九乡新闻网高品质音乐免费下载:弗赖登塔尔的数学教育思想
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弗赖登塔尔的数学教育思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa—tional Studies in Mathematics》杂志，现任ICMI主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” 形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。 ～ 的充分而又必要条件是ad＝bc(这里a、b、c、d均为整数，bd≠0)，于是有理数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式，通常是规定在某个集合中，定义了一个运算，使之符合结合律，并且存在单位元和逆元，于是这个集合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群，非零有理数集是个乘法群；同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中，已经充分体现了这种方式，点、直线、平面究竞是什么，虽然去掉了像欧几里德所作的“点是没有部分的”这类模糊的描述，但也并未给出任何清晰的阐述，却只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质，在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是棋子所必须服从的活动规则。 — 才能保证其严密性，可是现在 — 又失去了地盘，因为又有了现代化的微分算法；再如，半个世纪以前，人们认为自然数、整数、有理数和实数，就构成了严密的数论基础，可是今天，却必须从公理化的定义出发，认为除了公理化体系以外，就没有严密的数学。
作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处。
第一节 关于现代数学特性的论述
数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入20世纪以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法，那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面：1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着，新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继续活动。
微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算；经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了
再如表示一个函数的符号，为什么应该记作f，而不宜写作f(x)、这个道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性，这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。
形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言。
根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础，可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化，并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况，培养他们从现实背景中，概括出各种数学的观念与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言，有意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程，就必须贯穿在数学教育的始终。
2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路上，迈开了决定性的一步。要是把康脱(Cantor)的集合论的创造，作为现代数学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，即描述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念；随着现代数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法，在不少情况下难以达到预定的目的；在更多的内容中，人们借助于具有这些特性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念；它的实质就是以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系，就如以布尔巴基为代表的学说，认为整个数学也只是对“结构”的研究。
从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上一个等价关系：那就是
弗赖登塔尔之所以强调这一特性，正在于他抓住了现代数学的发展在方法论上所起的突变。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。就我国的数学教育而言，近年来已开始注意一些现代“结构”、“公理化”思想方法的渗透，但如何抓住其精萃，真正的“渗透”，并且又不至太脱离了具体的现实世界，超越了当前教育的实践基础；要使我们的数学教育脚踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣地咽下一些新名词，何况这些数学“公理”、数学“结构”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为基础，如果忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握与领会。
3．传统的数学领域之间界限的月趋消失，一贯奉为严密性的典范的几何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用；正如康德(Kant)所说：没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何原本》曾被奉若神明，可是今天，在布尔巴基学派的结构主义数学中，几何却占据了很少的篇幅，学校数学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢?
现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如“空间”、“维”、“邻域”、“映射”、…等几乎渗入了数学的各个领域．复函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程xn＝1的意义之阐明，与复数平面中正n边形的作法密切相关；集合论的研究更充分显现出几何直观的数轴、点集、映射、…等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本的形状——多面体的直观研究。
大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦的一段精辟论述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果必然，它就不涉及现实，…，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容的截然分开，…”而几何恰恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可以理解的。
从现代数学反映出的这一特性，给我们提出了两个方面的问题。多少年来数学课程的设置常在“分久必合，合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间周旋，算术、代数、几何、三角、微积分、…这一系列的学科，反映了数学发展史中各个不同阶段；不同侧面的情况，它们自有其各自的特点与规律；再结合学生的认识发展规律与认知过程，更需根据教学的规律来作出课程的设计，在不同时期侧重于不同方面是完全应该的；但总的目标是显然的，即使分也不能一分到底，完全分家，总还应该将数学视作为一个整体；当学生运用数学这个工具以解决问题时，就必须善于综合地应用代数、几何、三角、…等各种方法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂，生搬硬套。
另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样是多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口号，可是仍有不少人认为，任何数学问题。最终还是需要建立在几何的基础上，这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它一定的道理。当然几何究竟应该处于怎样一个恰当的地位，它在数学体系的教学中，可以起什么样的作用，到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。
4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的道路。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新与旧，高与低；概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念深度，同时也为了有个广阔的平台为基础，可以跳导更高。
一个典型的例子，相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，…，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，很少人会作这样的推理：两个杯子最终还是含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种解法就是思辨的。
在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力。韦达(Vieta)的代数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果，近年来的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。
如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关系，是强调概念，强调理解，还是着重运算，着重操作?有人认为理解是基础，有人又主张熟能生巧。在我国的中小学数学教育中，似乎也不乏这方面的颇具说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等，看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。
第二节 关于数学教育目的的探讨
学习数学究竟是为了什么?进行数学教育，最终要达到什么效果?弗赖登塔尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基本的目的?这是否还有教育价值?另一方面，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望?那就是说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。可是，数学有着如此广泛的应用，究竟教到哪个范围才是最合适的?
