陈爰 美高梅:几何操作型问题在中考中的命题特点及主要解法

    有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式；强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。在这种背景下，几何操作型试题就随之产生了。近年来，“实践操作”作为注重学生动手实践、自主探索的新型建模试题在各地市中考试卷中大量涌现，并成为近年中考的热点题型之一。
    一、几何操作型问题试题的特点
    所谓几何操作型问题就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，适当猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。比如各地命题中常见的三角板的操作，它能通过问题的设置，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受数学的美妙，领略数学的魅力。它培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实贯彻提高学生的动手能力、实践能力的指导思想。
    从以上分析，可以得出这样的结论，实践操作型试题的主要特点体现在操作上，让学生在动手做的过程中体验数学结论与规律的得出过程，亲自体验问题情境，领略数学奥妙。解答操作型试题，关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为所熟悉的数学问题。
    二、重点题型解析
    （一）几何作图型问题
    这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、几何设计问题。这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知识，以达到动手动脑的目的。解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动过程，利用已有的感知去发现结论，从而解决问题。关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题，以适合现有的知识水平和实践能力。
    例1：（2009年辽宁省本溪市）如下图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）。
    
    (3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)、(2)变换的路径总长。
    分析：在正方形网格中找到适当的格点，利用网格中有些线段的端点在格点上，可以计算线段的长度，从而利用平移和旋转的性质找到A、B、C的对应点，将其顺次连接即到问题要作的图形。对于第(3)小问求点月经过(1)、(2)变换的路径总长，要注意点B经过(1)的路程是一条线段长，B经过(2)的路程是一条以为半径，旋转角为90°所成的圆弧。
    解：(1)、(2)如下图。
    
    说明：本题属格点作图问题。平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变化。因此，画平移、旋转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方法是平移和旋转作图中最常用的方法。
    （二）操作探究型
    操作型问题是指通过动手测量、作图、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习的要求，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想。因此，实验操作问题将会继续成为今后中考的热点题型。
    例2：（2009年湖南省衡阳市）如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D。
    (1)当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
    (2)当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
    (3)当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动。设平移的距离为a(0＜a＜4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S。试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象。
    
    分析：此题作为一道动手题目，要能看懂题意并能按要求规范操作，明确点M和正方形OCMD的运动特点，才能正确解决问题。对于(1)问，可设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4，即可求得四边形OCMD；对于(2)问，可用M的横坐标x表示出四边形OCMD的面积为，利用二次函数的性质，可求出四边形OCMD面积的最大值；对于(3)问，当0＜a＜2时，正方形OCMD与△AOB重叠部分的形状为五边形，其面积等于正方形OCMD的面积减去一个直角边长为平移距离的等腰直角三角形的面积，2≤a＜4时，正方形OCMD与△AOB重叠部分的形状是一个直角边长为4-a的等腰直角三角形。求出S与a的函数关系式后可画出该函数的图象。
    解：(1)设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4(0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0)；
    则：MC=｜-x+4｜=-x+4，MD=｜x｜=x；
    
    所以当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8。
    (2)根据题意得：
    
    所以四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0＜x＜4)的二次函数，并且当x=2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；
    
    说明：第(1)问的操作对第(2)问有提示作用，启示第(2)问的解题思路，第(3)问随着平移距离的不同，正方形OCMD与△AOB重叠部分的形状也不同，学生可以先画图分析再得出结论，形成的图形则考查了学生的发散思维以及观察推断能力。通过本题，说明操作探究型试题一般阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题，学生在可能的情况下一定要动手操作，感受问题的形成和延伸过程，更主要的是要对操作认真观察和分析，找出问题的实质所在，同时要借助给出的操作示例运用类比的思想，寻找问题解决的策略。
    （三）几何应用型问题
    几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，其考查点常以全等的应用、相似的应用、解直角三角等有关几何知识为主。这类题型材料新颖，有很强的实用价值。此类问题的表现形式是：由几何图形的性质通过计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案。解此类问题，要求学生除能有效地结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决外，还要注意把设计代回到实际问题，进行检验、解释、反思。因此，学生解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想的综合运用。
    1.三角形在实际问题中的应用型
    例3：（2009年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。
    分析：本题以给出情境，让考生自主设计等腰三角形来命制题目，有一定的开放性，又有一定的实用性，可以较好地考查学生是否具有灵活运用所学知识来解决问题的能力。解决的关键是问题要求扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，假设在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则应在Rt△ABC外以点C为直角顶点，以AC为一条直角边作一个Rt△ACD，由于要求扩充后是一个等腰三角形，故又要分△ABD的三条边两两相等的3种情况进行讨论求出。
    解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下3种情况。
    ①如下图左侧三角形，当AB=AD=10时，可求出CD=CB=6。可得△ABD的周长为32。
    
