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现代数学与中学数学
现代数学的进展及其对数学教…
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现代数学的进展及其对数学教育的影响
作者：未知    文章来源：转载    点击数： 959    更新时间：7/13/2009
现代数学的进展及其对数学教育的影响
数学教育的发展受到诸多因素的影响，其中一个重要的方面是数学科学自身和其应用的进展。要讨论数学教育改革，势必需要对现代数学的发展及趋势、当代数学对现代社会进步的促进、现代数学对提高公民素质的作用等方面展开讨论。为此，《标准》研制工作组设置了"当代数学进展及其对数学教育影响"的专题，对上述问题展开了较为深入地研讨。
在对这一专题进行研讨的过程中，我们发现不少国际、国内的著名数学家和数学教育家都就当代数学的进展以及对数学教育的影响发表过许多深刻而独到的见解，收集他们的看法，认真地去阅读和思考，无疑会提供给我们许多分析问题的新角度，为我们带来许多新的启示。基于以上考虑，我们收集了当代国内外部分数学家和数学教育家们的著作和文章，摘录了一些著名数学家的精辟观点。与此同时，我们受教育部基础教育课程改革专家工作组委托，于1999年1月5日和6月24-26日在北京召开了"现代数学及其对中小学数学课程的影响"专题座谈会，会议特别邀请了近二十位我国一流的数学家就数学课程改革的某些问题进行了研讨。
本文正是在上面两项工作的基础上形成的。在收集著作和文章以及与数学家座谈的过程中，我们发现，尽管所处的文化背景不同、所从事的研究领域不同，数学家和数学教育家们还是就许多问题达成了基本共识，这些共识对制定《标准》无疑是非常可贵的。
（一）20世纪中叶以来数学的进展
数学在19世纪已经发展成独立的学科。到了19世纪下半叶, 随着不断从实际中获取营养以及自身的蓬勃发展，数学本身积累了大量丰富的资料(思想、方法和理论等), 其中有些甚至达到了繁琐的程度，同时也留下了众多没有解决的难题，这些都促使了20世纪上半叶以来对数学所进行的系统整理，即以集合论为基础、公理化为方法将数学分门别类地整理成不同学科，各学科以公理化方法将原有材料系统化、一般化。集合论观点与公理化方法将数学的发展引向了高度抽象的道路，结合数学对各个学科中重要问题的研究，使得原有的许多学科(如代数学、拓扑学、函数论、泛函分析)在新的基础上得到了更大的发展。人们对一些数学基础问题的探讨形成了一些新的数学学科(如数理逻辑、公理化集合论)，人们逐渐认识到在数学中有一些基本结构：代数结构，拓扑结构，序结构以及后来认识到的测度结构，这些结构的相互影响和渗透使得数学的很多学科得到长足的发展，并形成一些新的学科(如概率论、随机过程、微分几何、微分方程、代数几何、多复变函数论)。有些历时几百年的著名数学难题(如费马大定理、四色问题)得到了解决。一些数学分支虽然与公理化进程关系不大(如解析数论)也得到巨大的发展。尤其令人们意想不到的是, 数理逻辑竟成为发明现代电子计算机的先导，而且自从有了电子计算机以来, 数理逻辑就成为计算机科学工作者的理论基础.
数学在发展的过程中, 一方面不断地从数学本身提出需要解决的问题；另一方面, 日常生活、生产、技术和其他科学也不断地应用数学, 从而进一步向数学提出需要解决的问题。在二次世界大战以前, 数学已经跨越自我向相关学科(如相对论、量子物理、理论物理、弹性力学、流体力学、数理经济学)的应用，取得了前所未有的成就。但当时数学对工程技术的应用往往只起着间接的作用：首先应用于其他科学，再由这些科学提供技术进步的基础。在第二次世界大战期间和以后, 经济以及其他科学技术都有了空前的发展，出现了一大批需要数学提出决策性结论的新型实际问题，例如，大批量生产的质量控制和检验问题、生产的方案与配方问题、可靠性问题、大型的调度问题、通讯中抗干扰和从微弱信号中提取信息的问题，编码问题以及后来出现的信息压缩问题、远程控制等问题。这些成为了新的数学应用的推动力。同时随着数学的蓬勃发展, 它所积累的丰富的理论、方法提供了描述实际现象(建立模型)的有力工具和研究模型方法的雄厚基础。这两方面的结合，形成了一批带有新特点的独立的应用数学，如数理统计、运筹学、信息论、控制论等。著名数学家Phillip A.Griffiths 对20世纪的数学发展表示了如下的看法："20世纪是数学的黄金时代，许多重大而长期没有答案的问题终于得到了解决。究其成功的原因，大多是由于我们对各个分支之间复杂的相互影响及作用有了日益增长的理解，那些相互关联不断扩大和深化，从而数学开始跨越自我来探索与其他科学领域之间的相互作用了。这些涉及数学各种领域之间的及数学与其他科学领域之间的相互作用，已经导致了一些伟大深刻见解的产生，也导致了数学领域在广度和深度上进一步扩大。"关于20世纪的数学发展的详细阐述可参看[L3]。
