鹰击系列:一题多解 分数和百分数应用题(2)
【分析1】先求出第一次用去多少米,再求第二次用去多少米,最后从电线全长里分别减去两次用的电线,即得还剩下电线的长.
【解法1】第一次用去电线多少米?
100×
第二次用去电线多少米?
100×45%=45(米)
还剩下电线多少米?
100-40-45=15(米)
综合算式:100-100×
=100-40-45=15(米).
【分析2】把电线全长看作整体“1”.先求剩下电线的长占全长的几分之几,再求剩下的电线长多少米.
【解法 2】剩下电线占全长的几分之几?
1-
剩下的电线长多少米?
100×15%=15(米)
综合算式:100×(1-
=100×15%=15(米).
【分析3】先求出第一次和第二次共用去电线多少米,再用电线全长减去两次用电线和,即得还剩下多少米.
【解法3】100-(100×
=100-(40+45)
=100-85=15(米).
【分析4】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几,再求剩下全长的几分之几,最后求出剩下电线长多少米.
【解法4】100×[1-(
=100×[1-85%]
=100×15%=15(米).
【分析5】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几,再求两次共用去多少米,最后从电线全长中减去两次共用的电线长,即得还剩下电线的长.
【解法5】100-100×(
=100-100×85%
=100-85-15
答:还剩下电线15米.
【评注】以上五种解法的思路虽不同,但它们是相互转化,相互联系的.解法1和解法2、解法3和解法5可通过乘法分配律相互转化;解法1和解法3、解法2和解法4都是通过减法性质相互转化的,其中解法2和解法4是本题较好的解法.
例12 自行车厂上半年已经完成全年生产计划的
【分析1】先求全年实际生产量占全年计划生产量的几分之几,再求实际产量超过全年计划的几分之几,由此可求全年计划产量,最后求上半年产量.
【解法1】全年实际完成计划几分之几?
实际超过全年计划的几分之几?
全年计划生产多少辆?
1000÷
今年上半年生产多少辆?
40000×
综合算式:10000×(
=10000÷
【分析 2】把
【解法 2】10000÷(5×2-8)×5
=10000÷2×5
=5000×5=25000(辆).
【分析3】由分析2进一步分析,10000辆和超产的(5×2-8)份相对应,而上半年产量是5份,可先求上半年产量是超产部分的几倍,再求上半年的实际产量.
【解法 3】10000×[5÷(5×2-8)]
=10000×[5÷2]
=10000×2.5=25000(辆).
【分析4】由题意可知,上半年和下半年的产量是相同的.所以上半年实际产量比计划产量超产10000÷2=5000 (辆),它占全年计划产量的
【解法 4】10000÷2÷(
=10000÷2÷
【分析5】根据“全年实际产量-全年计划产量=超产量”这一等量关系列方程解.
【解法5】设今年上半年产车x辆.
x=10000÷(2-
x=25000
【分析6】由分析2继续分析,全年实际超产量和上半年实际产量的比,等于它们相对应的份数比,由此列出比例式.
【解法6】设今年上半年产车x辆.
10000∶x=(5×2-8)∶5
10000∶x=2∶5
x=10000×5÷2
=25000
答:这个厂今年上半年生产25000辆自行车.
【评注】解法1和解法4是分数应用题的通常解法.解法2和解法3的思路简单明白,易于理解,并且计算较简便,是本题较好解法.
例13 新风电视机厂,已生产电视机2400台,比原计划少
【分析1】先求原计划生产的台数,再求共要生产多少台,最后用共要生产的台数减去已生产的台数,即得还要生产的台数.
【解法 1】原计划生产电视多少台?
2400÷(1-
实际共要生产电视多少台?
3200×(1+15%)=3200×115%=3680(台)
还要生产多少台?
3680-2400=1280(台)
综合算式:2400÷(1-
=2400÷
=3680-2400=1280(台).
【分析2】先求出原计划生产多少台,再求还要生产的台数占原计划台数的百分之几,最后求出还要生产的台数.
【解法 2】原计划生产电视多少台 ?
2400÷(1-
还要生产原计划的百分之几?
还要生产多少台?
3200×40%=1280(台)
综合算式: 2400÷(1-
=2400÷
=3200×40%=1280(台)
【分析3】用倍比解法.先求出还要生产的台数是已生产的几分之几,最后再求还要生产多少台.
