分数游戏
Extra Slides
美国也在重视基础
问题多为开放式、具有启发性
让学生尝试
注重趣味性、可操作性
概率的要求相当高
我们面对的问题（1）
《数学教材教法》需要全面改造。 师范院校需要开设新的数学教育课程系列：三门必修课
1。 “数学教育概论 ”： 学术性的探讨
2。 “数学教学实践 ”：课堂教学技能
3。 “数学教学信息技术 ”。
系列选修课：现代数学与中学数学， 数学解题训练， 数学教育评价等
我们面对的问题（2）
认识变化了的时代。
信息技术时代的数学教育
知识经济时代的数学教育
飞速变化的社会：义务教育、5天工作制、小康社会等大环境带来的数学教育问题
国际竞争下的数学教育。 入世、市场经济、国际意识。
我们面对的问题（3）
建设中国的数学教育学体系， 总结自己的数学教育理论。
总体的分析， 给自己定位， 弄清目标
认识中国数学教育的国际地位和文化源流
把现有的经验提升到理论上来。 “双基 ”、 “熟能生巧 ”。。
把数学教育的研究领域拓广：德育、美学、教学模式， 题型等
反思是个体，乃至整个群体成熟的一个重要标志。人类自古以来就具有反思意识，在我国古代有“反求诸己”、“扪心自问”、“吾日三省吾省”等至理名言。近年来，有关“反思”的研究日渐增多，但绝大部分是从哲学、心理学、教育学的视野中研究得出的一般性结果，或在普遍性结论中辅以学科例子的佐证。而以数学为直接研究对象，对中学生数学反思能力培养的研究则较少。数学学习中的反思、反思能力是近年来越来越受关注的一个课题。《普通高中数学课程标准（实验）》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决，不断地经历直观感知，……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”，同时提出，评价应关注学生“能否不断反思数学学习过程，并改进学习方法”，“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”。
关于数学中的反思
数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用。用荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”。
曹才翰先生也非常重视并倡导培养学生对学习过程的反思习惯，认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。郑毓信教授从建构主义与数学教育的角度批出，“数学抽象就其本质而言是一种建构活动，但这种建构不仅仅是纯粹个人的行为，而必然是一个在不同个体之间进行表述、交流、批判与反思，以及不断改进的过程，个人的创造建构只有得到数学共同体接受，才能真正成为数学的组成部分”也就是说，学生在数学学习过程中，只有不断地反思，才能够使自己建构的知识不断地与数学共同体所拥有的知识靠近，最终达到一致。涂荣豹教授以数学学科为具体背景，最提出了反思性数学学习的概念，探讨了反思性数学学习的意义和基本特征，并提出了反思性数学学习的具体内容。
反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质；反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动，是为了更好地提高学习效益。
反思性数学学习是相对于操作性数学学习而言的，操作性数学学习是学生凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动，这种活动所依赖的是那些通常并不清楚的经验和理解而进行的自动化的、直觉的操作活动。大多数学生在活动中做出的决策是刺激——反应式的而非反思的，直觉的而非理性的，例行的而非主动自觉的。
反思性数学学习的基本特征是它的探究性，在数学学习活动探究其中的问题和答案，不断学习策略，建构自己对问题的理解，产生超越已有信息外的信息。反思性数学学习可以帮助学习者从例行公事的行为中解放出来，帮助他们学会数学学习；可以使学习者的数学学习活动成为有目标、有策略的主动行为，可以使学习成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力；可以有利于学习者在学习活动中获得个人体验，使他们变得更加成熟，促进他们的全面发展。
操作性数学学习是相对单一的学习，而反思性数学学习则是多维的学习；操作性数学学习只要完成了学习任务就达到了学习的要求，而反思性学习不仅要完成学习任务，而且使学习者的理性思维得到提高；操作性数学学习是被动的、消极的，而反思性数学学习以“学会学习”为目的，既关注直接结果又关注间接结果，即眼前的学习成绩和学生自身未来的发展。实际上，如果不能“学会学习”，就不能真正“学会知识”。显而易见，操作性数学学习的含金量不高，而反思性数学学习更具有启智价值，含金量高。
关于数学反思能力
能力可分为一般心理能力和特殊心理能力。一般心理能力是顺利完成各种活动任务所必备的基本心理能力，如注意力、记忆力、想像力和思维力等。特殊心理指顺利完成特殊活动所必备的基本心理能力，数学能力就是一种特殊的心理能力，它是顺利完成数学活动所必备的能力。