大批的数学应用问题要求提出决策性结论，往往就要求算出数值解，这在过去往往存在着计算上难以逾越的困难。因而在实际中只好简化计算，有时甚至使原来的问题变得面目全非；或者放弃用计算方法解决问题的途径，而改用模型的方法，这样会牺牲精确性。但是在第二次世界大战中出现的那些问题，例如原子弹的研制、密码的破译、大规模的调度，却要求高度的精确性或大规模的计算。电子计算机就是在这种历史性的要求下发明和研制出来的。电子计算机的出现, 它的大容量存储、高速度计算使得扫除计算障碍在技术上成为可能。这些因素的综合作用促成了数学的惊人应用在自然科学和社会科学中到处出现。
综上所述，随着经典数学的繁荣和统一，许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得20世纪中叶以来，数学与社会的联系更加直接，对社会的发展起着空前巨大的作用。
1.数学的应用具有了"技术"的品质
今日的数学，已不甘于站在后台，而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台，现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的"数学技术"，渗透到了与人类生存息息相关的各个领域，成为一个国家综合国力的重要组成部分 。"国家的繁荣昌盛，关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率"；"高新科技的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学"，这一历史性结论充分说明了数学对国家建设的重要作用。国内外许多数学家都注意到了今日数学的威力和多方面的适用性，并作出了精辟的论述。
姜伯驹在阐述数学从幕后走到前台时指出：现代数学不单只是通过别的科学间接地起作用了，她已经直接进入科技的前沿，直接参与创造生产价值--数学已经走到前线了。
王梓坤指出数学已经具有了技术的品质：由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术的两种品质，这是其他学科所少有的。
L. A. Steen在谈到数学的广泛应用时指出：数学在这个时代的科学挑战中发挥着中心的作用，数学方法越来越多地被用于环境科学、经济学、社会学、心理学，甚至正在进入艺术领域。
计算机的出现，使得数学模型具有了特别重要的意义。当人们面对纷繁复杂的科学技术和社会现象时，数学可以通过建立模型、分析和求解、计算乃至形成软件等一系列方法来帮助我们把握客观世界。通过研究数学模型，对具体问题给出定量的解答。从而在自然科学、社会科学及其他学科和各种技术领域中发挥重要作用。许多数学家对数学模型的重要意义也发表了自己的看法。
P.A.Griffiths形像地指出数学已经从其他科学的伙计转变成为伙伴：数学一个强有力的新用处是计算机建模，数学模型、计算机硬件和数学算法的巨大进展，导致了许多科学和技术领域的巨变。
严士健谈到了数学模型与数学证明之间的关系：以往数学界将证明定理作为数学研究的主要目标(至少纯数学是这样)。随着现代数学的发展，数学既广泛与各门自然科学相渗透，又与计算机结合直接应用于高技术，这就使得建立模型日渐成为数学的主要目标之一。所以，在美国国家研究会《人人关心数学教育的未来--关于数学教育的未来致国民的一份报告》中有了"数学是关于模式和秩序的科学"的提法，94-98年度的世界数学联盟主席D.Mumford在1998年论述现代数学的趋势时说，"创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想，承认这一点，数学将会从中收益"。
2.数学是计算机技术和信息技术的支柱，而计算机也为数学的发展提供新工具
计算机的出现不仅使数学比以往任何时候都更具威力，同时也极大地改变了数学科学自身的某些特点。国内外的许多数学家都深刻地阐述了计算机与数学的相互作用，总结起来主要有以下几点。
一方面，计算机进入数学领域，促进了"计算数学"、"数学模型"、"离散数学"、"数理逻辑"等许多数学分支的发展，使以前不受重视的数学理论重放光彩(如：方程的数值解，气象预报中的数值方法)，并发展了许多边缘科学(如：人工智能、图像识别、机器证明、数据处理)；计算机开拓了一系列数学研究的新领域和新课题，改变了数学各分支之间的平衡，也促进了数学内部的统一；计算机也为数学发现和证明提供了新工具。
另一方面，正如计算机给数学提供了新的机会一样，数学也使计算机具有了如此不可思议的威力。数学为自然现象提供构作模型的方法，也提供用计算机语言实现这些模型的算法，以极大提高计算机处理信息的功能。事实上，计算机本身以及计算机的进一步开发、改进和应用都离不开数学。
综上所述，计算机和数学形成了一个紧密相关的系统，正是这个系统产生了以前不可能出现的新结果和以前不可能想像的新思想。
3.数学研究的方式发生了变化，"做数学"的过程更加凸显
以往，人们对数学研究方法的描绘主要集中于利用纸、笔进行运算和证明，很难体会观察、实验、模拟、尝试、调控等活动对数学的作用，其实这些也是数学研究的重要方式。特别是计算机的出现，它向数学家提供了探索模式和检验猜测的强有力的工具，使数学家的研究方式开始发生变化。