再一个问题就是学生的情况，因为需要是一会事，可能又是另一会事，这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容，当然这也必须包括教学过程中所作出的各种努力；就像有些试验声称小学就可以教群论，这恐怕是一种过于夸张的说法，如果仅仅是用几个特殊的群进行一些具体运算，恐伯只是行家才知道他们在学习群论，对学生来说，这只是一些有用的学习活动，但并未理解它的真正实质。
弗赖登塔尔对通常提到的一些数学教育的目的，进行了仔细的分析与探讨：
1．掌握数学的整个体系
因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪些概念和技能，难以预料，于是只能根据数学内在的体系出发，希望通过数学教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。
这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那不恰当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反感。
这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽略了社会的要求与学生的实际。
2．学会数学的实际应用
应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该是数学教育的首要目的,也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。
大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，而不是孤立的片断，但这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的最大特点就是灵活性。所以一般说来,还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联系，譬如说通过数学与其他自然科学的生动联系，目前物理、化学的教学与数学的教学显然是互相割裂、各行其是的，尤其在教师培训工作中，问题更为严重。
了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具，而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以断地联系实际、发挥作用，而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。
3．数学作为思维的训练
自古以来就将数学作为“智力的磨刀石”，认为对所有的人而言，数学都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从18世纪拿破仑的军事胜利，到20世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。
严格说来，究竟什么是逻辑思维?是否存在思维的训练?数学又是否是其中的一种?甚至是最好的一种?这些都是很难回答的问题。因为无人能证明，一个好的数学家在其他科学领域中也必然会有很高的成就，也不知道数学天才是否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西，又会有什么样的结果。
弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出以下问题：
(1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人?
(2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人?
(3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同一个人?
(4)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意n＝1，2，3，…，下列断言成立：如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有多于n条腿的桌子．问以下命题是否成立?对n＝l，2，3…，如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有少于n条腿的桌子．
(5)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否一定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同?
试验结果的事实证明，受过数学教育以后，对上述问题的看法、理解与回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认识论的角度，对此作更进一步的探讨。
4．数学作为筛选的工具
长久以来，在各种领域内，都将数学作为一种选择方法，不仅是科学、技术、医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有一定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。
同样的问题存在着。每个教师都坚信：谁的数学学得好，那他在其他领域中通常也学得好；事实是谁也不知道，如果他从未学过数学，是否其他领域就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。
特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们必须通过形形色色的入场考试，即使社会差异会逐渐消失，但社会总是要对它的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工，因此筛选工具是必须的，考试也是必要的，但如果说学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了。
