讨鬼传极隐剃刀:专题三：“应用题”教学及学生解决问题能力的培养 2 第二讲（下）

第二讲（下）

 

三、解决问题常用的策略前面我们把“应用题”在新的课程标准下，教材的编写特点做了一个非常简要的总结。接下来，根据老师们前面提的问题，在解决问题过程中，我们应该培养学生哪些解决问题的策略进行讨论。解决问题的价值不只是获得具体问题的解，更多的是学生在解决问题过程中获得的发展。其中重要的一点，在于使学生学习一些解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。关于解决问题，《标准》里是这样说的：——初步学习从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。——形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。——学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。——初步形成评价与反思的意识。在(标准)提出的上述目标中，发展应用意识和形成解决问题的策略是重点。下面我们就来介绍几种常用的解题问题的策略。1、画图的策略。把画图作为一种解决问题的策略。由于孩子年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会发生一些困难，如果适时的。让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此我们认为，画图应该是孩子们掌握的一种基本的解决问题的策略。为什么说画图很重要呢？主要是比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。下面我们来介绍几种常用的画图的方法。（1）线段图：案例：题目：张老师要买一个打印机，乔老师要买一件毛衣。打印机：800元/台毛 衣：200元/件商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？课堂上学生出现两种方法：方法一：（800-500）×80%+500+200=940（元）        （800+200-500）×80%+500=900（元）                  940-900=40（元）方法二：200×(1-80%)=40(元)打折与策略      当时很多同学不理解第二种算法，运用方法二解题的同学把图画在黑板上，而授课教师又适时的把第一种算法的线段图画在上面，学生通过两各图的对比，恍然大悟！真正省的其实就是那200元的20％，所以是40元。这道题突显了通过画线段图把这种复杂的数量关系变得简单明了，将抽象的数学问题直观化了。（2）树图这是课标教材教学内容“搭配”。两件上装三件下装进行搭配，最多有多少种搭配方法？我们看到了这里的图非常清晰，一件上装与三件下装进行搭配，再拿一件搭配三种，这是三种，这也是三种，一目了然。这就是老师们讲的树图。在这个过程中，学生也不断的去发现规律，如果再多一件上装会怎么样？再多一件下装又会怎么样？通过画图进一步的了解数量之间的关系，尤其是对三年级的学生来说，这是是非常直观的。（3）集合图例如，我觉得这个题出的挺好的，一般教材用的不多。但它是很重要的一种解题方法。在这个统计表上，把参加语文或者数学课外活动小组的学生名单列出来，参加语文小组的是8个人，参加数学小组的是9个人，但是从表中的人数中数不出来17个。所以那个孩子说，这两个小组没有17人人呀？怎么办？这个问题按逻辑思维是推不出来的，明明9加8等于17，但是实际没有17个人。哪去了那几个人？那个孩子说，画一个图表示清楚了，这就是集合图。原来这三个人是重合的。它既是语文小组的，又是数学小组的。（4）示意图除了刚才介绍的几种图以外，孩子们有的时候是没有任何框框的，他们根据自己的经验，自己的思维的特点，可能画出一些让我们老师意想不到的、他所明白的一些图。