【解法3】还要生产的是已产的几分之几?
(
还要生产多少台?
2400×
综合算式: 2400×[(
=2400×[40%÷
=2400×
【分析4】把
【解法4】
2400÷(100-25)×(25+15)
=2400÷75×40=32×40=1280(台)。
答:还要生产电视机1280台.
【评注】解法1和解法2都是先求出标准量(计划产量),再求还要生产的台数.这两种思路最容易想到,也最好理解和掌握,但运算较繁.解法3和解法4不通过求标准量,而另辟思路求出还要生产的台数.思路直接、简明,运算简便,是本题的较好解法.
例14 有一批货物,第一天运走了总数的20%,第二天运走了余下的
【分析1】先求第二天运走这批货的几分之几,再求出第二天运货与第一天的分率差,即195吨的对应分率.最后求这批货的原有吨数.
【解法1】第二天运走货物的几分之几?
(1-20%)×
第一天与第二天相差几分之几?
50%-20%=30%
这批货物原有多少吨?
195÷30%=650(吨)
综合算式: 195÷[(1-20%)×
=195÷[80%×
=195÷30%=650(吨).
【分析2】先求第二天比第一天多运了这批货的百分之几,再求这批货是它的几倍,最后求出这批货物的原有吨数.
【解法 2】第二天比第一天多运这批货的几分之几?
( 1-20%)×
这批货的总量是两天运货相差数的几倍?
1÷30%=
这批货原有多少吨?
195×
综合算式: 195×
=195×
【分析 3】先求第二天运货与第一天运货的比,再运用归一解法求出第一天运多少吨,最后求这批货物原有多少吨.
【解法3】第二天与第一天运货的比?
(1-20%)×
第一天运货物多少吨?
195÷( 5-2)× 2=130(吨)
这批货物原有多少吨?
130÷20%=650(吨)
【分析 4】根据“第二天运货量-第一天运货量=195吨”这一等量关系,列方程解.
【解法4】设这批货物原有x吨.
(1-20%)x×
50%x-20%x=195
30%x=195
x=650
答:这批货物原有650吨.
【评注】解法 1是常用解法,易于理解且最容易想到,但计算较繁.解法3的思路简捷通畅,是本题较好解法.
例15 某小学四年级学生有136人,占全校学生总数的
【分析 1】用四年级的136人除以它的对应分率
【解法1】全校有学生多少人?
136÷
五年级有学生多少人?
850 ×18%=153(人)
综合算式:136÷
【分析2】先求出四年级和五年级的人数比,再运用归一解法求出五年级的人数.
【解法 2】四年级和五年级的人数比?
五年级有学生多少人?
136÷ 8 ×9=153(人)
综合算式:136÷(
【分析3】用倍比解法.把四年级人数看作“1”倍量,先求出五年级人数是四年级的几倍,再求出五年级有多少人.
【解法3】五年级人数是四年级的几倍?
18%÷
五年级有学生多少人?
136×
综合算式: 136×(18%÷
=136×
【分析4】根据“四年级和五年级人数分别除以它们的对应分率,都等于全校人数”这一等量关系,列方程解.
【解法 4】设五年级有学生x人.
136÷
850=x÷18%
x=850×18%
x=153
答:五年级有学生153人.
【评注】解法 1和解法 3思路简单明白,易于理解和掌握,运算简便,是本题较好解法.
例16 粮库有一堆稻谷,第一次运走12吨,第二次比第一次多运走
【分析 1】先求出两次共运走多少吨,再除以它的对应分率60%,即得这堆稻谷吨数.
【解法 1】两次共运稻谷多少吨?
12×( 1+1+
这堆稻谷共有多少吨?
27÷60%=45(吨)
综合算式: 12×(1+1+
=12×=45(吨).
【分析2】用归一解法.由题意可知,第一次运的稻谷可分为4等份,第二次运了(4+1)份,由此可求出两次共运吨数.而两次运的稻谷又可分为60等份,可先求每份吨数,再求这堆稻谷(100等份)有多少吨.
【解法2】 12÷4×(4+4+1)÷60×100
=12÷4×9÷60×100=45(吨).
【分析 3】根据“两次运稻谷吨数和等于稻谷总数的60%”这一等量关系,列方程解,
【解法3】设这堆稻谷有x吨.
12×(1+1+
27=x
x=45答:这堆稻谷有45吨.