    说明：这是一道与现实生活联系紧密，利用勾股定理来解决的几何应用问题中的测量问题，试题具有开放性，要求学生既动脑思考又动手画图，它着重考查学生应用数学知识解决问题的能力。解决这类问题主要是灵活运用数学知识（如全等、相似、勾股定理）找出线段间的相等关系，正确列方程求解，在计算过程中要注意计算的准确性和技巧性。解这类问题的要领是：针对给出的实际问题，结合数学中的分类讨论思想，画出符合要求的图形，然后按问题要求进行论证或计算。
    2.有关方案设计问题应用型
    例4：（2009年甘肃省兰州市）某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米。现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。
    
    (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
    (2)求这条抛物线的解析式；
    (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、0点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
    分析：(1)由底部宽度OM为12米可知M(12，0)。抛物线过原点，可知OM的中点在抛物线的对称轴上，故该抛物线的对称轴为直线x=6（即顶点的横坐标为6），由抛物线最大高度为6米可知，抛物线开口方向向下（即二次项系数为负数），顶点的纵坐标为6，故抛物线顶点P的坐标为(6，6)；(2)由于抛物线顶点P(6，6)坐标已知，故求抛物线解析式可用顶点式；(3)由于“支撑架”为矩形，知CD与x轴平行，故点C、D纵坐标相同，且C、D关于抛物线对称轴对称，可设A、B、C、D这4个点中的任一个点的坐标，就能表示出其他3个点的坐标，从而求出AD、CD、BC的长度。
    解：(1)M(12，0)，P(6，6)。
    
    
    所以“支撑架”总长AD+DC+CB是m的二次函数，且此二次函数的图象开口向下。
    所以当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米。
    说明：(1)图形的设计问题，目的是通过对图形的操作，考查学生的动手实践能力、画图能力以及计算能力，它能培养学生思维的缜密性。解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其是否最优，因此有关面（体）积公式要非常熟练，同时要熟悉解直角三角形、解四边形（尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）的有关知识和技巧，并会将有关图形转化为直角三角形或特殊四边形再计算有关线段或面积，有时还要利用轴对称及其性质解题。
    (2)本题将方案设计问题与二次函数相结合，求二次函数的解析式是本题的关键，求二次函数的解析式主要有一般式（即已知抛物线经过三点求解析式）和顶点式（即问题中有与顶点相关的已知条件），如本题即可用顶点式，也可用一般式来求抛物线的解析式。
    3.综合类几何应用型
    例5：（2009年吉林省）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫3种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN。准备在形如Rt△AEH的4个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△MEH的4个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：
    
    设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
    (1)S与x之间的函数关系式为S=______；
    (2)求w与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
    (3)当买花草所需的费用最低时，求EM的长。
    分析：第(2)问花草所需的费用为W元，等于红色区域（4块直角三角形）费用、黄色区域（4块直角三角形）费用与紫色区域（1块小正方形）费用的和；求所需的最低费用是多少元即是找二次函数的顶点。(3)由(2)知，此时AE=1，AH=3，可用勾股定理求出，在Rt△EMH中，再用勾股定理求出EM的长。
    
    
    说明：解几何应用问题要求学生必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握能力。本题是2009年中考中一道比较有创意的综合类几何应用题，它将几何计算、函数有机结合起来，试题包含深刻的图形变换思想和从特殊到一般的数学方法，需要学生具有丰富的空间想象能力。从命题来看，该题重点考查了学生的观察图形能力、抽象思维能力、空间想象能力、运算能力和解决实际问题的能力，对引导学生注意学习生活中所包含的朴素的数学思想，激发他们开拓思维、增强创新能力大有裨益。如果学生没有透彻阅读理解题干部分所提供的信息，或不具备灵活运用数学知识的能力，是较难解答本题的。通过本题可提醒学生，平时多注意灵活运用数学基础知识解决身边的数学问题。^NU1DA20110602