陈瑜太极老架一路:中学数学建模活动为中学生创造发展空间

    社会进步、国家昌盛的关键因素是人。面对21世纪的发展机遇与挑战，提高全民族的素质，培养跨世纪的人才，具有重要的战略意义。因此，促进学生全面发展、提高每一个学生的素质是我国基础教育的根本目的。近年来我们在完成国家“九五”教育科学规划教育部重点课题《高师、中、小学数学建模理论、实践与跨世纪数学教育改革》和北京市“九五”教育科学规划重点课题《数学知识应用与数学教学改革》的过程中，对如何在中学开展数学建模活动和通过该活动促进学生的全面发展进行了实验研究，并取得了良好的成效。
    　　　　1 中学数学建模活动的探索
    　　1.1 背景
    20世纪数学发展最主要的标志体现在数学的应用上。计算机等高科技的迅猛发展，既依赖于数学的发展也极大地促进了数学的发展。近半个多世纪以来，数学与其他学科之间的关系、数学在人们社会生活中的作用发生了根本性的变化。数学不仅渗透于自然科学，而且渗透于经济科学、环境科学、生命科学、军事科学、管理科学、社会科学，甚至人文科学。数学对人的生存与发展的影响也与日俱增，“要正常地生活在20世纪世界上的很多地区，不应用某种形式的数学是很困难的，也许是不可能的。”[1]20世纪尚且如此，更何况21世纪呢！
    数学与现实世界最紧密的联系是它在教育中的作用。学生从小学甚至幼儿园就开始接受比较正规的数学教育。数学成为学校教育的主要学科，不但由于数学对于其他学科的学习是必不可少的，更因为它对人的发展是重要的。姜伯驹先生曾经说过“数学是科学的语言，数学是思维的体操，这是过去的认识。现在应该加上另外两句：数学是生活的需要，数学是最后取胜的法宝。”数学教育本质上是理性思维的教育，它使人们在社会生活中面对纷繁复杂的实际问题能够进行理性的思考。新中国成立，特别是改革开放以来，我国的数学教育取得了很大成绩，为国家培养了许多优秀人才。但是也应该看到数学教育存在一些问题，其现状与其应该发挥的作用在许多方面是很不相称的。
    针砭数学教育的时弊，才能有效地进行数学教育改革，把素质教育落在实处。我们认为，与本文所讨论问题有关的数学教育中存在的主要问题有：
    （1）对数学与数学教育价值的认识问题。
    我们在这里不去从理论上展开对这一问题的探讨，只是指出相当部分学生、家长及某些社会人士对此问题认识上的偏颇，他们不了解数学和数学的作用所发生的巨大变化，加之教育在制度、评价及教学实施等方面存在的问题，数学被看作是落后的独立王国，数学就是搞难题；学校数学教育就是教学生以顺利通过考试的知识和技能；学生学习数学的目的是在毕业和升学考试中得高分、获得好成绩，他们说不清也看不到数学对人的发展究竟有什么价值。产生这种认识的重要原因之一，是教育部门和数学教育工作者本身对数学和数学教育的发展变化及其价值认识不足，在数学教育中存在着较为严重的脱离现实社会生活的倾向。“现在的中学数学教育里存在着一定的弊端，弊端的核心是在我们的数学教育中不同程度、或多或少地不讲数学的意义，不讲数学与现实生活的联系，不讲数学与其他学科的联系，不讲数学在社会生活中的应用价值，这些使整个社会导向上存在着某种误解，认为数学就是搞难题、搞偏题，把数学教学变成了一种纯粹的演题、运算的训练。……中国应试教育扭曲了整个中学的教育，也扭曲了数学教育，国外也存在类似的问题。”[2]
    （2）对学生素质的认识及其评价问题。
    什么样的学生是素质高的学生，是好学生？如何正确地评价学生？这也是教育中一直存在的问题。长期以来，中小学校的教育是以考试为最主要的评价手段。为了迎合这种评价，题型教学成为基础数学教育中一个突出的问题，因为它能够急功近利，有利于考试。我们并不否认考试对测量学生学习水平、选拔人才的作用，然而一张试卷很难全面地考察学生的素质水平，把考试作为评估学生的唯一标准，将其作用绝对化，必然使中考、高考成为基础教育的“指挥棒”，从而导致应试教育。
