陈浩然高小曼小说:不同学业水平学生数学问题图式的差异性研究

    一、问题提出
    数学问题图式指解决问题所要求的个体图式支持。已有研究表明，一类问题的不同模版呈等级化排列[1～3]，这里的“模版”就是问题类型图式。辛自强(2003)进一步提出并验证了可以用于解释问题图式不同水平的关系—表征复杂性模型[4]，该模型包括解决问题所要求的表征复杂性和知识基础两方面。其中表征复杂性包括表征深度和广度两方面，表征深度指能理解的关系的最高层级，表征广度是能同时表征的同一层次上集合关系的数量；知识基础指解决问题需要主体具备的一些公式、概念性知识等。如果一个问题的解决要求的表征复杂性越大，对知识基础的要求越多，那么该问题图式的水平就越高[5]。
    基于该模型，辛自强比较了优、中、差3类学生数学问题图式的不同水平[4]。通过考察3类学生在矩形面积问题不同模版上成绩的差异，得到以下结论：优秀生通常比普通生有更高的图式水平和知识基础，更善于表征问题中复杂的集合关系；而普通生稍差一些；学习不良学生最差。由此可以看出，从关系—表征复杂性模型的角度可以区分不同学业水平学生所能达到的表征复杂性和具备的知识基础水平，进而反映出3类学生数学问题图式水平上的差异。
    上述研究以矩形面积问题为材料，所涉及的模版表征最高层级为3级，知识基础最多为一个简单的周长公式，因此只能反映低年级3类学生数学图式水平的差异。对于高年级学生，需要在表征关系层级数更高、知识基础要求更多的模版上进行比较，才能反映出不同学业水平学生数学问题图式水平的差异，从而为教学实践提供依据。并且，进一步的研究对关系—表征复杂性模型的两方面进行了补充，其中表征深度不仅用表征关系的最高层级数来刻画，还与每级关系的表征难度有关，表征难度可用“关系内水平复杂性”来衡量。“关系复杂性”理论指出[6]：每级关系的表征都要同时理解其所包含的上级（即低于该级）关系或要素，被包含的关系或要素的数量就是该级关系的水平复杂性，被称为“关系内水平复杂性”。即上级关系是以“元素”（数值）的形式直接代入下级关系的表征，还是以“关系”的形式被包含至下级关系；如果是“关系”的形式，下级关系的表征又包含了几个上一级的关系。知识基础除了公式、概念性知识外，还涉及到性质、定理等其他类型的知识，并且隐含程度会有不同。
    研究者选用6个模版上的勾股定理问题为材料。解决这些问题需要表征关系的最高层级数达到4级，“关系内水平复杂性”涉及到以“元素”形式、“关系”形式以及多个关系被包含到下级关系表征中的3种情形。知识基础方面包括公式、概念、定理、性质多种类型的知识，并且个数最多为两个，知识基础的隐含程度不同。通过两种形式的测验，比较优、中、差3类学生在不同模版上成绩的差异，从而共同说明3类学生数学问题图式的不同水平。
    二、研究方法
    1.被试
    整班选取南京市某中学初二年级两个自然班的105名学生为被试，以期中30%、期末40%、平时30%的比例作为学生的成绩，求出105名被试的平均成绩及标准差δ。将成绩≥+δ的划分为优生，成绩≤-δ的划分为差生，成绩介于-δ和+δ之间的为普通生。按此标准确定优、中、差3类学生，人数分别为13人、77人、15人。
    2.材料与测验形式
    本研究材料为分属于6个模版的勾股定理问题。各模版在表征关系最高层级数和知识基础个数两方面的要求如图1所示。图中横坐标表示解决问题所需知识基础的个数，纵坐标表示表征关系的最高层级数。例如，第一个模版（坐标(0,1)），包含的是不涉及勾股定理外的知识基础，并且只需表征一级关系就能解决的问题，例如，“已知一个直角三角形的两直角边长，求斜边？”第三个模版（坐标(1,2)），包含的是涉及一个公式或定理等类型的知识，且需表征到二级关系才能解决的问题。例如，“已知一个正方形的面积，求对角线长？”依次类推，直到第六个模版，每个模版包含3～4个问题。
    