比如前面刘德武老师介绍的那些，就是孩子们在解决问题的过程中，自己画的图。因此我们特别提出来，作为教师要尊重孩子们，特别是当孩子们的示意图画出来的时候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我们要很好地、认真地去挖掘他的思维价值，保护孩子们创造的积极性。2、列表的策略。列表的策略，有时候我们也叫列举信息的策略。在解决问题的过程当中，我们将问题的条件信息用表格的形式把它列举出来，往往能对表征问题和寻求问题解决的方法，起到事半功倍的效果。谈到列表，其实在前面我们介绍的一些案例当中，也看到了施银燕老师那节鸡兔同笼的课，就是在让学生通过列表的解决问题的策略，来进行解决问题的。其实在列表的过程当中，施老师也用到了另外一个策略，就是尝试。3、尝试的策略。尝试的策略，简单的说就是你不知道该从哪开始的时候，可以先猜一猜来进行尝试。但是猜测的结果，应该是比较合理的，并且要把猜测的结果，放到问题中去进行调整。我们也看到了刚才施银燕老师那节课，她也是让学生在列表的过程当中，不断的进行调整。腿多了不符合题目的要求了怎么办？就把兔子的只数减少一点；当腿少的时候怎么办？把鸡的只数调整一下。实际就是一边尝试一边调整，然后通过列表来解决这些问题。把猜测的结果放到问题中间进行调整，直到发现了正确的答案。4、模拟操作策略。模拟操作是通过探索性的动手操作活动，来模拟问题情境，从而获得问题解决的一种策略。学生是通过自己探索的过程，将需要解决的问题，转化为一个已知的问题来进行推导性的研究。通过这种开发性的操作的策略的训练，不仅能够使学生获得问题的解决，而且在这个过程当中，也能培养学生的创造性思维。还是用案例来说明问题。姚健老师在讲最小公倍数问题的时候，用到了模拟操作的一种策略。这还得从植树问题谈起，当时，学生对点和段的理解不够深刻，于是每个人发了一个学具，上面画着刻度然后把那个小树插在上面。间隔两米种一棵树，间隔两米种一棵树，学生通过操作很快的就发现了，点数跟段数的关系。之后，学习最小公倍数时，我设计了这样一个情境。在一条路的一侧，准备每隔两米插一个小旗，实际上就应该插在三米、六米、九米（口误，应该为2米、4米、6米）这样的位置。每隔两米就是每三米插一棵，随后又改成每隔三米插一个，就等于在四米、八米、十二米（口误，应该是3米、6米和9米）这样的位置上插小旗。（这里是想利用这个例子向老师们说明解决问题的策略，不要在字眼上抠学生，更不能作为评价学生的题目。）让学生在学具上先插好，然后提出问题：究竟哪个旗子可以不动？通过这个操作，学生很容易的理解了公倍数和最小公倍数的意义。还有一个案例，是在三年级的一节课上。教师出示一道题目：一列火车身长是100米，要经过一座桥。这个桥长1550米。这列火车是以每秒15米的速度前进，那么通过这个桥需要多长时间？在解决问题的时候，孩子容易用1550除以15。问题出来后，老师没有立刻作出评价，而是让学生们自己想想看。我记得当时听课，有个孩子拿了个铅笔盒当做桥，拿了短短的铅笔当做火车，自己在模拟火车过桥。演示三遍以后，他做出了判断，应该把1550的桥长加上车身之长作为路程然后除以速度才是过桥的时间。通过模拟，把一些源于生活的东西具体化了，把这种不清晰的数量关系，把它很直观地表现出来，这个题就解决了。5、逆推的策略逆推也叫还原，就是说从反面去思考，从问题的结果一步一步地反面去思考。在解决某一个问题的过程当中，当你从正面进行思考遇到了阻碍，碰到困难的时候，可以换个思路从相反的方向，即从问题的结果一步一步的往前推，这时候可能会有意外的发现。马云鹏老师的一篇文章中，也谈到了逆推的策略。题目是小禾来到一家饼店，拿出一半钱吃午餐，又花了七角五分钱买点心，还剩一元钱。问他原来带了多少钱？我们在做题过程当中，就可以从知道的地方入手，反着来做，发现它开始的情况。我们知道小何现在有一元钱，他做的最后一件事情是花七角五分钱买了点心。