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【来源：中国数学会网站】
欧拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞尔；1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．数学、力学、天文学、物理学．
18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法国科学家L．巴斯德(Pasteur)说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．”(在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的．
——《数学家传记大辞典》欧拉小传之物理学
· ——《数学史选讲第三章近代数学》之欧拉公式
· ——《数学的奇妙》之欧拉与幻方世界
· ——《数学家小故事》之欧拉智改羊圈
· ——《数学趣闻集锦》之欧拉与哥尼斯堡七桥问题
· ——《数学趣闻集锦》之欧拉与费尔马定理
· ——《数学趣闻集锦》之欧拉与完全数
· ——《数学趣闻集锦》之欧拉与哥德巴赫猜想
· ——《100个著名初等数学问题》中与欧拉相关的8个问题
· ——《名人命题》之欧拉的砝码问题
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【来源：中国数学教育网】
有些朋友说，学数学最重要的是方法，做题并不重要，我认为不做大量的题怎么能学到方法呢？从数学历史来看，数学理论的发展几乎都源起于想解决一些特殊的问题。1900年，德国大数学家 D. Hilbert在巴黎举行的国际数学会议上，发表了〈数学问题〉的专题演讲，其前文的前半段就阐明了这个观点：
谁不愿意将未来的面纱揭去，看一眼科学下一步的进步及进展的秘密？下几代的主要数学精神追求的是那些特别的目标？在未来的世纪中，数学这个宽广丰盛的领域又会产生那些新的方法以及新的结果？
回顾历史就知科学发展是连续的。每一时代自有其待解的问题；这些问题到了下一代或许解决了，或者因解之徒劳无益，搁置一旁，而代之以新的问题。想要预知近期数学发展的梗概，我们就得注意那些发生在今日而期待在未来可解的问题。在此世纪接替之际，纵谈数学的问题，自有其意义，因为此时我们不但要回顾过去伟大的成就，同时也要将我们的思索导向未来的发展。
许多问题在数学一般的发展上，或对某些研究者而言，具有极高的价值，这一事实殆无疑问。只要具有众多的问题，一门科学就充满了活力；问题短缺会使之趋于消失或失去独立发展。就像一般的事业必须追求特定目标，数学研究需要的是问题。研究者以问题的解决衡量及锻练其能力；他发现新方法，发展新观点，使他的视野更宽广、更自由。
事先准确判断一个问题的价值是很困难的，甚至是不可能的；价值的判断要取决于这个问题所带给科学的进展。然而我们想知道是否有一般的标准来评判一个数学问题的好坏。一位法国老数学家说：「如果你无法将一个数学理论弄清楚到可以解释给街上任何一个人听，那么这个数学理论就不算完成。」对一数学理论如此清楚、易于了解的要求，我想更应加诸于所谓好的数学问题；清楚、易于了解使人向往，复杂使人排斥。
更有进者，一个数学问题要难得吸引人，但也不能难到无从下手。它必须是真理谜阵中的指标，及成功解答后喜悦的回味品。
过去的数学家都热忱地投入解决某些特定的难题。他们深知难题的价值。想想 John Bernoulli 提出的「最速下降曲线」这个问题就好。Bernoulli 在公开提出这个问题时说：由经验得知，使伟大人物得以促进科学进步的动力，也不过是在他们面前摆着又难同时又有用的问题。所以为了赢得数学界的感谢，他就效法 Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani 等先贤，在许多伟大的分析学家面前，提出他想到的问题，以作为他们的方法，他们的能力的试金石。变分法 就因 Bernoulli 的问题及其它的类似问题而产生了。
大家都知道，Fermat 认定
x＾n + y＾n = z＾n
这样的方程式没有正整数解（n>2）。寻求解答这样一个特殊的、看起来不重要的问题，居然会对数学发展深具启发性，这是问题之有用的显著例证。 Kummer 为了解决 Fermat 问题，引进了理想数，发现它们在圆分体中具有唯一分解成质因子乘积的性质。Dedekind 及 Kronecker 将之推广到一般代数体，使之成为现代数论的中心论题，而其意义更远超出数论范围，进入代数及函数论的领域中。
再提一个相当不同的领域，三体问题。Poincar谷 所带给天体力学的丰富方法及深远原理，就起因于重新研究三体问题这个难题，以便寻求更近似的解答。
Fermat 及三体是两个极端类型的问题。前者是纯理论的产物，属于抽象的数论，后者因天文需要而生，是了解自然界最基本现象的要素。还有，同一个题目也时常引起在极端不同的数学领域中有所应用。譬如，最短曲线问题在几何基础、曲线曲面论、力学以及变分法各方面，都扮演了极重要的角色。F. Klein 在二十面体方面的研究，其在初等几何中多面体问题、在群论、在方程式论以及在线性微分方程所具有的影响，更强烈支持这种观点。
为了强调问题的重要性，我可以再提到 Weierstrass。他说，他在科学研究生涯之初，能够遇到像 Jacobi 反转这样重要的问题，实在幸运之至。
说了问题在数学研究的重要性，我们再来探讨问题的来源。当然每一数学分支中的最老问题都来自经验与自然现象。甚至连数字计算法则在文明之初都是如此而得，就像今日的小孩从经验学得这些法则一样。古时传下来的几何问题，像是倍立方、圆化方，也是一样。还有数字方程式论、曲线论、变分法、Fourier 分析以及势能论也是一样，更不用说那些属于力学、天文及物理的问题。
但要使一门数学再往前进展，就得靠人类的思索促使其成为一门独立的学问。一门学问经由逻辑整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各种想法及新而有用的问题等等，不必有外在因素的具体影响，一样可以自我增殖。质数理论及数论的其它问题、Galois 的方程式论、代数不变量论、Abel 及自我同构函数论——事实上，几乎所有的现代数论及函数论的好问题都是这样产生的。
而当纯理论创造能力发挥之际，外在世界还是发生作用，使我们由实际经验得到新问题，使我们面对新的数学领域。而在用纯理论开展这些新领域时，我们曾找到那些古老未解问题的答案，使古老的理论有所进展。在我看来，数学家在各种领域中观察问题，提供方法与想法中，所得那么多而惊人的类同与和谐，其原因都是来自这种理论与经验经常的交互作用。
在探讨了问题之对数学的重要性及数学问题的来源后，Hilbert 又谈到如何判定一个数学问题是否得解，然后结束前文。接着 Hilbert 花了很多的时间谈论二十三个他认为对今后数学发展曾有重大影响的数学问题。这就是所谓的「Hilbert 数学问题」，它们的确是好问题，的确在二十世纪的数学发展史上扮演了非常重要的角色。
这二十三个问题是：
一、 Cantor 连续体的基数问题，
二、 算术公理的无矛盾性，
三、 等底等高两四面体的等积性，
四、 两点间最短路程做为直线的问题，
五、 连续群的定义函数除去可微性的问题（Lie 原来的观念），
六、 物理学公理化，
七、 某些数的无理数性及超越性，
八、 质数问题，
九、 任何代数体中最一般的互逆法则，
十、 决定 Diophantine 方程式的可解性，
十一、 系数为代数数的二次式，
十二、 推广 Kronecker 的 Abel 扩张定理到任何代数体上，
十三、 七次方程式不能用两变量函数来解，
十四、 某些完备函数的有限性，
十五、 Schubert 算法的严密基础，
十六、 代数曲线与曲面的拓朴，
十七、 正定型的平方和表现，
十八、 以全等多面体铺成空间的问题，
十九、 正则变分问题的解都是解析的？
二十、 一般的边界值问题，
二十一、 给定 Monodromy 群，线性微分方程式的存在问题，
二十二、 以自我同构函数做解析关系的一致化，
二十三、 变分法的进一步开展。
问题固然是数学活动的泉源，Hilbert 的数学问题固然证明了这个观点，但并不是每一个问题都能激起有意义的数学研究。法国数学家 J. Dieudonn谷 在其著作《A Panorama of Pure Mathematics》中，把数学问题就其对数学发展的影响分成几类。
一、死产了的问题：问题本身未得解决，试求解决的过程对数学的发展也未产生帮助。譬如 Fermat 质数问题：除 n=0,1,2,3,4 外，2＾2n+1 还可能是质数吗？
及 Euler 常数的无理数性问。
二、无意义的问题：问题虽然解决了，但对其他问题的进展毫无影响。许多排列组合的问题属于此类。
三、产生方法的问题：用来解决问题的方法或其变形可以解决许多类似或更复杂的问题，虽然我们不一定了解这些方法所以能够解题的关键。解析数论及有限群论就有许多这样的例子。
四、活跃领域中的问题：问题的研究终究能够找出意想不到的背后基本结构，不但解决原来问题，而且提供普遍性的方法，以阐明其它领域中的许许多多问题。譬如，李群与代数拓朴是目前的典型例子。
五、衰退领域中的问题： Hilbert 也说过，如果没有不断的新问题的刺激，一个数学理论不可能活跃。一旦一个数学理论中的大问题已经解决，与其它数学领域的关系也弄清楚后，研究者就会钻起牛角尖来。不变量理论就曾有几次演变成这种阶段。
六、稀释领域中的问题：选对了公理的系统可以导出很好的理论与技巧。一个公理系统的成功常使研究者漫无目的变更公理，以期再造佳绩；当然，这种期望往往落空。（这类研究者往往举不出研究对象的应用实例，所以 Dieudonn谷 幽默地说他也不举出这一类型的例子。）
当然第四类问题最重要，其次才是第三类问题。其它类的问题就数学发展而言都是毫不足道的。问题是数学活动的泉源，如何选择有意义的研究问题，Hilbert 给了典范，Dieudonn谷 提出了判断标准。
——问题是数学发展的源泉
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【来源：百度百科】
最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
——21世纪数学七大难题
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【来源：数学史料】
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
几何三大问题是 :
1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2.三等分任意角；
3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。/18=20。)。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
——几何的三大问题
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【来源：中国数学与系统科学信息网】
南方网讯 一名“隐居”的俄罗斯数学家近期将为成为国际数学界的焦点。据外电报报道称由于他很可能已成功证明出困扰全世界科学界近百年的数学难题——“庞加莱猜想”，而有望获得美国麻省理工大学克莱数学研究所为此设立的100万美元巨奖。不过出乎一些人的意外，这名看淡名利的数学天才似乎对领取这笔奖金并不感兴趣。
这名俄罗斯数学家名叫格里高里－佩雷尔曼，目前生活工作在俄罗斯圣彼得堡市，是当地斯蒂克洛夫数学研究所的研究员。格里高里－佩雷尔曼在最近一段时期内表示，经过长期的研究工作他已经成功证明了一个世纪前由法国著名数学家亨利－庞加莱（Henri Poincaré）未能解决的一道数学难题，这就是著名的“庞加莱猜想”。其研究论文已陆续发表在国际著名数学网站上，有专家已表示格里高里－佩雷尔曼的证明很可能就是人们苦苦求证多年的正确答案。
庞加莱猜想（Poincare Conjecture）
“庞加莱猜想”是法国著名数学家亨利－庞加莱在1904年所发表的一组论文中所提出来的，当时他认为：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”后又被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”
“庞加莱猜想”的具体内容是：“如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是”单连通的“，而轮胎面不是。”大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，而三维的情况一直以来困扰着全世界的数学家们为之不懈的奋斗。
亨利－庞加莱（Henri Poincaré）的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
21世纪七大数学难题
在数学界“庞加莱猜想”只是众多未解难题之一，但是也是被视为最复杂抽象的挑战之一。美国麻省理工大学克莱数学研究所2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事，该机构设立了七个被称为“千僖年数学难题”巨奖，为每道难题悬赏奖金一百万美元。这七大七大千年难题是：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题；霍奇（Hodge）猜想；庞加莱（Poincare）猜想；黎曼（Riemann）假设；杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口；纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性；贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想。
“庞加莱猜想”是代数拓扑学的基本命题，据介绍代数拓扑学是当代数学界最具活力的领域之一，而对“庞加莱猜想”的证明则将会对数学界流形性质的认识、甚至是用数学语言描述宇宙空间产生重要的影响。
“隐居”数学家格里高里－佩雷尔曼（Grigori Perelman）
格里高里－佩雷尔曼在俄罗斯圣彼得堡大学获数学和力学系博士学位，毕业后在斯蒂克洛夫数学研究所进行研究工作。上世纪80年代末至90年代初曾先后在美国数所大学和研究机构进行访问研究。由于他出色的研究工作，曾获得了众多留在美国工作生活的机会。但是与其他人预料的不同，格里高里－佩雷尔曼放弃了优厚的待遇，于1995年回到俄罗斯并从此在斯蒂克洛夫数学研究所全身心投入他自己的研究工作中。据称格里高里－佩雷尔曼对外界评论不甚关心，他对是否能获得100万美元的巨奖表示并不感兴趣。
格里高里－佩雷尔曼发表他关于“庞加莱猜想”的证明最早始于2002年11月，此后他陆续将一系列的研究报告发表在国际著名的数学网站上。目前国际数学界众多专家都已经注意到他的研究成果，美国麻省理工大学克莱数学研究所也正在加紧审阅他的报告。
据称尽管评审规则中要求论文必须发表在国际著名数学刊物上，但格里高里－佩雷尔曼出色的研究成果已经深深吸引住数学家们的注意力而无暇顾及什么评审规则了。同时“千僖年数学难题”奖金授予机构也明确表示很有可能会因此修改其中的评审规则。据称整个审阅过程将与2005年结束，届时将最终知道“庞加莱猜想”是否真的已经被格里高里－佩雷尔曼证明。
——俄隐居数学家破解百年数学难题庞加莱猜想
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【来源：互联网】   作者：张贤科
提要: 三个多世纪的著名数学难题,费尔马大定理,已被普林斯顿大学的怀尔斯证明, 并已获大奖. 震撼数学界的历史事件引起世界各界广泛热烈关注. 本文浅要地介绍整个事件的概况与传奇历史, 获奖情况与各家评论及影响意义, 怀尔斯的生平和特点, 历尽曲折的八年证明中的故事, 也在最后介绍有关的现代数学知识和怀尔斯的证明思路,并附较全的资料信息源.