5．培养解决问题的能力
人们往往对数学给以高度评价，因为它可以解决许多问题，从日常生活中常常遇见的数值计算，各种神秘的魔术与游戏，一直到高精尖的领域，从计算机直到火箭发射，都可以发挥与施展数学的魔力，因而使人对数学产生了极高的信念。数学可以训练语言的表达，以最精确、简洁的语言来描述现象，数学可以使问题简化，又能将问题推广，使之一般化，这样数学就从多个侧面，给人们提供了解决各种问题的手段、背景，以至思维的方法，这就为综合地分析各种因素，顺利地解决各种实际问题，创造了条件，培养了能力。
当然需要考虑数学教育究竟能够培养哪些能力，人们解决问题所需要的不仅是单纯的数学知识，也许更重要的是人们的思想方法，分析、综合、推理、否定以及演绎、归纳、类比等等，似乎都与数学有着天然紧密的联系,数学究竟能否在这些方法上起巨大的影响?另一方面,问题有着多方面背景,包括各种所谓非智力因素,数学教育能否在这些方面,提供综合的帮助,而使学生确实通过数学的学习,能够在解决问题的能力这方面获得培养与提高。
根据以上的探讨，结合我国的实际情况，这几个方面的目的都有它的道理，也应该作为我国数学教育的目的，只是随着义务制教育的普及，根据各个不同的年龄阶段，是否可以在各个方面，有不同的侧重点，譬如对义务教育制来说，应该特别强调实际应用，因为那是全社会公民必备的训练，社会价值需突出；对于高中准备继续升入大学的，应该加强一些对数学整个体系的要求，在知识的逻辑结构、演绎推理方面适当加强；关于思维训练及解决问题的能力这两方面，必须作深入探讨，掌握其确切规律，才能做到这些；至于数学作为筛选工具的这一职能，不应放在过高的地位，为了考试而学数学，那就违背数学教育的本意了。
第三节 关于数学教学原则的设想
弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法。弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识。
这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习。因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西。
根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了下列几个数学教学的原则：
1．“数学现实”原则
数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。
另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构。
弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人。这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西。可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的。为此，弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。70年代“新数学”运动的失败就是个明证。
如何理解“现实”?不同的社会需要是否就是“现实”?将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解。根据英国的Cockcmft报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平。
第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的。
第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分。
第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容。
数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求。数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等。
数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。
一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。
由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：
第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题起着核心作用。
第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。
第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来。
综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。
首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的。
其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行。学生的“实际”知识有多少?学生的“数学水平”有多高?学生的“日常生活常识”有多广?这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离(s)与时间(t)的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数。