因此，这个时候就从最后七角五分开始去思考，我们把七角五分和他现在有的一元钱给加起来就能发现，他在买点心之前有1.75元，如果他花了一半钱去吃午餐的时候还剩1.75元，那他吃饭就一定是花了1.75元了，这样1.75加1.75最后得到的是3.5元，我们自然也就知道他原先的钱是3.5元。当我们验证结果是不是正确的时候，可以从前边事情的开始再来给它做一下检验。如果小禾有3.5元钱，那他吃饭花了一半就会剩下1.75元，如果后来他又花了七角五分去买点心，那就只剩下一元钱了，这样就与问题的数据正好是吻合的。6、简化的策略。简化就把繁杂的问题简单化，可以把陌生的问题转化为熟悉的问题，也可以抓住问题的关键部分进行思考。我们的应用问题要结合实际的话，可能要说一大堆有关情境的事。那么我们怎么样把这个生活中的实际问题，把它抽象成数学问题，这就是一个简化的过程。下边我想举个加拿大的例子：在电影“动物台阶”中，女英雄玛丽在一座金字塔的底层，发现一个字条告诉他如何攀登金字塔：往上登台阶时，要仔细观察，有一块松动的石阶，下面有一张字条，会告诉你再登多少台阶有藏宝图，但是它不会直接告诉你，只告诉你这个特别数字台阶的线索。玛丽找到了纸条，上面写着：“比125大，小于180，5个5个地数，这个数能被4和8整除”，女英雄要再登多少级台阶，才能找到藏宝图？这样的题目可能在我们的课本里很少见，那么这么多的字。我就问我的外孙子，我说这么多的字看起来多麻烦啊！他说不麻烦，因为这个《动物台阶》，正好是他们现在正在上映的电影，他说我们都看过这个电影，而且特别感兴趣，特别佩服那个女英雄。所以大家在读这些话的时候，感到特别亲切。我又问题他，你准备怎么来解答这道题呢？他说解答这道题时前边这些话不要管他，只抓住这些信息，即“比125大，小于180，5个5个地数，这个数能被4和8整除”。我就得从130开始，那么他要五个五个的数，说130、 135 、140 、145、 150、155 、160。这都是五个五个数的。但是它还有一个条件，就是要能被4和8整除，所以每当它出现这些数的时候，孩子都要想一想，能不能被4和8整除，最后160能被4和8整除，所以他就很快的找出了160，就是女英雄要登160节台阶才能找到了藏宝图。7．推理的策略“推理”也是学生常用的一种解决问题的策略。过去我们所说的“分析法”和“综合法”都可以看作是逻辑推理的方法。下面先看一个教学课例《两步计算应用题》教学实录：看图、读懂题师：同学们从图中看到了哪些信息？ 生1：一个汉堡12元。生2：一盒蛋挞的价钱比汉堡多5元。生3：问买这些一共要用多少钱？（学生边说，师边把以下文字写在黑板上：  师：是这样吗？谁能把它读出来？（指向文字）生读。师：12元是什么意思？生：一个汉堡的价钱。师：多5元呢？生：一盒蛋挞比一个汉堡多的钱。师：还有一条信息，是问的问题：一共多少元？什么意思？生：就是一个汉堡和一盒蛋挞总共要用多少钱。尝试解题，交流结果师：有办法解决吗？自己先试一试。学生在作业本上独立试做。师：我们一起交流。生1：我用12+5=17（元）（板书：12+5=17元）师：谁是这样做的，请举手。其他同学的意见？生2：我用12+5+12=29（元）（板书：12+5+12=29元）师：谁是这样做的，请举手。还有其他意见吗？师：同学们出现两种不同的答案，同意12+5=17（元）正确的同学起立。师：找一个代表说说你们的想法。生1：题中不是有两个数吗，我就一加得出来了。生2：最后是求“一共”，所以就用加法算。生3：这样想不对，一个汉堡就要12元，即使一盒蛋挞也12元的话，还得20多元呢，何况蛋挞比汉堡用的钱还多，肯定不对。师：通过估算来判断结果是否合理，是一个好办法。师：你们现在认为呢？生1等：我们做得不对。交流分析的方法师对刚才做错的同学说：刚刚开始学有点问题很正常的，我们一起来听听用12+5+12=29（元）的同学是怎么想的？好吗？①画图解题生5：我画了一个图： 生5边看图边解释：这是一个汉堡的钱，这也是一个汉堡的钱，这是一盒蛋挞比汉堡多出的钱，要求一共要用多少钱，就把它们都加起来，就是29元。