一种更被普遍认同的中学生数学能力是“运算能力、逻辑思维空间想象能力”或“运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、运用数学知识来分析和解决实际问题的能力”。数学一种复合能力。数学反思能力属较高层次的能力——元认知能力，它与认知能力是有区别的。实验研究表明，认知与元认知是可以分离的两个概念。实验发现，元认知可以弥补一般能力的不足，它作为与一能力相对独立的因素在起作用，即元认知通过对生获得认知活动的进展信息，间接地促进和推动了这种能力的发展，使认知主体完成认知任务，实现认知目标。
目标认知是对认知过程的自我调控，因而元认知过程离不开认知过程。数学认知发展为数学反思能力的发展提供了基础，只有具有了很强的数学观察能力、数学记忆能力，才能提高对问题情景中各种线索的的敏感度，抓住反思的时机，及时调节思维的方向，对解决问题的各种策略进行权衡、预见，从而提高控制水平，丰富元认知知识，加深元认知体验。数学思维发展特别是抽象思维能力的发展，极大地丰富了学生反思的技能，为提高学生的反思水平和预见能力打下了基础。数学化能力的发展为反思提供了更大的广阔空间和机会，另一方面数学反思能力的发展，提高了认知效率，缩短了认知时间，因此，数学反思能力和数学认知能力是相互促进、互为基础。
数学反思学习者在数学学习活动中对自己数学认知过程的自我意识，自我监控能力。它以反思的技能和反思的毅力为基础，并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来。它对数学认知活动起指导、支配、决定、监控的作用。
数学反思能力培养的实施途径
通过我们的实践表明，学生的数学反思能力有必要而且有可能进行培养。以下是我们的一些主要做法，仅供参考：
1、建立学习档案：给自己建立学习档案，是养成良好反思习惯的途径。学习档案内容可丰富多样。如自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，容易解错的习题，学习失败的教训等。
2、听课反思：没有反思的听课是被动的、肤浅的。从教师讲解中反思思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。
3、解题反思：对问题解答后的结论的正确性的检验或提出疑问；是否还有其他解法或更佳解法；能否对问题的题设或结论进行变式；对否把当前的命题推广到一般情况；进一步考虑问题的题设的完备性（充分性）及结论的精确性。
4、数学周记：反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步。学习是一个系统工程，培养反思习惯的措施，是全方位、多角度、多层次的反思。课堂上教师示范解题反思的过程中学生自己想到，但未与教师交流的问题，作业中对某些习题不同解法的探讨，学习情感、体验的感受，都可以通过数学周记（或数学日记）的形式宣泄出来，记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。
目前数学教学中最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动的最重要的环节。由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的高中生不可能一次地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次的反复思考、深入研究、自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征。
21国参加的国际数学教育调查
（IAEP）1989。 13岁学生成绩
中国大陆 80
中国台湾 73
韩国 73
瑞士 71
苏联 70
法国 64
英国 61
美国 55
巴西 37
莫桑比克 28
几条新闻
《基础课程改革纲要》出版， 课程大改革正在进行。
《9年义务教育数学课程标准》出版。
2001秋在20个县区实行。 2002 占 15%。2003全面推开
高中课程标准框架形成（后面介绍）
所有课程的《国家标准》在2002年全面更新。
数学教育研究的新趋势
数学教育个案研究陆续发表
张奠宙编： 数学素质教案精编
[美]匹兹堡大学案例
哈佛数学教育案例。 （上海教育出版社）
奚定华《数学教学设计》
李士奇编：《数学教育个案学习》（华东师范大学出版社）
罗增儒：《中学数学教学课例》（陕西师大出版社）
理念与经验； 实验与统计； 定性与案例。
访美见闻之一：
布什政府投入大批财力改革教育
家长造反： 接管中学。 要学校打好基础， 写作文， 做作业， 记忆基本事实
加州大学不要SAT高考成绩。 举手通过入学申请。
高考不公平。 小布什SAT成绩只有1200分（1600分为满分）
校园安全
访美见闻之二
* "什么是建构主义(http://www.mathforum)
* " 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得"教"的作用不再是演讲、解释、或者企图去"传送"知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。"
访美见闻之三
马力平的畅销书: 中国小学教师的优异成绩名扬海外. 3/5 ÷ 5/13 = 62%的小学教师不会做。90 %具有学士学位。30%具有硕士博士学位
费城高中的两堂课： 反差。
建构个性发展与放任自流
美国数学差优秀学生远超中国。
第三次国际数学教育调查.1996
第一名 新加坡
第二名 韩国
第三名 日本
第四名 香港
美国在42个国家中处于中下水平. 朝野震惊, 产生数学战争. 新加坡说:"考试毕竟是一次考试而已." 日本学生"恨数学".
