:第一章 量子论基础

第三章矩阵力学基础(?)――力学量和算符

一、概念与名词解释

1. 希尔伯特空间

2. 希尔伯特空间中矢量的内积

3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符

4. 不确定性定理

5. 维里定理

二、计算

1. 计算对易关系，其中μ、ν =x,y,z.

2. 设λ是一个小量，求算符按λ的幂展开式.

3. 求在x表象中的算符.以及在p_x表象中的算符.

4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.

5. 一维运动的粒子处在求<(Δx)²>，<(Δp)²>.

6. 粒子处在Y_lm态，求：

(1) L_x和L_y的平均值x>，y>；

(2) <(ΔL_x)²>，<(ΔL_y)²>.

7. 线谐振子处于基态，计算<(Δx)²>·<(Δp)²>，其中

8. 设体系处于φ=C₁Y₁₁+C₂Y₁₀态，且|C₁|²+|C₂|²=1，求：

(1) 力学量的可能值和平均值；

(2) 力学量的本征值；

(3) 力学量L_x和L_y的可能值.

9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L²得到的值是6?²，测量力学量L_z得到的值是- ?，求测量L_x和L_y可能得到的值.

10. 设体系的哈密顿算符为求其能量本征值.

11. 求在的本征态中，对易子的平均值.为任意算符.

12. 在t=0时氢原子的波函数为

(1) 求体系能量的平均值；

(2) 求在t时刻体系处在l=1,m=1态的概率；

(3) 求在t=0时，电子处在d=10^-10cm范围内的概率；

(4) 假定做一次测量后发现L²=2?²，L_x= ?，求测量后的瞬间体系的波函数.

13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得求激发该电子到第一激发态所需的能量.

四、证明

1. 若算符满足，求证：

(1)

(2) 用数学归纳法证明：

2. 若算符满足对易关系式，求证：

3. 若算符满足，直接通过对易关系证明：

4. 设[x,p]=i?，f(x)是x的可微函数，证明：

5. 证明：

6. 是粒子的角动量，F是另一力学量，证明：

7. 设是只与空间坐标有关的力学量，证明：

8. 证明算符(A_n,m为实数)是厄米算符.

9. 定义算符式中算符是幺正算符.证明皆为厄米算符，并且满足

10. 证明：

(1) 在任意一维归一化的实束缚态φ_n(x)上，；

(2) 若哈密顿算符的本征值为E_n、本征矢φ_n(x)为实的束缚态，则有

11. 设哈密顿算符的本征解为E_n和，对任意的线性厄米算符，证明下式成立：

12. 证明在的本征态下，x>=y>=0.进而证明角动量沿任意方向的分量的平均值为m?cosθ，其中θ为与z轴的夹角，为任意方向单位矢量.

13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.

14. 若算符与哈密顿算符皆不显含时间，试证

15. 证明

16. 若算符为守恒量，证明他们的对易子也是守恒量.

17. 粒子处于宽度为a的一维非对称无限深方势阱中，在其第n个本征态下，证明

五、综合题

1. 质量为m的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯波包，满足

(1) 求

(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足

(3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.

2. 考虑一质量为m的粒子在一维势场U(x)=U₀(x/a)²ⁿ中运动，其中n是正整数，U₀>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n→∞两种特殊情况.

3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx²/2中的一粒子的波函数是

其中β和A是实常数，且厄米多项式归一化条件是

(1) 写出φ(x,t)；

(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率；

(3) 求t=0时的，并问是否随时间t变化？

4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U₀的情况下，减少势阱宽度a是使满足不等式a²<2/mU₀，初看起来，束缚在势阱中的粒子的空间位置将越来越精确(Δx~a)，然而在任何情况下，动量的不确定度Δp应限制在数量级内，于是有不等式，这个结果显然和不确定性原理矛盾.试指出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积.

5. 一粒子的波函数是φ=k(x+y+2z)e^-αr，式中k和α是实常数，求：

(1) 粒子的角动量是多少？

(2) 角动量z分量的平均值；

(3) 若角动量的z分量L_z被测量，问测得L_z=+ ?的概率是多少？

(4) 发现粒子在θ,φ方向上dΩ立体角内的概率是多少？θ,φ是通常球坐标中的方向角.

六、思考题

1. 量力力学参量与经典物理的力学量有何区别?

2. 经典物理中的理论力学、电动力学、统计力学有哪些主要物理量？

3. 量子力学的算符概念和，，首先是谁引进的？

4. 量子力学的基本算符是什么?为什么?

5. 算符的定义是什么?跟数学的算子有何区别?

6. 量子力学算符的基本性质是什么?

7. 算符的对易关系有什么物理意义?为什么?

8. 量子力学算符原理是什么?

9. 量子力学的力学量取值与经典物理力学量有何区别?

10. 为什么说量子力学算符必须是厄米算符?为什么?

11. 为什么说薛定谔定态方程是能量本征方程?

12. 构造算符的基本法则是什么?[包括算符函数]

13. 算符的对易关系算式有哪几个是最重要的?

14. 为什么算符本征值有哪点跟经典力学是不同?

15. 算符本征值在宏观实验测量中有无实验意义?如果没有,那么解算本征值还有什么意义?

16. 力学量的宏观测量值跟本征值有何联系?为什么?

17. 为什么算符本征值只能单次实验测量?

18. 量子力学算符作用在任意状态上得到的数值是唯一的么?

19. 算符本征函数性质是什么?

20. 为什么本征函数系列可以构造数学函数空间?这个函数空间是完全的么?

21. 同一个状态中的两个算符有什么关系?哪一个是量子力学的特点?

22. 写出你知道的算符表达式?

23. 量子力学力学量的测不准原理是什么?谁发现的?

24. 为什么说测不准原理是量子力学的重大发现?

25. 写出能量与时间的测不准关系,并说明原因。

26. 测不准关系与测不准原因区别在哪里？

27. 为什么测不准关系式中的两个力学量都是平均值？

28. 两个力学量的本征值都是量子化取值，是否存在测不准关系？

29. 一个能量有确定值的状态，还存在测不准关系么？

30. 推导测不准原理使用的初等数学方法是什么？

31. 为什么测不准关系用测量精度表示?测量精度的概念是什么?

32. 量子力学的角动量算符定义是什么?

33. 为什么?两个算符存在测不准关系的条件是什么?

34. 什么情况下动量本征值是连续的?方箱中的粒子也是自由运动为什么是量子化的？

35. 算符本征值量子化产生的条件是什么？

36. 动量和角动量算符的对易关系是什么？两者有无差别？为什么？

37. 初等量子力学的存在原理是什么？用什么实验验证？

38. 自旋算符与动量、角动量和能量算符有何区别？

39. 自旋算符是推导出来的么？为什么？

40. 为什么力学量向经典力学过渡必须计算平均值？