历史大难题费尔马大定理的证明已被确认，论文已在1995年发表[1-2]. 给出证明的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew J. Wiles)1953年生于英国, 现为美国普林斯顿大学教授. 已获得沃尔夫奖和国家科学院奖.世界性的费尔马热向更深入的层次发展.许多地方纷纷举行有关的学术研讨班. 本文将介绍最终的证明情况和获奖评论等情况，并在最后适当解释一些数学. 有关历史及1985年前情况可见文[3-4].
1. 概述
费尔马大定理又称费尔马最后定理(Fermat's Last Theorem),是著名法国数学家费尔马在约1637年写下的一个猜想：对于任意大于2的整数n , 不可能有非零的整数 a, b, c满足 . 这是他写在古希腊数学家丢番图的名著?算术?的页边上的.猜想提出后二百年间，只解决了n=3, 4, 5, 7这四种情形.在约1847年，库木尔(事实上)创立了代数数论,可以发展出对于许多n的证明.但经350多年无数人的努力,直到1993年终不能完全证明。
此次的转机始于1985-86年. 福雷(G. Frey)1985年断言, 谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想(即椭圆曲线都是模的)包含费尔马大定理. 1986年夏，瑞拜特(K.Ribet)用塞尔(Serre)的设想证明了福雷的断言.因此从1986年起,要想证明费尔马大定理就只要证明谷山丰-志村五郎猜想即可. 这里的数学关系其实可简述成这样(即反证法): 先假设费尔马大定理不正确, 即 对某三个整数a, b, c成立,那么福雷建议考虑方程所表示的曲线E (这是一条半稳椭圆曲线). 瑞拜特证明了E不是模的; 只要能再证明E是模的, 就导致了矛盾.就说明原来的假设不对,即得费尔马大定理正确.
怀尔斯得知瑞拜特的结果后,立刻决心研究. 潜心七年. 终于在1993年6月23日上午10点半左右在英国剑桥大学牛顿研究所, 在连续三天的讲演的最后, 概述证明了谷山丰-志村五郎猜想的一大部分，从而证明了费尔马大定理. 这立刻震动了世界.一片节日欢庆.
但数月后，怀尔斯的证明逐渐被发现有问题. 怀尔斯在1993年12月4日发出电子信, 称证明的最后部分不完全, 但相信可修复. 一时间, 漏洞能否最终修复,世界注目,历史走到了一个关键时刻. 大多数专家相信漏洞不久可修复, 并且高度评价怀尔斯工作的正确部分. 但也有各种议论. 著名专家伐尔廷斯(G.Faltings)1994年3月在《科学美国人》期刊上说:"如果它是容易的, 他到现在就该已经解决过了.严格地说, 它被宣布的时候还不是一个证明."威耳(A.Weil)也在该期刊写到:"我相信他曾有过好的想法去尝试作出证明, 但是证明不在那里. 在某种程度上, 证明费尔马大定理象爬埃佛勒斯峰(即珠穆朗玛峰—作者注). 如果一个人想要爬上埃佛勒斯峰而在离它百码之近倒下了, 那他没有爬上埃佛勒斯峰."
怀尔斯的研究非常艰苦. 多种尝试, 包括他的学生泰勒(K.Taylor, 英国剑桥大学)1994年春起的协助, 均告失败. 1994年8月11日下午他在苏黎世"国际数学家大会"作大会最后报告时, 未有任何新进展, 会下笔者见他异常憔悴. 九月“当泰勒仍然不相信欧拉系统法无可挽回的时候",怀尔斯决定再最后看一眼自己曾用过的环论老想法, 突然在94年9月19日的思维闪电中找到了迷失的钥匙.然后他将此论述告知泰勒, 二人核实细节. 怀尔斯最终完成了历史性长篇论文“模椭圆曲线和费尔马大定理"; 并将支持此文的最后工作细节与泰勒合写成短文“某些亥克代数的环论性质". 1994年10月6日, 他将新证明送给三位同事看, 包括伐尔廷斯. 二文受到谨慎的欢迎. 最后发表在《数学年刊》（普林斯顿大学协办）第141卷(1995年)，整整占满了全卷, 收稿日期分别标为1994年10月14日和7日(即文[1]和[2], 以下简称怀文和怀泰文). 怀尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，并连续获得沃尔夫奖（1996年3月）和[美国]国家科学院奖（1996年6月）.
怀尔斯最后发表的论文[1], 与作者原见到的他1994年10月的预印本（见文[3]中介绍）内容几乎完全相同，但引言部分已全然重写，详细地说明了他的研究历程，也简介了主要数学结果.从此引言中可以看出，怀尔斯本人确是当之无愧的费尔马大定理的唯一证明人.这澄清了前些时少数人的猜疑. 怀文共109页，五章. 在标题下首先引述了费尔马当年作出猜想的那段名言原文.接着是11页引言.
引言最后写道:“很高兴感谢剑桥会议后仔细阅读此文部分早期草稿的人，特别是慨次(N.Katz),他耐心地回答了我在欧拉系统工作过程中的许多问题，并与伊录西(Illusie)一起审读了该欧拉系统论证.他们的提问引导我发现了问题的所在.慨次也审听了我在1993年秋的首次改正尝试. 我也很感谢泰勒，为了他在深入地分析欧拉系统论证中的帮助. 我很感激戴邙德(F.Diamond)，为了他在准备此文最后定稿时的慷慨帮助. 除了他的许多珍贵建议外，其他一些人也作了很有帮助的评论和建议，特别是康莱德，得·沙利特, 伐尔廷斯，瑞拜特，茹宾，斯肯讷，和泰勒. 最后我极其感谢达尔蒙，为了他对于重新考虑我的老论证的鼓励.虽然我当时毫未注意他的劝告，但它当然留下了它的印迹.
——费尔马大定理——怀尔斯的证明
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【来源：国际在线】   作者：韩雪涛
世界悬赏最高的数学猜想
由于作为数学发展史上一桩300年的悬案，费马大定理成为数学中最著名的猜想之一，世界各国科学部门都设立高额奖金悬赏解题人。
17世纪末，德国达姆斯塔特城的科学家和市民们募捐了10万金马克，拟奖励解题人。
1861年及1850年法国科学院曾先后两度悬赏30000法郎，但100年来无人报领。
1908年德国的闵可夫斯基博士（Hermann Minkowshik，1864—1909）将10万马克捐赠哥廷根科学院，再向全世界征求费马猜想的证明，限期100年，但始终没有人来领取这笔奖金。
1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的10万马克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值5万美金左右，但怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
“证明演讲”对世界的震撼”
世界各大学和科研单位纷纷集会，欢庆费马大定理的证明成功。
“怀尔斯的成果可以和物理学中的原子分裂，生命科学中脱氧核糖核酸结构的发现相提并论。”——路透社
《人物》杂志把他列为最有魅力的25位人物之一并与黛安娜王妃齐名。
一家国际服装公司邀请这位文质彬彬的数学天才在该公司的男式服装新款系列上签名。
辛厄《数学“侦探”怀尔斯的故事》变成一本国际畅销书。书中是这样描写怀尔斯的：“他的故事非常迷人，这是我由生以来发现的最伟大的科学故事，他取得了一项真正里程碑意义的科学突破。”
在旧金山，一 群数学家租借了一个有1200个座位的电影院，以每张票5美圆的价格向公众讲解定理证明。在售票过程中，票贩子竞可以在一张票上赚到高达25美圆的利润。
数学家的感叹
“我就像是围绕着一座没有灯光的漆黑的大厦团团乱转。当你闯入第一个房间时，里面一片漆黑，跌跌撞撞到处都撞上家具。但你慢慢知道了每一件是在什么地方。6个月以后，你终于找到了电灯，并把它打开，房间里突然一片光明。”—怀尔斯
“我从没有想停下来，它整日整夜地在我的头脑里。”—怀尔斯
——关于证明费马大定理的相关花絮
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【来源：中国数学与系统科学信息网】
证明“1＋1”奖金一百万
英美出版社为证明哥德巴赫猜想悬赏
维也纳消息　据奥新社报道，英国费伯出版社和美国布卢姆斯伯里出版社不久前宣布，谁能在两年内解开哥德巴赫猜想这一古老的数学之谜，可以得到100万美元的奖金。
英美这两家出版社是为给希腊作家阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》作宣传而作出上述决定的。不过，这两家出版社同时也有言在先，即它们虽然提出悬赏，但并不保证哥德巴赫猜想就一定是可以得到证明的。1742年，德国数学家哥德巴赫在给他同行欧拉的一封信中提出了：每个不小于6的偶数都是两个素数之和（简称“1+1”）的设想，被后人称为“哥德巴赫猜想”。目前利用计算机还只能证明到10的14次方为止哥德巴赫猜想是成立的，而严格的数学论证则要求其解释对所有的数都有效。
英国费伯出版社和美国布鲁姆斯伯里出版社为给希腊作家佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》作宣传，18日宣布将为能证明哥德巴赫猜想者颁发高达100万美元的奖金，截止日期为2002年3月15日。
1742年，德国数学家哥德巴赫在给他的同行奥伊勒的一封信中提出了“任何一个大于2的偶数都是两个质数之和”的设想，比如12＝5＋7，70＝53＋17，被后人称为“哥德巴赫猜想”。陈景润1973年发表论文，把哥德巴赫猜想证明大大推进了一步，即从（1＋3）到（1＋2）。国际上把陈景润的（1＋2）称为“陈氏定理”。 ——证明哥德巴赫猜想悬赏100万
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【来源：深圳机械工程学会】
我国是世界上求得哥德巴赫猜想领先的国家。
早在1965年，我国的著名的数学家陈景润，经过长期刻苦钻研、日夜计算，初步把哥德巴赫猜想求证到世界最领先地位，并于1966年5月发表在中国科学院刊物《科学通报》第17期上，正式宣布了他已经证明了（1+2）。这个消息震动了国内外数学界。
陈景润自己认为，虽然他在1965年就已初步达到了（1+2）。但是解答太复杂了，写了两百多页的稿子，不符合数学论文要求的正确性和简洁性，特别是简洁性。当然他的论文是没有错的，但是为了达到既正确又简炼，他又下了七年的功夫。这七年中他攻克了多种外语关，攻克文字简炼关。攻克了病魔缠身关，终于1973年2月完成了他的论文，被国外命名为"陈氏定理"。把哥德巴赫猜想求证到最领先地位。他的先进筛法被鉴为筛法的光辉顶点。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫于1742年6月7日给欧勒（瑞士数学家）的信中提出来的，即任何一个整数n≥6可以用三个素数的和来表示。同年6月30日，欧勒在回信中指出，为了解决这个问题，需要充分证明：每一个偶数都是两个素数的和。这些论点（哥德巴赫问题或哥德巴赫--欧勒问题）可归结为：任何一个偶数n≥4是两个素数的和，任何一个奇数n≥7是三个素数的和。这个问题虽然用实验检验得到证实，但是没有一般的证明。为了证明这个问题，许多数学家作出了努力，但没人能证明它。18世纪没人证明它，19世纪也没人证明它，到了20世纪的二十年代，问题才开始有了点儿进展。
很早以前，人们就想证明，每一个大偶数是二个“素因子不太多的”数之和。他们想这样来设置包围圈，想由此来逐步地证明哥德巴赫这个命题一个素数加一个素数（1+1）是正确的。
1920年，挪威数学家布朗，用一种古老的筛法（研究数论的一种方法）证明了：每一个大偶数是二个"素因子都不超九个的"数之和。布朗证明了：九个素因子之积加九个素因子之积（9+9），是正确的。这是用筛法取得的成果。但范围还很大，需要缩小包围圈。于是在1924年数学家拉德马哈尔证明了（7+7），1932年数学家爱斯斯尔曼证明了（6+6），1938年数学家布赫斯塔勒证明了（5+5），1940年他又证明了（4+4）。1956年数学家维诺格拉多夫证明了（3+3）。范围越来越小。另外早在1948年匈牙利数学家兰恩汤另外设置了一个包围圈，证明了（1+6）。以后又十年没有进展，直到1962年，我国的数学家，山东大学讲师潘承洞证明了（1+5），又前进了一步；同年王元、潘承洞又证明了（1+4）。1965年，布赫斯塔勃、维诺拉多夫和数学家庞皮艾黎都证明了（1+3）。1966年我国数学家陈景润证明了（1+2）；到1973年陈景润正式发表了他的论文，被命名为"陈氏定理"，取得了证明哥德巴赫猜想的领先地位。
陈景润福建人，1933年出生在一个职员家庭，他父亲是个邮政局职员，母亲是个善良的操劳过甚的妇女，她共生了12个子女，只活了六个。陈景润排行第三，由于家庭孩子多，他没有享受过童年的快乐。又由于旧社会国民党匪军疯狂屠杀、抢劫，在他幼小心灵上受到了极大的创伤。正由于这些情况，造就了他内向的性格，便爱上了数学。在小学演算数学习题占去了他大部分的时间。初中时候，外地来的两个数理老师喜欢他，对他帮助很大，他不理人们对他的歧视，一心钻入枯燥无味的代数方程式里。抗战胜利后，他又进入了英华书院。那里有个数学老师，曾是国立清华大学的航空系主任，他给同学们讲了许多有趣的数学知识，同学们都被他吸引住了，当然陈景润更是不用说了。
一次，老师给他们讲了哥德巴赫猜想这道难题：每一个大偶数都可以写成两个素数的和。经过200多年来，多少数学家企图给这个猜想作出证明都没有成功。同学们听后，教室里象开了锅，许多同学都想证明，以为是比较容易的。可是老师又说，自然科学的皇后是数学，数学是皇冠是数论，哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。听后，同学们都惊讶地瞪大了眼睛。
老师又说，证明这道难题是很难很难的，但是我昨晚作梦，梦见你们中间有一位同学证明了哥德巴赫猜想。同学们听后都轰然大笑了，唯有陈景润没有笑，第二天上课后，几个同学兴冲冲给老师送上了几分答卷，他们说已经证出来了，老师笑着说："算了，算了，没那么容易，你们是想骑着自行车到月球上去。"教室里又爆发出一陈洪堂大笑，独有陈景润没有笑，他暗下决心，努力学习，一定要把这颗皇冠上的明珠拿下来。