    数学教育中为应试而教，培养出来的学生可能会是高分低能的，学生能够迅速地识别题型、套用解题的技巧和方法，但对处理实际生活中需要自己去进行数学表述的问题，他们显得束手无策。据统计，1995、1996两年高考数学应用题得分率理科分别为0.23和0.20，文科分别为0.17和0.08。有学者对一些重点中学的学生进行测试， 结果表明：学生没有将数学应用于实际的意识、缺乏将实际问题转化为数学问题的能力，甚至连日常生活中非常简单的图表都看不懂，利息不会计算[3]。
    我们需要不断提高对21世纪人才素质的认识，生活于高技术的信息时代、知识经济时代的人们，只有具有获取信息的能力，具有与他人交流、合作的能力，具有实践能力，具有创新能力，才能适应不断变化的环境，在激烈的竞争中立于不败之地。
    上述问题已经引起了教育部门、数学家与数学教育工作者的高度重视，并为改变这种状况而进行着努力。90年代新的初、高中数学教学大纲，将培养学生用数学的意识与运用数学知识解决问题，特别是解决实际问题的能力作为数学教育目的的内容；1993年以来，我国高考数学科目增加了考察学生运用数学知识解决实际问题的能力；2000年初教育部对新大纲的修订，提出了培养学生的创新意识以及实事求是、探索创新和实践的科学态度；目前新的国家数学课程标准正在研制之中，教育部对理科课程标准的研制强调科学过程、科学精神和科学能力；……这一切都在积极推动着数学教育的改革与发展。
    开展中学数学建模活动，正是为了探索一条数学教育改革之路，使数学教育能够促进学生的全面发展，使我国的教育培养出真正高素质的人才。
    　　1.2 中学数学建模活动的实践与探索
    从1997年至今，我们在对数学建模理论进行研究的同时，着重对如何开展中学数学建模活动进行了多方面的实验与探索，包括组织研讨班、讲习班，举办专题讲座，开展数学知识应用的课堂教学与课外活动的实验与交流，开展较大规模的“北京高中数学知识应用竞赛”活动，等等。我们邀请、动员、团结了社会各界人士，包括数学专家，教育专家，教育研究部门、教育管理部门、教育出版部门的领导和中学教学第一线的教师，一起参与这些实验研究活动。这里着重介绍以学生为主体的数学建模活动。
    以中学生为主体的数学建模活动自1997年开始每年举办一次，每次活动分为4个阶段，历时近半年。第一阶段， 学生参与一项形式和内容都十分新颖的竞赛——数学知识应用竞赛初赛，其内容全部是取自于现实生活的问题，答卷采取开放的形式，学生有近3 天的时间研究解决这些问题；第二阶段，学生自己选题，做一篇数学知识应用的小论文；第三阶段，学生参加数学知识应用的复赛，与初赛不同的是学生要在统一的时间内和指定的地点独立解决这些实际问题；第四阶段，部分学生参加论文答辩。活动自始至终，我们本着学生自愿参与的原则，突出以下几个方面：
    （1）强调数学建模的过程。 注重学生运用数学知识解决实际问题过程的完整性：观察社会生活中的现象；从日常生活的实际情境中发现问题；提出问题并将其表述为一个数学问题，建立适当的数学模型；求解数学模型，得到数学结果；分析这些数学结果的实际意义，并检验这些结果是否符合实际；在与实际有出入的时候学会修改数学模型，如此反复直至得到比较符合实际的结果。
    （2）提倡交流与合作。学生在解决问题的过程中需要清晰、 准确、简洁地表达自己的思想，说明思考问题的合理性，这一点在学生写小论文和进行论文答辩时体现得尤为突出。在数学建模活动过程中，我们倡导学生之间进行合作。
    （3）鼓励方法、手段的多样性。 由于数学建模中涉及的问题大都源于现实，而且我们尽量保持问题的原汁原味，因此数据处理起来就不像人为编撰的题中数据那样简单整齐。我们鼓励学生在解决问题的过程中采用多种方法、使用现代化手段。在数学建模活动中，使用计算器、计算机等技术手段不但被广泛使用，许多学生还上网查询资料或通过网络进行交流。
