九乡新闻网雪铁龙c51.6t保养机油:等差数列求和
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/28 13:32:48
二、等差数列求和
按一定规律排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项；第二个叫第二项；第三个数叫第三项；…。最后一项又叫末项。
第一项（首项）用a1表示，第二项用a2表示，…，第n项用an表示。
如数列1，3，5，7，…，99。
a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，…。对于一个数列，往往需要确定它的每个项或者计算某些项的和等等，这就要求我们首先研究数列的构造规律。前面的故事说明，小高斯正是这样做的。
1．等差数列
观察以下数列：
2，4，6，8，…；
1，4，7，10，…。
第一个数列的相邻两项的差都是2，第二个数列相邻两项之差都是3。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。其中相邻两项的差叫做等差数列的公差。通常用字母d表示。
以上第一个数列的首项a1＝2，公差d＝2；第二个数列的首项a1＝1，公差d＝3。
请同学们自己举几个等差数列的例子。
2．等差数列的通项公式
如果已知一个等差数列的首项a1，公差d，那么这个数列就确定了。如a1＝5，d＝4，那么这个数列就是5，9，13，17…。虽然这个数列的项不难逐一写出来，但是如果要求a100（第100项），非要把这个数列前99项都写出来，这就太麻烦了。能不能找出一个由首项a1，公差d，直接求出a100的公式呢？第二项比第一项5多4，第三项比第一项多4的2倍，第四项比第一项多4的3倍，…，第100项比第一项多4的99倍，由此可得
a100＝5＋（100－1）×4
一般地，一等差数列可由其首项a1和公差d表为：a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋3d，…。其中
an＝a1＋（n－1）d（n是项数）这是等差数列的通项公式，即
第n项＝首项＋（项数n－1）×公差。
例1 已知等差数列3，8，13，…。求这个数列的第19项，第91项。
解：a1＝3，d＝8－3＝5
a19＝3＋（19－1）×5＝93；
a19＝3＋（19－1）×5＝453。
在等差数列的通项公式中，如果知道an，a1，d，怎样求项数n呢？不难推出以下公式：
n＝（an－a1）÷d＋1，即
项数n＝（第n项－首项）÷公差＋1
例2 已知等差数列1，8，15，…。问134是这个数列的第几项？
解：a1＝1，d＝8－1＝7
n＝（134－1）÷7＋1＝20
1．已知等差数列11，15，19，…求
（l）a13，a1993；
（2）455是不是这个数列的一项？如果是，是它的第几项？
2．已知等差数列的公差为3，第16项为62，求这个数列的首项。
3．等差数列求和公式
从高斯求和的故事还可以看出，等差数列求和的方法，是通过适当搭配，转化成若干个相等的数求和，即转化为乘法。
搭配的方法不是唯一的。一个等差数列除特殊情况外（每个数都相等的情况可直接用乘法），不是逐渐增大就是逐渐减小。如果是逐渐增大，调过头来写，就是逐渐减小。再把对应项相加，其和都相等，这样就可以转化成乘法。如
S＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ①
S＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1（加法交换律） ②
①十②得：
2S＝11×10
S＝（11×10）÷2＝55
一般地，设
S＝a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＋…＋［a1＋（n－3）d］＋［a1＋（n－2）d］＋［a1＋（n－1）d］
S＝［a1＋（n－1）d］＋［a1＋（n－2）d］＋［a1＋（n－3）d］＋…＋（a1＋2d）＋（a1＋d）＋a1
（上、下对应项的和都与“首项＋末项”相等）则2S＝（首项＋末项）×n
S＝（首项＋末项）×项数n÷2
这就是等差数列前n项和的公式，即
等差数列前n项和＝（首项＋末项）×项数÷2
如果项数是奇数，还可以用“中间项”乘项数，来求和。其中的道理请自己思考。
例3 计算：
（1）1＋2＋3＋…＋1000；
（2）47＋48＋49＋…＋500；
（3）1＋3＋5＋…＋105；
（4）2＋4＋6＋8＋…＋106。
解：（1）首项a1＝1，末项an＝1000，项数n＝1000。
原式＝（1＋1000）×1000÷2＝500500
（2）首项a1＝47，末项an＝500，项数是500－46＝454。
原式＝（47＋500）×454÷2＝124169
（3）首项a1＝1，公差d＝2，末项an＝105，
项数n＝（105－1）÷2＋1＝53。
原式＝（1＋105）×53÷2＝2809
（4）首项a1＝2，公差d＝2，末项an＝106，项数n＝53。
原式＝（2＋106）×53÷2＝2862
例4 求和：1＋8＋15＋22＋…＋246。
解：这是一个等差数列求和问题。其中，公差
d＝8－1＝15－8＝22－15＝…＝7。
首项a1，末项an＝246，项数n＝（246－1）÷7＋1＝36。
所以原式＝（1＋246）×36÷2＝4446。
练习2 求和：
（1）1＋3＋5＋7＋…＋201；
（2）2＋4＋6＋8＋…＋202；
（3）17＋20＋23＋…＋350；
（4）100－99＋98－97＋…＋4－3＋2－1。
同学们从以下计算中能发现什么规律吗？
1＋3＝4
1＋3＋5＝9
1＋3＋5＋7＝16
1＋3＋5＋7＋9＝25
4＝2×2，9＝3×3，
16＝4×4，25＝5×5，…
这些从1开始连续奇数的和，正好等于项数本身的自乘，对这个结论不难做一般说明。
1＋3＋5＋…＋［1＋（n－1）×2］（它的第n项是2n－1）
＝1＋3＋5＋…＋（2n－1）
＝（1＋2n－1）×n÷2
＝n×n
这个结论还可以用画图的方法说明，如图9－1。
练习3 计算：
（1）1＋3＋5＋7＋…＋17；
（2）1＋3＋5＋7＋…＋25；
（3）1＋3＋5＋7＋…＋99；
（4）21＋23＋25＋…＋77。