鹰击系列:一题多解 分数和百分数应用题(2)

例11 学校里买来100米电线，第一次用去全长的，第二次用去全长的45％，还剩下电线多少米？

　　【分析1】先求出第一次用去多少米，再求第二次用去多少米，最后从电线全长里分别减去两次用的电线，即得还剩下电线的长.

　　【解法1】第一次用去电线多少米？

　　100×=40（米）

　　100×45％=45（米）

　　100-40-45=15（米）

　　综合算式：100-100×-100×45％

　　=100-40-45=15（米）.

　　【分析2】把电线全长看作整体“1”.先求剩下电线的长占全长的几分之几，再求剩下的电线长多少米.

　　【解法 2】剩下电线占全长的几分之几？

　　1--45％=15％

　　100×15％=15（米）

　　综合算式：100×（1--45％）

　　=100×15％=15（米）.

　　【分析3】先求出第一次和第二次共用去电线多少米，再用电线全长减去两次用电线和，即得还剩下多少米.

　　【解法3】100-（100×+100×45％）

　　=100-（40+45）

　　=100-85=15（米）.

　　【分析4】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几，再求剩下全长的几分之几，最后求出剩下电线长多少米.

　　【解法4】100×[1-（+45％）]

　　=100×[1-85％]

　　=100×15％=15（米）.

　　【分析5】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几，再求两次共用去多少米，最后从电线全长中减去两次共用的电线长，即得还剩下电线的长.

　　【解法5】100-100×（+45％）

　　=100-100×85％

　　=100-85-15

　　答：还剩下电线15米.

　　【评注】以上五种解法的思路虽不同，但它们是相互转化，相互联系的.解法1和解法2、解法3和解法5可通过乘法分配律相互转化；解法1和解法3、解法2和解法4都是通过减法性质相互转化的，其中解法2和解法4是本题较好的解法.

　　例12  自行车厂上半年已经完成全年生产计划的，照这样的生产速度，今年可以超产10000辆，这个厂今年上半年生产多少辆自行车？

　　【分析1】先求全年实际生产量占全年计划生产量的几分之几，再求实际产量超过全年计划的几分之几，由此可求全年计划产量，最后求上半年产量.

　　【解法1】全年实际完成计划几分之几？

　　+=

　　-1=

　　1000÷=40000（辆）

　　40000×=25000（辆）

　　综合算式：10000×（+-1）×

　　=10000÷×=25000（辆）.

　　【分析 2】把转化为 5∶8，那么全年计划产量为8等份，上半年产量为5等份，所以全年实际产量就是10等份，超过计划2份，由此可求出每份多少辆，再求上半年的5份是多少辆.

　　【解法 2】10000÷（5×2-8）×5

　　=10000÷2×5

　　=5000×5=25000（辆）.

　　【分析3】由分析2进一步分析，10000辆和超产的（5×2-8）份相对应，而上半年产量是5份，可先求上半年产量是超产部分的几倍，再求上半年的实际产量.

　　【解法 3】10000×[5÷（5×2-8）]

　　=10000×[5÷2]

　　=10000×2.5=25000（辆）.

　　【分析4】由题意可知，上半年和下半年的产量是相同的.所以上半年实际产量比计划产量超产10000÷2=5000 （辆），它占全年计划产量的，由此可求全年计划产量，再求出上半年实际产量.

　　【解法 4】10000÷2÷（）×

　　=10000÷2÷×=25000（辆）

　　【分析5】根据“全年实际产量-全年计划产量=超产量”这一等量关系列方程解.

　　【解法5】设今年上半年产车x辆.

　　x=10000÷（2-）

　　x=25000

　　【分析6】由分析2继续分析，全年实际超产量和上半年实际产量的比，等于它们相对应的份数比，由此列出比例式.

　　【解法6】设今年上半年产车x辆.

　　10000∶x=（5×2-8）∶5

　　10000∶x=2∶5

　　x=10000×5÷2

　　=25000

　　答：这个厂今年上半年生产25000辆自行车.

　　【评注】解法1和解法4是分数应用题的通常解法.解法2和解法3的思路简单明白，易于理解，并且计算较简便，是本题较好解法.