    （4）重视解决问题的思想。 我们认为解决问题的好的思想方法比其得到的结果更重要。
    例如，1997年初赛有这样一个问题：“1997年11月8 日电视正在播放长江三峡工程大江截流的实况。截流从8：55开始， 当时龙口的水面宽40米，水深60米。11：50时，播音员报告水面宽为34.4米。到13：00时，播音员又报告水面宽为31米。这时电视机旁的小明说，现在可以估计下午几点合龙。从8：55到11：50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11：50到13：00，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米。从下午1点起，大约要5 个多小时，即到下午6点多才能合龙。但到了下午3点28分，电视里传来了大江截流成功的消息，小明后来想明白了，他的估算方法不好。现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法（建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算结果更切合实际。”对这个问题学生建模的合理性的评价要点有两个：回填速度应以每小时多少立方米填料计算，能否建立合理的回填速度计算模型是第一个评价要点；注意到回填速度是在逐渐加快的，水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快。在模型中对回填速度越来越快这一点如何做出较合理的假设是评价的第二个要点。虽然学生建立的模型有所不同（误差也不一样），但思想方法合理、正确就可以得到充分的肯定。
    我们开展中学数学建模活动虽然以北京地区为主，但至今全国已有15个省、市、地区的6万多名中学生积极主动地直接参与了该项活动。
    　　　　2 数学建模活动促进学生的全面发展
    　　2.1 尝试发现问题和提出问题
    培养21世纪的人才，要突出创新精神与实践能力。对中小学生创新不同的人有不同的理解，但也存在一定的共识：对事物敏感、好奇，并善于发现问题，进而提出有意义的问题，这些应该是创新能力的重要表现。“什么样的学生算是好学生？”丁石孙教授在回答学生提出的这个问题时说“提不出问题的学生恐怕不能算是好学生”。
    学生在参与数学建模活动、创作论文的过程中，需要认真观察周围的社会生活，敏感地发现问题。一篇优秀的论文，首先在于学生要捕捉到“好”的问题，选择有实际意义的、适合于自己解决的问题，选题是极富创意的。对学生来说，敢于做自己未曾做过的事情，甚至是解决前人没有解决过的问题是他们获得成功的基础。
    第一届数学建模活动结束时，面对学生如此广泛的选题，从社会生活问题：交通路口红绿灯的设计、商品的包装、自行车的变速、雪的融化速度、……，到学校生活问题：自行车的摆放、课间操的合理疏散、黑板的设计、教室灯管的布局、……，再到家庭生活问题：购房贷款、怎样烧开水节省煤气、搬家问题、购买多大的彩电最合适、……，我们有些教师也曾怀疑学生的“题源”是否会“枯竭”，但是学生后来的工作很好地教育了我们。他们把眼界放得更宽，思考的问题更广：糖尿病的测试、变压器的设计、商家商品的摆放如何迎合顾客的心理、植物生长受光照的影响、从拼图游戏到人类基因组计划、……。大千世界中蕴藏着“丰富的资源”，在开发和探索这些“资源”时，学生可能做理比我们更好。
    　　2.2 经历科学地解决问题的过程