M.Atiyah指出：计算机正在数学家工作的所有阶段，特别是在探索和实验阶段，提供着十分实际和有效的帮助。随着数学向纵深的发展，所遇到的原始素材也相应地会变得更加凌乱和复杂。正是计算机可以帮助我们筛选这些素材并为我们指出进一步理解和前进的道路。
W. Brown在谈到数学研究成果的表现形式时形像地指出：在过去，一项数学研究的成果总是一篇关于命题的证明或反驳的科学论文，现在它却可以包含一些色彩鲜艳的图案和一声充满快乐的惊呼："看，我发现了什么！"。
丁石孙也指出：实际上，计算机提供了进行多次试验计算的可能性，为数学研究提供了有力的"实验工具"。
由于计算机与数学的结合，使得实验、尝试错误、模型模拟、猜测、检验调控等已经成为当今数学家研究数学、特别是应用数学的重要方式，伴随着数学实践活动和数学实验的加强，一个基本的"做数学"的过程日益清晰，许多数学家和数学教育家都以不同的措辞描述了这一过程。著名的"美国2061计划第一阶段数学专家小组报告"中这样提到：我们看到了一个基本的数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的形式--抽象、符号变换和应用。这种循环不只出现在普通实验和数学实验的交界处，而且也在数学王国内部多次重复，导致了该学科更高水平的概括性，从而使它可以具有更强的效能。H.Freudenthal将这一过程称之为数学化，即数学地组织现实世界的过程。在这个"做数学"的过程中，不仅有计算或演绎，它涉及了观察，猜测、尝试、调控、估计、检验等多种方式。
（二）20世纪中叶以来数学的进展对数学教育的影响
前文论述了20世纪以来，特别是20世纪中叶以来数学的进展及其对现代社会的作用，从中我们不难看出数学对社会的作用已涉及到几乎所有方面, 而且这种作用将越来越广泛和深入。
现代数学的空前发展以及对社会的突出作用势必要对基础教育阶段数学教育发生重大的影响。那么，将如何影响数学教育呢？以下将从数学教学目的、数学课程内容和数学教学过程等几方面进行讨论。
1.数学科学得到了广泛应用，要求数学教学必须重视培养学生的应用意识
如前所述，20世纪下半叶数学的一个最大进展是它的广泛应用，"谁用得好，谁就赢了"(姜伯驹，1996)，数学的价值观因此发生了深刻的变化。这一变化必将对数学教育产生重要的影响，最直接的一个结论就是数学教学要重视应用意识和应用能力的培养。数学的思维训练价值和作为科学语言的作用，仍然是重要的。但是，"数学应用意识的孕育"、"数学建模能力的培养"、"联系学生的日常生活并解决相关的问题"等，则越来越处于突出的地位。或者说，恢复它原来应有的地位。
反思我国数学教学的现状，"数学是理性的音乐"、"数学是思维的体操"或者"数学是科学的语言"已经成为人所共知的名言，但数学的应用却长期得不到重视，甚至斥之为"实用主义"、"短视行为"。在正式颁布的教学大纲里，把数学能力定位于"基本运算能力、空间想像能力和思维能力"，而在实际教学中，则认为逻辑思维能力是一切数学能力的核心，数学的应用在数学能力中几乎没有位置。 也许有人会提醒说：不。大纲的后面还有一句话是"逐步培养分析问题解决问题的能力"。 这不过是一个障眼法，为什么"数学应用"要"逐步培养"？它的潜台词是"慢慢来、无所谓"，似乎运用数学分析和解决问题是以后的事情。更何况，这里的'问题'是泛指的，并未明确指出数学应用。说到底，是数学应用的观念没有树立起来。
针对这一现状，不少数学家呼吁要"重视数学应用，还数学以本来面貌"。姜伯驹先生指出前面提到的关于数学的名言("数学是理性的音乐"、"数学是思维的体操"、"数学是科学的语言")是不完全的，还应再加上一句"数学是生活的需要，是最后制胜的法宝"。P. Davis先生则幽默地指出：与其把学生拘谨在课堂上进行喋喋不休的说教，不如让学生解答现实世界中的问题，我们也许能赢得更多数学的信仰者。
对于数学应用还存在着一个误解，认为只要数学学好了, 自然就会应用。实际上，很多数学家认识到培养学生数学应用的意识和能力是一件很不简单的事情，它绝不是知识学习的附属产品，应该认真地加以培养。严士健在下面的谈话中指出了这项任务的艰巨性：为了培养应用意识，必须使学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练，否则强调应用意识就会成为空洞的说教，这是一项并不容易的任务，它牵扯到转变观念、改变课程安排等多方面因素，需要认真研究和推行。另外，严士健对在教学中加强应用也提出了一些具体的建议：要告诉学生数学与日常生活、其他课程以及周围现实有着广泛的联系，并且要求他们在学习数学的同时主动去观察这些联系；要引导学生在解决问题时注意分析问题的要求和条件，从而考虑运用什么方法可能解决，而不是看它属于哪一类型的题目；要适当提出一些条件并不充分或解答并不唯一(或不给出结论)的题目，以使学生参加某些解决实际问题或解决某种综合性问题的活动；要组织多种多样的数学课外活动，让学生能根据自己的爱好来参加。
其实，培养学生的数学应用意识和应用能力，还能帮助学生对数学知识、思想和方法有一个直观、生动而深刻的理解，它有助于学生正确认识数学乃至科学的发展道路，了解数学用以分析问题和解决问题的思维方式。