【评注】解法 1和解法 3是常用解法,其中解法 1的思路通顺,易于理解,是较好解法.
例17 水果店花去960元买进香蕉、桃子共1000千克,香蕉斤数是桃子斤数的
(湖北省天门市)
【分析 1】用1000千克除以它的对应分率(1+
【解法 1】桃子有多少千克?
1000÷(1+
香蕉有多少千克?
600×
600千克桃子的总价相当于多少千克香蕉?
600×
香蕉单价是多少?
960÷(400+400)=1.20(元)
桃子单价是多少?
1.2×
【分析 2】运用按比例分配的方法分别求出桃子和香蕉各多少千克,再求出香蕉重量相当于桃子重量.由此可先求出桃子的单价,再求香蕉的单价.
【解法2】桃子有多少千克?
1000×
香蕉有多少千克?
1000×
400千克香蕉的总价相当于多少千克桃子?
400÷
桃子的单价是多少?
960÷(600+600)=0.80(元)
香蕉的单价是多少?
0.80÷
【分析 3】因为香蕉的重量是桃子的
【解法3】香蕉或桃子的总价是多少?
960÷2=480(元)
桃子有多少千克?
1000÷( 2+3)×3=600(千克)
香蕉有多少千克?
1000÷(2+3)×2=400(千克)
香蕉单价是多少?
480÷400=1.20(元)
桃子单价是多少?
480÷600=0.80(元)
综合算式:桃子: 960÷2÷[1000÷(2+3)×3]
=960÷2÷600=0.80(元)
香蕉:0.80÷
答:桃每千克0.80元,香蕉每千克1.20元.
【评注】解法1和解法2是以总价为定量,使香蕉和桃子的重量作等价转换,求出它们的单价,以上这三种解法各有特点,解法1是运用一般的分数应用题的解法,解法2是运用按比例分配的方法,解法3运用的是归一应用题的解法.其中解法3的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例18 某校图书室,藏有一批图书,其中连环画比故事书多48本,两种书被同学们各借走12本后,余下连环画本数的
【分析1】两种书各借走12本后,仍相差48本.因为余下连环画本数的
【解法1】因为余下连环画本数×
=
余下连环画有多少本?
48÷(7-5)×7=168(本)
连环画原有多少本?
168+12=180(本).
【分析2】因为余下连环画本数的
【解法2】余下故事书是余下连环画的几分之几?
余下的连环画有多少本?
48÷(1-
连环画原有多少本?
168+12=180(本)
综合算式: 48÷(1-
=48÷
【分析3】把余下连环画本数的
【解法3】48÷(
=48÷
【分析4】根据分数基本性质把
【解法4】把
余下连环画和余下故事书相差几等份?
21-15=6(份)
余下连环画有多少本?
48÷6×21=168(本)
连环画原有多少本?
168+12=180(本).
【分析5】根据“余下连环画本数的
【解法5】设连环画原有x本.
(x-12)×
x-12=(x-60)×
x-12=
x-180
答:图书室有连环画180本.
【评注】解法 1是运用比例基本性质求出两种书的本数比,进而寻找解题思路;解法3是把两书相等部分看作“1”,从而找出倍数差,进一步使问题得解;解法4是运用分数基本性质找出两种书的份数差,使问题得解,解法5是列方程求解.尽管这四种解法的思路灵活、新颖,但运算都较繁;而解法2的思路简单,运算简便,是本题最佳解法.
例19 有一池水,第一天放出60吨,第二天放出65吨,剩下的水比原来这池水的
【分析 1】从前两天放水总吨数里减去 5吨,所得的差恰好占原来这池水的(1-
【解法 1】 (60+65-5)÷( 1-
=120÷
【分析 2】由题意可知,原来水池的水可分为 4等份,前两天放水的和减去5吨,所得差恰好占3份(4-1).由此可先求每份的水,再求4份的水,即原水池的水.
【解法 2】 (60+65-5)÷(4-1)×4
=120÷3×4=40×4=160(吨).
【分析3】根据“剩下的水比原来这池水的
【解法3】设原来水池有水x吨.
x-60-65=
x-125=
x-
x=160
答:原来水池有160吨水.
【评注】解法1是常用解法,关键是找出对应数与对应分率.解法2是归一解法,关键是“减去5吨”.比较以上三种解法,解法1思路简单通顺,运算简便,是本题较好解法.