黄缘龟池:高等级道路竖曲线的精确计算方法

孙银聪
【摘　要】　本文从竖曲线的严密计算公式入手，推导竖曲线上点的设计高程和里程的精确计算方法。分析和比较了近似公式和严密公式的差别及对设计高程和里程的影响。在道路勘测设计中用本方法可取得精确、方便、迅速的效果，建议取代传统的近似方法。
一、引　言
在传统的道路纵断面设计中，竖曲线元素及对应桩号里程和设计高程均采用近似公式计算，在低等级道路及计算工具很落后的时代曾起到过很大的作用。但是随着高级道路的快速发展，道路竖曲线半径的不断加大，设计和施工的精度要求越来越高，因此，对勘测设计工作提出了很高的要求。采用近似的方法进行勘测设计已难以满足高精度、高效灵活的要求。为此本文给出了实用、精确的竖曲线计算公式，以解决实际工作中存在的问题。
二、计算原理
1. 近似计算公式
如图1所示，设道路纵坡的变坡点为I，其设计高程为HI,里程为DI，两侧的纵坡度分别为i1、i2，竖曲线设计半径为R，竖曲线各元素的近似计算公式如下：


图 1
2. 精确计算公式
如图2所示，在图中建立以水平距离为横坐标轴d,铅垂线为纵坐标轴H′的dOH′直角坐标系，A点的坐标为(dA，0)，Z点的坐标为(0，HZ′)，竖曲线各元素的精确计算公式如下：
α1＝arctani1　　　　　　　(1)
α2＝arctani2　　　　　　　(2)
ω＝α1-α2　　　　　　　(3)
T＝Rtan(4)
E＝R(sec-1)　　　(5)
dI＝Tcosα1　　　　　　　　(6)
dA＝Rsinα1　　　　　　　　(7)
HZ′＝Rcosα1　　　　　　　(8)
竖曲线在直角坐标系中的方程为：
(d-dA)2+H′2＝R2　　　　　　(9)

图 2
由式(9)可推算出竖曲线上任一与Z点的里程差为d的点的纵坐标值H′，则
0≤d≤dY　　　　　(10)
并可立即推算点的设计高程和里程：
H＝H′-ΔH　　　　　　　　　　　　　　(11)
D＝DZ+d　(DZ＝DI-dI)　　　　　　　　　(12)
式中，α1，α2分别为纵坡线与水平线的夹角；ω为变坡角；Τ为切线长；Ε为外矢距；dI为纵坡变坡点I与Z点的里程差；dA为竖圆曲线圆心A与Z点的里程差；H′为竖圆曲线上任一点的纵坐标值；d为竖圆曲线上任一点与Z点的里程差；H为竖圆曲线上任一点的设计高程；ΔH＝H′Z-HZ为Z点纵坐标值与Z点设计高程之差(HZ＝HI-dI.i1)；D为竖曲线上任一点的里程。
由式(10)可知，当d=dA时，则里程DN＝DZ+dA的N点为竖圆曲线的变坡点，其高程HN＝HN′-ΔH＝R-ΔH＝max，N点在现场施工中具有很重要的指导意义。
三、计算实例
某山岭重丘的二级公路的纵坡变坡点I，其设计高程HI＝68.410 m，里程DI＝6+710.280，两侧纵坡分别为7%和-5%，凸形竖曲线的设计半径R＝3 500 m，其计算结果见表1。
表1
桩号(点名) 里程差/m 近似高程H/m 精确高程H/m 误差Δ/mm 辅助计算
6+5.0028(Z′) -0.534 53.51 α2=-2°51′45″
ω＝6°52′00″α1＝4°00′15″
T＝209.979
E＝6.239
dN=dA=244.402
HZ′＝3491.456
ΔH＝3437.709
(Z′、Y′、Q′为用近似公式计算的直圆点和圆直点、曲中点)
6+500.814(Z) 0 53.747
6+540 39.186 56.265 56.270 5
6+580 79.186 58.383 58.389 6
6+620 119.186 60.043 60.050 7
6+660 159.186 61.246 61.253 7
6+700 199.186 61.992 61.999 7
6+710.28(Q) 209.466 62.117
6+710.342(Q′) 209.528 62.110
6+740 239.186 62.281 62.287 6
6+745.216(N) 244.402 62.291
6+780 279.186 62.113 62.118 5
6+820 319.186 61.487 61.492 5
6+860 359.186 60.405 60.408 3
6+900 399.186 58.865 58.867 2
6+919.997(Y) 419.183 57.924
6+920.28(Y′) 419.466 57.91
四、结　论
采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点的设计高程和里程，存在着一定的误差，并且随着道路纵坡的增大而增大。特别对于大纵坡又有超高横坡的外边线的竖曲线(有超高的外边线纵坡比中线纵坡更大)以及风景区和校区、别墅区等的竖曲线(纵坡常在10%左右)，若用近似方法计算，误差更大，而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡点N，直接影响路面施工精度和质量。而采用本文介绍的方法计算，计算公式精确严密，不受坡度和半径大小的影响，方便迅速，又可计算和测设具有重要作用的竖曲线变坡点N。采用本方法具有较高的应用价值和施工实际指导意义。