　　例13  新风电视机厂，已生产电视机2400台，比原计划少.为使产量超过计划15％，还要生产电视机多少台？

　　【分析1】先求原计划生产的台数，再求共要生产多少台，最后用共要生产的台数减去已生产的台数，即得还要生产的台数.

　　【解法 1】原计划生产电视多少台？

　　2400÷（1-）=3200（台）

　　3200×（1+15％）=3200×115％=3680（台）

　　3680-2400=1280（台）

　　综合算式：2400÷（1-）×（1+15％）-2400

　　=2400÷×115％-2400

　　=3680-2400=1280（台）.

　　【分析2】先求出原计划生产多少台，再求还要生产的台数占原计划台数的百分之几，最后求出还要生产的台数.

　　【解法 2】原计划生产电视多少台 ？

　　2400÷（1-）=2400×=3200（台）

　　+15％=40％

　　3200×40％=1280（台）

　　综合算式： 2400÷（1-）×（+15％）

　　=2400÷×40％

　　=3200×40％=1280（台）

　　【分析3】用倍比解法.先求出还要生产的台数是已生产的几分之几，最后再求还要生产多少台.

　　【解法3】还要生产的是已产的几分之几？

　　（+15％）÷（1-）=

　　2400×=1280（台）

　　综合算式： 2400×[（+15％）÷（1-）]

　　=2400×[40％÷]

　　=2400×=1280（台）.

　　【分析4】把转化为25％，那么题中的两个分率（25％和15％）的分数单位及标准都是统一的.由题意可知，已生产的2400台占100-25=75份，还要生产的台数占25+ 15=40份，由此可先求出每份是多少台，再求还要生产的40份是多少台.

　　【解法4】=25％

　　2400÷（100-25）×（25+15）

　　=2400÷75×40=32×40=1280（台）。

　　答：还要生产电视机1280台.

　　【评注】解法1和解法2都是先求出标准量（计划产量），再求还要生产的台数.这两种思路最容易想到，也最好理解和掌握，但运算较繁.解法3和解法4不通过求标准量，而另辟思路求出还要生产的台数.思路直接、简明，运算简便，是本题的较好解法.

　　例14 有一批货物，第一天运走了总数的20％，第二天运走了余下的，第二天比第一天多运走了195吨，这批货物原有多少吨？

　　【分析1】先求第二天运走这批货的几分之几，再求出第二天运货与第一天的分率差，即195吨的对应分率.最后求这批货的原有吨数.

　　【解法1】第二天运走货物的几分之几？

　　（1-20％）×=50％

　　50％-20％=30％

　　195÷30％=650（吨）

　　综合算式： 195÷[（1-20％）×-20％]

　　=195÷[80％×-20％]

　　=195÷30％=650（吨）.

　　【分析2】先求第二天比第一天多运了这批货的百分之几，再求这批货是它的几倍，最后求出这批货物的原有吨数.

　　【解法 2】第二天比第一天多运这批货的几分之几？

　　（ 1-20％）×-20％=30％

　　1÷30％=（倍）

　　195×=650（吨）

　　综合算式： 195×

　　=195×=195×=650（吨）.

　　【分析 3】先求第二天运货与第一天运货的比，再运用归一解法求出第一天运多少吨，最后求这批货物原有多少吨.

　　【解法3】第二天与第一天运货的比？

　　（1-20％）×∶20％=5∶2

　　195÷（ 5-2）× 2=130（吨）

　　130÷20％=650（吨）

　　【分析 4】根据“第二天运货量-第一天运货量=195吨”这一等量关系，列方程解.

　　【解法4】设这批货物原有x吨.

　　（1-20％）x×-20％x=195

　　50％x-20％x=195

　　30％x=195

　　x=650

　　答：这批货物原有650吨.

　　【评注】解法 1是常用解法，易于理解且最容易想到，但计算较繁.解法3的思路简捷通畅，是本题较好解法.

　　例15 某小学四年级学生有136人，占全校学生总数的，五年级学生是全校学生数的18％，五年级有学生多少人？

　　【分析 1】用四年级的136人除以它的对应分率，即得全校总人数.再乘以五年级人数的对应分率18％，即得五年级有多少人.

　　【解法1】全校有学生多少人？

　　136÷=850（人）

　　850 ×18％=153（人）

　　综合算式：136÷×18％=136×=153（人）.