    图1　模版示意图
    采用两种测验方式，类似于Low和Over[3]的“条件判断”测验和“文本编辑”测验。前一测验让被试判断能否在给定条件下计算所求量，后一测验让被试区分问题信息是不足、多余还是充足，两项测验都能反映被试的问题图式水平。
    文本编辑测验包含6个模版上的9个问题。其中(2)、(5)属于第一个模版，(2)为条件充足情形，(5)为条件不足情形；(1)、(7)属于第二个模版，(1)条件充足，(7)条件不足；(4)属于第三个模版；(3)属于第四个模版；(8)属于第五个模版；(6)、(9)属于第六个模版，都为条件充足情形（若缺乏相应水平的图式，会将条件充足情形误认为不足或其他情形）。为了反映优、中、差生解决“关系内水平复杂性”不同的问题时的图式水平，在同一模版上设置以“元素”（数值）和以“关系”形式被用于下级关系表征的两种问题情形。具体在模版三上添加问题(10)，其中(4)的一级关系以“元素”形式代入二级关系的表征，(10)以“关系”形式被包含到二级关系的表征中。原先二、三模版上的问题都是以“元素”的形式代入下级关系的表征。具体问题及解决问题在表征关系和知识基础方面的分析略。
    条件判断测验包含6个模版上的9个问题。(1)、(3)属于第一个模版，其中(1)为能计算，(3)为不能计算情形；(2)、(6)属于第二个模版，其中(2)能计算，(6)不能计算；(4)、(5)属于第三个模版，其中(4)能计算，(5)不能计算；(7)属于第四个模版；(8)属于第五个模版；(9)属于第六个模版，都是可以计算情形。相对文本编辑测验而言，该测验模版二、三上的问题在“关系内水平复杂性”方面都是以“关系”的形式被包含至二级关系的表征，此外，在模版四上又添加问题(10)，使得原有问题(7)中上级关系都是以“元素”的形式被用于下级关系的表征，而(10)则都为“关系”形式。在知识基础方面，解决模版五上问题所需的两个知识点不仅隐含在问题的条件、结论中，而且需要通过构造（如添加辅助线等）才能用上。具体问题及解决问题在表征关系和知识基础方面的分析略。
    3.程序与记分方法
    测验在第二学期末进行，由研究者和一名中学教师做主试（该教师熟悉测验流程，但不知道测验的具体目的），同时在两个班进行测试。两个测验按顺序先后进行，先做条件判断测验，测试时间为25分钟，完成后以防测验间的干扰，由主试统一将试卷收回，再做下一个文本编辑测验，测试时间为45分钟。
    条件判断测验收回的优、中、差3类学生的有效试卷分别为13份、56份、12份，总共81份。以判断的对错率为指标，若判断正确得1分，判断错误为0分。文本编辑测验收回3类学生的有效试卷分别为13份、64份、15份，总共92份。只有当两项操作都正确才给分，若选项正确而对应的下一步操作有误，则认为被试仍不具备解决该问题的图式水平，不给分，在条件充足的问题解决中按列式对错计分，不考虑计算错误。由此，每道问题上若两项操作都正确得1分，只要有一项操作错误则为0分。一名被试在一个模版上的得分是在该模版所有问题上的平均得分。
    三、结果与分析
    1.文本编辑测验各模版上各水平学生成绩的比较
    根据优、中、差3类学生在各模版上的平均成绩（见表1）绘制成折线图（如图2），以考察随模版的不同3类学生的成绩有怎样的变化趋势。由图2可见，3类学生在6个模版上的成绩与其学业水平相当，即优秀生的成绩好于中等生，中等生的成绩又好于差生，并且随模版层次的升高，各类学生的成绩基本呈递减趋势（差生在模版四上的成绩要好于模版一至三的成绩有待进一步解释），这说明学业水平不同的学生问题图式水平是不同的。
    表1　“文本编辑”测验各模版上各类学生平均成绩
    