影响数学教育的文化因素
家庭高度期望与管束
善于 “心算 ”的传统
熟能生巧的教育古训
强调背诵的学习理念
重视现世功业的 儒家文化
“苦读+科举 ”的 考试文化
回避 “原始问题 ”的 考据文化
宋明以后的儒学不再面对原始问题
孔孟经典 不可动摇的公理
朱熹的注疏 必须遵循的定理和推论
读书人的文章 不过做一个练习而已
八股文： 按朱熹老夫子的标准答案做“学答” -- - 美其名“代圣贤立言 ”
[清] 戴震（1722--1777）考据学派对科学的影响
文字狱使读书人回避“原始问题”
在“故纸堆”中考据、训诂， 重证据、重演绎， 接近西方的逻辑推理。
儒家文化 -- 宏观上的演绎系统
考据文化 -- 微观上的演绎方法
梁启超、胡适谈考据文化
自清代考据学派200年之训练， 成为一种遗传。 我国学子之头脑渐趋于冷静慎密。 此种精神实为科学成立之基本要素。 （清代学术概论）
胡适： “大胆假设， 小心求证 ”
面对原始问题： 大胆不够
崇尚逻辑推证： 小心有余
数学 = 逻辑的文化渊源
数学有两个侧面: 创造思考与逻辑证明
考据文化将数学的逻辑层面进行同化, 成为中国现代数学教学的核心思想.
同样, 考据文化和演绎式的儒家文化,将创新性 的数学思维方式进行过滤, 没有很好吸收溶入.
大学校长数学家多
20世纪中国中小学数学教育
第一阶段（1919 -- 1949） “算术 ”时期。 没有教学法研究。 鸡兔同笼。 以算为主。
第二阶段 （1949 -- 1969） 学习苏联时期。苏联《数学教学法》传入中国。系统化、严谨化、理论化。5个教学环节。
第三阶段 （1970 --2000）。兼收并蓄时期。学生为主体。考试竞争压力。 奥林匹克数学竞赛。 酝酿新的突破。
中国 的 “双基 ”数学教育体系
一个统一的考试
两个基础： 基础知识， 基本技能
三大能力：基本运算能力， 空间想象能力， 逻辑思维能力（核心）。
四大基本原则： 科学性； 量力性；学生的积极性； 理论联系实际。
五个教学环节。复习--导入--讲授--巩固--作业。
唯 “基础 ”论
基础与创新。 摘果子的基础。为基础而基础是傻练。 打工仔。
基础是在变的。 100年前的基础。做古体诗，毛笔字， 中学为体， 西学为用。
基础的整合。 胚胎式的发展。 一万年以后怎么办
新基础： 数学计算， 数学证明；数学应用，数学建模； 数学应变； 数学技术
开放式教学： 历史的必然
国家的开放：经济的腾飞。国际化。全球化。 WTO。全球网络。
社会的开放：平等自由地表达意见。鼓励创新， 独立思考。
数学的开放：走出自我孤立。面向大自然、 面向其他科学。陈景润到王选。
教育的开放：权力下放，校本课程。以学生的发展为本。高考的多样化。
“与时俱进 ”的数学教育
第一代：（1898-1919）长袍马褂。 中学为体， 西学为用。天地人元 ---XYZW
第二代：（1919-1949）西装。英美式。 两支粉笔进课堂。 一讲到底。 精英教育。九点圆。
第三代 （1950-1966）中山装。 苏联式。少而精。 强调理论严谨。一颗红心，两种准备
第四代 （1978 - 1995）茄克T恤。 考试第一。 奥赛第一。
第五代 （1995--）素质教育， 创新教育。 9年义务教育。 5天工作制。 能力立意。
建设中国的数学教育学派。
数学观：中国数学正在发生变化
数学教育观：中国数学教育面临重大改革。
