诺里尔斯克镍业公司:让学生的思维在问题解决后继续飞翔

让学生的思维在问题解决后继续飞翔重庆市璧山县来凤中学　先儒才　重庆市教育科学研究院　张晓斌#TRS_AUTOADD_1294192443196 {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1294192443196 P {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1294192443196 TD {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1294192443196 DIV {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1294192443196 LI {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}/**---JSON--{"":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"p":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"td":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"div":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"li":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"}}--**/DIV.MyFav_1294192474411 P.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1294192474411 LI.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1294192474411 DIV.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1294192474411 P.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1294192474411 LI.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1294192474411 DIV.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1294192474411 P.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1294192474411 LI.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1294192474411 DIV.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1294192474411 A:link{COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline}DIV.MyFav_1294192474411 SPAN.MsoHyperlink{COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline}DIV.MyFav_1294192474411 A:visited{COLOR: purple; TEXT-DECORATION: underline}DIV.MyFav_1294192474411 SPAN.MsoHyperlinkFollowed{COLOR: purple; TEXT-DECORATION: underline}DIV.MyFav_1294192474411 DIV.Section1{page: Section1}DIV.MyFav_1294192474411 OL{MARGIN-BOTTOM: 0cm}DIV.MyFav_1294192474411 UL{MARGIN-BOTTOM: 0cm}

摘　要：在数学解题教学活动中，不能就题论题，很多知识的创新，很多让学生深化理解数学概念、数学思想方法的材料，往往来源于解题之后对解题过程、解题方法、问题结构的质疑、反思，正犹如：暮然回首，在灯火阑珊处出现无限惊喜，出现无限风光.让学生深深体验到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.

关键词：惊喜；质疑；创新；解题过程；问题结构

在大力提倡实施素质教育的今天，部分教育工作者仍然热衷于大搞题海战术，让学生埋头苦练，增加学生课业负担.学生也由于受认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于做大量习题，恨不得把所有的问题做完，不善于解题后对题目进行反思，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏对解题后解题方法、数学思想的概括，这导致获得的知识系统性减弱、结构性差.波利亚指出：“一个好的教师应该懂得并传授给学生下述看法：没有任何一道题可以解决的十全十美，总剩下一些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.在教学过程中，教师如果精心设计，解题后经常对解题过程、方法，问题结构进行反思、总结与提炼、举一反三等一系列思维活动，让学生的数学思维在解题后继续飞翔.

经典问题：

如图：直线.

椭圆以点为焦点，且经过直线上的点，求椭圆长轴最短时的椭圆方程，并求此时点的坐标.

分析：根据条件，设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，根据该等式求出的最小值，进而求出椭圆方程及点的坐标.

解1：根据条件设，则，……①

∴，……②

将②两边平方后化简得，……③

将③两边平方后化简有.……④

方程④关于有实数解，所以有或（舍）.

当时，代入，而.

故所求椭圆的方程为，点的坐标为.

问题解决后，如果及时引导学生对解题过程、问题所含知识结构进行挖掘整合，惊喜会一个接一个的产生，学生会亲身体验探索成功的感觉，有助于激发学生进一步探索研究的兴趣.长期积累，更有助于促进学生认知结构的完善，促进学生个性发展.

一、反思解题过程，寻找解题方法惊喜

问题解决后，要在解题方法上进行反思：解题过程是否还有其它信息可以挖掘利用，在同一领域、不同领域能否有新的解题渠道？解题思维、运算能否变得简捷？是否受思维定势限制？通过这样不断的质疑，不断的探索释疑，创新解题思路及方法，发展学生数学思维，使解答过程更加科学合理，提高学生分析问题解决问题的能力.

惊喜1： 在同一领域中寻找解题方法上的惊喜

对①式取倒数，进行分母有理化得，……⑤

②+⑤得，化简后得.下同解法1.