    
    图2　各类学生平均成绩的折线圈
    表1对各模版上优（13人）、中（64人）、差（15人）3类学生的成绩做了比较。从平均分的情况看，大部分被试已具备此类图式水平：包含一个熟悉的公式、概念性知识点（如面积公式、中线定义），上级关系以“元素”（数值）形式代入下级关系的3级关系（指表征关系最高层级）问题图式。
    对这些数据作了方差分析，结果见表2。模版五在模版四的基础上增加一个定理类型知识点，此时优、差生成绩间出现显著差异（优秀生和中等生之间差异不明显），表明差生问题图式中的知识储备不足，难以解决在知识基础方面要求稍高的问题模版三原有问题(4)与添加问题(10)的比较结果分别为，问题(4)上3类学生间无明显差异，问题(10)上中等生和差生、优生和差生成绩之间存在显著差异。该结果说明，差生较优生、中等生而言更不善于表征“关系内水平复杂性”要求较高的层级关系，具体表现为上级关系以“关系”形式被用于二级关系的表征。模版六无论在表征深度方面还是知识基础方面要求都最高，此时3类学生得分都较低，且优生和中等生成绩间差异不显著，而中等生和差生，优生和差生成绩之间存在显著差异，可能难度太大的问题容易出现“地板效应”，致使很多被试都无法解决问题，因而优生与中等生间差距不大。
    表2　“文本编辑”测验各模版上各类学生成绩比较
    
    注：*表示0.05显著性水平，**表示0.01显著性水平，以下同
    2.条件判断测验各模版上各类学生成绩的比较
    
    图3　各类学生平均成绩的折线圈
    图3为优、中、差3类学生在条件判断测验各模版上平均成绩的折线图，图上显示除模版四上的成绩出现“异常”之外，随模版层次升高，3类学生在各模版上的成绩呈递减态势，与各自学业水平基本相符，为何出现模版四上的“异常”，后面将分析产生这一现象的原因。
    表3对各模版上优（13人）、中（56人）、差（12人）3类学生的成绩做了比较。结果表明，模版二和模版三上普通生和差生，优秀生和差生的成绩之间有显著差异，这与文本编辑测验对应模版上3类学生成绩间无明显差异的结果不一致，下面分析产生不一致的原因。
    表3　“条件判断”测验各模版上各类学生平均成绩
    
    两项测验对应模版上的问题在关系的层级数和知识基础方面的设置大致相同，但在“关系内水平复杂性”上有所区别。文本编辑测验中模版二和三上的问题是从上级关系中得到结果（数值）代入下一级关系，因此第二层级关系中包含一个“元素”；条件判断测验对应问题上需要将整个初级关系用至下一级关系才算表征成功，因此第二层级关系中包含的是一个“关系”。根据理论，“关系内水平复杂性”与图式相关，不同的复杂性对于在理解上级关系基础上对下一级关系的表征所需的图式水平有不同要求。
    由3类学生在两种测验对应问题上的不同表现结果来看，差生能解决以“元素”形式包含至下级关系的最高层级为二级的问题，却难以表征包含“关系”形式的二级关系。因此，总的来说，上级关系是以“元素”的形式还是“关系”的形式包含至下级关系对差生表征关系有影响，差生更容易表征以“元素”形式被应用至下级关系的情形；结果又说明这一因素对普通生的影响不大。这同样对解释3类学生在模版四问题(7)上成绩的“异常”提供思路，模版四的问题(7)虽然在表征关系的最高层级上比模版三的问题增加一级，但前者各级关系的表征有赖于上级关系所得结果的直接运用，较模版三上的问题各级关系更容易被表征，因此被试在模版四的问题(7)上的成绩反而高于模版三的成绩，并且3类学生成绩间没有差异，这一结果同时验证了文本编辑测验中模版一至四（其中模版三仅指问题(4)）上3类学生不存在差异的结论。
    模版五上优生和普通生、优生和差生成绩间都有显著差异，与文本编辑测验中对应结果相比较而言，优生和普通生之间的差距拉大，这与运用知识基础挖掘隐含条件的难易有关。条件判断测验的问题(8)，需根据已知、所求添加辅助线构造直角三角形，才能进一步运用知识基础表征隐含关系；文本编辑测验中对应模版上的问题则指向性更为明确，有直角三角形包含60°角和所求边，更容易唤起图式中相关知识用于关系的表征。
    模版四上原有问题(7)与添加的问题(10)之间的比较结果与文本编辑测验中一致。然而该测验的问题(10)上优生和普通生、优生和差生成绩之间有显著差异，对比于文本编辑测验问题(10)，仅优、差生间存在差异的结果存在不一致。考虑到两个问题所属模版不同，条件判断测验中的问题较文本编辑测验中的问题表征关系层级数更高。因此可以推论，一旦问题表征的关系更为复杂，优生就能显示出较高的图式水平，较好的理解能力；普通生与优生之间的差异越发明显，显示出普通生图式水平相对较低，不善于表征问题中复杂的关系；差生更缺乏解题必需的图式支持，非常不善于表征复杂关系。这在模版六上3类学生的成绩比较中可得到验证，模版六的图式水平在所有模版中是最高的，如表4所示。结果表明，在该模版上3类学生的成绩两两间都有显著差异。
    表4　“条件判断”测验各模版上个类学生成绩比较
    