1950年，陈景润考进了厦门大学，因为成绩特别优异，于1953年提前毕业了，并分配到北京一所中学当数学老师。由于他不善于讲话，说话多了嗓子就疼，又由于他不会照顾自己，又不注意营养，就积忧成疾，患了肺结核和急腹症。这一个他虽然没有教好书，但他没放弃他的专业，他到新华书店买了一部华罗庚的名著《堆垒素数论》，就一头扎进去，钻研起来了。后因为他教不好书，又调回厦门大学。王校长让他到图书馆当管理员，又不让他管理图书，只让他专心致意地研究数学。陈景润没辜负老校长对他的培养，他精心地钻研了华罗庚的《堆垒素论》和《数论导引》。通过刻苦钻研，陈景润很快地写出了数论方面的专题文章，寄给了中国科学院数学研究所，华罗庚看后非常高兴，认为是个人材，就建议把陈景润调到数学研究所当实习研究长。
1956年，陈景润被调到了北京数学研究所。在许多著名的数学家指导下，他的才智得到了很大的发挥。他在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题等等方面都改进了中外数学家的结果。单就这些成果，他就有很大贡献。
在他具备了充分依据后，他就以惊人的顽强毅力，向哥德巴赫猜测想挺进了。他废寝忘食，昼夜不舍地进行了大量的运算，一心一意搞数学，搞得他发呆了。有一次，他撞到树上，还向谁撞了他，他把全部心血和智慧都奉献给这道难题上了。他为此付出了很高的代价。两眼凹陷了，溘核病复发了，喉头炎严重、腹痛难忍受。有时人事不知，都还挂记着数学符号。另外善意的误会、无知的嘲讽，向他冲击，他一概不理睬，分秒必争的计算、计算……他终于拿下了（1+2）。取得了求证哥德巴赫猜想领先地位。
——哥德巴赫猜想最领先的求证
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【来源：北京新华社】
徐迟那篇著名的报告文学，使数亿普通百姓知道了“自然科学的皇后是数学；数学的皇冠是数论；歌德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠”，也知道了陈景润是全世界离那颗明珠最近的人——只差最后一步。但20多年过去了，这一步还是没有人能够跨过去。
歌德巴赫猜想已让人类猜了整整260个年头。1742年，德国数学家歌德巴赫写信给大数学家欧拉，提出每个不小于6德偶数都是二个素数之和（简称“1+1”）。例如，6=3+3，24=11+13，等等。欧拉回信表示，相信猜想是正确德，但他无法加以证明。
从那时起德近170年，许多数学家费尽心血，想攻克它，但都没有取得突破。直到1920年，挪威数学家布朗终于向它靠近了一步，用数论中古老德筛法证明了：每个大偶数是九个素因子之积加九个素因子之积，即（9+9）。
此后，对猜想德“包围圈”不断缩小。1924年，德国数学家拉德马哈尔证明了（7+7）。1932年，英国数学家爱斯斯尔曼证明了（6+6）。1938年，苏联数学家布赫斯塔勃证明了（5+5），2年后又证明了（4+4）。1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了（3+3）。1958年，我国数学家王元又证明了（2+3）。1962年中国数学家潘承洞证明了（1+5），王元证明了（1+4）；
1965年，布赫斯塔勃等又证明了（1+3）。“包围圈”越来越小，越来越接近终极目标（1+1）。
1966年，中国数学家陈景润成为世界上距这颗明珠最近的人——证明了（1+2）。他的成果处于世界领先地位，被国际数学界称为“陈氏定理”。由于再歌德巴赫猜想研究方面的卓越成就，1982年，陈景润与王元、潘承洞共同荣获国家自然科学奖一等奖。
从陈景润证明了（1+2）以来，歌德巴赫猜想的最后一步——证明（1+1）没有本质进展。有关专家认为，原有的方法已被用到极至，必须提出全新的方法，采用全新的思路，才可能对猜想取得进一步的研究成果。
——摘取“皇冠上的明珠”还差最后
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【来源：中国数学在线】
地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德·摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。
德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）
我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子（图1）。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会
现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域（图2）。但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯的复辙了。
——地图四色定理
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【来源：中国数学在线】
世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
——解决四色猜想的历程
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【来源：新闻晨报】
“庞加莱猜想”是数学界赫赫有名的“七大难题”之一，多年来，无数科学家为之而绞尽脑汁。到目前为止，数学界多位大师级人物一致认为，只有俄罗斯著名数学家格里戈里·佩雷尔曼的研究报告可能是正确的，佩雷尔曼因而很有希望获得总数为100万美元的大奖。然而这位“高人”似乎对奖金没什么兴趣，他已经明确表示即便他真的破解了这个数学难题，也绝对不会领一分钱。
俄数学家已有了结论
在20世纪初期，“庞加莱猜想”横空出世。这是代数拓扑学中带有基本意义的命题，全球闻名的美国克莱数学研究所于2000年将之列为“世界七大数学难题”之一。该研究所还为这七大难题开出了每题100万美元的高额奖金，希望它们早日被高手破解。许多数学家甚至是数学爱好者都把这些世界级难题做为研究方向，每隔一段时间就会有人声称证明了某道题。然而，这些人的“证明”最后都被证明经不起推敲。
出生于圣彼得堡的佩雷尔曼也对“庞加莱猜想”很感兴趣，几十年来，这位颇有名气的数学家一直离群索居，在圣彼得堡斯蒂克洛夫数学研究所一间普通的工作室里苦思冥想，最终得到了结论。1992年11月，他首次在互联网上公开了他的研究报告，4个月后，他又发布了第二份报告。
即使解题也无意拿奖
最近几年来，佩雷尔曼的研究引起了同行们的重视，几位数学大师主动发电子邮件与他交流心得。2003年4月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院做了三场演讲，并大获成功，听过演讲的专业人士普遍认为，他的证明工作是极富创造性的。据悉，通过这些年来的进一步研究，佩雷尔曼可能在今年再次通过互联网公布他的最新研究成果。目前，有关专家正在对佩雷尔曼的证明报告进行审查，预计审查工作将在2005年全部结束。
现在，佩雷尔曼可以说是全世界最有希望获得百万美元奖金的数学家了，然而，9月6日，这个生性腼腆的天才却做出惊人之举，他主动给克莱数学研究所发了一份通知，明确表示自己对金钱毫无兴趣，更不想成为什么百万富翁，所以即便他真的破解了“庞加莱猜想”，他也绝对不会去领这笔奖金。
□“庞加莱猜想”手稿之一
世界七大数学难题
■P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题
■霍奇(Hodge)猜想
■庞加莱(Poincare)猜想
■黎曼(Riemann)假设
■杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
■纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
■贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
新闻链接 “庞加莱猜想”
法国人庞加莱（HenriPoincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。
庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。
——俄数学家有望解开“世界七大数学难题”之一
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【来源：中国数学与系统科学信息网】
数论中另一种非常重要的研究对象是神秘的素数对,或成为孪生素数,孪生素数是指如果p是素数且p+2也是素数,则称p和p+2为一对孪生素数,比如5,7;11,13等等.在100以内有8对孪生素数:(3,5); (5,7); (11,13);(17,19);(29,31);(41,43);(59,61);(71,73).
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的到数和为:
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:
B=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:B=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.
孪生素数猜想是一个与歌德巴赫猜想齐名的著名猜想.有朋友在我的留言簿中写了这个猜想,意思是让我来证明或否定孪生素数是否有无穷多个,我作为一个业余数学爱好者实在没有这个能力.
用p(x)表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况
x p(x)
1000 35
10000 205
100000 1224
1000000 8169
10000000 58980
100000000 440312
1000000000 3424506
10000000000 27412679
100000000000 224376048
p(x)与x之间的关系是什么样的呢?1922年,英国数学家哈代和利托伍德提出一个孪生素数分布的猜想:
p(x)≈2cx/(lnx)2
其中常数c=(1-1/22)(1-1/42)(1-1/62)(1-1/102)...
即,对于每一个素数p,计算(1-1/(p-1)2),再相乘.经过计算得知 c≈0.66016称为孪生素数常数.这个猜想如上所述有可能是正确的,但是至今也未获证明.
下表是目前所发现的最大的前二十个孪生素数:
rank prime digits who when comment
1 361700055.239020±1 11755 Henri Lifchitz 1999 Twin
2 835335.239014±1 11751 Ballinger & Gallot 1998 Twin
3 242206083.238880±1 11713 Jarai & Indlekofer 1995 Twin
4 40883037.223456±1 7069 Lifchitz & Gallot 1998 Twin
5 843753.222222±1 6696 Rivera & Gallot 1997 Twin
6 7485.220023±1 6032 Buddenhagen & Gallot 1998 Twin
7 8182815.217838±1 5377 Smith & Gallot 1998 Twin
8 570918348.105120±1 5129 Harvey Dubner 1995 Twin [Ribenboim95, p263]
9 22687485.216557±1 4992 Hanson & Gallot 1999 twin
10 697053813.216352±1 4932 Jarai & Indlekofer 1995 Twin [IJ96]
11 37442007.215440±1 4656 Hanson & Gallot 1999 Twin
12 6797727.215328±1 4622 Tony Forbes 1995 Twin [Forbes97]
13 1692923232.104020±1 4030 Harvey Dubner 1993 Twin [Peterson93]
14 3981.213153±1 3964 Walker & Gallot 1999 Twin
15 245630385.212937±1 3903 Brennen & Gallot 1998 Twin
16 915.211455±1 3452 Ballinger & Gallot 1998 Twin
17 4655478828.103429±1 3439 Harvey Dubner 1993 Twin [IJ96]
18 1706595.211235±1 3389 Brown, Noll, Parady, Smith_G, Smith_J & Zarantonello 1989 Twin [PSZ90]
19 10941.210601±1 3196 Hanson & Gallot 1998 Twin
20 12110457.210006±1 3020 Lifchitz & Gallot 1998 Twin
回文素数是非常有意思的素数,最小的是131,还有151,181,191,313,353,373,383,757,787,797等等.下表列出了最近发现的最大的十个回文素数:
742950290870000078092059247, 742950290871010178092059247,
742950290872020278092059247, 742950290873030378092059247,
742950290874040478092059247, 742950290875050578092059247,
742950290876060678092059247, 742950290877070778092059247,
742950290878080878092059247, 742950290879090978092059247.