惊喜2：在不同领域中寻找解题方法上的惊喜

因最短，在几何领域内可以表征为：在直线上找一点，使得到两定点的距离之和最小.作关于直线的对称点，由三角形两边之和大于第三边知，当最小时，恰好为直线与线段的交点，并且.设，由与关于直线对称有，∴，直线的方程为，联立直线与直线的方程可求得点的坐标为.故所求椭圆的方程为，点的坐标为.

运用数形结合，借助几何知识，避免了复杂的代数运算，使问题得以轻松愉快的解决，创造了解题的途径，学生的解题方法、数学思维得到进一步发展.

二、反思问题结构，寻求知识创新惊喜

问题解决后，要让学生明白，解题不能就题论题，要对问题进行质疑，反思问题所含知识结构，能否将问题蕴含的知识进行联想、拓展、引申？能否对一些数学思想、数学方法进行整合？由问题所含的知识“点”，扩大到知识“面”.通过不断地拓展、联系，完善学生的认知结构，通过实践、总结与提炼，让学生体验“创造”的惊喜，激发学生探索兴趣，促进学生认知结构向更高层次飞跃.

惊喜3：反思解题过程，寻求代数领域问题的创新惊喜

在惊喜2中，我们运用数形结合的思想方法解决了问题，简化了运算.对解题过程从函数的观点反思，可以编拟如下新问题：

问题1：求函数的最小值.

问题2：求函数的最小值.

问题1、2的解决可以利用惊喜2中的解题思想易求得问题1的结果为，问题2的结果为且在点处取得.观察图形可以发现，最值取得的条件是直线与，与有交点且在交点处取得最值.联想：将直线变为曲线，曲线和两定点的连线有交点所形成的问题能否用同样的方法解决.

问题3：求函数的最大值.

有根式联想到距离，将它们化为两点间的距离公式，函数表达式变形为问题转化为求点到点与点距离之差的最大值.点在抛物线上运动，由三角形两边之差小于第三边，函数的最大值.

由此可知，我们可以利用这一思想方法解决一类函数结构比较复杂的根式类的函数最值问题.

从方程的角度出发，我们可以利用惊喜1的计算方法解决一类结构比较复杂的根式方程.

问题4：解方程.

略解：当时方程成立.

当时，方程两边取倒数化简得，与原方程相加得，易知，经检验，为原方程的解.惊喜1的计算方法避免了两次平方运算，体现了数学运算的简捷之美.

惊喜4：反思问题结构，寻求几何领域问题的创新惊喜

从几何领域中直线与曲线的位置关系上进行反思：由于椭圆经过直线上的点，即直线与椭圆相交，解题实践中，研究解题结果可以发现：

1.由满足条件的点的唯一性，可知直线与所求椭圆相切时，椭圆的长轴最短.

2.直线的方程可由椭圆： 的方程中，将换成乘点的横坐标，换成乘点的纵坐标而得到.

3.直线为的外角平分线.

质疑：三个结论是否可以推广？

问题5.直线是任意一条直线，点在直线的同侧，椭圆以为焦点且经过直线上的点，当为直线与椭圆的切点时，椭圆的长轴最短.

提示：用惊喜2的数学思想方法可以解决.

问题6. 椭圆的方程为，为椭圆上任意一点，则过点的切线的方程为.

略解：当时，结论显然成立.当时，不妨设点在轴上方，则求导有，则切线的斜率为由点斜式可得切线的方程为.综上所述结论成立.

问题7.椭圆的方程为，直线为椭圆的切线，为切点，为椭圆的焦点，则直线为的外角平分线.

提示：利用问题6的结论及到角公式可以完成问题的证明.

总之，解题后适时引导学生不断地对问题观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学思想、数学方法进行不断地思考，让学生深化对数学概念、公式、定理及数学思想方法的理解，发展学生数学能力，让学生亲身体验解题带来的快乐，享受探究带来的成就感.长此以往，有助于培养学生独立思考、积极探索的习惯，有助于学生学会如何学习数学，学会数学地思考问题.