    数学建模活动更强调的是建立模型和解决问题的过程。学生解决所提出的问题并不像他们以往遇到的书本上的问题那样，已知条件、需要的数据都是具备的，他们要通过查阅资料、社会调查、进行试验和实践来获取证据和数据。他们可能要花上几天或者几周的时间，去观察某一路口的交通流量状况；到某一商店调查顾客的购买力和购物心理；亲自种植不同实验条件组的植物，记录光照对植物生长速度的影响。他们能够为试验电饭煲的高效使用而吃上几锅糊饭或夹生饭；为了探讨最佳的上网时间，24小时网上工作而不眠。此间他们需要细心观察，认真测量和记录。这一过程是考察和锻炼他们的耐心、克服困难的毅力（他们可能经历不止一次的失败）和他们缜密思考问题的过程。他们在了解社会的同时，也更好地了解和丰富了自我。继而学生要对数据或实验结果进行整理、分析，进一步确立假说，用数学语言描述事物的发展规律，再进行科学的推断、验证，得出符合实际情况的解或建立合理的解决问题的方案。
    经历这样的过程本身对学生是十分重要的，他们从中可以获得多方面的收获。其一，学习、掌握基本的数学思维方法，学习如何运用科学方法解决问题；其二，进一步认识了数学的价值，体会到数学在现实生活和科学过程中的作用；其三，看到了自我的价值，建立了成功的自信；其四，提高了用数学知识解决问题、创新和实践的能力。
    　　2.3 学习在未来社会中生存与竞争的本领
    （1）学习与人合作。
    在学生完成某些论文的过程中，合作是必要的。学会与人共处，学会合作，是生活于信息社会的人应具备的基本素质。了解自己，懂得他人、尊重他人，这是合作的基础。而合作的有效性往往取决于合理分工、有团队精神、民主决策等。很多学生都采取了互补的合作模式，有人长于思考，有人长于操作，有人长于计算，有人长于推理，发挥个人之所长，相互取长补短，共同发展。
    合作学习模式是值得提倡的，需要我们共同去探讨这种学习模式的规律。以前在人们的印象中，从事数学工作的人有一支笔一张纸就可以了，但是现在合作与交流成为进行数学研究不可缺少的工作方式。通过数学建模活动使学生对数学工作者的工作方式有一个较为全面的了解，也是我们的希望所在。
    （2）学习表达与交流。
    答辩是一种极好的交流方式，答辩者（中学生）要在一定的时间内介绍自己的工作，包括如何选题、解决问题的基本思路、如何克服困难、如何合作等，同时还要回答专家就其工作的提问。许多学生精彩的演讲、敏捷的思路使参加答辩的专家感到欣慰。
    学会表达与交流、学会展示自己的才能，也是在当代社会中求生存、求发展的一种能力。在大学，很多研究生课程都是采用学生报告，教师质疑的方式实施的。一般来说，这种方式对提高学生的学习与研究能力是十分有效的。我们希望在中小学数学教育的某些环节中，也可以适当使用这种学习方式或教育方式。
    几年来数学建模活动的一个成功之处是使参与该活动的学生得到了他们在日常的学校学习中难以得到的锻炼，使他们有了他们自己认为是“不寻常”的、“令人激动、兴奋”的经历，促进了学生个体整体素质的提高。一些很有才华的学生在建模活动中脱颖而出，得到了公正的评价，有些学生已经进入全国重点大学学习深造。如何建立科学的评价体系对学生进行评估是一个影响教育发展的重要问题。数学建模活动为全面、正确地评价学生提供了一定的依据。清华大学正在实验的“网上评估系统”是完善评价体系的极好尝试。
    　　　　3 对中学生的再认识
    几乎所有参与数学建模活动的数学教育工作者都有一个共同的感受，我国的中学生在数学建模活动中的表现给我们的启示太大了。以往各种测试得到的结论几乎都是“中国中学生的基础很好，但是创新和实践能力很差。”中国中学生的创新和实践能力真的很低吗？是他们的能力天生就低，还是我们的教育束缚了学生能力的发展？通过3 年多数学建模活动的实践与探索，我们认识到：
    中国的中学生蕴藏着极为丰富和巨大的创造潜能，关键是我们的教育能否营造适于他们发展的环境，能否为他们创设发展的空间、提供更多发挥其创造潜能的机会。如果我们这样做了，我们的中学生对社会的回报将是无法估量的。
    衷心希望全社会，特别是教育为孩子们提供更多的发展机会，使他们能够发挥自己的潜能，展示自己的才华。这将是加快我们祖国发展的根本动力。