　　【分析2】先求出四年级和五年级的人数比，再运用归一解法求出五年级的人数.

　　【解法 2】四年级和五年级的人数比？

　　∶18％= 8∶9

　　136÷ 8 ×9=153（人）

　　综合算式：136÷（÷18％）=136÷=153（人）.

　　【分析3】用倍比解法.把四年级人数看作“1”倍量，先求出五年级人数是四年级的几倍，再求出五年级有多少人.

　　【解法3】五年级人数是四年级的几倍？

　　18％÷=（倍）

　　136×=153（人）

　　综合算式： 136×（18％÷）

　　=136×=153（人）.

　　【分析4】根据“四年级和五年级人数分别除以它们的对应分率，都等于全校人数”这一等量关系，列方程解.

　　【解法 4】设五年级有学生x人.

　　136÷=x÷18％

　　850=x÷18％

　　x=850×18％

　　x=153

　　答：五年级有学生153人.

　　【评注】解法 1和解法 3思路简单明白，易于理解和掌握，运算简便，是本题较好解法.

　　例16 粮库有一堆稻谷，第一次运走12吨，第二次比第一次多运走，两次共运走这堆稻谷的60％，这堆稻谷有多少吨？

　　【分析 1】先求出两次共运走多少吨，再除以它的对应分率60％，即得这堆稻谷吨数.

　　【解法 1】两次共运稻谷多少吨？

　　12×（ 1+1+）=27（吨）

　　27÷60％=45（吨）

　　综合算式： 12×（1+1+）÷60％

　　=12×=45（吨）.

　　【分析2】用归一解法.由题意可知，第一次运的稻谷可分为4等份，第二次运了（4+1）份，由此可求出两次共运吨数.而两次运的稻谷又可分为60等份，可先求每份吨数，再求这堆稻谷（100等份）有多少吨.

　　【解法2】 12÷4×（4+4+1）÷60×100

　　=12÷4×9÷60×100=45（吨）.

　　【分析 3】根据“两次运稻谷吨数和等于稻谷总数的60％”这一等量关系，列方程解，

　　【解法3】设这堆稻谷有x吨.

　　12×（1+1+）=60％x

　　27=x

　　答：这堆稻谷有45吨.

　　【评注】解法 1和解法 3是常用解法，其中解法 1的思路通顺，易于理解，是较好解法.

　　例17 水果店花去960元买进香蕉、桃子共1000千克，香蕉斤数是桃子斤数的，桃子单价是香蕉单价的.求香蕉和桃子每千克价各是多少？

　　【分析 1】用1000千克除以它的对应分率（1+），即得桃子斤数，进一步求出香蕉斤数：600×.因为桃子单价是香蕉单价的，所以600千克桃子的总价相当于（600×）千克香蕉的总价.由此可先求香蕉单价，再求桃子单价.

　　【解法 1】桃子有多少千克？

　　1000÷（1+）=600（千克）

　　600×=400（千克）

　　600千克桃子的总价相当于多少千克香蕉？

　　600×=400（千克）

　　960÷（400+400）=1.20（元）

　　1.2×=0.80（元）.

　　【分析 2】运用按比例分配的方法分别求出桃子和香蕉各多少千克，再求出香蕉重量相当于桃子重量.由此可先求出桃子的单价，再求香蕉的单价.

　　【解法2】桃子有多少千克？

　　1000×=600（千克）

　　1000×=400（千克）

　　400千克香蕉的总价相当于多少千克桃子？

　　400÷=600（千克）

　　960÷（600+600）=0.80（元）

　　0.80÷=1.20（元）

　　【分析 3】因为香蕉的重量是桃子的，而桃子的单价又是香蕉的，所以香蕉和桃子的总价是相等的.由此可先求桃子、香蕉的总价各是多少，再分别求它们的单价.

　　【解法3】香蕉或桃子的总价是多少？

　　960÷2=480（元）

　　1000÷（ 2+3）×3=600（千克）

　　1000÷（2+3）×2=400（千克）

　　480÷400=1.20（元）

　　480÷600=0.80（元）

　　综合算式：桃子： 960÷2÷[1000÷（2+3）×3]

　　=960÷2÷600=0.80（元）

　　香蕉：0.80÷=1.20（元）.

