:为什么要规定“先乘除后加减”？

为什么要规定“先乘除后加减”？

 

对于这个问题，我们分两层来谈。第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。

　　（1）规定运算顺序的必要性。先举两个例子予以说明。

　　例1 小勇买了一块橡皮，价18分，又买了3支铅笔，每支12分，一共多少钱？

　　综合算式18＋12×3

　　=18＋36

　　=54（分）=5角4分

　　根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。

　　例2 小春有18分钱，小敏有12分钱，小冬的钱数是他们俩人钱数之和的3倍，问小冬有多少钱？

　　解答这道题的时候应该先求出小春与小敏两人钱数之和，即求出（18＋12=）30分，然后再求出30分的3倍，即（30×3=）90分。得出小冬有钱90分。这样的解答层次，也就是说先算加法，后算乘法是符合题意的，是合情合理的。使我们看出，在日常生活中需要先算乘法的与需要先算加法的事例都不少。如果永远用分步式计算的话就不必规定运算顺序了。只因为列出综合式，就得规定出前后的顺序。

　　（2）为什么要规定先乘除而后加减呢？应该从法则的定义说起，乘法是相同数连加的简便算法，除法是乘法的逆运算，除法也可以看作是相同数的连减。就以加法和乘法来说吧：每盒乒乓球6个，王小通买了1盒，张大力买了4盒，他们俩人共买乒乓球多少个？我们可以列出如下的算式：

　　6＋6×4.

　　由于乘法的定义是相同数的连加，如果我们把乘法再返回加法的话，那么上面的式子应改写为：

6＋6＋6＋6＋6

假如不怕麻烦的话，可以按照6＋6＋6＋6＋6来计算，一个一个地加，得出30个乒乓球。

　　再引申一步说明，乘方是相同数的连乘，它的定义是：n个a相乘的积，叫做a的n次乘方。我们也规定了在一个算式里，有第二级运算也有第三级运算的时候，应该先算第三级运算，后算第二级运算。总之，运算顺序是由于法则本身的形成及法则之间的关系而规定的，正因为由第一级运算发展到第二级运算，由第二级运算发展到第三级运算，所以运算顺序规定为：先三级，再二级，后一级。  

 

 