    四、讨论
    综合两种测验各模版上3类学生的成绩差异可以看出，当问题涉及绝大多数被试所掌握的公式、概念性知识（如周长、面积公式）：并且所需表征关系不复杂时，在“关系内水平复杂性”表现为低一级关系以“元素”（数值）的形式直接代入下级关系的表征，大部分被试具备相应的图式支持；当问题关系稍为复杂，特别是“关系内水平复杂性”要求上升时，如上级关系是以“关系”的形式被包含至下级关系的表征，差生的成绩就远落后于优生和普通生，甚至差生在表征包含一个“关系”的二级关系方面就有困难；当问题中的关系进一步复杂，表现为表征关系最高层级上升，并且下级关系的表征需包含多个上一级关系时，优生与普通生的差距也拉大。这一结果说明优生拥有最好的图式支持，表征深度大，普通生具备一定的图式水平，但在表征复杂关系的能力上仍有欠缺，学习不良学生最为薄弱，尚不具备解决以“关系”形式代入高一级关系表征情形的问题。
    在知识基础方面，当表征问题关系时涉及定理、性质等知识，差生的成绩落后于优生和普通生；当解决问题所需的知识点较为隐蔽，需要通过构造（如添加辅助线等）才被用上时，优生运用知识基础的能力更强。这说明在图式的知识储备上，差生显得不足。但在图式知识的激活水平上，普通生不及优生，也就是说，虽然普通生具备相应的知识基础，但它们不是“活动”的，不能顺畅地应用至问题的解决中。当模版的表征复杂性和知识基础都加大时，3类学生的成绩都有大幅下降，但是两两之间存在显著差异，这再一次说明优秀生比普通生有更高的图式水平，普通生稍差一些，学习不良的学生最差[7～14]。
    五、教学建议
    上述的研究为有针对性地对不同学业水平学生进行教学提供依据和思路。具体教学建议为：对普通生的教学重点应该是使他们学会表征较为复杂的关系，特别是如条件判断测验的问题(10)，表征关系最高层级为3级，且上级关系都以“关系”的形式被包含到下一级关系的表征中的情形，并培养他们能通过对问题的分析达到激活已有知识的能力，使他们的知识变得活动起来，从而有效地应用到问题解决中。对于差生，要认识到他们并非在所有类型问题的解决方面都有困难，需把教学重点放在切实不足之处，比如帮助他们学会包含一个“关系”情形的二级关系的表征，并且增加他们的知识储备（一些定理和性质）等。