鲜花配送店:第六讲 简单几何体的表面积与体积的计算

　　1.正方体

　　沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

　　图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

　　2.长方体

　　沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

　　3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

　　4.（直）圆锥体

　　沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式

　　1.长方体

　　长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）

　　长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

　　2.正方体

　　3.圆柱体

　　圆柱体的侧面积=2πRh

　　4.圆锥体

　　圆锥体的侧面积=πRl

　　母线长与高）。

例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

分析与解：从图6—5和图6—6中可知： 与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图6—7

　　（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。

　　先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。

　　再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。

　　最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。

　　图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。

　　一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）

　　几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）

　　答：（略）

例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？

分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

　　几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=

　　答：（略）

例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。

　　因为圆锥形铅锤的体积为

　　所以有下列方程：

　　60π=100πx，解此方程得：

　　x=0.6（厘米）

　　答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。

例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？

分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：

　　=2πx+4π

　　根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：

　　2πx+4π=75.36

　　解方程：

　　答：（略）。

例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π=3.14）？

分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6—17。在图6—17中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лR×n÷360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图6—17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。

　　所以 2πR=12π，得R=6（厘米）

　　在直角三角形中，根据勾股定理有：

　　 =100-36=64，h=8（厘米）

　　答：（略）

　　三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、

而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为

　　答：（略）

例10 图6—19是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图6—20是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？

分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图6—20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为

　　以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值

此时水面的高度为：

　　54÷6=9（厘米）

　　以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。

　　为方便起见，我们把C面适当放大成图6—21，在图6—21中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米。

　　答：（略）

习题六

　　2.用厚1厘米的木板，钉成一个小信箱，从外面量得这个长方体形信箱的长、宽、高如图6—23所示之尺寸。在信箱的前面开了一个长20厘米、宽5厘米的投信孔，问做成这个小信箱所用木材的实际面积是多少平方厘米？

　　3.图6—24中的图形，是一个棱长为6厘米的正方体，切去了一个长方体（尺寸见图），求剩余几何体的表面是多少？

　　4.圆锥形塔尖，它的侧面积是62.8平方米，侧面展开图中扇形的圆心角为288度，其底面圆的半径是4米，求塔尖的高是多少（π=3.14）？

　　5.一车工用一段长20厘米、直径为6厘米的圆钢，车一个如图6—25所示的零件，求这个零件的表面积是多少（π=3.14）？

　　6.长方体的体积是12立方厘米，有两个侧面的面积分别是3平方厘米和12平方厘米，另一个侧面的面积是多少？

　　7.图6—26中的几何体，是将长方体挖去一个圆柱体一半得到的，求图中几何体的体积是多少（π=3.14）？

　　8.一块长24分米的长方形铁皮，在它的四个角上都剪去一边长为3分米的正方形，然后将它焊成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是486立方分米，问这块铁皮原来宽多少？

　　9.一块方木料，横截面是正方形，这个正方形的边长为1.8分米，木料长5分米，现在要把它加工成尽可能大的圆柱体，求这块方木料的利用率是多少？（π=3.14）？

　　10.把一块长30厘米、宽20厘米、高5厘米的长方形铝锭，和一底面周长为37.68厘米、高30厘米的圆柱形铅块，熔铸成一底面圆半径为13厘米的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块的高是多少（л=3.14）？