再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论’’第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关。弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力。
2．“数学化”原则
弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统；还不组说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系。还不如说是学习“形式化”这是颇有见地的。他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。
数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念，这也是数学化。
数学的整个体系，作为充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构，它并非一个僵硬的、静止的骨架，它是在与现实世界的各个领域的密切联系过程中发生、形成并发展起来的。就象线性函数起始于自然和社会中的比例关系，数量积开始于力学，以及导数开始于速度、密度、加速度等，可以这么说，整个数学体系的形成就是数学化的结果。数学教育应该尊重数学的传统，要按照历史的本来面目，根据数学的发展规律来进行。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上是历史上现实世界数学化过程的再现，我们当然没有必要也没有可能将数学教育变成历史发展过程的机械重复，但确实必须也可以从中获得很好的借鉴。事实证明，只有将数学与它有关的现实世界背景密切联结在一起，也就是说只有通过“数学化”的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。
于现实世界与数学化的关系以及它的不同水平的特点，荷兰的数学试验教材以上页框图体现这一总体结构。
首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念性的数学化”，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高；与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形式的加工，再将它用来解决现实世界的问题；通过现实世界的调节作用，而使数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于组织更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。现实世界的数学化就是这样，通过两者交融在一起，不断地相互反馈信息，促使数学现实世界与数学化继续不断地发展与提高，这就是数学科学不断发展的动力，而这也同样应该成为数学教育发展的动力。
其次，反思是数学化过程中的一种重要活动。它是数学活动的核心和动力。数学的不少发现来自于直觉，而分析直觉理解的原因是通向数学化的道路必须让学生学会反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教育——以反思为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质。
现代化数学往往借助数学方法来为各种错综复杂的现象构造相应的数学模型，这当然是一种数学化，作为数学教师谁都不会满足于将各种现成的数学模型，硬灌给学生，去塞满学生的脑袋；人们希望的是学生会运用自己的数学知识来为具体问题建造新的数学模型，应该说，数学教育的目标就在于使学生学会“数学化”。
弗赖登塔尔关于“数学化”的论述，可以说把我们通常所说的“数学抽象性”、“实践——理论——实践”的一般公式更为具体化了。作为一位有成就的数学家，他用自己的几十年数学研究经验，构筑了人们形成数学概念、扩展数学知识的实际过程，值得我们参照学习，以下我们来具体地论述两种常见的“数学化”过程：公理化和形式化。
人们在长期的实践中，将直观朴素的各种几何命题加以组织、整理、加工，形成欧几里德公理系统，这一通常称为公理化的过程，也是一种数学化。近年来数学发展的重要特征之一，就是公理化思想广泛地渗入各个数学领域。例如从置换群与几何变换群形成一般群的公理系统，从实数域与复数域建立起一般域的公理系统等等。我们的数学教育自然不能停留在让学生的头脑成为形形色色公理系的仓库，更重要的任务是必须教会学生能运用自己的数学思维，对一个数学领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来。也就是说，必须让学生学会公理化。
如果说公理系统是通过公理化的方法重新组织数学内容的结果，那么作为数学抽象性的特点之一的形式体系就是通过形式化的方法重新组织数学语言的表达，从而建立起来的结构。这种形式体系化，或简称形式化，又是另一种数学化。数学内容的特殊本质决定了对数学语言的特殊要求，从日常语言中逐渐独立出来，引进特定的数学术语来表达数学的活动与思想。从希腊人的以字母表点，以文字代数，到阿拉伯人建立的完整的数字符号系统，从而使代数运算及有关的关系形成了完美的体系。17世纪以来，大量新符号的引进，以至近年来将逻辑符号引入了数学。所有这些都是数学的形式化过程的逐步提高与发展，在此过程中数学科学也进到了一个更高的阶段。随着近年来计算技术的突飞猛进，预计数学的形式化水平还将达到更高的水平。在数学教育中，并不是要学生背诵那些形式体系，而应使学生学会形式化，学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系。形式化和形式主义是根本不同的，我们不能为形式而形式，使数学成了无内涵无意义的机械运算、形式游戏。只讲“思想体操”，不讲“思想内容”，那是“纯形式”把戏，不是“形式化”过程。
荷兰的van Hiele曾经首先研究了实现数学化过程的教学理论，他提出了关于几何思维的五个水平，这对如何通过数学化途径以进行数学教育是个很好的借鉴。五个水平(1evels)列举如下(前已提及，这里再作一些具体解释)：