丁石孙在谈到数学建模的目的时指出：数学建模活动的一个很重要的目的，是通过它可以使学生真正懂得数学究竟是什么。你可以联系各种各样的问题，从中体会到数学是很有用的，但有用之处并不仅仅在于它的哪一条公式有用，哪一条定理有用，而是整个数学会提供给学生们很重要的一种思想方法，这种思想方法不但对于具体的学科会有很大的作用，甚至对今后做一切工作、如何思考问题、如何抓住问题的要点，都会有作用。
王梓坤则对这种思考方法的内涵提出了自己的见解：当代科技的一个突出特点是定量化。……精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用。
总之，我们的数学教育要使学生对数学有一个全面、正确的认识，使学生具有适应生活和社会的能力，使他们能亲身运用所学的知识和思想方法去处理问题，就必须重视数学建模和数学应用的教学，将应用意识的培养和推理能力的发展放在同样重要的地位。同时，我们还应认识到从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的、自然而然就能实现的事情，必须经过充分的、有意识的训练。因此，我们要在数学课程和教学中为学生提供大量的机会，使他们在解决实际问题的过程中形成数学应用的意识和初步的应用能力。
2.数学科学提供了独特的思考方式，要求数学教学重视培养学生数学地思考问题
除了能解决实际问题之外，数学还提供了某些普遍适用并且强有力的思考方式，包括直观判断、归纳类比、抽象化、逻辑分析、建立模型、将纷繁的现象系统化(公理化的方法)、从数据进行推断、最优化等。应用这些方式思考问题，可以使人们更好地了解充满信息的世界；使人们具有科学的精神、理性的思维和创新的本领；使人们充满自信和坚韧。对于数学在此方面的重要价值，许多数学家都从不同的角度进行了深刻的阐述：
王梓坤在阐述数学对公民素质的重要贡献时提出：数学对国家的贡献不仅在于国富，而且还在于民强。数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断。
萧树铁在提到数学素质的内涵时指出了四点：创造--德国数学家康托说过，"数学的本质是自由"，数学最能激发人自由创造的本能，它使人敢于突破常规，不迷信书本、权威。自由创造是人类文明的源泉，它也是数学能够启迪的人性中最珍贵的品格；归纳--归纳是人类赖以发现世界的最基本、最重要的思维方法，它是数学大厦中的主干；演绎--就是运用逻辑，从已知推知新事实的思维，演绎思维是理论数学的"看家本领"，也是科学发现的一种重要方法；数学建模--这是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后应用数学公式来进行模拟(包括用计算机进行数值模拟)和验证的一种模式化思维，它是人类在探索自然和社会规律中所运用的最有效的方法，也是数学应用于科学技术及社会的最基本的途径。
王世强在谈到数学对人类理性精神的作用时指出：数学教育是十分重要的，…… 其重要性一方面是由于数学的广泛适用性。……另一方面则在于数学的思维训练有助于培养和加强人们的理性探索精神。关于理性精神，在我国传统文化中也是有不少体现的，但不如西方的现代科学特别是现代数学中反映得丰富而深入。
D. T. Haimo 则提到需要改变数学在公众心目中的形像：我们需要提高公众的认识，数学是一个生气勃勃的领域，有无数未解决的问题，有形形色色的未知地区，等待有想像力、有创造力的学者去征服！数学的发展是以创造性的发现精神为特征的。Dan Kennedy先生则充满感情地说到：这是一个幸福，创造性的年代。
数学教学不只要培养学生的应用意识，也要使学生学会数学地思考问题. 一提到数学地思考问题，许多人就把它等同于逻辑思维能力，这方面的培养当然是需要的.但如果我们只是注意数学的严格思维训练是不够的, 甚至会发生负作用, 即形成思想呆板的状况。数学在表达和论证上是需要严格的, 所以它经常采用的是演译方法；同时它在从实际抽象出概念和模型、构思证明方法等情况下, 则是一种归纳方法与严密思考相结合、直观与严格相结合的抓住事物本质、进而构成系统的抽象过程，这是一种独特的数学思考方式. 数学在培养学生思维方面, 更重要的是培养学生这种数学思考方式, 并将它应用于日常生活和工作。很多思想家用这种思维方式研究科学和社会问题，获得巨大的成功。运用这种思维方式，对于一个现代社会的公民来说, 同样是十分重要的。
3.数学科学的发展为基础教育数学课程内容的选择提供了依据
数学科学的发展，特别是与计算机的结合，使得数学的某些部分变得重要起来，而另一些部分又变得不那么重要了，这些变化将对基础教育数学课程内容的选择产生重大影响。
(1)数据处理、算法、优化、离散数学等内容越来越受到广泛的重视
首当其冲的是统计与概率的内容。因为，数据处理、预测风险已经成为信息社会中一个合格公民所必备的基本素质。D.Mumford 在接受访问时谈到了统计学的重要性：我坚信数学教育应当进行十分严肃的努力，从思想上重视实际应用。……我认为统计学是中学课程中应当增设的一门十分重要的科目，因为中学生常犯的错误有许多是数值判断方面的错误，如果在中学里引进这门课程，他们将得到更好的训练。