　　 “为什么同级运算要从左往右依次计算?”你关注了吗?
　　
　　 教了近十八年的数学，这个内容也教了好几遍，每次的教学都一样，让学生通过学例题明白：四则混合运算，在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘除法，按从左到右的顺序依次计算；如果即有加、减法又有乘除法，要先算乘、除法，再算加减法；有括号的就先算括号里面的，再算括号外面的。学生知道这个运算顺序后，再进行一定的练习。这部分的教学就算完成了。
这个学期的第一节课，教学知识点就是：只有同级运算的四则运算顺序按从左往右的顺序依次计算。由于之前我要学生养成一个习惯：“每当学会一个知识点学生自己给自己提一个问题‘为什么是这样的？’能自己解答这个为什么说明知识学懂了。”结果在课堂中，我将运算顺序揭示给学生后。有好问者问到：“李老师，为什么规定要从左往右算而不规定从右往左算呀！”我一听，愣住了。备课之前只看到教师用书中提到了让学生理解运算顺序规定的必要性。至于如何做，并没有深入的思考。随即时将问题抛给了学生：“谁能说说为什么同级运算要规定从左往右依次计算？”有学生说：“之前有两步计算的老师就说过这样算！”师：“你并没有回答同学问的为什么？”（其实内心我也在想：“为什么规定它们的顺序是从左往右依次计算，为什么不可以先算右边的再算左边的？”，最准确的理由是什么呢？）
我突然想到了举例法。于是我让学生列出所有加减同级运算的式子来（学生举出的式子有：80＋50－40，75—26+35，23+50+30，60—30—20），让学生试用两种运算顺序算算结果。
没多久刚转从县城转学来的王高平举手了。他答到：因为从左到右算与从右到左算的答案不一样，（学生很开心有人能解决提出的为什么了？）师：那你用举子说说？王：比如果说80＋50－40，从左往右算的答案是90，从右往左算的答案是是……90。他有些犹豫了，因为他自己刚才还说到可能是计算结果不同的原因，可现在为什么此题又是答案相等的呢。此时的他显然没有了举手前的兴奋，有点不好意思，觉得好像自己给自己一棒子似的。我喜形于色的说到：“王高平给了我们一个很好的思路，有可能是因为这两种算法的答案不一样了，所以才做出这样的规定。尽管他现在举出的例子不能说明，但我们还有三个例子呀！他太了不起了，给了我们一个思考的方向。”于是马上有同学说到：60—30—20这题两种计算的方法答案就不一样了。我想答案有了:正是因为用从左往右与从右往左算可能会出现不同的结果，了为避免混乱不清的结果，所以人们才会规定它的计算顺序。接着我想到数学计算是为了解决生活中的问题而产生存在的吗？于是我用例1从解决生活中的问题这个角度来分析，计算顺序规定的必要性。例1：滑冰场上午有72人，中午有44人离去，又有85人到来。现在有多少人在滑冰？列式为：72—44+85，如果先算44+85得什么？学生可能会说是离去与又来人数的总和，但用72—129得到的是什么呢？还有算出现在有的人吗？不可能，让人无法理解与解释。所以这样算毫无道理，也不能解决生活中这一问题。”用同样的方法学生也体验到了只有乘与除的两步计算同样也会出现种情况。
“为什么同级运算要按从左往右的顺序计算？” 通过与学生的探究得出的答案是“从左往右与从右往左算可能会出现不同的结果，所以人们才会规定它的计算顺序，以免混乱不清;或者是在解决问题的时候会出现思维混乱，无法解释的现象，所以，才这样规定的”。这个解释对不对？？？在讲例1： 72—44+85，如果先算44+85再算减，来改变运算顺序，计算的结果肯定会发生改变，但与这样改变运算顺序这样算72+85—44时（得数不变），学生会产生思维混乱，认为二者都是改变了运算顺序，没有按从左到右的顺序，而是先算加即：先算了右边的加法再算减法，为什么又会有两种结果？如何让区别这两种不同的算法，怎样说明才能让学生理解？有些困惑！！！
到第二节课四则混合运算（二）含两级运算的运算顺序教学，我想学生肯定又会问：“为什么要先算乘、除法，再算加、减法？”我如第一节课的程序让学生举出例子：60+4×9，100÷50+40，解释“为什么要规定先算×、÷而不是先算+、—？”学生思维开阔起来：唐黄昊说：“因为与昨天一样改变计算顺序结果会不同。”师：“真聪明！知道举一反三，但也可以规定先算+、—，再算×、÷的呀！”毛俊祥：“我爸爸教过我‘+、—’是男生，‘×、÷’是女生，女士优先要先算，如果有括号的里面是生病的，要照顾也得先算。”师：“多形象的比喻，让我们印象深刻的记住了运算顺序的规律，你说出的只是一种记忆方法，并没有回答出我提出的为什么要先算×、÷而不是先算+、—呀？”学生又安静下来，等待了几分钟也没有结果。我忍不住说：“李老师思考出的理由，不知道你们赞不赞同？”学生很期待我的解释。但我也没有底气不知道自己这样想对不对。理由一：60+4×9其中4×9表示9+9+9+9或是4+……+4(9个4相加),只不过他可以换成一种简便算法即4×9, 4×9是一个整体,如果先算60+4,就改变了题目所要表达意思,思路就不正确了，所以必须得先算乘法。除法也一样，当连减中减数相同，要计算被减数中有多少个减数就得用到除法了，同样除法式子100÷50也是一个整体不能拆开，先算50+40，就会改变题目的本意。理由二：让学生理解例3解决问题，让学生是从解决问题的合理性来体验、理解含两级运算顺序先×、÷后+、—规定的必然性。不知道这样的解释合理否？
思考：因为学生之前已经知道按从左往右的顺序计算两步式题，并且知道小括号的作用。为尊重学生的已有知识经验，这个教学内容目标是否可定为：1、使学生掌握含有两级运算的运算顺序，并体会、理解“从左往右依次计算”运算顺序规定的必要性。2、让学生经历探索和交流解决实际问题的过程，感受解决问题的一些策略和方法，学会用两步计算的方法解决一些实际问题。
在学校的数学组集体备课时，我将自己教学的问题、困惑与思考提出，老师们听了都很新鲜，因为他们都如我教学之前一样，从没思考过这个为什么？老师们认为这个教学没必要让学生探究这个问题，因为它是一陈述性知识，是数学知识中的一个规定，不是教学的重点。但我还是坚持作为老师有必要知道这个问题。因为我们常说教学要让学生知其然，更要知其所以然吗？希望得到同行与导师的帮助。
     括号：运算顺序的标志符

 

数学是依据特定的简单规则、利用一些无意义的符号在纸上玩的一场游戏。

——希尔伯特

俗话说：没有规矩不成方圆。数学王国里的混合运算同样有着明确的规定。这种规定，有时需要借用符号——括号来标识，它们就像马路上的交通信号一样，维持着运算秩序。括号本身不表示任何数学概念，只决定混合运算的顺序，所以，我们也称之为辅助符号或归并符号。

一、形态、功能各异的四个括号

括号家族共有四名成员，分别是：

(1) —— 线括号；

(2) ( )小括号，又称圆括号；

(3) [ ] 中括号，又称方括号；

(4) { } 大括号，又称花括号。

括号本无大、中、小之分，之所以这样称呼，可能是因为相对简洁、方便记忆吧。除线括外，我们对其他三个括号都是非常熟悉的。

算式中含有括号时，按照从小括号(或线括号)，到中括号，再到大括号的顺序进行计算，先算括号内，后算括号外。括号内、外的运算依据其意义，则按“先乘除，后加减，同级运算依次算”的规定进行。这套四则运算法则使得数学王国内数的运算井然有序。

除此之外，几个括号在数学领域还发挥着其他作用。

小括号(圆括号)：用来表示点的坐标，如(a，b)；表示区间，如 ，x∈(a，b)(读作：x 属于(a，b)，表示 x 是从 a到 b 范围内的一个数，但 x≠a，x≠b)；表示高等代数中的矩阵等等。

中括号：表示闭区间，如[a，b]表示从 a 开始到 b的所有数；取整符号，如[3.5]=3。

大括号：用来表示集合中的元素，如集合 A={1，2，3，4}，即集合中有 1，2，3，4 四个元素。