0——水平：直观(Visualization)。其特征是学生借助直观，笼统地从整体外表上接受图形概念，并不理解其构造、关系，也不进行比较。譬如他知道矩形、正方形、菱形和平行四边形，也会画这些图形，但对它们的理解是孤立而不相联系的，他认为这些图形是完全不同的。
1——水平：分析(Analysis)。其特征是学生开始识别图形的构造，互相之间的关系，也能借助于观察、作图等方法非正式地建立起图形的许多性质，但并未掌握其间的必然联系。譬如他知道矩形有四个直角、对边相等、对角线相等，但他并未深入追问这些性质互相之间是否有什么联系?对这些性质的掌握只限于各种现象的罗列；再如他完全知道一般的平行四边形和矩形一样也具有对边相等的性质，但他并未想到矩形概念应该从属于平行四边形概念。
2—水平：抽象(Abstraction)。其特征是学生形成了抽象的定义，也能建立图形概念与性质之间的逻辑次序，但尚未对演绎的实质含义形成清晰的观念。根据思维变化与对象的不同特点，他会混合使用实验观察与逻辑推理等各种不同的推导方法，但还没有理解公理的作用，自然更谈不上对数学内在结构体系的掌握。譬如他知道矩形的定义，也能知道正方形是矩形，也是平行四边形；他还可以以平行四边形的某个性质为出发点，以推出其他的性质；但他还没有掌握整体的逻辑联系，还不知道哪些概念是基本的，而另一些性质却是派生的。
3—水平：演绎(Deduction)。其特征是学生抓住了整个的演绎体系，能在以不定义的基本关系和公理为基础的数学体系内，在定义、定理之间进行形式推理，理解构造和发展整个体系的逻辑结构，能理解并分析相互之间的逻辑关系。譬如他会从不同的定义出发来研究平行四边形的所有性质与特征构成的整个系统，甚而揭示各种定义的等价性，他也能理解哪些事实必须当作公理而接受，再在此基础上导出所有合乎形式逻辑的结论。
4—水平：严谨(Rigor)，其特征是学生领会了现代公理系统的严密性，对于几何对象的具体性质以及几何关系的具体含义都可以不作解释，而是完全抽象地建立一般化的几何理论，这实质上已经将几何提高到一个广泛应用的领域。譬如他能比较各种公理体系，并能不用具体的几何模型来研究各种几何学。也只有在达到了这一水平的基础上，才能进而将公理化思想渗透入数学的各个不同分支，从而使数学形成一个严谨而完美的形式逻辑演绎体系，暂时离开它所依据的具体现实、客观事实，而从内在的逻辑联系中，进一步探讨数学科学的深奥的本质结构。
根据儿童的思维发展与学习过程提出来的这一思维水平理论，正好相应于前面所谈的数学教育中的数学化原则。一般来说，在某一个水平上进行的组织活动，往往成为下一个水平的研究对象，通过重新组织又提高到一个新的水平。数学教育这一活动过程，就应该是教师根据社会现实的需要，儿童认识过程的发展规律，在不同阶段提出学生应该达到的不同水平，并且引导学生不断地攀登新的水平；就在这不断提高水平的过程中，学生研究着各种不同的数学现实，学会了各种不同层次的数学化，从而也通过这条途径掌握了数学。
为此，在数学教育中必须强调以下几点：一是思维的直观性。抽象而复杂的数学知识，总以某些具体对象或内容为背景材料，形形色色的不同层次的数学化，总要以某个相应的数学现实为出发点；在教学过程中，时刻牢记学生所拥有的数学现实，鼓励学生的直觉思维，尽可能阐明问题的来龙去脉，从而在学生思想中形成一个具体而鲜明的原型，这必然会形成掌握数学化思想的扎实基础。二是思维的阶段性，处于不同思维水平阶段的学生，往往拥有不同层次的数学现实，掌握着不同形式的数学语言，也具有不同程度的数学化水平。一般而言，超越其现有水平而作盲目的跳跃式的提高，往往会适得其反，欲速则不达；或者是仅仅从表面上掌握了某些东西，而对其内在实质却一无所知或是一知半解。只有遵循思维发展和认识过程的规律，在不同的思维水平阶段，提出各种不同的数学化要求，才能真正循序渐进并获得预期的成果。三是促使和加强学生的反思，直观的思维会形成很多新的发现，可这些发现要成为真理，就要具有逻辑演绎的严格依据，就必须依赖于对自己的判断、想象进行不断的反思，以直观形象为背景，以演绎推理为工具，反复地思考，反复地推敲，一个人对自身活动的反思是一种提高水平的活动，例如学生也许凭眼睛观察就可以得出平行四边形对角线互相平分这一直觉形象，可是如果促使学生考虑一下为什么，对这个结论有意识地进行反思，可能会得到意想不到的收获；有些学生会从逻辑推理的角度，从平行四边形的性质来推证，因而在建立演绎体系上前进了一步；也有些学生会从图形结构的眼光，将平行四边形绕中心旋转180°与自身重合而得出这一结论，如果继续将反思推进到更高水平上，就会更进一步发现对称、反射以至变换、映射等概念。正是环绕着这一连串的直觉思维、反思、表达、判断，不断地将数学化过程推向前进，而这也正是数学教育所追求的。
近年来，关于数学化的思想正在不断地进行深入的研究，根据Treffers和Goffree的提法，数学化还可以分解为水平的和垂直的两种成分；如果是从具体的客观现象中找出数学的特性，或者通过不同的方式将同一个问题形式化或直观化，或是在不同的问题中识别其同构的本质，以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等，这些方面都可以理解为同一问题在水平方向的扩展，因而是属于数学化的水平的成分。而如果是将某个关系形成为一个公式，或是证明一个定律，或是对同一问题采用不同的模型或对模型进行加强、调整与完善，以至形成一个新的数学概念，或是由特殊情况经过推广从而建立起一般化的理论等，这些方面就应该看作是某一问题在垂直方向的深入，因而不妨归诸于数学化的垂直的成分。
借助手水平的数学化和垂直的数学化，我们可以用下列图表来比较四种不同类型的数学化途径：
水平的数学化
垂直的数学化
现实的（realistic）
+
+
经验的（empiricist）
+
-
构造的（structuralist）
-
+
机械的（mechanistic）
-
-
其中“十”号表示对这方面给以更多的注意，而“—”号表示较少注意或根本末加注意。当然以上分类也只是相对比较而言，在实际的数学化过程中，这两方面的作用相互缠结，关系错综复杂，并不能截然分开。