我国数学家也指出了现有课程对统计与概率内容的忽视。严士健谈道：概率统计由于它既有极其广泛的应用，又是中学阶段唯一培养学生从随机(或统计)角度观察世界的数学内容，因此在各国的中学教材中都普遍采用，而我国却将它列为部分中学选学的内容，并且在处理上实际是按照大学本科教材的框架，没有考虑中学阶段的应用和中学生的接受能力。张奠宙则呼吁道：概率统计的初步知识应尽快进入中小学课堂。一个令人担心的事实是，概率知识和随机观念一直没能进入中小学。有奖销售，中奖机会，市场风险，可能期望等现实数学情景屡见不鲜，电视上经常出现"去掉一个最高分，去掉一个最低分"等问题，但在中小学课堂上却只字不提，这难道能说是正常？
另一些受到广泛重视的是与计算机科学密切联系的内容--算法、离散数学、优化等。1986年ICMI在科威特讨论"90年代学校数学"时就建议数学课程中要引进与计算机科学有关联的离散数学的概念；要重新强调算法，并让学生去比较解决同一问题的不同算法的效率。我国有许多数学家也大力呼吁在基础教育中要增加算法、离散数学、优化等内容。
(2)注重对数和符号的理解、应用和表达，削弱繁琐的计算
计算器和计算机的广泛使用，引发人们思考这样的问题，是否还有必要让学生花很多的时间来做有关数和符号的计算？也就是在宝贵的9年或12年的学习中，是否还要让学生做那么多计算器和计算机能很快完成的事情呢？当然基本的训练是理解计算规则和算理的保证，但那些繁琐的、技巧性很高的计算应当大大削弱，要将学生的精力放在学习更有用的内容上。
对于数和符号的学习，哪些内容更有用呢？一些数学家们对此提出了自己的想法。概括起来，主要有运用数和符号解决问题、进行表达和交流；理解运算的道理，寻求合理的算法，估计运算的结果，判断结果的合理性等。
M.Atiyah指出：必须更多地强调对所涉及的过程的理解，而少强调具体的常规的计算。这可以解释为是教育的一个进步，因为避免了令人生厌的繁琐计算又提高了鉴赏的能力。
丁尔升提出数和代数学习的基本目的是发展数的意识(Number sense)和符号意识(Symbol sense)，包括用数和符号表达数量关系(表达)；选择适当的方法解决用数和符号形式表达的问题(操作)；从数据或符号推理中得出结论并对结果进行检验(解释)。
Z. Usiskin在谈到为"所有人的代数"时指出：将来代数在解决问题时，将很少注意代数的技巧，因为通过便携式机器和预编程序软件就能做这些事情。但是却需要提高对代数两个方面的重视：能够被应用的代数；代数作为一种交流的语言。……毫无疑问，将来的代数很少包含技能特性，而更多包含应用和表示特性。
(3)发挥图形直观的功能
计算机的一个重要特征在于它可以直观、动态地演示，这便于学生对抽象问题的理解。当然，不能要求学生只依靠直观而不进行抽象，但在数学教学中要加强图形直观却得到了广泛的共识。
丁石孙指出：利用电子计算机的终端屏幕显示，可以使教学形像直观，加快学生对抽象问题的理解。如在几何教学中，计算机图画可以使学生清楚地看到图形的形成过程，从而对几何性质认识得更加清楚；几何变换可以变成屏幕中的图形旋转，生动地显示出变换的性质；学生对立体图形的虚线部分，在空间想像不强时总是把握不定，而计算机可以让学生从不同侧面看到立体图形，这对于空间想像力的培养无疑是非常重要的。计算机具有模拟复杂过程、模拟事件的能力，对于相当多的抽象科学理论，可以提供看得见的表达式，如高速气体的运动理论，气体分子的随机运动等等，计算机都可以提供生动的模型表示。
史树中在谈到图形直观对于一些数学内容学习的作用时指出：借助计算机的图像显示，函数图像的教学就会与过去很不一样，教师既可以相当容易地向学生显示几乎任意的初等函数的图像，还可以引进许多实际的函数例子来显示其变化。几何，尤其是立体几何与解析几何的教学也将会与过去大为不同。以前学生学习立体几何的最大困难在于缺乏空间想像力，少量的模型对提高这种想像力的作用也不大。现在通过计算机上大量立体图形的显示，学生这方面的能力就会大大提高。
从两位的谈话中我们不难发现一些共同点：空间想像能力的加强、计算机对实际问题模型的展示，都会显著提高学成学习的效率。这会给我们选择课程内容以很大的启示。
我们常常听到一种说法，认为中小学生的任务就是打基础，基础打好了以后干什么都可以。原则上讲这并不错，但难道任何"基础知识和基本技能"都是重要的，都必须从小打好吗？恐怕不行。写一手好的毛笔字是不是基础？背一些四书五经是不是基础？会弹钢琴是不是基础？都是基础，但是并非人人都必须具备的基础。基础知识和基本技能多得很，没有那么多的时间样样都学好，因此必须精心加以选择。那么，数学课程的基础内容究竟是哪些？当然不能以现在课程里的内容作为唯一标准。选择数学内容的标准，除了教育心理学等的见解以外，主要的一个方面是用数学的眼光进行判断，从数学发展的角度进行分析。