中国数学课程：全面更新。高考改革。
数学题型： 从单一化归到全面发展
数学教学模式：正在突破旧的束缚
日本藤田宏：（2000 东京）
数学发展的四个高峰
欧氏几何的诞生。 古希腊数学文明。 公元前300年
微积分的发现和进展（17-18世纪）
现代公理化数学的诞生（19世纪-- 20世纪中叶）
信息时代的数学（20世纪中叶以来）。 特点： 来源于实际问题。 广泛的实际应用。 与数学以外的科学分支紧密联系。
Mandelbrot 集合
迭代过程
Zk+1 = Zk2 + C
当 Z0 = C 时此序列收敛， 即为图中黑色部分。
第四个数学高峰群的思潮
数学绝对主义的破灭。 哥德尔不完备性定理。 《证明与反驳》。 经验主义复兴
布尔巴基学派的盛衰。结构主义不能覆盖数学。 1970年前后的数学变化。
“理论数学 ”和 “实验数学 ”Hodge 与Atiyah. Thurston. Mandelbroit. Thom.
数学技术产生。 CT、滤波、金融、小波、密码、计算模拟、数据压缩....
数学的多元发展
Wiles证明费马定理。 在Berkeley的科学报告会门票出现黑市。
美国数学博士工作难找。 罗彻斯特大学代数拓扑博士点遭校长撤消的风波
物理学家Witten获费尔兹奖。 数学家获医学奖、生物学奖、经济学奖。
金融数学异军突起。数字化生存。
陈景润和王选。
核心数学更加 “核心 ”
20世纪核心数学飞速发展。
从局部到整体 （拓扑）
从交换到非交换 （算子代数。 K理论）
从线性到非线性 （混沌、分维）
从低维到高维、无限维
随机数学大发展
黎曼猜想、庞卡来猜想、 开普勒猜想
数学的未来
P = NP 微软礼聘 Freedman. Smale 认为这是未来世纪要优先解决的问题。
只有10%的数学家， 其研究目的是发表论文。 90%的数学家从事用计算机为各行各业解决实际问题。（数学所 梁国平）
计算机证明。 从四色问题Kepler猜想。吴文俊的机器证明。 人工智能。
维护数学的统一。
数学的未来（续）
数字地球、 数字时代的数学。
实验数学。 用实验补充论证（代替）
数学技术市场。 数学风险投资。 数学股票买卖。
改善数学的公众形象。数学文化。
电子数学杂志。 网络时代的数学传播。
数学的特性：
老三条：苏联A·亚历山大洛夫： 抽象性， 严谨性， 广泛应用性。
新三句：
( 模式性。 万物数量关系的普适模式
( 演绎性。 数学表达和论证的方式
( 实用性。 最直接最广泛的实用技术
数学教育的明天
大众数学教育。Bass: Why Mathematics “数学渴望 ”， “数学有用 ”， “ 数学有情 ”。公众形象。数学不好感到脸红。
信息数学教育。运用信息技术获得数学能力。 “跑步健身， 以车代步 ”。 “马拉松 ”职业运动员与汽车驾驶员。
理性数学教育。 崇尚理性，欣赏数学之美。数学技术， 直面咸淡人生。独立思考、探究创新、论证求真。
诺贝尔奖得主 -- 李政道：
我们中国的传统是做“学问”， 为什么你们老是在做“学答”
屈原的《九问》， 就是做“学问”。 （对复旦大学学生的讲话。1997）
学问： 学习、研究、问难。
“吾他日未尝学问，好驰马试剑” （孟子。滕文公上）
学习从发问开始。没有问题， 就没有创造可言。
诺贝尔奖得主 -- 杨振宁：
– 成功的秘诀
– 面对物理学中的原始问题， 不要淹没在文献的海洋里！