——素数对之谜
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【来源：中国数学与系统科学信息网】
在数学上也不乏无声胜有声这种意境。1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐上了讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是2是67次方－1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？
因为科乐解决了两百年来一直没弄清的问题，即2是67次方－1是不是质数？现在既然它等于两个数的乘积，可以分解成两个因数，因此证明了2是67次方－1不是质数，而是合数。
科尔只做了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简单算式中所蕴含的勇气，毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。 ——无声胜有声
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【来源：卢昌海数学网站】
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. ------------------------- H. Montgomery
让我们从一则小故事开始我们的Riemann猜想之旅吧。故事发生在大约七十年前，当时英国有一位很著名的数学家叫做Godfrey Hardy(1877-1947)，他是两百年来英国数学界的一位“勇者”。为什么说他是勇者呢？因为在十七世纪的时候，英国的数学家与欧洲大陆的数学家之间发生了一场剧烈的论战。论战的话题是谁先发明了微积分。论战的当事人一边是英国的科学泰斗Isaac Newton (1642-1727)，另一边是欧洲大陆(德国)的哲学及数学家Gottfried Leibniz (1646-1716)。这一场论战打下来，两边筋疲力尽自不待言，还大伤了和气，留下了旷日持久的后遗症。英国的许多数学家开始排斥起来自欧洲大陆的数学进展。一场争论演变到这样的一个地步，英国数学界的集体荣誉及尊严、Newton 的赫赫威名便都成了负资产，英国的数学在保守的舞步中走起了下坡路。这下坡路一走便是两百年。
在这样的一个背景下，在复数理论还被一些英国数学家视为来自欧洲大陆的危险概念的时候，土生土长的英国数学家Hardy却对来自欧洲大陆 (德国 - 又是德国)、有着复变函数色彩的数学猜想- Riemann 猜想-产生了浓厚的兴趣，积极地研究它，并且取得了令欧洲大陆数学界为之震动的成就(这一成就将在后文中介绍)，算得上是勇者所为。
当时 Hardy 在丹麦有一位很好的数学家朋友叫做Harald Bohr (1887-1951)，他是著名量子物理学家 Niels Bohr 的弟弟。Bohr 对 Riemann 猜想也有浓厚的兴趣，曾与德国数学家 Edmund Landau (1877-1938)一起研究Riemann 猜想(他们的研究成果也将在后文中介绍)。 Hardy 很喜欢与 Bohr 共度暑假， 一起讨论Riemann猜想，常常待到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次当他赶到码头时，发现只剩下一条小船可以乘坐了。在汪洋大海中乘坐一条小船可不是闹着玩的事情，弄得好算是浪漫刺激，弄不好就得葬身鱼腹。信奉上帝的乘客们此时都忙着祈求上帝的保佑。 Hardy 却是一个坚决不信上帝的人，不仅不信上帝，有一年还把向大众证明上帝不存在列入自己的年度六大心愿之中，且排名第三 (排名第一的是证明 Riemann 猜想)。不过在这生死攸关的时刻 Hardy 也没闲着，他给Bohr发去了一封电报，电报上只有一句话：
“我已经证明了 Riemann 猜想！”
Hardy 为什么要发这么一个电报呢？回到英国后他向 Bohr 解释了原因，他说如果那次他乘坐的船真的沉没了，那人们就只好相信他真的证明了 Riemann 猜想，但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他 - 一个坚决不信上帝的人 - 的，因此上帝一定不会让他的小船沉没的。[注一]
上帝果然没有舍得让 Hardy 的小船沉没。自那以后又过去了七十来个年头，吝啬的上帝仍然没有物色到一个可以承受这么大荣誉的人。
——黎曼猜想(一)--Hardy 的电报
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【来源：卢昌海数学网站】
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. ----------------------------- H. Montgomery
那么这个让上帝如此吝啬的 Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先来介绍一个函数： Riemann ζ 函数。这个函数虽然挂着 Riemann 的大名，却不是 Riemann 提出的。但是 Riemann 虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛运用奠定了基础。后人为了纪念Riemann 的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。[注二]
Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为自然数)
ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)
在复平面上的解析延拓。之所以需要解析延拓，是因为上面这一表达式 - 如我们已经注明的 - 只适用于复平面上 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了上面这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这一现代复变函数论的术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：
式中的积分环绕正实轴进行 (即从 ∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至 ∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。
运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为自然数) 取值为零-因为 sin(πs/2) 为零[注三]。复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为自然数) 是 Riemann ζ 函数的零点。这些分布有序的零点性质十分简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它的零点，那些零点被称为非平凡零点。对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的 Riemann 猜想就是关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来笼去脉：
Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点 (non-trivial zeros) 都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
在 Riemann 猜想的研究中数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line， 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
这就是 Riemann 猜想的内容，它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹有关复变函数的命题， 但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。 二零零三年十一月六日写于纽约
注释
[注一] 这个故事让我想起一句有趣的无神论者的祈祷语： God, if there is one, save my soul if I have one (上帝啊， 如果你存在的话， 拯救我的灵魂吧，如果我有灵魂的话)。
[注二] 远在 Riemann 之前， Riemann ζ 函数 (当然那时还不叫这个名字) 的级数表达式就已经出现在了数学文献中， 但是那些表达式中函数的定义域较小。 Riemann 把 Riemann ζ 函数的定义域大大地延拓了，这一点对于 Riemann 猜想的表述及研究具有重要的意义。 仅凭这一点，即便把 Riemann 称为 Riemann ζ 函数的提出者之一，也并不过份。
[注三] sin(πs/2) 在 s=0 及 s=2n (n 为自然数) 时也为零， 但是 s=0 时 ζ(1-s) 有极点， s=2n (n 为自然数) 时 Γ(1-s) 有极点， 因此只有在 s=-2n (n 为自然数) 时可以由 sin(πs/2)=0 推知 Riemann ζ 函数的取值为零。
——黎曼猜想（二）－Riemannζ函数与Riemann猜想
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【来源：卢昌海数学网站】
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.
--------------------   H. Montgomery
一个复数域上的函数 - Riemann ζ 函数 - 的非平凡零点 (以后将简称为零点) 的分布怎么会与风马牛不相及的自然数域中的素数分布产生关联呢？ 这还得从 Euler 乘积公式 谈起。
我们知道， 早在古希腊时代， Euclid 就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。 随着数论研究的深入，人们很自然地对这些素数在自然数域中的分布产生了越来越浓厚的兴趣。 1737 年， 著名数学家 Leonhard Euler (1707-1783) 在圣彼得堡科学院 (St. Petersburg Academy) 发表了一个极为重要的公式，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。 这个公式就是 Euler 乘积公式：
Σn n-s = Πp(1-p-s)-1
公式中左边的求和对所有的自然数进行，右边的连乘积对所有的素数进行。 可以 证明，这个公式对所有 Re(s)>1 的复数 s 都成立。 这个公式的左边正是我们在 上文 中介绍过的 Riemann ζ 函数，而右边则是一个纯粹有关素数 (且包含所有素数) 的表达式， 这样的形式正是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆。 那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？ Riemann ζ 函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？ 这就是本节及未来几节所要介绍的内容。
Euler 本人率先对这个公式所蕴涵的信息进行了研究。 他注意到在 s=1 的时候，公式的左边 - Σn n-1 - 是一个发散级数 (这是一个著名的发散级数， 称为调和级数)，这个级数以对数方式发散。这些对于 Euler 来说都是不陌生的。 为了处理公式右边的连乘积， 他对公式两边同时取了对数，于是连乘积变成了求和，由此他得到：
ln (Σn n-1) = -Σp ln(1 - p-1) = Σp (p-1 + p-2/2 + p-3/3 + ... ...)
由于上式右端括号中除第一项外所有其它各项的求和都收敛，而且这些求和的结果累加在一起仍然收敛 (有兴趣的读者不妨自己证明一下)。 因此右边只有第一项的求和是发散的。 由此 Euler 得到了这样一个有趣的渐近表达式：
Σp p-1 ~ lnln(∞)
或者， 更确切地说：
Σp这个结果 - 即 Σp p-1 以 lnln(N) 的方式发散 - 是继 Euclid 证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明 (因为假如素数只有有限多个，则求和就只有有限多项， 不可能发散)。 但 Euler 的这一新证明所包含的内容要远远多于 Euclid 的证明，因为它表明素数不仅有无穷多个， 而且其分布要比许多同样也是无穷的序列 - 比如 n2 序列 - 密集得多 (因为后者的倒数之和收敛)。不仅如此，如果我们进一步注意到上式的右端可以改写为一个积分表达式：
lnln(N) ~ ∫ x-1ln-1(x) dx
而左端通过引进一个素数分布的密度函数 ρ(x) - 它给出在 x 附近单位区间内发现素数的几率 - 也可以改写为一个积分表达式：
Σp将这两个积分表达式进行比较，不难猜测到素数的分布密度为 ρ(x)~1/ln(x)，从而在 x 以内的素数个数 - 通常用 π(x) 表示 - 为：
π(x) ~ Li(x)
其中 Li(x) ≡ ∫ ln-1(x) dx 是对数积分函数[注一]。 这正是著名的素数定理 (当然这种粗略的推理并不构成素数定理的证明)。 因此 Euler 发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。可惜 Euler 本人并没有沿着上面的思路走， 从而错过了这扇暗门， 数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。
提出素数定理的这份荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上： 他们是德国数学家 Friedrich Gauss (1777-1855) 和法国数学家 Adrien-Marie Legendre (1752-1833)。
Gauss 对素数分布的研究始于 1792 到 1793 年间， 那时他才 15 岁。 在那期间， 每当“无所事事” 的时候 Gauss 就会挑上几个长度为一千的自然数区间，计算这些区间中的素数个数， 并进行比较。 在做过了大量的计算和比较后， Gauss 发现素数分布的密度可以近似地用对数函数的倒数来描述， 即 ρ(x)~1/ln(x)，这正是上面提到的素数定理的主要内容。但是 Gauss 并没有发表这一结果。 Gauss 是一个追求完美的数学家，他很少发表自己认为还不够完美的结果， 而他的数学思想和灵感犹如浩瀚奔腾的江水，汹涌激荡， 常常让他还没来得及将一个研究结果完美化就又展开了新课题的研究。 因此 Gauss 一生所做的数学研究远远多过他正式发表的。 但是另一方面， Gauss 常常会用其它的方式 - 比如通过书信 - 透露自己的某些未发表的研究成果， 他的这一做法给一些与他同时代的数学家带来了不小的尴尬。其中 “受灾” 较为深重的一位便是 Legendre。 这位法国数学家在 1806 年率先发表了线性拟合中的最小平方法， 不料 Gauss 在 1809 出版的一部著作中提到自己曾在 1794 年 (即比 Legendre 早了 12 年) 就发现了同样的方法。 使 Legendre 极为不快。
有道是： 不是冤家不聚首。 在素数定理的提出上，可怜的 Legendre 又一次不幸地与数学巨匠 Gauss 撞到了一起。 Legendre 在 1798 年发表了自己关于素数分布的研究，这是数学史上有关素数定理的最早的文献[注二]。 由于 Gauss 没有发表自己的研究结果， Legendre 便理所当然地成为了素数定理的提出者。 Legendre 的这个优先权一共维持了 51 年。 到了 1849 年 Gauss 在给德国天文学家 Johann Encke (1791-1865) 的一封信中提到了自己在 1792 至 1793 年间的研究， 从而把尘封了半个世纪的优先权从 Legendre 的口袋中勾了出来，挂到了自己已经鼓鼓囊囊的腰包上。
幸运的是， Gauss 给 Encke 写信的时候 Legendre 已经去世十六年了， 他用最无奈的方法避免了再次遭受残酷的打击。