回顾历史上最早的传统数学教育，其做法就是机械的途径，教师将各种结论灌输下去，学生被动地接受这些结果，死记硬背，机械模仿，不知道它的来龙去脉，所获得的只是知识的形式堆砌，既不考虑它有什么用处，也不问它互相之间是否有内在联系，可以说很少包含数学化的成分。以后逐渐有所进步，比较多地考虑到实际的经验，也建立了不少现实的模型，从而进入了经验的途径，即较多地顾及水平的数学化，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。如有的国家所设置的“消费者数学”之类，但这些知识又往往流于琐碎、零星、不成体系，忽视了数学本身的内在联系，尤其是忽略了数学的逻辑演绎结构，较少注意数学化的纵深发展。为了纠正上述偏向，以布尔巴基观点为代表的“新数学”运动的做法，就采用了构造的途径，强调数学的演绎结构，重视逻辑推理的论证，企图以结构主义的思想来组织整个数学教育，以提高抽象的逻辑思维水平，形成严谨的演绎结构体系作为唯一的目标，从而又由一个极端走向了另一个极端，忽视了数学的现实性，忘却了数学教育的根本目标还是要为现实世界服务，而且一味追求抽象，强调严谨，也不符合教学规律与认识规律。从历史的经验教训，我们应该得出这样的结论，那就是：数学教育的正确途径府该是现实的数学化途径，我们所需要的课程体系应该全面而完善地体现数学化的正确发展，既要强调现实基础，又要重视逻辑思维，既要密切注意数学的外部关系，也要充分体现数学的内在联系，要能将这两者有机地结合在一起，那才是数学教育所必须遵循的正确路线。
用上述观点分析我国的数学教育现状，实质上走的是“形式化”、“严谨化”的路子，与布尔巴基学派的形式主义做法基本相同(尽管内容上有现代与经典之分)，都是忽视“现实应用”，否认“数学化”过程，以逻辑演绎和形式计算为最终目标，这种数学教育思想当然是不足取的，弗赖登塔尔的“数学化”原则应该为我们所借鉴。
首先，弗氏所说的“数学化”，是数学抽象发展与现实世界的紧密结合。它可以描述来自具体问题的数学模型建立过程，也可以反映一组数学概念的进一步抽象化过程，找出共性、从而升华到更高水平；按照这样的原则进行数学教学，也将使学生在直观与抽象的结合过程中，提高了数学知识水平，又掌握了数学技能与方法，这种知识、技能的获得，是在学生自己不断的观察、比较、归纳的实践经历过程中形成的。
其次，“数学化”有着各种不同的水平，这实质上是从更科学的角度，在对学生的数学知识、技能作了分析以后所得出的结论，这就要求我们在数学教学过程中，不是笼统地提“学生实际”，而要能确切地针对学生所处的不同“数学化”水平，在此基础上作进一步的提高，这样的教学必然是对症下药，也能找出更合适的共同语言，而不至于“无的放矢”。
3．“再创造”原则
弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”，这和我们常说的“发现法”等相似。弗氏认为：数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。事实证明，只有通过这样的方式才能获得最好的效果。
谁都知道数学是最古老的科学，早在上古时代，人们就从日常生活中，获得了数与形的概念，进而又积累了有关的知识，并进一步凝聚成为各种规则、定律，就是这些日常的知识，逐步提高发展而形成了数学。因而我们应该注意到，数学与其他科学有着不同的特点，它是最容易创造的一种科学，3十2＝5，矩形的面积等于长乘宽，类似这些简单而又直观的数学事实，都可以让学生通过自己的学习过程来得到。也就是说，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种定律。
历史上很多数学原理是在世界各个地方独立地发现的，微积分是牛顿与莱布尼兹分别从力学与几何学的角度创造出来的；非欧几何学(罗巴切夫斯基几何学)是高斯、波里埃与罗巴切夫斯基各自分别建立起来的；数学发展的历史进程是如此，个人学习数学的进程也同样如此，每个人都应该在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。当然这并非要我们再去机械地重夏历史，但是新的一代也不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去，也就是说，从某种意义上我们还是应当重复数学创造的历史，假定我们的祖先在掌握了现有的知识后会怎么做——可能发生的历史。
传统的数学教育出现了一种不正常的现象，弗赖登塔尔称之为“违反教学法的颠倒”。数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反，因而严重阻塞了“再创造”的通道。
数学确实是一门演绎科学，它的一个特征是严谨的逻辑推理和高度的抽象化。数学教育的目标之一也应该让学生掌握一个不同水平的形式体系，问题是通过怎样的方式才能达到这一目标?传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论，教师从定义出发；介绍它的符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解，学生的任务则是模仿，唯一留给学生活动的机会就是解题——所谓“应用”。实际上、真正的数学家从来也不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭藉数学的直觉思维，作出各种猜想，然后再加以证实(直到今天，还有许多猜想等待人们去检验或推翻)。那些符号、定义都是思维活动的结果，为了知识系统化或是交流的需要而引进。如果给学生提供同样的条件，不仅是性质、规则，甚至定义也都可以包括在学生能够重新创造的范围以内。
日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究，在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形”的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念，也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多。
