胡一鸣风水长眼法术:matlab积分函数 和 微分函数

%符号积分
int(f,v)
int(f,v,a,b)
%数值积分
trapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分
cumtrapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分
quad(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Simpson法计算积分
quad1(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Lobatto法求数值积分
dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%二重(闭型)数值积分指令
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%三重(闭型)数值积分指令
　　二.示例:

　　例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分

　　本例演示:计算定积分常用方法

>>symsx
int(exp(-x^2),0,1)
ans=
1/2*erf(1)*pi^(1/2)　%erf为误差函数
>>vpa(int(exp(-x^2),0,1))
ans=
.7468241328124270
>>d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))
ans=
　　0.7468
>>quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)
ans=
　　0.7468
　　例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],0

　　注意:被积函数于x=0无义,在x-->1^-处为负无穷

　　本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令

　　（1）

symstx
ft=1/log(t);
sx=int(ft,t,0,x)　
sx=
-Ei(1,-log(x))　%完全椭圆函数
　　（2）

x=0.5:0.1:0.9
sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))　　　　　　　
x=
　　0.5000　　0.6000　　0.7000　　0.8000　　0.9000
sx_n=
　-0.3787　-0.5469　-0.7809　-1.1340　-1.7758　
　　（3）%图示被函数和积分函数

clf
ezplot('1/log(t)',[0.1,0.9])　　　　　　
gridon
holdon
plot(x,sx_n,'LineWidth',3)　　　　　　　　
Char1='1/ln(t)';
Char2='{int_0^x}1/ln(t)dt';　　　　
title([Char1,'　and　　',Char2])　　
legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')　
　　例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在[0,4]上的定积分

　　注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!

　　本例演示:符号计算有限性

　　（1）符号计算解法

symstx
ft=exp(-sin(t))
sx=int(ft,t,0,4)　
ft=exp(-sin(t))
Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.
>Insym.intat58
sx=
int(exp(-sin(t)),t=0..4)　
　　（2）数值计算解法

dt=0.05;　　　　　　　　　　%采样间隔　　　　　　
t=0:dt:4;　　　　　　　　　　　%数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点　　　　　　　
Ft=exp(-sin(t));　　　　
Sx=dt*cumtrapz(Ft);　　　　　　%计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
Sx(end)　　　　　　　　%所求定积分值
　　　　　　　　　　　　　　　　%图示
plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)
holdon
plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)
holdoff
xlabel('x')
legend('Ft','Sx')
>>ans=
3.0632
　　例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于[0,4*pi]上

symsttao
y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);　　
s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t);　　%获得积分函数　　　　　　
subplot(2,1,1)　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　%
ezplot(y,[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7])　%单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf
gridon　　　　　　　　　　　　　　　　　　
subplot(2,1,2)　　　　　　　　　　　　　　
ezplot(s,[0,4*pi])
gridon
title('s=inty(t)dt')