　　答：桃每千克0.80元，香蕉每千克1.20元.

　　【评注】解法1和解法2是以总价为定量，使香蕉和桃子的重量作等价转换，求出它们的单价，以上这三种解法各有特点，解法1是运用一般的分数应用题的解法，解法2是运用按比例分配的方法，解法3运用的是归一应用题的解法.其中解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.

　　例18  某校图书室，藏有一批图书，其中连环画比故事书多48本，两种书被同学们各借走12本后，余下连环画本数的等于故事书本数的.图书室有连环画多少本？

　　【分析1】两种书各借走12本后，仍相差48本.因为余下连环画本数的等于余下故事书的，根据比例的基本性质可求出两种书余下本数的比，从而求出48本对应的份数，进一步求出连环画余下本数，再加上借走的本数即得原有本数.

　　【解法1】因为余下连环画本数×=余下故事书本数×，所以余下连环画本数∶余下故事书本数

　　=∶=7∶5

　　48÷（7-5）×7=168（本）

　　168+12=180（本）.

　　【分析2】因为余下连环画本数的等于余下故事书的，所以余下故事书的本数恰是3个.把余下连环画本数看作标准“1”，求出48本的对应分率，即可求出余下连环画的本数，再求连环画原有的本数.　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　【解法2】余下故事书是余下连环画的几分之几？

　　×3=

　　48÷（1-）=168（本）

　　168+12=180（本）

　　综合算式： 48÷（1-×3）+12

　　=48÷+12=168+12=180（本）.

　　【分析3】把余下连环画本数的看作标准“1”，那么余下连环画的本数是这个标准的倍，余下故事书的本数是这个标准的倍.由此可求出48本的对应倍数（-），再求出1倍是多少本，乘以即得余下连环画的本数，最后加上借走的12本，即得连环画原有本数.

　　【解法3】48÷（-）×+12

　　=48÷×+12=168+12=180（本）.

　　【分析4】根据分数基本性质把转化为，那么余下故事书可分为15等份，余下连环画可分为21等份，它们相差6份（21-15），由此可求每等份多少本，再求出连环画原有本数.

　　【解法4】把和的分子统一，=，并且和表示相同的本数.

　　21-15=6（份）

　　48÷6×21=168（本）

　　168+12=180（本）.

　　【分析5】根据“余下连环画本数的等于余下故事书本数的”这一等量列方程.

　　【解法5】设连环画原有x本.

　　（x-12）×=（x-48-12）×

　　x-12=（x-60）××

　　x-12=-84

　　-x=84-12

　　x-180

　　答：图书室有连环画180本.

　　【评注】解法 1是运用比例基本性质求出两种书的本数比，进而寻找解题思路；解法3是把两书相等部分看作“1”，从而找出倍数差，进一步使问题得解；解法4是运用分数基本性质找出两种书的份数差，使问题得解，解法5是列方程求解.尽管这四种解法的思路灵活、新颖，但运算都较繁；而解法2的思路简单，运算简便，是本题最佳解法.

　　例19  有一池水，第一天放出60吨，第二天放出65吨，剩下的水比原来这池水的少5吨，原来水池有多少吨水？

　　【分析 1】从前两天放水总吨数里减去 5吨，所得的差恰好占原来这池水的（1-），由此可求原来水池有水多少吨.

　　【解法 1】 （60+65-5）÷（ 1-）

　　＝120÷=160（吨）.

　　【分析 2】由题意可知，原来水池的水可分为 4等份，前两天放水的和减去5吨，所得差恰好占3份（4-1）.由此可先求每份的水，再求4份的水，即原水池的水.

　　【解法 2】 （60+65-5）÷（4-1）×4

　　=120÷3×4=40×4=160（吨）.

　　【分析3】根据“剩下的水比原来这池水的少5吨”这一等量关系，列方程解.

　　【解法3】设原来水池有水x吨.

　　x-60-65=x-5

　　x-125=x-5

　　x-x=125-5

　　x=160

　　答：原来水池有160吨水.

　　【评注】解法1是常用解法，关键是找出对应数与对应分率.解法2是归一解法，关键是“减去5吨”.比较以上三种解法，解法1思路简单通顺，运算简便，是本题较好解法.