董有本止痛丸:欧拉在数学上的贡献之三（数论） 江西省基础教育,论坛,教学,资源 - 江西省基础教育资源论...

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欧拉在数学上的贡献之三（数论）

-古代希腊和中国的数学家研究过数的性质。17世纪，P·de费马(Fermat)开辟了近代数论的道路。他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明。欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础。
欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。他很早就采用了同余概念。1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理。1760年，他引进函数φ（n）,给出了这个定理的重要推广：如果a与n互素，则aφ（n）-1可以被n整除。这就是欧拉定理。其中φ（n）表示小于n且与n互素的正整数的个数，叫欧拉函数。欧拉在数论中最重要的发现是二次互反律。它表述在1783年的一篇论文中，但未给予证明。这个定理的叙述实际上早已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意。二次互反律是18世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现。后来，A·M·勒让德(Legendre)重新发现并不完全地证明了它。高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于1801年发表了二次互反律的完整的证明。他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”。二次互反律后来引起了许多数学家，如E·E·库默尔(Kummer)、D·希尔伯特(Hilber)、E·阿廷(Artin)等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作。1950年，I·R·沙法热维奇(Shafarevich)建立了广义互反律。
　　欧拉还致力于丢番图(Diophantus)分析的研究。费马重新发现了求解方程x2-Ay2=1的问题(其中，A是整数但非平方数)，J·沃利斯(Wallis)全部解出了这个问题。欧拉在1732—1733年的一篇论文中，误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了。1759年，欧拉通过把表示成一个连分式，给出了一种解佩尔方程的方法，此后不久，J·L·拉格朗日(Lagrange)开始对这个问题进行全面研究。对费马关于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整数解”的著名猜测(此处x，y，z均为整数，xyz≠0)，1753年欧拉证明 n=3时，它是正确的．欧拉的证明建立在无穷递降法的基础上，并利用了形如的复数，他在《代数学入门》一书中详尽地叙述了这个证明。此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。
　　欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河。他利用调和级数


的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：



函数ζ(s)。1749年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有关的函数方程，即：对于实的s，有


黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义ζ 函数，也是第一个定义自变量为复值的ζ函数的科学家。19世纪和20世纪，ζ 函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在P·G·L·狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J·阿达马(Hadama- rd)等人关于素数分布的研究中更是如此。
　　欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题。J·H·兰伯特(Lambert)1768年证明e和π是无理数时，曾用连分数表示e，但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的。1873年，C·埃尔米特(Hermite)证明e是超越数。1882年，F·林德曼(Lindemann)应用欧拉公式eiπ=-1 (欧拉1728年发现的)，证明了π是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题．欧拉常数


的超越性的猜测，则至今尚未解决。
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