师：都加起来算什么呢？   哪个是汉堡的？哪个是蛋挞的？师：能列个算式吗？生5：12+5+12=29（元）师：同学们听明白没？师：想到用画图的方法来解答问题，是一个不错的选择。其他同学呢？②从问题入手解题生6：不是要求“一共用多少钱”吗？我就想用一个汉堡的钱数和一盒蛋挞的钱数加起来就好了。一个汉堡是12元，一盒蛋挞是17元，这样它们加起来就是29元。师：同学们有问题要提吗？生：题中没有17呀？生6：是用12+5得到的，这样就是拐一个弯才能得出一盒蛋挞的钱数。师：拐一个弯真好！那为什么要拐一个弯算出来呢？生：因为蛋挞的钱数没有直接给出来，要通过一盒蛋挞比一个汉堡多5元钱这个信息求出来，才能求出它俩一共的钱数呢。生6：对，这样在12+5的基础上，再加12，就是总钱数了。师：他的说法你们同意吗？有没有问题？生：为什么算式里有两个12呢？师：对呀，题目中只告诉了两个数据，一个12元，一个5元，这个12用了两次，是怎么回事儿？ 生：第一次用这个12是为了求出一盒蛋挞的钱，第二次再用才是汉堡自己的。师：看来同学们是真得明白了。师：回忆一下，我们刚才是怎么想这道题的？（师生共同梳理，师相机板书。）生：我们先看一共要用多少钱，就得用一个汉堡的钱加一盒蛋挞的钱，一个汉堡12元，已经知道了，先不管，一盒蛋挞的钱还不知道，就用12+5求出来，两个都知道了，加在一起就可以了。 ③从已知信息入手解题师：你还有想法要说，是吗？生：我是看老师在黑板上写的想出来的。我想一个汉堡是12元，一盒蛋挞比汉堡多5元，那么，一盒蛋挞就要用17元，最后是要求一共用的钱数，就再把12和17合起来。师：听明白他是怎么做的没？生：他就是好好读老师写出的题，就求出来了。师：也就是一点一点看给出的信息，找一找它们之间存在的关系，一步步求出最后的问题。教材中呈现的推理问题。  “列表”；“假设”；“猜想尝试”；“模拟操作”；“画图”；“逻辑推理”；“逆推”；“简化”等都是学生常用的解决问题的策略。事实上，当一个数学问题呈现在面前时，其思维的触须是多端的。以上所述的几种问题解决的策略只是平时常用的导引途径，为了能够更有效地提高数学问题解决的能力，教师还要引导学生在数学问题解决的实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。最后应该清楚的是，解决问题策略的教学应该基于这样一个总的指导思想，那就是，把解决问题的主动权交给学生，提供给学生更多的展示属于他们自己的思维方式和解题策略的机会，提供给学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。当解决问题成为课堂教学的一部分，学生能够在班级中调查、探索、推理和交流日常的问题解决，并能在解决问题过程中体验到成功的时候，他们就会成长为自信而成功的问题解决者。四、解决问题教学的建议应用题教学，贯穿整个小学阶段，历来是小学数学教学的重点和难点。前面，我们不仅回顾了我国关于解决问题教学发展的历程，并且谈到了解决问题教学的价值，结合教学策略、结合课程改革过程中出现的现象、问题以及教师、学生的困惑，提出以下教学建议：（一）解决问题的基本过程数学问题解决，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程??探索、思考解决数学问题的过程，一般说来，是一个较为复杂。艰苦的历程。学生除需要运用抽象、归纳、类比。演绎等逻辑形式外，还需要运用直觉、灵感或顿悟等非逻辑形式。 要能够把握“问题解决”的问题，要准确迅速地把握问题的关键，揭示问题的本质属性，搞清问题的求解目标和已知条件、未知条件，是问题解决的第一步。它对思维的敏捷性和深刻性提出了很高要求，也为思维敏捷性和深刻性创造了极好的训练机会。问题解决的第二步是设计求解计划，这要求大量的分析综合，尝试与猜测、类比与联想，这对训练思维的灵活性和独创性大有益处。问题解决的最后一步，就是对所得结果作检验和回顾。这时训练思维的批判性和深刻性是具有十分重要的作用。