龙胆草价格:牛吃草问题的解答

        牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时候，也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。

     例1  小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天？ 

草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4  

老草（路程差）： 根据：路程差=速度差×追及时间

                                     （10－4）×20=120  或 （12－4）×15=120  

追及时间=路程差÷速度差：           120÷（24－4）=6（天）

      例2    一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？

草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22

老草（路程差）： (50－22）×9=252    或 (58－22）×7=252    

求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速      252÷6＋22=64(头)

    现在回头看看仁华学校课本那道题吧!

    例3 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

　　分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.

　　解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：

　　4a-b=6a-3b，即a=b.

　　这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.

　　再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得

　　（xa-a）×2＝（2a-a）×15，

　　化简，得 2ax-2a=15a，

　　即 2xa=17a.（a≠0）

　　所以x=8.5

　　因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.

　　注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

    以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的.

    把进水管看成"牛",排水管看成"草",满池水就是“老草”

排水管速：（2×15－4×5）÷（15－5）=1

满池水（路程差）： (2－1）×15=15   或 (4－1）×5=15   

几个进水管：15÷2＋1=8.5（个)

    我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可以用工程问题的解法来做呢？之后在课堂上当时做了尝试，结果答案是肯定的！

    当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池，那么4个进水管和1个排水管的效率就是1/5。

  当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15。

    两者之间差了（4－2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是：

     （1/5－1/15）÷（4－2）=1/15

     1个排水管的效率是：

     4×1/15－1/5=1/15 或者    2×1/15－1/15=1/15 

    现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

      （1/2＋1/15）÷1/15=8.5（个) 

    让我们用这个方法验证一下例2吧

例2    一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？

牛速：（1/7－1/9）÷（58－50）=1/252

草速： 58×1/252－1/7=11/126 或者    50×1/252－1/9=11/126

多少头牛：（1/6＋11/126）÷1/252=64（头)

怎么样？明白了吗？

（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

牛吃草问题核心公式

【熟记】 牛吃草问题的核心公式：草场草量=（牛数－每天长草量)×天数，通常设每天长草量为x

基础题型演练

【例1】 有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃？天

【解答】 根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

将x=5代入，?=5

【例2】 有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供?头牛吃4天

【解答】 根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

将x=5代入，?=30

较为复杂的情形

【例3】22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽；

17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽；

？头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩牧草量为y

根据核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（ 2－ 3x)×18=36－54x

28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24

36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35

其它情形

漏水问题，排队等候问题...等均可看作这种问题。

剩余定理问题:

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；

使15被4除余1，用15×3=45；

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112；

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；

然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176；

使55被8除余1，用55×7=385；

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，

因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，

这个年级至少有多少人？

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，

因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，

因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。

1、  一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

2、  一片青草地，草每天均匀生长，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃多少天？

3、  24头牛6天可以将一片牧草吃完，21头牛 8天也可以将这片牧草吃完，如果每天草的增长量相等，要使这片牧草永远吃不完，至多放几头牛吃这片牧草？

4、  因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少，已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

5、  一块牧场的草够12头牛吃12天，或15头牛吃8天，如果在全部时间内青草能均匀生长，那么，这块牧场6天能养活多少头牛？

6、  一块草地，每天生长的速度相同，现在在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

7、  有一池泉，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多，如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干，那么14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？

8、  假设地球上新生的资源的增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年或可供90亿人生活210年，为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？

9、  快中慢三车同时从A地出发，追赶一辆自行车，它们的速度分别是每小时24千米，每小时20千米和每小时19千米，快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？

10商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，兄妹俩从扶梯上楼，兄每分钟走20级，妹每分钟走15级，结果兄5分钟到达楼上，妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯共有多少级（可见）？

11某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需要20分钟，买来同时开7个检票口需要多少分钟？为了使15分钟内检票队伍消失，至少需要开多少个检票口？