前面我们已经分析了数学科学的进展对课程内容选择的一些影响，谈到了一些需要增加和需要削弱的。下面再举一些例子。在19世纪以前，欧几里得的《几何原本》曾是大学数学的基础课本。1960年代"欧几里得滚蛋"虽然是一个错误的口号，但是欧氏几何内容的缩减与整合则是总的趋势。这是因为，数学科学有了重大进步，内容大幅度增加，欧氏几何固然重要，但其他的内容如概率统计、微积分、矩阵、算法、解析几何也重要。时间是有限的，旧的内容不得不加以整合，以求保留最基本的东西。整合的方法是：掌握欧氏几何的精神，并将几何推理和代数算理互相补充，几何逻辑推理与逻辑框图的学习相呼应，欧氏几何的面目自然和19世纪的状况不同了。
就中国的情形而言，也是与时俱进的。 算盘曾经在历史上起过重大作用，但是毕竟在渐渐退出历史舞台。"三算结合"尽管有合理的一面，终于不敌计算机技术的普及。
再来看几何学中对称、平移、旋转等"变换"内容。几何变换本来是几何学中的重要概念，又是现代数学的重点内容。可是过去的几何教学只注重于命题间的逻辑推理，却忽视对几何空间本质属性(几何变换下不变量)的认识。因此也可以说过去几何教学的"基础知识"不够强。因此，我们在新课程里强调几何变换，正是在"加强基础"。
还有一个例子是老式的算术应用题。 许多人觉得它对训练数学思维很有好处，这当然也无可厚非。但是，老式算术应用题的教学非常重视分类，而且一类题目一个公式，靠记忆题型来解题，这样的应用是基础吗？用现代数学的观点看，数学应用首先要建立数学模型，寻求主要量和主要关系，将纷繁的现实情景用简约的数学语言表示出来，表示能力是培养应用能力的关键之一。这样一来，我们就应把数学建模和实际问题的解决当作新的"基础"。
4.数学科学走出"形式主义"的光圈，要求数学教学做到"返朴归真"，适度的"非形式化"
20世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义学派盛极一时，数学的呈现形式非常抽象，从一般的集合论开始，用公理体系、逻辑演绎规则展开数学。希尔伯特的形式主义哲学观念，在学术上有重要的价值：数学的研究对象不是某个特定的物质形态，而是"思想材料"；数学是从所有自然现象和社会现象中抽象出来的数量规律。20世纪中叶，法国的布尔巴基学派独树一帜，认为数学就是一些结构的组合，无所谓什么实际意义。这种结构主义的哲学观，把希尔伯特的形式主义哲学观更向前推进一步。布尔巴基学派把数学整理了一番，用"结构"把数学知识梳理成一个井然有序的体系，功不可没。
但是，形式主义把数学等同于形式，结构主义把数学看成结构，其共同的问题是脱离了现实，把数学变成了"无本之木"、"无源之水"。著名数学家J.v. Neumann 　　早在1947年就说过："远离了它的实践的源泉之后，或者太多'抽象'的近亲繁殖之后，数学学科就处在退化危险之中。在开始的时候，款式通常是经典的；当它有迹象表明成为巴洛克式时，那么，危险的信号就升起了。"著名数学家R.Courant很早就针对数学教育尖锐指出："两千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机。不幸的是数学教育工作者对此应负其责。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然这可以发展形式演算能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。……忽视应用，忽视数学与其他领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形式化方针是对的；在重视智力训练的人们中必然激起强烈的反感"。在哲学上，哥德尔的两个不完备性定理打破了希尔伯特形式主义取代整个数学的梦想。同时，数学在军事、经济、科学技术上的应用远远超出"结构"的限制，过度抽象、无视现实的数学观终于遭到广泛的批评和实际的抵制。大约在1970年左右，世界各国的数学家把目光转向"现实世界"，关注现实的数学问题，数学应用成为数学发展的重要动力之一。这一点前面已有专门的论述。于是，数学科学走出了"希尔伯特和布尔巴基"的光环，重新回归到现实世界的大海。接着，数学的教育形态也跟着发生了变化。从1980年代开始，西方数学教育界提出"非形式化数学教学(informal mathematics teaching)"的口号，要求中小学的数学教学摆脱过度形式化的束缚，主张联系学生的日常生活实际，增加数学问题的趣味性。总之，把数学呈现为学生容易接受的"教育形态"。
再来关注中国的情形。在20世纪上半叶，中国的数学教育多半受英、美"海洋派"的影响。当时的数学中心在德国格丁根和法国的巴黎，形式主义和结构主义的影响十分巨大，英美教材也不同程度地有形式主义的影子。特别是1949年建国之后，中国数学和数学教育全盘接受前苏联的影响，而苏联数学学派则深受德国和法国的影响，体现在前苏联数学教材中的形式主义的观念、严格的演绎体系、纯粹的逻辑方法，征服了中国的数学教育界。几十年过去了，"过度的形式化"竟成了中国数学教育传统的重要组成部分。遗憾的是，当世界数学(包括前苏联的数学和数学教育)在1970年代和1980年代相继走出形式主义和结构主义光环的时候，中国却在1980年前后因为"拨乱反正"走回到1960年代的形式主义观念为主导的数学教育体系。历史地看这是不可避免的一步，问题是要及时调整，尽快跟上时代潮流，使得中国的数学教育依然能够健康发展。现在看来，这种改变稍微慢了一拍，种种转变大约迟到1990年左右才开始出现。在20世纪90年代，国家提倡"素质教育"、"创新教育"，使得平静的"形式主义海洋"顿时波涛汹涌：数学素质比逻辑形式的内涵要广得多；数学创新精神是逻辑演绎所推不出来的；数学教学提倡学生的数学活动；设立研究性课程，面向自然、面向社会、面向实际，努力把数学的学术形态转化为学生容易接受的教育形态。这里介绍一些我国数学家和数学教育工作者为数学教育观的变化所做的努力：
