魔兽世界太卡:坐标系中的几何问题
中考数学重难点专题讲座
第七讲 坐标系中的几何问题
智康·刘豪
【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面,相信很多同学都已经掌握了。但是中考中,最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数,坐标系,计算量很大,另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现,而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学,这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发,去彻底攻克此类问题。
第一部分 真题精讲
【例1】2010,石景山,一模
已知:如图1,等边
(1)直接写出点
(2)若直线
(3)如图2,过点
①
【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻,稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来。第一问不难,C点纵坐标直接用tg60°来算,七分中的两分就到手了。第二问看似较难,但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形,所以对角线交点非常好算,四分到手。最后三分收起来有点麻烦,不过稍微认真点画图,不难猜出①式成立。抛物线倒是好求,因为要证的是角度相等,所以大家应该想到全等或者相似三角形,过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系,下面就忘记抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此,一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。
【解析】解:(1)
(2)过点
∵
∴
在
∴
∴
∵
∴
∵直线
∴直线
∴
(3)正确结论:①
证明:可求得过
∴
∵
∴
由题意
又∵
∴
∴
∴
∴
过点
∴
∴
由题意可知
∴
∴
∴
即:
【例2】2010,怀柔,一模
如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0<t<
(4)当t 时,△PQF为等腰三角形?
【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行,所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做,第一问送分,给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中,QC和PA始终是平行的,根据平行四边形的判定性质,只要QC=PA时候即可。第三问求△PQF是否为定值,因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离,而运动中这个距离是固定的,所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF,得解。第四问因为已经知道PF为一个定值,所以只需PQ=PF=18即可,P点(4t,0)Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.
【解析】解:(1)
∴
在
由于BC∥OA,故点C的纵坐标为-10,由
即
于是,
(2)若四边形PQCA为平行四边形,由于QC∥PA.故只要QC=PA即可
∵
∴
(3)设点P运动
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO,故
∴
∴
又点Q到直线PF的距离
∴
∴△PQF的面积总为90
(4)由上知,
① 若FP=PQ,即
∵
② 若QP=QF,即
③ 若PQ=PF,即
综上所述:当
【例3】2010,延庆,一模
如图,已知抛物线
(1)求
(2)如图(1),抛物线
【思路分析】出题人比较仁慈,上来就直接给出抛物线顶点式,再将B(1,0)代入,第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标,然后设顶点式,继续代入点B即可。第三问则需要设出N,然后分别将NP,PF,NF三个线段的距离表示出来,然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大,务必细心。
【解析】
解:⑴由抛物线
顶点
∵点
∴
解得,
⑵连接
∵点
∴
∴
∴
∴顶点
抛物线
∴抛物线
⑶∵抛物线
∴顶点
由⑵得点
设点
作
作
∵旋转中心
∴
根据勾股定理得
①当
②当
③∵
综上所得,当
的三角形是直角三角形.
【例4】2010,房山,一模
如图,在平面直角坐标系
(1)求点
(2)连接
①当
②过点
【思路分析】本题计算方面不是很繁琐,但是对图形的构造能力提出了要求,也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说,第二问第一小问和前面例题是一样的,也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.
【解析】
(1)根据题意:
∵
∴
(2)①如图,过点
则
∵
∴
∴
∴
∵点
∴
∵
∴
∴无论是
∴所求的直线
∴直线
② 当
第一种情况:
若四边形
∵
∴
此时
第二种情况:
若四边形
∵
∴
∵
∴
∴
由
∴
∴点
∴
当
第一种情况:
第二种情况:
综上所述,所求M点的坐标为:
【例5】通州,2010,一模
在平面直角坐标系中,抛物线
(1)请你画出此抛物线,并求A、B、C、D四点的坐标.
(2)将直线CD向左平移两个单位,与抛物线交于点F(不与A、B两点重合),请你求出F点坐标.
(3)在点B、点F之间的抛物线上有一点P,使△PBF的面积最大,求此时P点坐标及△PBF的最大面积.
(4)若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点,以GH为直径的圆与x轴相切,求该圆半径.
【思路分析】本题看似错综复杂,尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤,稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌,一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解,第一问轻松写出四个点。第二问向左平移,C到对称轴的距离刚好是1,所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上,所以F直接写出为(-2,-3)第三问看似棘手,但是只要将△PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在X轴上方和下方两种情况,分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了,因为和前面的问题没有太大关系,所以建议大家画两个图分开来看。
【解析】
.解:
(1)
(2)
(3)过点
易得
设
∴
当
(4)如图,①当直线
代入抛物线的表达式,解得
②当直线
则
代入抛物线的表达式,解得
∴圆的半径为
【总结】 通过以上五道一模真题,我们发现这类问题虽然看起来十分复杂,但是只要一问一问研究慢慢分析,总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关,所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握,尤其是借助抛物线的对称性,有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形,梯形以及平行四边形或者圆,只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关,梯形要抓住平行,平行四边形要看平行且相等,圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之,再难的问题都是由一个个小问题组成的,就算最后一两问没有时间思考拿不了全分,至少要将前面容易的分数拿到手,这部分分数其实还不少。像例2最后一问那种情况,该放弃时候果断放弃,不要为1分的题失去了大量检查的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】2009,北京
. 如图,在平面直角坐标系
(1)求D点的坐标;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线
【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等,但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的,所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明,但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.