小结：理解题意——分析数量关系——求解作答——检验反思（二）具体建议：1．对“好”的问题的思考。对于教材编写和教学，一个首要的方面是提出“好”的问题。对于“好”的标准也许并不统一，这里只是谈一谈我们的思考。“好”的问题绝不等同于简单的练习，解决问题也决不能简单地理解为在一般的公式中对某个参数赋以具体的数值，也不能仅仅理解为会解决一些“人造”的问题。当然，知识的简单应用是必要的，但不能仅仅停留于此，而是应努力使学生经历从现实情境中“抽取”数学模型的数学化过程，以及把数学模型放到现实中加以使用的过程。问题应当具有一定的探索性，解决它没有现成的方法和程序，而需要发挥学生的各种思考和创造；问题应当成具有一定的现实性和趣味性，既非人为编造的，又能激发每个学生的好奇心；解决问题的途径和策略往往是多种的，需要学生综合应用所学知识，并发挥多种的数学思考；问题应当具有一定的启示意义，有利于学生掌握重要的数学思想方法和解决问题的策略，而不是所谓的“偏题”、“怪题”；同时，问题应具有适当的开放性，这种开放并不一定表现在答案的多样性上，更为重要的是问题能使所有的学生都尝试解决，不同的学生在解决问题的过程中都能获得发展。要设计出完全符合上面标准的题目是比较困难的，但这是我们的追求。同时，教材精简了缺乏实际背景的、技巧性过高的算术应用题。正如数学家吴文俊先生指出的“不能在奇招怪招上消耗时间太多”。取而代之的是教材增加了富有现实意义的、与学生经验相符合的、具有一定数学价值的、具备一定探索性的问题。2．帮助学生读懂题对于解决问题，学生的困难，一是读懂题，二是分析数量关系。我们在这里强调读懂题。读懂题，为后面分析数量关系奠定了基础。怎样是读懂题，我们可以：一遍读，搞清楚是什么事；二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，谁和谁有关系，有什么关系。三遍读，告诉我们解决什么问题。这样只有我们读懂了题，才能更好地进行解决问题。 怎样帮助学生读懂题：——手势理解。——情景再现。——边读题边记录。抽象出问题的骨架，可以是画出图表示关系。——从数学的角度观察、思考，提取数量关系，提出并解答数学问题。【案例】课上出示青蛙图有两幅图，左边荷叶上原有38只青蛙，右图中，一部分青蛙跳到了水中，荷叶上还剩下5只青蛙。教师先让学生观察并描述一下图意。 一名学生说：“荷叶上有38只青蛙，忽然一个石子落入水中，啪的一声，小青蛙们害怕了，纷纷跳入水中。最后只剩下5只青蛙妈妈。”老师表扬了他，说他语言流畅，想象力丰富，并鼓励大家向他学习。接着又叫了一名同学，他说：“38只青蛙正在荷叶上晒太阳。一个顽皮的男孩经过，向水中打了几个水漂，胆小的青蛙都钻到荷叶下面了，只剩下5只勇敢的。”老师说“呦，你的想象真棒！”两名同学描述过后，教师正打算让同学们看图列式。可耳畔又响起了几个急不可耐的童音：“老师，我还有不同的想法。”……3、理解运算意义的基础上，分析数量关系。 解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识别存在于日常生活、自然现象与其他学科等中蕴涵的数量关系，并把它们提炼出来，运用所学的知识对其进行分析，然后综合应用所学的知识和技能加以解决。Ø        运算意义的教学。我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。如在求方阵中有多少人，用乘法运算比较简便。另外我们还要在比较中多角度提出问题，对比看关系。如一加两减等。这样学数学就活了。 Ø        注重对数量关系的分析。在解决具体问题时，教师要鼓励学生通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的真正理解。例如，教师要鼓励学生首先看懂问题情境，用自己的语言或者熟悉的符号表达问题情境和需要解决的问题；根据所求的问题和情境中的条件，运用图、表格等多种形式分析数量关系；回忆所学运算及其他内容的数学意义，将数量关系表达出来，建立数学模型；向别人解释自己所列模型的实际意义。