无论 Gauss 还是 Legendre，他们对于素数分布规律的研究都是以猜测的形式提出的 (Legendre 的研究带有一定的推理成份， 但离证明仍相距甚远)。因此确切地说， 素数定理在那时只是一个猜想 - 素数猜想， 我们所说的提出素数定理指的也只是提出素数猜想。素数定理的数学证明直到一个世纪之后的 1896 年，才由法国数学家 Jacques Hadamard (1865-1963) 与比利时数学家 Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) 彼此独立地给出。 他们的证明与 Riemann 猜想有着很深的渊源， 其中 Hadamard 的证明出现的时机和场合还富有很大的戏剧性， 这些我们将在后文中加以叙述。
素数定理是简洁而且优美的， 但是它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的，它给出的只是素数分布的一个渐近形式 - 也就是说是当 N 趋于无穷时的分布形式。 从前面有关素数分布与素数定理的图示中我们也可以看到， π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的， 而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势 (所幸的是， 这种偏差的增加与 π(x) 及 Li(x) 本身的增加相比仍然是微不足道的 - 否则素数定理也就不成立了)[注三]。
那么有没有一个公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？这便是 Riemann 在 1859 年想要回答的问题。 那一年是 Gauss 去世后的第五年， 32 岁的 Riemann 继 Johann Dirichlet (1805-1859) 之后成为了 Gauss 在 Göttingen 大学的继任者。 同年八月十一日，他被选为柏林科学院 (Berlin Academy) 的通信院士 (Corresponding Member)。 作为对这一崇高荣誉的回报， Riemann 向柏林科学院提交了一篇论文。这是一篇只有短短八页的论文，标题是： 论小于给定数值的素数个数。 正是这篇论文将 Euler 乘积公式 蕴涵的信息破译得淋漓尽致，也正是这篇论文将 Riemann ζ 函数的零点分布与素数的分布联系在了一起。
这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰，并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。 二零零三年十一月二十四日写于纽约
注释
[注一] 对数积分函数 Li(x) 的确切定义是 1/ln(x) 在 0 到 x 之间定积分的 Cauchy 主值。 对于素数定理来说， 人们关心的是 Li(x) 在 x→∞ 时的渐近行为， 这时候积分的下限并不重要， 因此人们在素数定理的研究中有时把 Li(x) 的积分下限取为 2 而不是 0， 这样可以使被积函数在积分区间内没有奇点。
[注二] Legendre 提出的素数定理采用的是代数表达式： π(x) ~ x/[ln(x)-1.08366]， 它与积分形式的素数定理在渐近意义上是等价的。
[注三] 从图上以及从更大范围的计算中人们发现 Li(x)-π(x) 总是大于零， 以致于有人猜测 Li(x) 不仅是素数分布的渐近形式，而且还是其严格上界。 这种猜测在 1904 年被英国数学家 John Littlewood (1885-1977) 所推翻。 Littlewood 证明了 Li(x)-π(x) 是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数。
——黎曼猜想（三）－素数的分布
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【来源：卢昌海数学网站】
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis. ------------------------- H. Montgomery
终于到了 Riemann 的论文登场的时候！ 如果让数学家们来评选几篇数学史上意义深远却又最为难读的论文，那么我想Riemann 1859年的那篇“论小于给定数值的素数个数”就算不名列榜首，起码也要挤身三甲。现在就让我们来一起领略一下那篇数学史上出名难啃的论文的主要内容。我们的叙述将采用较为现代的术语和方式，所用的记号将与前文保持一致，因此与 Riemann 的原始论文不尽相同(但主要思路是一致的)。这一点请有兴趣阅读 Riemann 原文的读者注意。
如上节所述， Euler 乘积公式：
ζ(s) ≡ Σn n-s = Πp(1-p-s)-1
是研究素数分布规律的基础。 Riemann 的研究也以这一公式作为起点。 为了消除右边的连乘积，Euler 曾对公式两边取对数， Riemann 也如法泡制(看来连乘积真是人见人恨)，从而得到：
lnζ(s) = -Σp ln(1 - p-1) = ΣpΣn [(1/n) p-ns]
过了这步，两人就分道扬镳了：Euler - 如我们在上节所见 - 小试身手， 证明了素数有无穷多个， 然后就喜滋滋地鸣金收兵了； 而 Riemann 则沿着一条布满荆棘的道路继续走了下去，走出了素数研究的一片崭新的天地。
可以证明， 上式右边的双重求和在复平面上 Re(s)>1 的区域内是绝对收敛的， 并且可以改写成 Stieltjes 积分 (有兴趣的读者可自行证明)：

其中 J(x) 是一个特殊的阶梯函数， 它在 x=0 取值为零， 以后每越过一个素数就增加 1， 每越过一个素数的平方就增加 1/2， ... ， 每越过一个素数的 n 次方就增加 1/n，... 。 在 J(x) 不连续的点 (即 x 等于素数、素数的平方、... 、素数的 n 次方 ... 的点) 上其函数值用 J(x)=(1/2)[J(x-)+J(x+)] 来定义。 显然， 这样的一个阶梯函数可以用素数分布函数 π(x) 表示为：
J(x) = Σn [(1/n)π(x1/n)]
对上述 Stieltjes 积分进行一次分部积分便可得到：

这个公式的左边是 Riemann ζ 函数的自然对数， 右边则是对 J(x) - 一个与素数分布函数 π(x) 有直接关系的函数 - 的积分， 它可以被视为Euler 乘积公式 的积分形式。我们得到这一结果的方法与 Riemann 有所不同， Riemann 发表论文时还没有 Stieltjes 积分 - 那时候 Thomas Stieltjes (1856-1894) 才三岁。
如果说传统形式下的Euler 乘积公式只是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆， 那么在这个积分形式的 Euler 乘积公式下这两者之间的关联就已是确凿无疑并且完全定量了。接下来首先要做的显然是从上述积分中解出 J(x) 来， 这在当时的数学背景下并不容易， 但却难不倒象 Riemann 这样的复变函数论大师。 他解出的 J(x) 是 (学过复变函数论的读者不妨试着证明一下)：

其中 a 为大于 1 的实数。这是一个条件收敛的积分，它的确切定义是从 a-ib 积分到 a+ib (b 为正实数)， 然后取 b→∞ 的极限。 当 Riemann 写下这个公式时， 只是轻描淡写地提了一句： 这是完全普遍的。 听上去就象是在叙述一个尽人皆知的简单事实。 而事实上，与 Riemann 所说的普遍性相匹配的完整结果直到四十年后才由芬兰数学家 Robert Mellin (1854-1933) 所发表， 现在被称为 Mellin 变换 (Mellin Transform)。 象这样一种被 Riemann 随手写下、却让数学界花费几十年甚至上百年的时间才能证明的命题在 Riemann 的那篇论文中还有好几处。 这是 Riemann 那篇论文的一个极为突出的特点：它有一种高屋建瓴的宏伟视野， 远远地超越了同时代的其他数学文献。 它那高度浓缩的文句背后包含着的极为丰富的数学结果，让后世的数学家们陷入了漫长的深思之中。直到今天，我们的数学在整体上虽已远非Riemann 时代可比，但数学家们仍未能完全理解Riemann在那篇短短八页的简短论文中显露出的全部智慧。J(x)的表达式是我们碰到的 Riemann 论文中的结果超前于时代的第一个例子 [注一]，在下一节中我们将遇到其它例子。
在一代代的后世数学家们为那些被 Riemann 省略掉的证明而失眠的时候，他们中的一些也许会联想到 Pierre de Fermat (1601-1665)。这位法国数学家在 Diophantus 的 «Arithmetica» 页边上写下著名的Fermat 猜想 (Fermat's Last Theorem) 的时候，随手加了一句话： “我发现了一个真正出色的证明， 可惜页边太窄写不下来” [注二]。令人尴尬的是，Fermat的猜想自1670年被他儿子公诸于世(那时他本人已经去世) 以来，竟然难倒整个数学界长达324年之久， 直到 1994 年才被英国数学家 Andrew Wiles 所证明。 但 Wiles 的证明篇幅浩繁， 莫说在 «Arithmetica» 的页边上写不下来， 即便把整个大英百科全书的页边加起来， 也未必写得下来。 现在人们普遍认为， Fermat 并没有找到 Fermat 猜想的证明， 他自以为找到的那个 “真正出色的证明” 只是三百多年间无数个错误证明中的一个。那么 Riemann 的情形会不会也象 Fermat 一样呢？ 他的那些省略掉的证明会不会也象 Fermat 的那个 “真正出色的证明” 一样呢？ 从目前人们对 Riemann 的研究来看， 答案是否定的。 Riemann 作为堪与 Gauss 齐名的有史以来最伟大的数学家之一，他的水平远非 Fermat 可比。 而且人们在对 Riemann 的部分手稿进行研究时发现， Riemann 对自己论文中的许多语焉不详的命题是做过扎实的演算和证明的， 只不过他和 Gauss 一样追求完美，发表的东西远远少于自己研究过的。 更令人钦佩的是， Riemann 手稿中一些演算和证明哪怕是时隔了几十年之后才被整理出来，却仍然大大超越当时数学界的水平。因此我们有一定的理由相信， Riemann 在论文中以陈述而不是猜测的语气表述的内容 - 不论有没有给出证明 - 都是有着深入的演算和证明背景的。
好了，现在回到 J(x) 的表达式来， 这个表达式给出了 J(x) 与 Riemann ζ 函数之间的确切关联。换句话说， 只要知道了 ζ(s)， 通过这个表达式原则上就可以计算出 J(x)。 知道了 J(x)， 下一步显然就是计算 π(x)。 这并不困难， 因为上面提到的 J(x) 与 π(x) 之间的关系式可以通过所谓的 Möbius 反演 (Möbius Inversion) 解出， 结果为：
π(x) = Σn [μ(n)/n] J(n1/n)
其中 μ(n) 被称为 Möbius 函数，它的取值如下：
μ(1) = 1。
μ(n) = 0 如果 n 可以被任一素数的平方整除。
μ(n) = -1 如果 n 是奇数个不同素数的乘积。
μ(n) = 1 如果 n 是偶数个不同素数的乘积。
因此知道了 J(x) 就可以计算出 π(x)，即素数的分布函数。 把这些步骤连接在一起， 我们看到， 从 ζ(x) 到 J(x)， 再从 J(x) 到 π(x)， 素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 Riemann ζ 函数之中。 这就是 Riemann 研究素数分布的基本思路。在下一节 中， 我们将进一步深入 Riemann 的论文，让那些千呼万唤犹未露面的 Riemann ζ 函数的零点显露在我们的镁光灯下。二零零三年十二月六日写于纽约
——黎曼猜想（四）－Riemann的论文基本思路
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【来源：中国数学与系统科学信息网】
新华网斯德哥尔摩电（记者王洁明）瑞典斯德哥尔摩大学２２岁的年轻女助教埃琳·奥克森耶尔姆不久前破解了著名数学家希尔伯特的２３个数学问题中第１６题的第二部分。
据瑞通社２６日报道，奥克森耶尔姆利用“多项式微分方程的极限环”破解了该问题中的第二部分。她本人认为，她的方法可以破解整个第１６题。著名数学杂志《非线性分析》已经认可了她的破解方法，将于下周刊登其论文并接受来自全世界数学界的质疑。瑞典多名数学家在接受采访时均表示，如果该方法成功地被全球数学家所接受，那么奥克森耶尔姆的成就足以引起轰动。据了解，在迄今为止获得数学领域最高奖菲尔茨奖的学者中，有半数以上获奖者的工作与希尔伯特问题有关。
奥克森耶尔姆在回答自己如何找到破解方法时说：“在该问题所在的数学分支上没有破解的方法，所以我下了很多功夫在别的数学分支上寻找方法。简言之，我找到了连通两个数学领域的一座桥梁。”
迄今最伟大的数学家之一、德国人大卫·希尔伯特于１９００年提出了２３个未来需要解决的重要数学问题，。哥德巴赫猜想就是其中第８个问题中的一部分。据认为，这些问题为２０世纪数学研究指明了方向。此后，很多数学家都投身于这些问题的研究，有力推动了各个数学分支的发展。但他的第６、第８和第１６个问题一直没有完全解开。
据报道，希尔伯特的第１６个问题有助于揭开“周期性循环”的奥秘。比如，飞机设计师在建造飞机时需要考虑材料在空气中的颤动问题。对第１６个问题的破解方法将有助于设计师解开有关方程式，从而获取更多关于飞机材料在各种复杂环境下颤动的情况。（完）
——瑞典22岁女教师破解希尔伯特难题
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【来源：数学小屋】   作者：mathabc（数学公园原创）
随着我国数学科研事业在近几年一直持续迅猛发展，数学爱好者规模日益壮大。都说明数学正在越来越受到人们的关注，这是一个非常可喜的现象。为了我们日益高涨的数学事业，mathabc认为有责任为数学事业贡献一份自己的力量。正是基于这种考虑，我们不失时机的推出了“世界最迷人的数学难题评选”活动。之所以称之为“迷人”，是因为无数数学家看见她们比看见漂亮美眉还痴迷，就想练武之人见到了武功秘籍。本次活动得到了广大网友的热烈的欢迎和积极的响应。
世界最迷人的数学难题评选调查采用的是国际通行的联机调查方式。在问卷中“最世界最迷人的数学难题”一栏，网民可填写一到五个最世界最迷人的数学难题，重复填写同一数学难题只作一个计算，而且根据排名得票分一、二、三等。
答卷的统计，采用经专家论证的统计程序计算。统计程序的执行，通过相应的技术保证使任何人都不可能修改统计结果。
对于非正常答卷的对结果的影响，由于我们在事先已经考虑到问题的艰巨性，因此我们采取了现场面视和统计中的排除技术方法，极好的保证了答卷的合法性。
现场面视的方法是用户在拿到我们的答卷时，必须同时做出我们提供的数学题目一道，同时把用户和他做出的题目用数码相机合影留念。这样，我们很好的防止了那些不具备数学头脑人的投票。
排除技术方法首先我们采用了用户个人特征值比较、局部抽样验证、身份验证等10多种技术；其次我们采用了抽样调查的方法，对调查的统计结果进行了比较、验证。事实证明我们的排除技术与抽样调查有很高的可信度。
本次调查共回收问卷363538份，经过处理后得到有效答卷202432份（由最后数码相机的照片数得到）。
现在有“世界最迷人的数学难题”评选委员会主任mathabc向大家宣布评选结果！（长时间的鼓掌）
亲爱的网友们，数学爱好者们：[此处省略5000字]......此次评选的三等奖获得者三名，她们分别是：
“几何尺规作图问题”（鼓掌）得票数：38005
获奖理由：这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题
1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；
2.三等分任意角；
3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍；
4.做正十七边形。
以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
“蜂窝猜想”（鼓掌）得票数：45005
获奖理由：四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为"蜂窝猜想",但这一猜想一直没有人能证明。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小。他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。