– （《杨振宁文集》 第439页）
杨振宁曾面临的原始问题
非交换规范场问题--
（Yang-Mills 方程）（1954）
统计力学中的多体问题--
（Yang --Baxter 方程）（1967）
面对原始问题， 不要在文献夹缝中求生存
陈省身：要在本土上有自己的问题， 让外国人跟着我们的问题做。
面对原始问题，要从基础教育抓起
爱因斯坦： “旧学校给学生太多的 ‘好胜心， 却很少培养学生的 ’好奇心。 ”（1935。 在纽约州立大学的讲话）
袁枚： “学如箭镞， 才如弓弩， 识以领之， 方能中鹄 ”。 数学意识的重要。
上海51中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向10层楼三根导线的电阻不同。如何测量 他想到解联立方程
– x+y =a x ------------
– y+z =b y ------------
– z+x =c z ------------
一条船上有75头牛， 32头羊， 问船长几岁 （75 -32 =43）
这是学校把学生越教越笨的表现。
中国的中小学生 有92。5% 给出答案
法国四年级小学生给答案的为65%
中国学生的成功与不足. 看到问题和作答案.
数学师和数学匠.
.小学数学课程中的问题：
1，1，2，1，1，2 , ___, ___, ___ 应该 是什么
乘数、 被乘数。 12 x 4 读做12 乘以4， 读12 乘 4 为错。
带分数。
这不是数学！
我是这样想的……
概念教学: 淡化形式, 注重实质.
下列是问题是否妥当
判断下列各例是否正确
1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形
2。 含有未知数的（等）式子叫方程
3. （平面上）不相交的两条直线叫平行 线。
平行四边形也是梯形， 有何不可
x - x =0; 0x=0; 是方程吗
也许还要加上“在欧氏空间中”中学数学课程标准汇报
9年义务教育数学课程标准已经公布。 2001年开始试点。
高中数学课程标准正拟订中。
高一： 基本课程 （艺术、高职...)
改造我们的数学问题
优秀的学校和教师都应该有自己的编制的问题.
情景题, 开放题, 应用题.
数学作文.
（荷兰）甲离学校10公里， 乙离甲3公里， 问乙离学校几公里
训练学生的表示能力。
甲、乙、学校在一条直线上 没有说。
校 乙 甲 乙'
设计一花坛， 使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。
这是数学和艺术相结合的开放题。 开放度极大。
国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行时， 日本的一堂公开课。
日本学生当堂有13种解答。
评价：得到不同的5种设计， 每种2分。
中国可以有这样的公开课吗
编码问题
超市条形码
图书码
（7，4）码
公说公有理， 婆说婆有理。香港某厂 业绩
年份 90 91 92
股东红利 5万 7.5万 10万
工资总额 10万 12.5万 15万
上海金汇学校： 简单邮路问题
100以内自然数的等差分拆
宁波第一中学江一鸣提出。 1998。
答案有限： 1+2+3= 6； 1+3+5=9；2+3+4=9；2+4+6 = 12 ； ......