1992年3月中国数学会教育工作委员会中与基础教育有关的委员在广州举行会议，提出了《关于中小学数学教育改革的若干建议》。指出"二次世界大战以后的数学发生了重大的改变，计算机的出现和应用数学的长足进展，使数学思想出现了深刻变化"。"中小学数学教学内容改革应该有积极远大的目标，教材内容必须有较大幅度的删简和必要的充实更新"。具体建议中针对当时正在修改的义务教育数学教学大纲提出应该"阐明数学思想和突出数学的应用；……将应用数学的能力和灵活思考能力放到重要地位"。建议还表示"愿意为我国数学教育改革开展咨询活动，组织数学家提供意见，……供领导部门决策时参考"。
1992年底，数学教育高级研讨班在宁波举行。《数学素质教育设计(草案)》公布，其中明确提到"适度的非形式化"。
1993年，严士健、张奠宙、苏式冬走访国家考试中心，希望在高考中增加应用题的考试。 建议被采纳，其影响不断扩大。
同年，西南师范大学陈重穆发表"淡化形式、注重实质"的著名论文，对"抠字眼"、"背黑体字"、"挑起无谓的争论(0是否虚数之类)"等现象提出批评，引起广泛重视和评论。张奠宙对此进一步作出阐述：如果一味地讲抽象、严谨，除了把不喜欢数学的孩子们吓跑之外，并不能给数学教育带来多少好处。数学的内容如此丰富多彩，生动活泼，为什么非要众口一词地念叨"抽象"、"严谨"不可呢？适度的"非形式化"，是国际上通行的数学教育原则之一，……现在的九年义务制大纲，还保留着形式演绎的某些过分要求，例如初中学生不接触立体几何，说那是高中的事。可是大多数学生是不升高中的，他们一生就永远接触不到天天接触的地球，建筑等立体几何内容，这岂非作茧自缚？
1996年，姜伯驹先生提出"20世纪下半叶数学的主要发展是应用"的论断，主张用数学"平台"，反对无原则地"追求形式主义的公理化体系。"
另一个重要的事件不得不提，《标准》在研制过程中曾经召开了两次数学家座谈会，许多数学家和数学教育家在会上就教材和教学中的"非形式化"提出了自己的看法：
教材和教学要密切与学生生活的联系，增加趣味性。王梓坤讲了这样一个"故事"：有一个数学教授和他的高材生都被诬告，同时要枪弊了。在临死前，监狱的看守询问他们此时最大的愿望是什么。教授首先答道，请让我最后再上一次讲台，为我的学生讲一节课吧。学生听到老师的话后，急忙说道，我的最大愿望是在老师讲课之前，马上将我处死。这当然是一个笑话，但王先生却借此说明了目前数学教学的枯燥无味。他还进一步指出：在义务教育阶段，首先要逐步启发学生的兴趣和爱好；二是要培养他有信心学。要提高数学的可读性和趣味性。徐利治先生用轻松的语言提出了课程和教学的几个"一点"：义务教育，讲一些直观的、有趣的、与生活联系的东西就可以了。不要太难，要与学生们的实践联系得紧一点，直观的多一点，动手实验的多一点，使他们的自信心强一点，抽象的少一些。
教材和教学要体现数学结论的"来龙去脉"，鼓励学生的探索和创造。严士健多次呼吁要讲"来龙去脉"：现在我们的教材一开篇就是纯数学的内容，很少说明这些内容是哪里需要，从哪里来的，为了让学生真正理解这一点，就应该讲清这些内容的背景。要想办法生动活泼地向学生讲解数学的发展道路和数学思想的发生，使他们感到数学是有血有肉、生动有趣的，简单地说，就是要讲"来龙去脉"。冯克勤在讲到教学时指出：我们常常热衷于告诉学生面面俱到的知识，但不知如何用最少的语言启发学生自己学习和思考。玻尔的名言是"不教之教"，即教师只需要提出问题，引导学生如何思考。不需讲"硬件"，即知识性的原理、结论、定律和事实。需要做的只是"软件"，即与进行创造性活动有关的能力和品格，对创造活动的价值标准和态度。这种通过"不教"达到"教"的目的，可以说是教学的最高境界了。张筑生也指出：数学教育应该做的事就是让学生通过自己的参与，通过"做数学"来体验数学。应该引导学生学会用数学的方式去思考去探索，这才是最最重要的事。
教材和教学要以求返朴归真。项武义提出了教材编写的"二十字方针"：返朴归真，力求平实近人；精简实用，才能引人入胜。
当然，反对过度形式化，不是不要形式化。数学的形式化是数学的固有特点，形式化思想是理性思维的重要组成部分，学会将实际问题形式化，也是学生需要学习和掌握的基本数学素质。我们这里讨论的是"数学不要脱离实际"、"不要唯形式化"，以求得对数学精神实质的把握和形式化表达的动态平衡。数学内容的形态既有展现背景、注重应用、返朴归真的一面，又有注意抽象表达和形式演绎的一面。当然，要作到二者的完美结合需要有一个长期积累与磨合的过程。