“孪生素数猜想”（鼓掌）得票数：57751
获奖理由：1849年，波林那克提出孪生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p＋2是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的。
此次评选的二等奖获得者两名，她们分别是：
“费尔马定理”（鼓掌）得票数：60352
获奖理由：在三百六十多年前的某一天，费尔马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。这个定理的内容是有关一个方程式：x2＋y2＝z2的正整数解的问题，当n＝2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）。
费尔马声称当n＞2时，就找不到满足xn＋yn＝zn的整数解，例如：方程式x3＋y3＝z3就无法找到整数解。始作俑者的费尔马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费尔马定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。
不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。
“四色猜想”（鼓掌）得票数：63987
得奖理由：1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。
此次评选的一等奖获得者一名，她是：
“哥德巴赫猜想”（鼓掌再鼓掌）得票数：79532
获奖理由：公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:
(a) 任何一个大于或等于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个大于或等于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen's Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。我们说“哥德巴赫猜想”无愧于“世界最迷人的数学难题”第一的称号。她用貌似平凡的外表，吸引无数数学家为她神魂颠倒、寝食难安。不知道有多少数学家为她浪费了宝贵的青春，却不能娶她回家。
以上六位获奖者将授予网易广州社区自然科学版名誉版主称号，以表彰她们证明做数学难题与网恋甚至比网恋更吸引男人，更能耗费男人的青春与精力。本次评选结束后，我们将开始第二届“世界最迷人的数学难题”评选活动，希望大家积极参加。
——“世界最迷人的数学难题”评选揭晓
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【来源：网络】
2004年3月21日，清晨6点，习惯熬夜做研究的田松博士尚在熟睡。突然一阵急促的电话铃声将他惊醒，拿起电话，传来了一个兴奋异常的声音：“田博士，我有一个重要的数学发现。”起初他以为是自己的一个朋友在开玩笑，没怎么在意。
听着听着，几声鸡叫从电话那头隐隐约约传来，电话是从农村打过来的。原本睡意蒙眬的他一下清醒意识到，昨晚自己在央视《时空连线》节目中有关民间研究哥德巴赫猜想的讨论，引起了反响，又一个民间科学家找上门来了。
民间科学家来自各种不同的职业，他们希望一举解决某个重大的科学问题，或者试图推翻某个著名的科学理论。
类似的情形在研究科学哲学的田松博士的生活中并不少见，“民间科学家”是在媒体上频频现身的一类人，他们的职业千差万别，工人、农民、干部、教师等等，大都只有初高中学历，常常声称解决了著名的科学难题。他们不停地将自己思考研究的成果送到各个高校、科研机构或报刊杂志，希望得到认可并且能够发表。其中的多数人为“科学”奉献了全部，依靠父母和妻子来维持基本的生活。
这是一个规模庞大的社会群体，每年寄送到中国科学院数学研究所，自称解决了哥德巴赫猜想的论文，都有几麻袋。据初步统计，仅在媒体上公开宣称已经解决哥德巴赫猜想的民间研究者就有几十人。他们为了理想矢志不渝，无论遇到多少冷遇和白眼都不退缩，其行为带着某种悲剧般的英雄主义色彩。
他们常常抱怨，主流科学研究机构和科学家对他们的研究成果视而不见，甚至根本“看都不看一眼”就加以否定。但科学家们一旦和他们接触又发现没有办法和他们进行沟通，他们沉浸在自己的一套概念体系中，根本弄不清楚他们在说什么。
田松博士对这一群体深入研究后发现，“他们或者希望一举解决某个重大的科学问题，或者试图推翻某个著名的科学理论，或者致力于建立某种庞大的理论体系，但是他们却不接受也不了解科学共同体的基本范式，与科学共同体不能达成基本的交流”。
“民科”们生活在自己的精神世界里，很难被说服，常把自己的碰壁解释为权威对小人物的压制与迫害。
一位民间科学家在一篇油印的论文中如此写道：“爱因斯坦认为光是电磁波，这是错的。大家知道，收音机是接收电磁波的，可是，用手电筒照射收音机，收音机却没有丝毫反应，这表明收音机没有接收到电磁波信号，所以光不是电磁波。”
这个结论不但推导过程让人忍俊，而且连一个基本常识都搞错了，“光是电磁波”这个结论并不是爱因斯坦得出来的。这只是一个极端的例子，在对诸多民间科学家的学术论文详细研究后，田松博士发现，他们的论文往往具有共同的特点。
比如，“新名词极多，并且这些新名词与科学共同体现有的术语没有多少关系；思考问题逻辑混乱，常常不知所云；常常把一个不大的结论夸张成天大的好事；常常发表一些超越具体问题之上的议论，尤其喜欢表达爱国情怀等等”。
他还注意到有一个很有趣的现象，民间科学家没有年轻人，绝大多数民间科学家们出生在1970年以前，他们的性格有共同的特点：
“他们往往生活在自己的精神世界里，甚至与世俗社会也难有正常的交流；他们常常会忽视对其不利的言论，夸大他们喜欢的部分，几乎是不能被说服的”；在自己的研究和观点不能被主流科研人员接受，或被否定的时候，他们“也会产生迫害妄想，比如他们常常自比布鲁诺或伽利略，把自己的到处碰壁解释为权威对小人物的压制与迫害”。
长期的观察研究让田松博士意识到，分析到这个群体的科学研究，并不是科学上的对错那样简单，而是一个社会性问题的反映。如同文学青年群体的出现、壮大、没落、势微折射时代变迁一样，民间科学家们的出现也是一个时代意识形态的缩影。
民间科学家坚持在“沙滩上盖楼”背后有怎样的精神动力？他们为何偏爱世界难题？
民间科学家们数十年如一日，过着艰难困苦的生活，执着地追求理想。他们的苦行和牺牲精神从何而来？田松认为，是他们接受教育的时代带给他们这样的观念。
“上世纪80年代以前的主流意识形态一直强调，一个人要有远大的理想，个人的物质生活乃至生命都是可以并且应该牺牲的。反过来，苦行与牺牲的决心与程度，又成为其衡量精神和理想是否纯粹的标志。”
“当理想遥遥无期，苦行本身就成了目的，成为其依然拥有理想、拥有崇高精神的证明。这使他们能够在生存艰难的状态下，保持着强烈的精神优越感。”
民间科学家们选择世界顶尖难题作为破解的对象，更是与那个时代大众对科学研究的某些错误认识有关。
田松博士认为，改革开放后，科学家重新获得了崇高的地位。公众对科学的热情日益升温，可是对于科学活动却缺乏基本的了解。很多人天真地认为，科学发现可以通过大规模的轰轰烈烈的群众运动，以一种大会战、大比武的方式来完成。
很多民间科学家就是在“看过徐迟的报告文学，被陈景润的精神所感染，决心为国增光，不顾自己只有初中毕业，也要去摘数学皇冠上的明珠”。
“实际上，哥德巴赫猜想这个数学问题在数学上具有什么意义，他们并不关心。能够被民间科学爱好者作为献身对象的科学领域总是具有较大社会影响和意识形态价值的那些，只有这些领域能够满足他们的争光理想，当然，也只有这些领域能够为其所知。”
重大发现常被描述为“铁杵成针”与“灵机一动”的结果，这给“民科”们绝对的自信。
很多民间科学家明知道自己的受教育程度不高，却始终相信自己可以破解世纪谜题，这种自信并非来自一种简单盲目的狂妄，而是和媒介对科学研究方法的误读，并错误地倡导有关。
田松博士对传媒对科学研究的描述进行比较研究后发现，有很多重大科学发现被描述成科学天才灵机一动的产物。比较著名的有牛顿的苹果、阿基米德的浴缸等。与此相对是“铁杵成针”一类故事，似乎只要持之以恒就能获得成功，常说的是“六六六”，说发明人经过了665次失败才获得了最后的成功。
他认为，前一类故事把复杂的科学发现过分简化为灵感与机遇。后一类故事忽视科学研究深层在先的理念，使科学发现蜕变为简单的技术劳动。这些“因其符合意识形态话语，具有强大的生命力。因而这类故事不断产生，不断流传，已经成为大众语境的一部分”。
民间科学家在传统意识形态中找到了价值观上的肯定，加之“铁杵成针”与“灵机一动”为其提供了方法论上的合理性,这样让“民间科学爱好者一面年复一年地打磨铁杵，一面期待灵光降临”。
——民间科学家为何痴迷世界难题
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【来源：电子科技大学应用数学学院】
100年前，伟大的数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上说道：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看下一世纪中我们的科学发展的前景和奥秘呢？”100年后的今天，站在世纪的交会点上，我们对人类未来和前途更加充满着关切和渴望。
当人们兴致勃勃地谈论着知识经济、信息技术、基因工程等等热门话题的时候，作为“科学中的女王”（高斯语）的数学又怎么样了呢？
这时候，胡作玄先生编著的《数学上未解的难题》（“当代青年科普文库”中惟一关于数学的著作，下简称《难题》）的问世，向广泛的读者回答了这一问题。
胡先生选择了一个独特的视角，即“数学上未解的难题”。不可否认，任何数学普及读物中都会谈论到一些著名的数学难题，如“费尔马大定理”、“哥德巴赫猜想”、“四色问题”等等，但是纯粹从数学上未解的难题入手谈数学，这恐怕还是头一回。
这样的角度无疑是再贴切不过的了。这是因为，一方面正如作者在书中说的：数学的问题是推动数学发展的主要动力，数学问题的价值往往不仅在其本身，而在于寻求对其解决的过程当中，在这一过程中往往促进了一种或是多种新的理论、新的方法的产生。数学难题尤其如此。无怪乎希尔伯特将费尔马大定理比作“一只下金蛋的鹅”。而且正如人类前进的步伐永远也不会停歇一样，数学问题永远也不会终结。当英国数学家维尔斯证明了费尔马大定理的消息传开的时候，人们欣喜之余又对这只“会下金蛋的鹅”的寿终正寝多少有些惋惜。其实人们的担心是多余的，因为这只“鹅”早已有了“鹅子”、“鹅孙”，或者是“鹅姐”、“鹅妹”，它们仍将源源不断地下着金蛋。这正是数学发展的规律。另一方面，介绍数学上未解的难题。实际上既介绍了未来数学研究的方向，又说明了数学已经达到的水平。这样来介绍数学，自然能真正说到点子上，展现出现代数学的轮廓，使读者站到前沿看数学，而不仅仅只是泛泛地了解历史和吸引人的数学游戏。
《难题》也不只局限于难题本身。事实上，它是从“什么是数学”这一基本问题谈起的。“难题”的现实来源和实践意义揭示了数学抽象性与具体性的统一，这将使人们进一步认识数学的实质和作用。在书上可以发现，作者并未将数学从其他科学中孤立出来，而是以联系的观点谈到了数学与计算机、物理、天文、地理等诸多学科发展的关系，突出了数学在科学研究中的基础性地位。
值得一提的是，《难题》在以全新构架倡导科学理念、弘扬科学精神的同时并未陷入“唯科学主义”的泥淖。在谈到我们国家的数学成就和差距时，作者流露出的情愫无疑会激起读者的强烈共鸣；在讲述数学家的故事时，既谈到他们的贡献，又谈到他们的个性和品质。如谈闵可夫斯基时，提到，“他把这笔奖金全给了班上的贫困学生，谁也没告诉”；谈高斯时，则突出他的勤奋，他的敬业精神和为人类事业献身的伟大精神等等，这些文字丰满了数学家的人物形象，增进了我们对数学和数学家的认识。
但愿有更多的读者特别是青少年能读到胡作玄先生这本《数学上未解的难题》，由此加深对人类最古老又始终最基础的学科——数学的感情和兴趣。但愿下一世纪交会点上人们再写类似图书时，会写下更多中国人的名字！
——数学难题：“下金蛋的鹅”—读《数学上未解的难题》
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【来源：中国数学教育网】
希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
1． 连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3． 两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4． 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
10． 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。
11． 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14． 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15． 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17． 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18． 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19． 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20． 一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23． 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
——希尔伯特的23个问题
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【来源：网络】
1796年的一天，德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的3道数学题. 青年很有数学天赋，因此，导师对他寄予厚望，每天多给他布置2道较难的数学题作为训练.正常情况下，青年总是在2个小时内完成这项特殊作业.
“咦，怎么今天导师给我多布置了一道？”青年一边打开写着题目的纸，一边嘟哝着.他也没有多想，就做了起来. 像往常一样，前2道题目在2个小时内顺利地完成了.第3道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺作出正17边形.青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来.然而，做着做着，青年感到越来越吃力.开始，他还想，也许导师见我每天的题目都做得很顺利，这次特意给我增加难度吧.但是，随着时间一分一秒地过去了，第3道题竟毫无进展.青年绞尽脑汁，也想不出现有的数学知识对解开这道题有什么帮助.
困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题??????终于，当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题！ 见到导师时，青年感到有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第3道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培?????? ” 导师接过青年的作业一看，当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？”青年有些疑惑地看着激动不已的导师，回答道：“当然，但是，我很笨，竟然花了整整一个通宵才做出来.”导师请青年坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，叫青年当着他的面做一个正17边形. 青年很快地做出了一个正17边形.导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里.”
多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它.”
这个青年就是数学王子高斯. 有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好，这就是人们常说的无知者无畏.