计算机程序， 可以把全部 “分拆 ”打印出来。
然后根据数据做猜想：可等差分拆的书必为合数。
开放题的模式也要开放， 使用新技术 ！
门后的车
1 2 3
任选一门 （例如 1 号）
主持人打开无车的门（3号）
是否要换2 号
（考虑100扇门的情形）
国外高中数学题一束 :
四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数
解：顶点数：23 =16。
棱数：（16 · 4）/2 = 32
二维面：（16· C42）/4 = 24
三维面： （16 C43 ）/8 = 8
四维面： 1
一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 +... + 1
莫斯科大学入学试题（1995）
现要完成一项加工任务， 其中包含 5，000个A零件，3，000个B零件。该厂有100名工人。每个工人每小时能加工5个A零件、或3个B零件。 问如何安排工人，可使该任务尽快完成
解： 使|5000/5x -- 3000/(100-x)| 最小。
台湾联招试题
一个边长为1的正三角形， 抹去各边中间的三分之一， 向外作边长为1/3的正三角形。然后再将每边的中间1/3抹去， 向外作边长为1/9 的正三角形。 如此无限继续。 试求该图形所包含的面积， 以及各次构作的三角形周长的倒数之和。
分形。 时代感。 超纲
等比级数求和而已
分苹果问题（推广）
某A在果园摘了一堆苹果， 把它的一半加半个给第一个看门人， 又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人。 那时只剩下两个苹果了。 问原来有几个苹果
两个因子： 剩下的苹果数，看门人个数
思辨： 看门人比我多一个；A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果
1，2；3，4；7，8；15，16； 31，32；63，64 ；...
2，3；5，6；11，12； 23，24；47，48；95，96；...
3, 4; 7, 8;15, 16； 31， 32； 63，64；127，128
一半加一个一般加两个
加工资问题
"某人在一公司工作， 目前年薪为1万元。 老板说， 这里有两种方案供你选择。 第一种， 每一年加 1，000元。 第二种， 每半年加300元。 试问， 如果你在该公司工作5年，究竟用那种方案得到的收入多"
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1000 2000 3000 4000 5000 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
某小学数学教师培训著作 云：
铺垫 --- 强力度 （3分钟左右）
导入 --- 高速度 （2分钟左右） 提问
新授 --- 大密度 （15分钟左右） 反思
巩固 --- 多角度 （10分钟左右） 讨论
作业 --- 重效度 （8分钟左右） 活动
小结 --- 抓重点 （2分钟左右）
传授知识的教学环节！！！
改革中国的数学教学模式
讲推理, 更要讲道理.
引入 -- 创设问题情景
讲授与讨论
巩固与反思.
熟练与应变
后进生的教学. (卡片式, 24点). 石头
教学模式探讨
整体教学设计（GX）
范例教学设计
开放题教学模式.杭州二中范黎明
活动型教学设计. 数学实验. 量旗杆...
暴露思维过程的教学设计（反思）
数学模型教学设计
运用多媒体手段的教学设计
创新的数学教育
1 善问 -- 新的教学环节
2 思考 -- 忌随大流。批评
3 猜想 -- 大胆假设合情推理
数学教育创新例谈
1 布鲁姆目标分类教学
2 数学与德育。 辨证形而上学 爱国主义与狭隘民族主义
3 美学。 在课堂上： 美观， 美好， 美妙， 完美。
4 数学方法论。不同于徐利治先生
5 预测：应用题，奥赛降温, 计算器的使用....
国内创新范例
陈重穆： 淡化形式， 注重实质。 GX.
戴再平： 开放题教学
张思明： 中学数学建模
上海长宁区： 活动教学。 玩坐标。
江一鸣。 等差分拆（计算机）
上海延安中学： 学生提问教学
挑战布鲁姆的目标教学、考试理论
田中： 中国 “双基 ”教学研究
教学论文的写作。 文风问题
1 平等交流。两种倾向都不好：浅谈， 刍议； 要..., 应该....