当然，每个人有不同的“数学现实”，每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解法，甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠，要让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，甚至可以自己编造问题，自己寻找解法，一句话，应该让学生走自己的道路。自然从教师的角度，应该在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高。
即使是对于那些难度比较高的内容，通过“再创造”的方式来进行教学也要比教师“硬灌”来得好。以高等数学中的Peano公理系为例，它的历史发展过程是：先以一些特殊情况下直观应用的数学归纳法为基础’，到Pascal研究二项式系数时，初步形式化为数学归纳法原理，经过James Bernoulli与Kastner的工作，用比较抽象的形式加以阐述，最后才嵌入Peano公理系。如果按照严密的演绎过程，以Peano公理系为出发点，将数学归纳法原理作为一个定理来推导，然后再将它用于二项式定理等具体例子。如果象传统的教科书这种阐述方法，学生将很难真正地理解与掌握有关的知识，这是违反教学法原则的。如果采取“再创造”的方式，在某种程度上应参照历史进程，先给学生大量的数学归纳法例子(例如二项式定理及组合论中很多结果)，让学生具体应用这个原理，先对它有个直观的感受，然后再将它用于更复杂的情况：以得到进一步的理解与认识。通过这一过程，学生才能真正掌握数学归纳法原理的实质，在此基础上，辅以教师的指导，才会将其抽象化成为形式体系，这标志着思维水平的提高。至于从数学归纳法原理再进到Peano公理系，那就必须使学生经历过公理化的实践，才有可能实现这个更大的飞跃。
伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作，弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。
提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗氏认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：
(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。
(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。
(3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。
因为数学教育问题有两个方面，一方面教的内容是数学，这是一门以严谨的逻辑演绎体系为特征的科学；而另一方面作为教育，它又与社会有着千丝万缕的联系，社会的需要、社会的变化时刻在影响着它，因而解决教育问题不能通过一篇论文，而要通过一个过程。解决数学教育问题，也不能单靠数学家或是教育家，而是必须依靠教育过程的参加者——教育者与受教育者。“再创造”原则的提出就是为了更好地反映出教育过程必须通过教师与学生双方的积极参与才能解决问题，尤其是更体现了“学生是学习的主体”这一思想，让受教育者——学生的活动更为主动、有效。以便真正积极地投入到教育这个活动中去。
近年来在数学教育中流行的一种教学模式，称为“发现法的教学”，也强调教师应该让学生通过自己的活动来发现有关的知识，从某种意义上来说，“发现法”也是一种“再创造”的形式，只是一般而言，“发现法：”的内容常常只限于某个狭窄的题材，或是用一些具体的材料，严格地说，这只是让儿童以数学概念来作游戏，还并未真正接触其中的数学思维本质；同时这种模式的具体做法，又常常由教师事先设计好一个个问题，象设置“圈套”似地牵着学生的鼻子走，学生还是处于被动状态，所以也许可以把“发现法”理解为带有一定限制条件的“再创造”，或者说是处于低水平的一种“再创造”活动，它必须进一步发展而不可局限于此。
我们主张“再创造”应该是数学教育的一个教学法原则，它应该贯串于数学教育整个体系之中。实现这个方式的前提，就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预置的“圈套”。
数学教育应该说是一门社会科学，但又必须以自然科学为基础，它涉及到教育者与受教育者这些能动的人，自然又联系人的生理特点、心理现象以及人们认识发展的规律。“再创造”这一原则符合教育理论与认识论的规律，如果能确实充分体现并贯串于数学教育之中，并给以足够的重视，它必将对数学教育的发展起着关键性的作用。
在我国数学教育界最近比较流行的是“发现法”，问题是对“发现法”如何正确地理解与运用，确实保证让学生主动地进行思考与探讨，从事积极的创造性活动，这实质上是对教师提出了更高的要求，不仅对有关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度的应变能力，随机应变，及时处理学生可能提出的各种问题，以保证将学生引上“再创造”的道路上去。
另一方面，对我国“师者，所以传道、授业、解惑也”这”一传统的教师职责，似乎也应改变看法，那就是真正的“道”、“业”都不是通过满堂灌、填鸭式所能“传”、“授”得到的，重要的是在于学生亲身的经历、活动，如果将教师任务的重点，更多地转移到“解惑”上，也许能够培养出更多的优秀人才。
4．“严谨性”原则
弗赖登塔尔指出，数学与其他的思维训练相比而言，有个最大的优点，就是“确定性”，对每个命题你可以判断它的对或错，其他科学就不是如此，常常依赖于有关的现实情况，涉及到所适用的范围，所选定的标准，只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，由此可以确定结果是否正确，或是结果能否找到，这就是所谓数学的严谨性，是数学的度量标准，也是数学教学必须遵循的原则。但是如何具体运用这个原则，如何判定所教的数学是否严密?