——高斯：一夜解开千年数学难题
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翻开近世数学的教科书和专门著作，阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社会并没有给他的才能和成果以公正的承认。
尼耳期．亨利克．阿贝尔（n.h.abel，1802－1829）1802年8月出生于挪威的一个农村。他很早变显示了数学方面的才华。16岁那年，他遇到了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话：“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作”。
1821年，由于霍姆伯和另几位好友的慷慨资助，阿贝尔才得进入奥斯陆大学学习。两年以后，在一本不出名的杂志上他发表了第一篇研究论文，其内容是用积分方程解古典的等时线问题。这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积分方程的人。接着他研究一般五次方程问题。开始，他曾错误地认为自己得到了一个解。霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学去审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误。这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的。
这个青年人的数学思想已经远远超越了挪威国界，他需要与有同等智力的人交流思想和经验。由于阿贝尔的教授们和朋友们强烈地意识到了这一点，他们决定说服学校当局向政府申请一笔公费，以便他能作一次到欧洲大陆的数学旅行。经过例行的繁文缛节的手续和耽搁延宕后，阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行。
踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯，的科学护照。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。
柏林是阿贝尔旅行的第一站。他在那里滞留了将近一年时间。虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期。在柏林，阿贝尔遇到并熟识了他的第二个伯乐——克雷勒（crelle）。克雷勒是一个铁路工程师，一个热心数学的业余爱好者，他以自己所创办的世界上最早专门发表创造性数学研究论文的斯刊《纯粹和应用数学杂志》而在数学史上占有一席之地，后来人平习惯称这本期刊为“克雷勒杂志”。与该刊的名称所标榜的宗旨不同，实际上它上面根本没有应用教学的论文，所以有人又戏称它为“纯粹非应用数学杂志”。阿贝尔是促成克雷勒将办刊拟议付诸实施的一个人。初次见面，两个人就彼此留下了良好而深刻的印象。阿贝尔说他拜读过克雷勒的所有数学论文，并且说他发现在这些论文中有一些错误。克雷勒的非常谦虚，他已经意识到眼前这位脸带稚气的年轻人具有非凡的数学天才。他翻阅了阿贝尔赠送的论五次方程的小册子，坦率地承认看不懂。但此时他已决定立即实行拟议中的办刊计划，并将阿贝尔的论文载入第一期。于是阿贝尔的研究论文，克雷勒杂志才能逐渐提高声誉和扩大影响。
阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究就完成在这一时期。相反，过去横遭冷遇，历经艰难，长期得不到公正评价的，也就是这一工作。现在公认，在被称为“函数论世纪”的19世纪的前半叶，阿贝尔的工作[后来还有雅可比（k.g.jacobi，1804－1851）发展了这一理论]，是函数论的两个最高成果之一。
椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（a.m.legen-dre，1752－1833）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。
关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？
“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的天才吧。“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数k，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（b.riemann，1826－1866）首先提出并加以深入研究的。事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（hermite）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像柯西（a.l.cauchy，1789－1857）、勒让得、拉普拉斯（p.s.laplace，1749－1827）、傅立叶（i.fourier，1768－1830）、泊松（s.d.poisson，1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿贝尔相信他将在那里找到知音。
1826年7月，阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作。在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少份量呢？阿贝尔在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道：“法国人对陌生的来访者比德国人要世故得多。你想和他们亲密无间简直是难上加难，老实说我现在也根本不奢望能有些荣耀。到头来，任何一个开拓者要想在此间引起重视，都得遇到巨大的障碍。尽管阿贝尔非常自信，但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了。他通过正常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久。
从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年。他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金。一天他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了。阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国。当他重到柏林时，已经囊空如洗。幸亏霍姆伯及时汇到一些钱，才使他能在柏林稍事休整后返回家园。
是谁该对阿贝尔的厄运负责呢？人们很自然会想起审评阿贝尔论文的柯西、勒让得。柯西当时38岁，正年富力强，创造力旺盛，忙于自己的事，顾不上别人而疏忽铸下了大错。勒让得怎么样呢？年逾古稀，功成名就，在法国科学界享有崇高的威望，他当时不可能像柯西那样忙着搞研究，理应对培养、识拔年轻一代的科学人才负有更多责任。然而主要的是，阿贝尔这篇论文所处理的题材恰恰是勒让得所熟悉的，从某种意义上来说，是他的世袭领地。尽管论文里包含着许多新奇、艰深的概念，但导致这些概念的基本思想却是简单的。一个外行也许没有能力欣赏这种简单思想的优美性和深刻性，但勒让得对所论问题却决非外行，他自己思者过几十年，深知在旧有基本思想框架内，知识业已达到饱和状态，要获取新的知识，除非打破框架，引进新的基本思想。对他来说，其实根本无须仔细阅读论文，只有稍事点拨，三言两语说明一下基本思想，就足以起到振聋发聩的作用。但是他却好像毫无感受，实在令人费解。事实上，阿贝尔论文的内容，他并非一无所知，当他得知另一位青年数学家雅可比（jacobi）也独立做了椭圆函数理论方面相当系统的工作后，他曾告诉过雅可比，有一个年轻的斯堪的纳维亚人已先他而专美于家了。雅可比如饥似渴地读完阿贝尔那篇失落两年又奇迹般出现的论文，不禁气愤地写信责问科学院：“阿贝尔先生作出了一个多么了不起的发现啊！有谁看到过别的堪与比美的发现呢？然而，这项也许称得上我们世纪最伟大的数学发现，两年以前就提交给你们科学院了，却居然没有引起你们的注意，这究竟是怎么一回事呢”？勒让得复信为自己提出的辩解是令人失笑的：“我们感到论文简直无法阅读，因为它是用几乎白色的墨水写的，字母拼写得很糟糕，我们都认为应该要求作者提供一个较清楚的文本。真是掩耳盗铃，文过饰非。”
让我们再看看高斯。高斯一生勤勉，有许多伟大的数学发现，却错过了发现这个伟大数学人才的机会。科学史经常在告诫：大凡富有创造性的见解，开始总是与传统观念相抵触的。
但阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他。继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在“克雷勒杂志”上发表了。这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他已成为众所瞩目的优秀数学家之一。遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知。甚至连他想在自己的国家谋一个普通的大学教职也不可得。1829年1月，阿贝尔的病情恶化，他开始大口吐血，并不时陷入昏迷。他的最后日子是在一家英国人的家里度过的。因为他的未婚妻凯姆普（kemp）是那个家庭的私人教师。阿贝尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(kiel-hau)，要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻。尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了。临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，他要“独占这最后的时刻”。1829年4月6日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。阿贝尔死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。损失是难以估计的，如果阿贝尔活到应的的寿命，他又将要做出多少新的贡献啊！
通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的。科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务。科学是人的事业，问题是要靠人去解决的。科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才。科不权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都陌生的新领域的工作时，情况更是如此。
——横遭冷遇的青年数学家阿贝尔
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当约翰 福布斯 纳什还是一名在西弗吉尼亚州长大的少年时，他就在数学方面显露出不同寻常的天才。他是当年获得西屋奖学金的十名美国学生之一，在他从卡内基理工学院毕业时，他的导师声称"这人是个天才"。
纳什随后考入当时最好的普林斯顿大学数学系，在那里，他的同学们把他描述成一位傲慢古怪但绝对聪明的人。他拒绝上课，宣称自己无需学习，并开始自学起博弈论。他在1950年发表研究成果时年仅21岁，没有人甚至纳什本人都不知道，他的研究竟会成为著名的"纳什均衡"。
在从普林斯顿大学获得数学博士学位之后，纳什来到麻省理工学院（MIT）教书，人称"教授小子"。他被看作是一个傲慢和自私的人，但大家都因为他那令人难以置信的数学技巧而宽容他。1957年2月，纳什与艾利西亚 拉尔德结婚，她是麻省理工学院除800名男生外仅有的16名女生之一.
3 0岁时，纳什已被誉为"数学界最闪亮的明星"之一，但在他那傲慢自信的外表下面，他正忍受自我怀疑和过分焦虑的煎熬。妻子的怀孕加剧了他的压力，虽然他素有古怪行为，但现在，他开始出现精神崩溃的迹象。
1959年初，纳什宣称外太空通过《纽约时报》给他发来了消息，当芝加哥大学向他提供一个享有声望的职位时，他拒绝了，并表示他即将成为"南极洲大帝"。
纳什被解除了教职，艾利西亚非常担心自己丈夫的行为，她把纳什送入一家专为名流显贵开设的精神病医院 － 麦卡林医院接受治疗。经过诊断，纳什患上了妄想型精神分裂症；他忍受幻觉的煎熬，相信国家正在阴谋对付他。
在他出院后，纳什和艾利西亚搬到了巴黎。他在欧洲游历了9个月，想要放弃他的美国公民身份，但最终却被驱逐出境。在回到普林斯顿之后，他因病情太重而无法工作，艾利西亚找到一份工作以供养家庭。
1960年，艾利西亚把丈夫送入特伦顿州立医院接受药物治疗。纳什的同事们对治疗勃然大怒，担心治疗会损伤纳什的天才大脑。在他出院后，纳什又返回欧洲游历，但一直困扰于大脑中漂荡的声音。
1970年，纳什回家看望艾利西亚，他的健康状况有所改善。当他决定不理睬脑中的声音并理性考虑问题时，就此迎来重要的转折点。在朋友及家人的支持下，他于1994年重返工作岗位，并因博弈论而荣获诺贝尔奖。

——数学界的梵高—“疯子天才”纳什
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迈入二十一世纪，计算机已经走进了我们的家庭，成为人们学习、娱乐、获得新知识的重要途径.计算机这一人类伟大的发明正深刻地改变着我们的生产和生活方式.难怪在我们回顾已经过去的20世纪人类重大发明时都无一例外地首推计算机的发明.你可知道，计算机的出现与一位数学家的贡献是紧密相关的，这位数学家就是被西方人誉为“计算机之父”的冯·诺依曼教授.
约翰·冯·诺依曼(John VonnNuma,1903~1957)，美藉匈牙利人，1903年12月28日生于匈牙利的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境很富裕.冯·诺依曼从小聪颖过分，记忆力很强.据说他六岁就能心算七位数的除法，十岁到学校读书，数学老师发现了他的出色的数学才能，就说服他的父亲聘请数学家菲克特作他的家庭教师，以尽快提高他的数学水平，这一招果见其效，中学毕业时，冯·诺依曼和他的老师菲克特合作写出了第一篇数学论文，次年，他通过了专门考试，成了一位青年数学家，这一年他还不满十九岁.
冯·诺依曼心算能力极强，思维敏捷.据他的另一位老师、著名数学家波利亚回忆说：“冯·诺依曼是我惟一感到害怕的学生.如果我在讲演中列出一道难题，那么当我讲演结束时，他总会手持一张写得很潦草的纸片，说他已把难题解出来了.”冯·诺依曼兴趣广泛，除了数学，他还喜欢历史，他会讲流利的英语、法语、德语，他熟悉拉丁语和希腊语，他还喜欢下棋，为人幽默.
1927年至1929年，冯·诺依曼在柏林大学当不领薪金的义务讲师.在这期间他发表了集合论、代数学和量子理论的论文，在数学界崭露头角.1929年10月，他接受美国普林斯顿大学的邀请，到了美国.1931年被任命为终身教授，1933年加入美国国籍.
在普林斯顿大学期间，冯·诺依曼结识了世界一流的科学家，如爱因斯坦、外尔等.他和控制论的创始人、著名数学家维纳经常在一起讨论计算机的研制问题.他和莫根斯恩研究对策论，合作写出《博弈论与经济行为》一书，该书是数理经济学的经典著作.
在工作时，他常和科学家们打扑克.一次有一位数学家赢了冯·诺依曼十美金.他用五美金买了一本《博弈论与经济行为》，把剩下的五美金贴在该书的扉页上，与冯·诺依曼开个玩笑，表示自己胜过博弈大师冯·诺依曼.他哪里知道，冯·诺依曼总是在思考问题，心算推理，打扑克时也难于把精神都集中在玩上.
1940年后，冯·诺依曼参与了许多军事方面的研究工作.他担任美国陆军弹道实验室的顾问.他对原子弹的配料、引爆、估算爆炸效果等问题，提出过重要改进意见.在科学技术高度发展的时代，冯·诺依曼深感计算机的重要性.他参观了美国宾夕法尼亚大学正在研制的电子计算机，指出它的缺点.1945年3月，冯·诺依曼起草了一个设计报告，确定计算机采用二进制和采用存储程序的设计思想，用电子元件开与关分别表示“0”和“1”.用这两个数字的组合表示任何数，可以充分发挥电子元件的开头变换，实现高速运算.他把计算机的结构分成运算器、控制器、存储器、输入与输出设备这五大部分.
1946年以后，冯·诺依曼在普林斯顿高等研究院领导研制现代大型电子计算机.1951年制成一台每秒可以运算百万次以上的电子计算机.他还将电子计算机应用于核武器设计和天气预报上.
冯·诺依曼拼命地工作，在许多重要的数学领域内取得了重要成果.1955年，他患上了癌症，癌细胞正在扩散，他以惊人的毅力克服癌症带来的痛苦，研究人工智能问题，写出了讲稿《计算机与人脑》，留给后世.
冯·诺依曼于1957年2月8日去世，享年53岁.