2 不要做注解文章，只为他人理论提供例子。 这是封建遗毒。
3 注意引用他人文章，不要随便拿。只有尊重版权， 研究才会繁荣。
4 原始资料。个案。案例。 从现象出发
（见《导引》的论文选读）
假如我是一个数学教师
保持一块 “教学自留地 ”。观察自己的课堂，发现规律性东西。
高考机器的 “润滑油 ”，少而精。
从自己的实践出发， 敢于向传统和流行的理论提出不同的看法， 或加以发展
积少成多，形成自己的特色
小题小做，或小题大做。“大帽子， 小例子 ”不可取。从实例出发
一些有潜力的选题
1 APOS理论（行动-过程-对象-概型）例：函数 2-->4；x-->x2; f(x), 知识整体
2 活动型教学。 从单纯的思维活动到一般的科学活动。尤其对数学后进生有效
3 探索性课例。 尤其用于优秀生
4 数学课德育特色系列
5 数学课上的美育研究
数学美学的教学思考
1 美观。 1/2+ 1/3 = 2/5 （和谐的天性）
2 美好。 （a+b）2 = a 2+ b2 (2ab) 二次方程求根公式，丑陋但美好。
3 美妙。 三条高交于一点。妙！辅助线，代换，变形，对人的冲击。
4 完美。 数学的体系。 数学的发展，人类的数学追求。
课题（续）
6 数学 “双基 ”的定量研究
7 数学教学案例：有效性分析。
8 数学优秀生的发现与培养 （特殊数学教育。 国际性）
9 基本资料的积累（性别， 民族....）
10 家教中的个案收集
与大家共勉
改革之树长青
与时俱进争先
美国NCTM课程标准片断
3-5年级
学生的特征
喜欢 数学
喜欢做数学练习
相信他们学习的内容是重要的
在探索数学概念时需要积极的思考
学习数学时， 既要有挑战性， 也需要帮助和支持更多更好的数学
理解几何关系
收集和比较各种数据
发展代数推理
养成度量技能，扩大词汇量
推理和作判断
熟练计算
用有效、精确、灵活的方法进行计算
基于对数的性质和关系的良好理解， 发展实用的策略。
熟练掌握数的基本构成方法
在心算、笔算、计算器计算时使用估算方法
计算熟练的学生应能
在选择计算方法时具有灵活性;
能理解并解释这些方法;
有效地获得准确的计算结果;
展示他们的思考过程及工作情况;
体现 “数觉 ”.
熟练计算的一个例子
乘法的性质
运用分配律性质
更强的基础
数及其运算的性质进行熟练计算
整数和有理数之间的关系
数目以及各几何对象间的等价形式
等价性
另一种基础 -- 数据分析
四年级学生放学后在干什么
在你的周围行人是否遵守交通规则
怎样使日常生活用水的总量减少
一种假设的探究
几何论证
如图： 将两个一样的矩形各分割为一半得到两个图形.
区域A和区域B是否一样大小
说明理由.
几何论证
3-5 年级学生
建立和加深对数学概念的理解
构造和理解更多、更好的数学
构造和打好“更强的基础”
构建和提高对数学表示的灵活运用
通过解决有趣的、挑战性的问题的正规体验得到发展
灵活机智的解题能手（1）
学习的工具
操作用：板块、方块等
计算器
计算机软件 (表格程序、动态几何软件、图形软件包等）
网络资源（数学问题的信息中心等）
灵活机智的解题能手（2）
探究图式
能拼成多少种矩形
玩分数游戏
Extra Slides
美国也在重视基础
问题多为开放式、具有启发性
让学生尝试
注重趣味性、可操作性
概率的要求相当高
我们面对的问题（1）
《数学教材教法》需要全面改造。 师范院校需要开设新的数学教育课程系列：三门必修课
1。 “数学教育概论 ”： 学术性的探讨
2。 “数学教学实践 ”：课堂教学技能
3。 “数学教学信息技术 ”。
系列选修课：现代数学与中学数学， 数学解题训练， 数学教育评价等
我们面对的问题（2）
认识变化了的时代。
信息技术时代的数学教育
知识经济时代的数学教育
飞速变化的社会：义务教育、5天工作制、小康社会等大环境带来的数学教育问题
国际竞争下的数学教育。 入世、市场经济、国际意识。
我们面对的问题（3）
建设中国的数学教育学体系， 总结自己的数学教育理论。
总体的分析， 给自己定位， 弄清目标
认识中国数学教育的国际地位和文化源流
把现有的经验提升到理论上来。 “双基 ”、 “熟能生巧 ”。。
把数学教育的研究领域拓广：德育、美学、教学模式， 题型等