赖药儿:MATLAB数值积分与微分
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/04/27 05:03:51
MATLAB数值积分与微分
第8章
8.1
8.2
8.1
8.1.1
8.1.2
1.变步长辛普生法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =
n =
2.牛顿-柯特斯法
基于牛顿-柯特斯法,MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中参数的含义和quad函数相似,只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值,且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数,从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
例8-2
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
I = 2.4674
例8-3
调用函数quad求定积分:
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =
n =
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I = 0.28579444254754
n = 33
3.被积函数由一个表格定义
在MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例8-4
命令如下:
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X);
trapz(X,Y)
ans = 0.28579682416393
8.1.3
使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为:
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol,trace的用法与函数quad完全相同。
例8-5
(1) 建立一个函数文件fxy.m:
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =
ki = 1038
8.2
8.2.1 数值差分与差商
8.2.2
在MATLAB中,没有直接提供求数值导数的函数,只有计算向前差分的函数diff,其调用格式为:
DX=diff(X):计算向量X的向前差分,DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1。
DX=diff(X,n):计算X的n阶向前差分。例如,diff(X,2)=diff(diff(X))。
DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶差分,dim=1时(缺省状态),按列计算差分;dim=2,按行计算差分。
例8-6
命令如下:
V=vander(1:6)
DV=diff(V)
例8-7
程序如下:
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');
g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');
x=-3:0.01:3;
p=polyfit(x,f(x),5);
dp=polyder(p);
dpx=polyval(dp,x);
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;
gx=g(x);
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');