——计算机之父——冯·诺依曼
·      1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
天  才  的  童  年
1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区的拉赖因堡。他的父亲是小镇镇长，母亲受过良好的教育。12岁以前，伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的，在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。
1923年伽罗华离开双亲，考入巴黎的路易勒—格兰学院(皇家中学)，开始接受正规的教育。在第三年，他报名选学了一门数学课。老师深刻而生动的讲授，使伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣，他很快就学完了通常规定的课程，开始求学于数学大师的著作。
由于伽罗华能领会和掌握大师们的数学思维方法，因此使他思路开阔，思维能力得到了训练和提高。他的中学数学老师里查评价说“伽罗华只宜在数学的尖端领域工作”。1829年3月还是一位中学生的伽罗华在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。
伽罗华曾两次投考巴黎综合工科学校未被录取。1829年7月2日，他父亲由于无法承受牧师的攻击和诽谤，自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。同年10月25日，伽罗华被巴黎高等师范学校录取为预备生。
数 学 世 界 的 顽 强 斗 士
19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候
已得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。
1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程
不存在代数解的证明。
在前人研究成果的基础上，伽罗华提出了群的概念，彻底解决了高次方程是否存在代数解的问题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。
1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故”。
1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。
1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。
对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚持他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索。
天  才  的  陨  落
伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易·腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团——共和党的成员。这时法国激烈的政治斗争吸收了年轻热情的伽罗华。他反对学校的苛刻校规，抨击校长在七月政变中的两面行为，以至于1830年2月被开除。之后，他进一步积极参加政治活动，第二年6月，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。由于警方没有证据，不久即被释放。7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗华再次被抓。他在狱中曾遭暗枪射击，幸未击中。1831年4月伽罗华被释放出狱。
出狱后不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。
他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。
伽罗华对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”
第二天上午，在决斗场上，伽罗华被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死澳歉霾幻咧剐聪碌牧什菔指遄槌伞?nbsp;历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有5年。
群论——跨越时代的创造
伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔(1809～1882)领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。
伽罗华的最主要成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。
这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。
作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。
伽罗华理论对近代数学的发展产生了深远影响，它已渗透到数学的很多分支中。此外，伽罗华还研究过所谓“伽罗华虚数”，即有限域的元素，因此又称有限域为伽罗华域。
对伽罗华来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。
在这里，我们后人感受到的是一种孤独与悲哀，一种来自智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗华开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。
——英年早逝的数学天才——伽罗华
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【来源：百度百科】
希帕蒂娅
有史记载的第一位女数学家
古希腊是数学的故乡．古希腊人为数学的进步耗费了大量心血甚至生命，做出了卓越的贡献．这个文明古国哺育了许多数学家，象泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里德、阿波罗尼斯、阿基米德、托勒玫、海伦、丢番图等．希帕蒂娅（Hypatia）——这位有史以来的第一位女数学家也诞生在这里．
1 乱世才女
公元前47年，罗马统治者凯撒大帝指使纵火焚毁了停泊在亚历山大的埃及舰队，大火延及该城，殃及图书馆，代表着希腊文明的大量藏书和五十万份手稿付之一炬．基督教兴起以后，出于愚昧迷信和宗教狂热，基督教的领袖们排斥异教的学问，尤其鄙视数学、天文和物理学，基督徒是不许“沾染希腊学术这个脏东西的”．公元325年，罗马皇帝康斯坦丁以用宗教为统治工具，逐渐把数学、哲学、教育等都置于宗教的控制之下．此后，基督徒摧毁希腊文化的行径变得有恃无恐、变本加厉．有人甚至说：“数学家应该被野兽撕碎或者活埋．”希帕蒂娜就诞生在这样一个科学开始衰退、黑暗即将降临的时代．
公元370年希帕蒂娅出生在亚历山大城的一个知识分子家庭．父亲赛翁（Theon）是有名的数学家和天文学家，在著名的亚历山大博物院教学和研究，那是一个专门传授和研讨高深学问的场所．一些有名的学者和数学家常到她家做客，在他们的影响下，希帕蒂娅对数学充满了兴趣和热情．她开始从父辈那里学习数学知识．赛翁也不遗余力地培养这个极有天赋的女儿．10岁左右，她已掌握了相当丰富的算术和几何知识．利用这些知识，她懂得了如何利用金字塔的影长去测量其高度．这一举动，倍受父亲及其好友的赞赏，因而也就进一步增加了希帕蒂娅学习数学的兴趣，她开始阅读数学大家的专著．17岁时，她参加了全城之诺悻论的辩论，一针见血地指出芝诺的错误所在：芝诺的推理包含了一个不切实际的假定，他限制了赛跑的时间．这次辩论，使希帕蒂娅仅名声大震，几乎所有的亚里山大城人都知道她是一个非凡的女子，不仅容貌美丽，而且聪明好学．20岁以前，她几乎读完了当时所有数学家的名著，包括欧几里德的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》、阿基米德的《论球和圆柱》、丢番图的《算术》等．为了进一步扩大自己的知识领域，公元390年的一天，希帕蒂娅来到了著名的希腊城市——雅典．她在小普鲁塔克当院长的学院里进一步学习数学、历史和哲学．她对数学的精通，尤其是对欧几里德几何的精辟见解，令雅典的学者钦佩不已，大家都把这位二十出头的姑娘当作了不起的数学家．一些英俊少年不由得对她产生爱慕之情，求婚者络绎不绝．但希帕蒂姬认为，她要干一番大事业，不想让爱情过早地进入自己的生活．因此，她拒绝了所有的求爱者．此后，她又到意大利访问，结识了当地的一些学者，并与之探讨有关问题．大约公元395年回到家乡．这时的希帕蒂娅已经是一位相当成熟的数学家和哲学家了．
2 执着痴情
希帕蒂娅从海外归来后，便成为亚历山大博物院里的教师，主讲数学和哲学，有时也讲授天文学和力学．在传徒授业之余，她还进行了广泛地科学研究，有力地推动了数学、天文、物理等学科的发展．
希帕蒂娅在亚历山大积极传播普罗提诺和扬布里柯的新柏拉图主义哲学．新柏拉图主义将柏拉图的学说、亚里士多德的学说及新毕达哥拉斯主义综合在一起，核心内容是由普罗提诺首创的关于存在物的统一与等级结构学说．希帕蒂娅的哲学兴趣比较倾向于研究学术与科学问题，而较少追求神秘性和排他性，强调哲学与科学，尤其是哲学与数学的结合．尽管此时基督教逐渐渗人博物院，宗教徒的活动也多了起来，她仍崇尚自由、民主，反对宗教束缚和专制．来自欧洲、亚洲、非洲的许多青年聚到亚历山大，拜她为师，学生们都非常喜欢听她讲课，说她不仅学识渊博而且循循善诱，讲话如行云流水，引人人胜．几年后，希帕蒂娅便成为亚历山大最引人注目的学者了．虽然当时的基督教与科学的对立日益明显，希帕蒂娅的声望还是吸引了一些基督教徒成为其学生．其中最著名的是来自西兰尼的西奈修斯，他后来成为托勒玫城的主教，他向希帕蒂娅请教学问的信件至今尚存，信中问及如何制作星盘（一种借助投影原理制作的反映星空的天文仪器）和滴漏（古代计时工具）及液体比重计．他热情赞扬希帕蒂娅，说她不仅是一位老师，而且像一位慈爱的母亲和善解人意的姐姐．
希帕蒂娅与某些基督徒的友好关系并没有改善教会对她的态度．恰恰相反，教会为自己的教徒被一个不信教的科学家吸引过去而恼火，攻击她为“异教徒”．尽管希帕蒂娅发现自己已处于十分危险境地，但她相信邪不压正，仍然执着地追求着科学的进步．希帕蒂娅太热衷于自己的事业了，她把所有的爱都投人到学生身上及科学研究上，以至很少考虑个人问题，而终身未婚．
希帕蒂娅时代离《几何原本》成书已经六百多年了，由于当时没有印刷术，这本著作抄来抄去，出现了不少错误．希帕蒂娅同父亲一起，搜集了能够找到的各种版本，通过认真修订、润色、加工及其大量评注，一个新的《几何原本》问世了．它更加适合读者阅读，因而立即受到广泛欢迎，以至成为当今各种文字的《几何原本》的始祖．
希帕蒂娅曾独立写了一本《丢番图（算术＞评注》，书中有她自己的不少新见解，并补充了一些新问题，有的评注写得很长，足以看作是一篇论文．希帕蒂娅还评注了阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》，并在此基础上写出适于教学的普及读本．希帕蒂娅对圆锥曲线很人迷，写过好几篇研究圆锥曲线的论文．此外，希帕蒂娅还研究过托勒玫的著作，与父亲合写了《天文学大成评注》，独立写了《天文准则》等．这在当时是多么了不起的贡献啊！为了使读者了解更深刻，请看以下事实并作以比较．在15世纪中叶，象巴黎大学、牛津大学等著名大学的学生所学的数学内容极少，几何仅限于《几何原本》的前两卷，考试只限于第一卷，一般学生只能掌握第一卷的前4个命题．算术水平更低，一般大学生只会做加减法和乘法，而不会用除法计算．
3 流芳百世
公元412年，来自耶路撒冷的西瑞尔当上了亚历山大的大主教，这是一个狂热的基督徒．他在全城系统地推行所谓反对“异教”和“邪说”的计划，新柏拉图主义也在“邪说”之例，这对希帕蒂娅是极为不利的．但是希帕蒂妞从不向基督教示弱，拒绝放弃她的哲学主张，坚持宣传科学，提倡思想自由．对那些找麻烦的基督徒，希帕蒂娅毫不退让，常把他们驳得哑口无言．但这不是一个崇尚一理性的社会．那些狂热的基督徒并不指望“说服”这位数学家和哲学家，只想有朝一日拔掉这颗眼中钉．一场有计划、有预谋的暗杀活动正在酝酿之中．
公元415年3月的一天，希帕蒂娅象往常一样，乘着其漂亮的马车到博物院讲学．行至凯撒瑞姆教堂旁边，一伙暴徒立刻冲过去，拦住马车．他们把她从马车中拉下来，迅速拖进教堂．希帕蒂娅意识到，他们要对自己下毒手了，但她毫不畏惧，高声怒斥他们的无耻行为．灭绝人性的暴徒剥得她一丝不挂，然后用锐利的蚌壳割她的皮肉，直割得她全身血肉模糊，奄奄一息，暴徒们仍不罢手，又砍去她的手脚，将她那颤抖的四肢投人到熊熊烈火之中……．一颗数学明星就这样陨落了．处于垂死状态的希腊数学，现在终于断气了．
希帕蒂娅虽已故去一千五百多年了，但她的科学精神鼓舞了一代又一代的学子，尤其是一些女数学家．有迹象表明，当代女数学博士的人数在不断增加．本世纪30年代以来的40年中，美国数学博士只有7％是女性．1969－1972年间，这一数字为7.3％．1972－1974年再上升为9.11％，而在1974－1975年度1022个数学博士中有103个女性．1975年，美国国家科学院第一次有一名妇女进入，她就是罗宾逊（Julia Robinson）．她在解决希尔伯特第10个问题的过程中作出了关键性的贡献．1976年，在《美国数学月刊》上刊登了一篇《数学与性别》的文章，探讨了女数学家很少的原因，结论是：①在中小学生中男女学生对数学的喜爱程度不同；②教师和家长的态度是不鼓励女孩子学数学的；③数学仍然是排挤妇女的筛子；④大学数学教授中，妇女只占1.6％．
希帕蒂娅在数学上的光辉成就，仍将鼓舞广大妇女向数学高峰不断挺进，将有越来越多的女数学家涌现出来。
——有史记载的第一位女数学家--希帕蒂娅
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【来源：中国数学教育网】
大卫·希尔伯特（David·Hilbert，1862～1943）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。
在哲学光辉下成长的数学大师
希尔伯特出生在东普鲁士的柯尼斯堡城郊外。他的童年和青年都是在柯尼斯堡度过的。柯尼斯堡是德国著名哲学家康德的故乡和工作、执教过的地方，具有浓郁的理性主义传统。像该市所有的孩子一样，希尔伯特的成长也深受康德传统的抚育。希尔伯特的母亲爱好哲学。每年康德诞辰纪念日，希尔伯特都要陪伴母亲去教堂瞻仰康德的半身塑像，一字一句地拼读圣堂墙上康德的格言：“世界上最奇妙的是我头上的灿烂星空和我内心的道德准则。”理性地探索奇妙的灿烂星空便成了希尔伯特的终生愿望。
18岁时，希尔伯特进入柯尼斯堡大学攻读数学。他在大学学习数学的同时，也学习康德哲学。1884年他博士论文答辩的第二个论题就是“论康德哲学”。他对康德哲学的准确理解，对其合理性和局限性的深刻分析，博得了评委们的一致好评。他一生中多次表明，康德哲学思想渗透到他的数学研究活动之中。23岁时，希尔伯特获得了博士学位。大学毕业后他曾赴莱比锡、巴黎等地作短期游学，访问了众多的著名数学家。1886年获柯尼斯堡大学讲师资格，1892年任副教授，1893年任正教授。1895年转任格丁根大学数学教授，直至1930年退休。
希尔伯特是20世纪的数学大师，研究成果博大精深，领域涉及代数不变量、代数数域、几何基础、变分法与积分方程和数学基础等，享有很高的学术声誉。1910年，他荣获匈牙利科学院第二届波尔约奖，1902年起一直任有影响的德国《数学年刊》主编。他还是许多国家科学院的荣誉院士。
由于希尔伯特的杰出贡献，德国政府授予了他“枢密顾问”的称号。在他六十八岁那年，柯尼斯堡市政会授予了他“荣誉市民”称号。
希尔伯特毕生投身与数学研究。在他去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
理性的洞察力
希尔伯特的一生都充满了理性的精神。在柯尼斯堡市政会授予他“荣誉市民”称号的仪式上，希尔伯特作了“认识自然和逻辑”的著名演说。他从宣布“认识自然和生命是我们的最高任务”的论题开始，论及到自然客体、经验事实、逻辑思维、理论表述在人类认识自然中的地位和作用，人类认识自然的途径、机制和法则，以及数学在认识自然中的地位。希尔伯特的演说，充满着哲理，闪烁着理性地看待自然的光辉，引人入胜，感染着众多的听众。
希尔伯特在数学研究中的理性精神，充分表现在他对“数学问题”在数学研究活动中的作用和地位的认识上。历史上众多的数学家整天忙于解决数学问题，但常常对数学问题本身的认识论问题缺乏反思。1888年希尔伯特成功地解决了代数不变量中的“哥尔丹问题”，1898年又成功地解决了变分法中的“狄利克雷原理问题”。这两个问题都是当时著名的数学难题，它们的解决对数学这两个分支领域的发展起了积极的作用。希尔伯特切身地体验到：重大的个别问题是数学的活的血液；单个重大问题的解决，其意义远远超出了问题的本身。接着，他对数学问题的一般认识论意义进行了深刻的反思。1900年他被特邀在巴黎第二届国际数学家大会上作了“数学问题”的演说。在这篇著名的演说中，他论述了“数学问题对数学发展的推动作用”，论述了“数学问题产生的源泉”，论述了“解答数学问题的一般要求和途径”等认识论和方法论问题。接着，他在总结19世纪数学研究成果和发展趋势的基础上，在世纪之交向全世界的数学家们提出了“二十三个数学问题”，他认为这些问题可能是20世纪数学领域中最活跃、最关键、最有影响的课题。20世纪以来数学发展的历史表明，这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，引起了数学界持久的关注，对20世纪数学发展的确起了重要的指导作用。不管哪位数学家，若能解决其中一个问题，就能在数学家共同体内获得一个荣誉地位。
挽救数学危机
希尔伯特在数学研究中的理性精神，还充分表现在他关于数学基础研究中“形式主义数学哲学思想”的创立。
19世纪80年代，数学家创立了集合论，并将整个数学建立在集合论的基础之上。但是，当人们试图证明集合论的相容性时，发现集合论中存在着悖论，也就是说集合论是自相矛盾的。于是数学基础陷入了深深的危机。
面对这种危机，希尔伯特理性地认识到：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。”“在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”
当这种危机来临时，一些数学家甚至是著名的数学家放弃了自己传统数学的观点，并退出了数学基础研究的战场；还有一些数学家主张对传统数学进行严厉的批判，禁止使用数学中的一些重要概念（如“实无限”）、重要定理（如与“选择公理”等价的定理）和常用推理方法（如“排中律”）。
与上述两种人的做法不同，希尔伯特试图理性地寻找一条完全令人满意的解除危机的道路，它既能绕过这些悖论，又不致于大量地排斥传统数学的内容。他在总结自己数学研究经验的基础上，于1925年提出了一个解决数学基础危机的方案：以形式化、公理化为基础（即先将一个数学理论形式化、公理化，将它组织在一个形式公理化的系统之中），以有限立场的推理方法为工具，去证明该数学理论的相容性；一旦这种证明得以完成，就说明该数学理论的基础绝对牢固。这就是现代数学基础研究活动中的“形式主义数学哲学思想”，它是由希尔伯特率先提出来的。
1934年和1939年希尔伯特与他的学生贝尔奈斯合著的《数学基础》第1卷、第2卷出版了。在这部名著中，他把形式主义数学哲学思想在可能的范围内付诸数学研究的实际，取得了可观的成果。
——理性看待数学问题的希尔伯特