这里，我们愿意用坐标系的建立为例来说明。 如果按形式主义观点来处理，那就先得研究实数系，用戴德金分割或者康托序列定义实数，证明其连续性。 然后，用可公度和不可公度线段的理论，使得有理数对应可公度线段，无理数对应不可公度线段，于是建立起数轴和实数系的一一对应。最后再用两根数轴作成坐标系，使得平面上一点和一对有序实数作对应。19世纪50年代年代前苏联的数学教材就是这样处理的。后来，我们觉得公度和不可公度的理论实在太麻烦，就直接告诉学生"实数系和数轴上的点能够建立一一对应"，这就是姜伯驹先生所说的一个"平台"，我们在前人研究的平台基础上"大胆地往前走"就是了。这样做似乎不严格、不够形式化，但是它符合学生的认识规律，是倚重经验形态的东西。现在的学生，并没有因为我们的不严格，而在数学学习上发生什么错误。所以说，绝对的形式化是做不到的，适度的"非形式化"是有益无害的。再进一步，是否可以在适度的非形式化方面再作一些新的努力：在小学学段，虽然不出现坐标系的概念，但是否可以要求借助具体实例，学习用数对来表示位置，在方格纸上用数对确定位置。这样做完全符合学生的认知水平，并体现了数学上坐标方法的精神实质，为以后正式学习直角坐标系进行了准备。
结   语
20世纪中叶以来纯粹数学的发展依然强劲，费马定理的证明轰动世界，哥德巴赫猜想正以百万美圆的悬赏征求解决；与此同时，数学家正在运用数学和计算机技术解决各色各样的实际问题。随着经典数学的繁荣和统一，许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得20世纪中叶以来，数学与社会的联系更加直接，对社会的发展起着空前巨大的作用。
数学与计算机的结合，使得自身已经成为现代社会中一种普遍适用的技术，她有助于人们收集、整理、描述信息，建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学不仅帮助人们更好地探求客观世界的规律，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。因此，数学课程应该通过丰富的客观世界中的问题，体现数学刻划世界的过程和全貌，使学生体会数学与现实世界和人类进步的密切联系。
数学在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用，这一过程除了逻辑和证明外，充满着探索与创造。计算机的出现，正在改变以往数学家主要利用纸、笔进行工作的方式，如今观察、实验、模拟、猜测、矫正和调控等等，已经成为人们应用数学的重要策略。因此，我们的教学应该让学生体会数学研究的基本方法：观察、尝试、收集信息、合情推理、建立猜想、验证与证明，这种研究方法的熏陶，将使人终生收益。
现代数学的空前发展以及对社会的突出作用势必要对基础教育阶段数学教育发生重大的影响。那么，将如何影响数学教育呢？
从数学教育的目标方面进行考虑，我们不难看出：数学广泛地运用逻辑，但不等于逻辑；数学教学要培养学生数学地思考问题，也要培养学生数学应用的意识和能力。过去不管应用、只提思想体操，甚至是只讲逻辑是不对的；同样，认为现在的课程改革只讲应用，不要数学思维和逻辑，也是一种误解。我们的目标是建立一种符合当代数学发展的本质和趋势、符合学生身心发展规律和未来需求的数学教学，它既重视数学的背景和数学的应用，也注意数学的抽象过程和证明，我们要的是整条鱼，而不是"掐头去尾的烧中段"。数学教学要全面促进学生的发展，力求使他们既能有效地应用所学知识和方法去解决日常生活、相关学科和工作中的问题，又能独立去探索、去发现；能理性地思考问题，合理地作出判断；能充满自信地面对生活和社会。
当代数学和计算机技术的发展，为基础教育数学课程内容的选择提供了重要的依据，也为我们反思什么是学生应该掌握的基础知识和基本技能提供了指导。总之，用当代数学发展的眼光看基础，改造原有的基础，建设新的基础，乃是数学教学内容改革的要义。用这样的观点来看目前的数学课程，就会发现确实需要对其进行认真选择和变革了：概率统计(数据处理)需要从整体加强；从平面到立体的几何直观需要突出；计算器要尽可能使用；算法思想要引起重视；坐标方法要及早渗透；离散数学的内容要注意引入……这些反映当代数学发展与进步的内容都应在《标准》中得到体现。
随着现代数学的发展，数学科学走出了"形式主义"的光圈，与生活的联系日益密切，数学的探索过程越发凸显，这些都对教材和教学提出了新的要求。在教材建设和教学过程中，要重视所学内容与生活的联系；重视数学知识的形成和应用过程；重视学生的探索和实践，教给他们寻找真理和发现真理的方法；重视用朴实的语言反映数学的实质，揭示人们探索真理的道路。
以上对"当代数学进展及其对数学教育影响"这一专题进行的讨论，为数学教育的发展、数学课程的改革提供了重要的依据。从现代数学的进展以及数学对现代社会的作用这一高度来审视数学教育的某些问题，确实给我们带来许多新的思路和新的启发，这些思路和启发势必要在《标准》中得到反映。
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