在学习了一段时间后，教师还可以鼓励学生自己总结一些数学模型的典型实例。  4、注重用方程解决问题——方程是一种很好的数学思维,它能帮助人们用顺向思维解决问题,思维过程比较简单。——用方程有意义，对于逆向思维有帮助。——学生不愿意用方程，觉得它格式繁琐。教师不要死抠格式，要有简化意识，重在培养学生应用方程的思想解决问题。5．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。解决问题活动的价值不只是获得具体问题的解，更多的是学生在解决问题过程中获得的发展。其中重要的一点在于使学生学习一些解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。这里需要指出两点。第一，教学中要重视对学生解决问题策略的指导，将“隐性”的解决问题的策略“显性化”。例如，在具体求解问题前，教师可以鼓励学生思考需要运用哪些解决问题的策略；在解决问题的过程中，教师可以根据具体情况，适时使学生注意是否要调整解决问题的策略；在解决问题之后，教师要鼓励学生反思自己所使用的策略，并组织全班交流。总之，教师要将解决问题的策略作为重要的目标，有意识地加以指导和教学。第二，学生所采用的策略，在老师的眼中也许有优劣之分，但在孩子的思考过程中并没有好坏之别，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。只要解题过程及答案具有合理性，就值得肯定。这为树立学生的自信心和培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。6． 反思解决问题的过程及策略，逐步形成评价与反思的意识学生在解决问题中的失败常常不是由于数学知识的缺乏，而是由于对于他们所学习的知识的非有效的应用。好的解决问题者常常监控并调整他们解决问题的过程。他们要通过仔细阅读问题或提出自己的疑惑来确信是否真正理解了问题；他们常常做计划，并定期对正在做的事作检查，以了解他们是否在正确的轨道上前进；如果感到遇到了重大挫折，他们就尝试考虑换一个解决问题的角度；而当解决了一个问题之后，他们能回顾整个解题过程，反思结果和解决问题的策略是否合理、是否有不同的解决问题的途径，以及与其他问题是否有联系等等。总之，学生的评价和反思意识和水平在解决问题的过程中起着很大的作用。教学中可以通过设计以下的一些问题，帮助学生逐步形成评价和反思的习惯：“在开始解决问题前，你确实理解了问题了吗？”“可能有哪些解决问题的途径供选择？”“需要制定一个计划吗？”“这个计划可行吗？或者，我们该重新考虑计划？”“这个问题的解合理吗？”“在解决这个问题中，你运用了什么策略？”“是否还有其他解决问题的方法？”等等。对于实际问题，教学中应强调对问题的解加以检验，不仅仅是检验解正确与否，更重要的是考察问题的解是否符合实际。同时，我们不能仅仅满足于一个具体问题的求解，还应促使学生的数学思考得到进一步的发展。例如，引导学生对所求解的问题抽象或一般化；思考在解决问题过程中使用的策略能否作为解决一类问题的重要方法；对解决问题的不同策略进行比较，以体会各自不同的特点与适用性；在解决问题的基础上提出新的问题，等等。解决问题是整个数学课程的不可缺少的一部分，它应伴随数学学习的整个过程。在义务教育阶段，通过解决问题，更重要的是培养学生应用数学的意识和数学思考与交流的能力，而不是将学生培养成解决问题的专家。特别是要使学生认识到数学本身是有用的，促使他们碰到问题能想一想是否可以用数学来解决。在这样的思想指导下的应用问题的教与学, 学生学会了真正意义上的“具体问题具体分析”,学会了如何利用各种手段收集和处理问题中隐含的信息，学会了如何从问题中发现隐含的数量关系，学会了如何从多个角度思考问题，因而也就学会了“举一反三”，获得了初步分析问题、解决问题的能力。