【思考2】2009,西城,一模
已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线
别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四
边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出
【思路分析】第二问有两个思路,第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等,角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假如有平行四边形,那么构成平行四边形的点P是否在BC上。从这两个思路出发,列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线,继而看出最大值和最小值分别是多少。
【思考3】2009,朝阳,一模
抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,求出点D的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点P,使得S△PAM=3S△ACM,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问要算的比较多,设直线以后求解析式,看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解,如果能巧妙的将△ACM的面积看成是四边形ACEM减去△AME,那么就会发现四边形ACEM刚好也是△AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的距离,然后分类讨论PM的位置即可求解.
【思考4】2009,崇文,一模
如图,抛物线
(I)求抛物线的解析式;
(II)探究坐标轴上是否存在点
若存在,求出
(III)直线
【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标,但是表达式中暗含了X=0时Y=-3,于是C点得出,然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式。第二问中,因为AC是固定的,所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角度问题,但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系,发现∠CBE=∠DBO,于是所求角度差就变成了求∠OBC。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解:(1)∵
∴
设
由
又
∴
∴
同理可得
∴
∴
(2)由(1)可得点
可得
∴点
∴
∴
∴四边形
作直线
设
∴
∵
∴
∵
∴
∴直线
由点
可得直线
(3)确定
由
可得
∴
在
∴
【思考2解析】
解:(1)点C的坐标为
∵ 点A、B的坐标分别为
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为
将
(2)可得抛物线的对称轴为
直线BC的解析式为
设点P的坐标为
解法一:如图8,作OP∥AD交直线BC于点P,
连结AP,作PM⊥x轴于点M.
∵ OP∥AD,
∴ ∠POM=∠GAD,tan∠POM=tan∠GAD.
∴
解得
此时点P的坐标为360docimg_502_.
但此时360docimg_503_,OM<GA.
∵ 360docimg_504_
∴ OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P.
解法二:如图9,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN⊥x轴于
点N. 则∠PEO=∠DEA,PE=DE.
可得△PEN≌△DEG .
由360docimg_505_,可得E点的坐标为360docimg_506_.
NE=EG=360docimg_507_, ON=OE-NE=360docimg_508_,NP=DG=360docimg_509_.
∴ 点P的坐标为360docimg_510_.
∵ x=360docimg_511_时,360docimg_512_,
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .
360docimg_513_
(3)360docimg_514_的取值范围是360docimg_515_.
360docimg_516_说明:如图10,由对称性可知QO=QH,360docimg_517_.当点Q与点B重合时,Q、H、A三点共线,360docimg_518_取得最大值4(即为AH的长);设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时,360docimg_519_取得最小值0.
【思考3解析】
解:(1)设直线AC的解析式为360docimg_520_,把A(-1,0)代入得360docimg_521_.
∴直线AC的解析式为360docimg_522_.
依题意知,点Q的纵坐标是-6.
把360docimg_523_代入360docimg_524_中,解得360docimg_525_,∴点 Q(1,360docimg_526_)
∵点Q在抛物线的对称轴上,∴抛物线的对称轴为直线360docimg_527_.
设抛物线的解析式为360docimg_528_,由题意,得360docimg_529_,解得 360docimg_530_
360docimg_531_∴抛物线的解析式为360docimg_532_.
(2)如图①,过点C作AC的垂线交抛物线于点D,
交x轴于点N,则360docimg_533_
∴360docimg_534_,∴360docimg_535_.
∵360docimg_536_,360docimg_537_,∴360docimg_538_.
∴点N的坐标为(9,0)
可求得直线CN的解析式为360docimg_539_. 图①
由360docimg_540_,解得360docimg_541_,即点D的坐标为(360docimg_542_,360docimg_543_).………5分
360docimg_544_(3)设抛物线的对称轴交x轴于点E,
依题意,得360docimg_545_,360docimg_546_,360docimg_547_.
∵360docimg_548_,
且360docimg_549_,
又360docimg_550_,∴360docimg_551_.
设P(1,m), 图②
①当点P在点M上方时,PM=m+4=3,
∴360docimg_552_,∴P(1,-1).
②当点P在点M下方时,PM=-4-m=3,
∴360docimg_553_,∴P(1,-7).
综上所述,点P的坐标为360docimg_554_(1,-1),360docimg_555_(1,-7).
【思考4解析】
解:(I)360docimg_556_,且360docimg_557_.360docimg_558_.
代入360docimg_559_,得
360docimg_560_
360docimg_561_
360docimg_562_(II)①当360docimg_563_可证360docimg_564_∽360docimg_565_
360docimg_566_.360docimg_567_
②同理: 如图当360docimg_568_
③当360docimg_569_
综上,坐标轴上存在三个点360docimg_570_,使得以点360docimg_571_为顶点的三角形为直角三角形,分别是360docimg_572_360docimg_573_,360docimg_574_.
(III)360docimg_575_.360docimg_576_.
∴360docimg_577_.
360docimg_578_360docimg_579_.
360docimg_580_.
又360docimg_581_ .360docimg_582_.
360docimg_583_.