庞加莱曾经说过，“你是否相信逻辑学家总是按形式逻辑规则所指定的那样从一般推到特殊?因为如果用这个方法，他们永远也到不了科学的前沿，科学的征服只能通过一般化来实现”。“当数学科学日益严密的时候，它表现出一种不可忽视的人为的性质，它忘掉了自己的历史起源：只显示出问题是如何解决的，却没有显示出问题是如何提出的，以及为什么提出的。这说明逻辑并不充分，证明的科学并非全部科学，我认为应将直观作为一个补充部分，或者说将直观作为逻辑的对立面或矫正方法。”
根据这一考虑，弗赖登塔尔提出严谨性应该是相对的，对于严谨性的评价，必须根据具体的时代、具体的问题来作出判断。譬如说微积分，人们开始直观地用无穷小概念运算，工作很出色，以后人们相信，必须用
有人为了忠于数学体系的严谨性，试图将自然数、整数、有理数和实数等全套形式化理论，放到中学去教，甚至要从集合开始，认为这才是严谨性的顶点，其实从数学与教学法两方面来说，这种做法都是失败的。大量非公理化的数学必须作为经验数学来教，这些必不可少的经验数学，或者说是自由发现的数学，与现实有着千丝万缕的联系，比那些强加的公理更为重要，没有理由认为它是不严密的。
严谨性有不同的级别，每个题材有适合于它的严谨性级别，数学家应该根据不同的严谨性级别进行操作，而学生也应通过这些不同级另的学习，来理解并获得自己的严谨性，在学生尚未理解之时，是无法将所谓严密的数学理论强加给学生的，学生只有通过再创造来学习数学的严谨性。就 象6岁的儿童用手指计算8+5，在这个年龄，这也许就是一个严密的证明；当人长大时，按严谨性要求，将8+5分解为8+2+3，因为这时的加法表只用于a+b=c（其中1≤a<10，1≤b<10,2≤c≤10）,再迟一点，也许就不必再分解，直接得到8+5=13也就是严密的，因为加法表已经可以用于a+b=c（其中1≤a≤10，1≤b<10,2≤c≤20）。
再如一个中学生发现，用圆的半径沿圆周截6次，正好形成一个正六边形，并根据等边三角形的角是60°，来解释这一经验，对他来说，这是严密的；可是如果一位有教养的数学家当然知道，在这简单的议论中，隐藏了多少先决条件？达到这个结果需要涉及多少公理？能否根据欧几里德、希尔伯脱或是线性代数来实现？
实际上，我们总是在某个局部领域内，组织各种概念与关系。例如几何概念和关系，总是分析到某一个任意的边界，或者说，到达这样一个程度，肉眼能够分辨出那些概念的含意，能够确定命题是否成立，这是普通几何中的推理方式，它只是根据模糊、变动而又假定正确的事实；在某个或大或小的片断中，或者说在某个局部组织内，这就被认为是符合严谨性要求的，而若从公理体系而言，显然这是不严密的，那就是说，为了适用于数学整体，还必须存在一个全局的严谨性概念。
有人主张必须使学生知道，数学和现实世界之间有清晰和严格的区别，以此来保证贯彻数学教学的“严谨性”原则。弗赖登塔尔认为，这种做法是不正确的，因为数学严谨性的实质，是将数学放入现实世界的防水舱内，使数学理论与现实世界分离，但是我们的数学教学还必须使学生了解，绝对的防水舱是不存在的，实际上我们必须不断改进它的防水性能，不是将现成的数学强加给学生，而是通过学生自己的活动，将数学“再创造”出来，这才能保证真正的严谨性，并且使之不断地得到发展。
分析弗赖登塔尔所提出的四个基本教学原则，我们可以发现，对于“严谨性”原则的贯彻，需要特别注意，应该根据不同的阶段，不同的教学目的，提出不同的“严谨性”要求，不存在绝对的“严谨性”，只有在某个具体阶段，结合具体数学题材，根据学生实际水平，规定具体的“严谨性”，在这方面，还有不少问题需要研究。
实际上：“严谨性”要求的规定，应该根据学生的特定的“数学现实”，又应该在“再创造”的过程中，来理解并获得这种“严谨性”，这样才能保证我们的数学教育过程会在“数学化”的正确轨道上前进。总之，数学教学原则并非孤立、分散，各自为政，它们之间有着密切联系，在具体的执行过程中，也应该从整体的、联系的观点着眼，才能使之发挥更大的作用，取得数学教学的成功。
本章介绍了弗赖登塔尔的数学教育理论的主要部分：现代数学的特性，数学教育的目的以及数学教学的原则，他的主要论点都是从实际的数学教育出发，而不是从一般教育出发，因而得到了世界各国特别是数学教育界的广泛重视和研究。回顾我国情况，对数学教育的系统理论还没有很好研究，也很少借鉴国外的现代数学教育学说，处于一种比较盲目的状态。近年来，关于“数学教育学”、“数学思维”、“数学能力”、…的讨论多起来了，数学教育的实践开始活跃起来，我们希望看到，弗赖登塔尔的数学教育理论能和中国的数学教育实践相结合，形成我国自己的数学教育理论体系，为“数学教育”这一万世不竭的事业作出中国人应有的贡献。